Upload
dino-tomljanovic
View
129
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
ekonometrija
Citation preview
DIO III.
UVOD U ANALIZU VREMENSKIH NIZOVA
12. TEMELJNI POJMOVI ANALIZE VREMENSKIH NIZOVA
odaci o pojavama u gospodarstvu, ekonomiji i drugim podrujima istraivanja esto se
prikupljaju kao vremenske serije. Vrijednosti pojave u pravilu se odnose na jednake vremenske intervale, kao na primjer mjesene vrijednosti industrijske proizvodnje u
Republici Hrvatskoj, ili se odnose na jednako udaljene vremenske toke, na primjer stanje tednih uloga Zagrebake banke na dan 31. 12. Analiza takvih nizova ukazuje na potrebu
definiranja analitikog izraza ili modela kojim se opisuje mehanizam generiranja vrijednosti pojave (stohastikog procesa) u vremenu. Izuavanje pojava koje se mijenjaju, variraju u
vremena see daleko u povijest. Postoje dokazi o zapaanju kretanja i variranja geofizikih,
astronomskih i drutvenih pojava nekoliko stoljea unazad. Prva tjedna statistika praenja broja umrlih u Londonu potjeu iz 1532. godine. U Francuskoj slubena praenja krtenja,
vjenanja i broja umrlih zapoinju 1539. godine. injenica da sve pojave, u veoj ili manjoj
mjeri, evoluiraju i da se mijenjaju u vremenu, kao i sve vei zahtjevi za upoznavanjem i analizom tih pojava, stimulirali su razvoj velikog broja metoda i tehnika. Te su tehnike i metode u poecima imale za cilj jednostavnu dokumentaciju i opisivanje pojava koje variraju
u vremenu. Vremenom, te su se metodologije mijenjale, prilagoavale i razvijale (i jo se razvijaju). Danas postoji cijeli niz sofisticiranih metodologija visokog potencijala i irokog
dijapazona primjene koje se koriste u analizi vremenskih nizova. DEFINICIJA VREMENSKIH SERIJA
Vremenski niz ili vremenska serija (engl. Time Series) je
skup kronoloki ureenih vrijednosti varijable koja predouje pojavu ili statistiki proces u vremenu.
Vrijednosti niza nazivaju se lanovima niza, a po pravilu se odnose na jednake vremenske
intervale ili jednako udaljene vremenske toke. Broj lanova predoava njegovu duljinu.
Slika 1: Primjer vremenskog niza: Broj nezaposlenih osoba u Australiji: veljaa 1978 - kolovoz 1995
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191
mjesec
broj
nez
apos
leni
h
P
U vremenskom nizu ureenje numerikih vrijednosti varijable nije sluajno. Spoznaja
vanosti takvog ne sluajnog ureenja, karakteristika je po kojoj se analiza vremenskih serija
razlikuje od ostalih statistikih analiza. U vremenskom nizu pretpostavlja se da postoji zavisnost meu vrijednostima iduih varijabli te da je ta zavisnost povezana s poloajem
opaanja u seriji. Istraivanje i modeliranje takve zavisnosti, te njeno koritenje u svrhe
predvianja, predstavljaju kljune elemente analize vremenskih serija. Dinamika struktura vremenskog niza moe se istraivati ne temelju jedne jednadbe ili predmet analize moe
biti uzrono-posljedina povezanost vie vremenskih nizova, koja se provodi na temelju vektorskih modela.
CILJEVI ANALIZE VREMENSKIH SERIJA
Razumijevanje analize vremenskih nizova, zahtijeva prije svega definiranje njenih ciljeva. Statistika analiza vremenskih nizova ima za cilj uoavanje i definiranje mehanizma koji je
niz generirao, opisivanje karakteristika i osobina niza, i svakako predvianje evolucije pojave u vremenu.
Cilj analize vremenskih serija je opisivanje razvoja pojave u vremenu, objanjavanje varijacija pojave te predvianje budue razine pojave.
Stoga se ciljevi analize vremenskih ciljeva mogu saeti kao:
Opisivanje: sastoji se u sintetikom opisu kretanja pojave. U te svrhe koristi se grafiko prikazivanje serije u odnosu na vrijeme, odnosno grafikon toaka (t, yt), t=1,, n. Iz grafikog prikaza vremenskog niza mogue je dobiti prve informacije o karakteristikama
razmatranog niza; dinamika kretanja niza ili postojanje outliera (streih vrijednosti).
Objanjavanje: svodi se na uoavanje mehanizma koji generira pojavu i odnosa koji povezuju varijable.
Predvianje: sastoji se u prognoziranju budueg stanja i kretanja pojave temeljem prolih
vrijednosti varijabli sa to manjom pogrekom prognoze. Predvianje zahtijeva postojanje modela koji e opisati vremenski niz. Model (matematiki model ili proces) je sustav jednadbi koji moe proizvesti umjetni skup podataka vremenskog niza.
Osnovni koraci predvianja su slijedei:
odabrati skupinu modela vremenskog niza; odabire se onaj model iji skup
podataka najbolje odgovara empirijskom vremenskom nizu,
procijeniti odabrani model (unutar skupine),
predvia se odreena oekivana vrijednost budueg ponaanja procijenjenog
modela,
granice predvianja su granice intervala povjerenja; ako je model uspjean,
budua e se vrijednost sa npr. 95% vjerojatnosti, nalaziti u tom intervalu. Postoji cijeli niz tehnika predvianja kretanja vremenskog niza: metoda pominih prosjeka (Moving Average Method), metoda eksponencijalnog izglaivanja (Exponential Smoothing Method), Holt-Wintersova metoda eksponencijalnog izglaivanja (Holt-Winters Exponential Smoothing Method), prognoze vremenske serije po metodi dekompozicije-ekstrapolacija trenda i mnoge druge. Prognoziranje po metodi dekompozicije zasnovano je na prilagoavanju odreene funkcije vremena podacima i na njenoj ekstrapolaciji u budunost. Drugim rijeima, prognoziranje se temelji na ekstrapolaciji trenda, odnosno
na produavanju funkcije trenda u budunost. Osnovna pretpostavka prilikom
prognoziranja vremenske serije uporabom metode dekompozicije jest da e imbenici koji su djelovali na razinu serije u prolosti i sadanjosti djelovati i u buduem razdoblju
na isti nain, priblino istim intenzitetom, u istom smjeru i bez znaajnijeg utjecaja novih
imbenika. Radi se dakle, o mehanikoj projekciji ponaanja pojave iz prolog i sadanjeg
perioda u budunost.
Filtriranje: svodi se na upotrebu podataka vremenskog niza s ciljem procjenjivanja ne opaenih komponenata samog niza.
Kontroliranje: analiza vremenskog niza omoguava kontrolu procesa koji generiraju niz.
Zadae statistike analize vremenskih nizova mogu se definirati i kao:
deskripcija proteklog razvoja pojave u vremenu,
objanjenje njezine varijacije pomou drugih pojava,
predvianje i kontrola dinamikih procesa,
testiranje pretpostavki o postavkama gospodarske teorije,
objanjenje varijacije jedne varijable pomou drugih varijabli,
uklanjanje sustavne razvojne komponente (trenda) radi usporedbe kovarijacija razliitih
serija (De-Trending),
kvantifikacija sezonske komponente i drugih sustavnih komponenti (desezoniranje),
kvantitativno ispitivanje gospodarskih ciklusa,
ispitivanje strukturnih promjena. PODJELA VREMENSKIH SERIJA
Vremenski nizovi koji se susreu praksi dolaze iz razliitih podruja ljudskog ili prirodnog
djelovanja. Mogua podjela vremenskih nizova s obzirom na podruje nastajanja je slijedea:
ekonomski vremenski nizovi,
fiziki vremenski nizovi,
demografski vremenski nizovi,
vremenski nizovi koji nastaju kontrolom procesa,
vremenski nizovi koji nastaju kontrolom binarnih procesa i
vremenski nizovi koji nastaju kontrolom procesa u odreenoj toki.
S obzirom na obiljeja postoje slijedei vremenski nizovi:
opisni vremenski nizovi,
redoslijedni vremenski nizovi i
numeriki vremenski nizovi.
Vremenski niz je dakle, slijed vrijednosti varijabli u kojem je svaki podatak zdruen s odreenim trenutkom ili vremenskim intervalom, pa s obzirom na nastanak postoje:
intervalni vremenski niz (aggregate, flow, accumulate series): vrijednosti pojave zbrajaju se po vremenskim intervalima, posjeduju svojstvo kumulativnosti. Primjer intervalnog vremenskog niza dan je godinjom finalnom potronjom porodica, godinja koliina
izvoza ili mjeseni broj nezaposlenih osoba kroz vrijeme.
trenutani vremenski niz (stock series, series of instantaneous values): vrijednosti su kronoloki ureene i u vezi s odreenim vremenskim tokama, takvi nizovi ne posjeduju svojstvo
kumulativnosti. Primjer trenutanog vremenskog niza dan je populacijom odreenog
podruja u danoj vremenskoj toki s danom koliinom novca prisutnog u ekonomskom
sustavu u odreenom vremenskom trenutku.
Ako se u svakoj pojedinoj vremenskoj toki ili intervalu opaa jedna pojava, vremenski niz
koji nastaje zove se univarijatni vremenski niz. Ako se opaaju dvije ili vie pojava, dobije se viestruki(multivarijatni) vremenski niz. Vremenski parametar t, koji definira ureenje podataka u vremenskom nizu pripada skupu T, koji moe biti diskretan ili kontinuiran. S obzirom na vremenski parametar niz moe biti:
diskretan vremenski niz: mjerna varijabla poprima konaan broj vrijednosti,
kontinuiran vremenski niz: mjerna varijabla poprima vrijednosti iz nekog intervala.
Slijedea vana podjela dijeli vremenskih nizova na:
deterministike vremenske nizove: vremenski niz je deterministiki se razine pojave deterministikog niza mogu, temeljem njegovih lanova, egzaktno predvidjeti;
stohastike (statistike) vremenske nizove: veina vremenskih nizova je stohastike prirode,
to znali da se budua stanja pojave mogu tek procijeniti, a ne egzaktno predvidjeti.
Postoje jo i:
izvorni vremenski nizovi: vrijednosti takvog niza izraene su u izvornim jedinicama i
izvedeni vremenski nizovi: lanovi takvog niza dobiju se brojanim operacijama nad vrijednostima izvornog niza ili vie njih.
S obzirom na domenu analize, vremenske serije dijele se na:
modele u vremenskoj domeni: polaze od klasine podijele vremenskog niza ili dolaze iz skupine linearnih stohastikih modela, koje se odnose na stacionarne procese;
vremenska je serija stacionarna ako ne sadri trend komponentu (razina pojave ne mijenja se s vremenom), ako u nizu nisu prisutne striktno periodine varijacije, te
ako mu varijanca ne ovisi o vremenu.
modele u domeni frekvencija (spektralni modeli): opisuju podjelu varijance stacionarnog stohastikog procesa.
GRAFIKO PRIKAZIVANJE VREMENSKE SERIJE
Cilj grafikog prikaza vremenske serije jest njen vizualni pregled. Na osnovu grafikog
prikaza vremenske serije moe se zakljuiti da li vremenska serija pokazuje tendenciju rasta
ili pada, da li postoje izraene sezonske varijacije i da li je karakterizirana nestabilnom varijancom. Da bi se uoila prisutnost nestandardnih opaanja korisno je da se prikae i prva
diferencija date serije. Prema grafikonu prve diferencije jednostavnije je primijetiti da li se pojavljuju podaci koji nisu suglasni s prethodnim tijekom vremenske serije.
Intervalni vremenski nizovi prikazuju se povrinskim i linijskim grafikonima, trenutani
vremenski nizovi linijskim grafikonima. Usporedba dvaju ili vie vremenskih nizova na
istom grafikonu mogua je ako su vrijednosti nizova izraene u istim mjernim jedinicama, u
protivnome konstruira se polulogaritamski grafikon. Za prikazivanje sezonskih pojava koriste se i polarni dijagrami. Osim grafikog prikaza korisne informacije dobiju se
izraunom sredine niza te analizom varijacija.
12.1.PRISTUPI ANALIZI VREMENSKIH SERIJA
Metode analize vremenskih serija mogu se podijeliti na kvalitativne i kvantitativne. Kvalitativni modeli koriste se kada podaci o nekoj pojavi nisu dostupni ili se ne mogu kvantificirati. Zasnivaju se na procesu usklaivanje miljenja strunjaka. Jedna od najpoznatijih kvalitativnih metoda analize vremenske serije je Delphi metoda.
Nasuprot kvalitativnim metodama, preduvjeti primjene kvantitativnih metoda su, prije svega, da se informacije o pojavi koju analiziramo mogu kvantificirati, da su podaci u prolom i sadanjem periodu dostupni i da oslikavaju pravu prirodu promatrane pojave. Primjena
kvantitativnih metoda zasniva se na opoj pretpostavci da e se pojava u budunosti
ponaati na priblino isti nain kao i u prolom periodu. Sve kvantitativne metode mogu se
svrstati u dvije osnovne skupine:
metode statistike analize vremenskih nizova, i
kauzalne (uzrone) metode.
S obzirom na navedenu podjelu postoje dva osnovna pristupa analizi vremenskih nizova:
statistiki (klasini, tradicionalni) i
ekonometrijski (moderni, kauzalni). Metode statistike analize vremenske serije, odnosno statistiki pristup orijentirane su na analizu
osnovnih karakteristika pojedinane vremenske serije i na prognoziranje njenih buduih
vrijednosti iskljuivo na osnovi vrijednosti iz prolog i sadanjeg perioda. U ovu grupu metoda spadaju metode dekompozicije, razliite metode izglaivanja i Boks-Jenkinsvoa metoda. Kauzalne metode (ekonometrijski pristup) spadaju u domenu regresijske analize vremenskih serija. Opi stohastiki model koji opisuje proces koji generira podatke vremenskog niza
koji se odnosi na varijablu Y dan je funkcijom:
( ) (1)
Pretpostavlja se da se dani vremenski niz sastoji iz:
(a) deterministikog dijela f (t) koji predstavlja sustavni dio niza
(b) sluajnih varijabli ut koje predstavljaju stohastiki dio niza i ponaaju se prema odreenom zakonu vjerojatnosti.
Klasini (statistiki) pristup analizi vremenskih nizova pretpostavlja da postoji zakon vremenske evolucije pojave predstavljen sa f(t). Sluajna varijabla (ut) predstavlja skup varijabli ne zamjetne vrijednosti koje se ne ele ili se ne mogu explicite promatrati u Yt. Reziduali od Yt koji nisu objanjeni sa f(t) smatraju se stoga sluajnima i definiraju se kao sluajne pogreke. Stohastiki promatrajui, to je ekvivalentno hipotezi da je stohastika
komponenta modela generirana white-noise procesom (proces bijelog uma), odnosno slijedom sluajnih varijabli, jednako distribuiranih, nezavisnih, s oekivanjem 0 i konstantnom
varijancom. Takav proces, sintetiki notiran sa (
) (2)
i ima: [ ]
[ ]
[ ]
(3)
Dakle, u klasinom pristupu analizi vremenskih nizova panja se poklanja deterministikoj komponenti f(t), dok se (ut) zanemaruje smatrajui se procesom nekoreliranih komponenti. U klasinom pristupu koriste se metode ralambe vremenskog niza na komponente.
U modernom pristupu analizi vremenskih nizova pretpostavlja se da f(t) nedostaje ili je ve ranije procijenjena. Panja se posveuje stohastikoj komponenti modela (ut) za koju se
pretpostavlja da je proces sa koreliranim komponentama tipa ttttt Yu ,...,,...Y , 212-t1 kojeg treba analizirati adekvatnim statistikim metodama. Navedeni pristup polazi od
pretpostavke da je vremenska serija konana realizacija stohastikog procesa. Uvodi se tako
stohastika (vjerojatnosna) komponenta koja omoguava formalizaciju inferencijalne sheme
u temelju opaanih podataka. Moderni pristup slui se modelima za analizu empirijskih
vremenskih nizova. Primjena modela vremenskih serija je dvostruka: (a) razumjeti mehanizam i strukturu veza koji generiraju vremenski niz te (b) prilagoditi model te ga koristiti za predvianje, praenje ili kontroliranje vremenskog niza. KOMPONENTE VREMENSKE SERIJE KLASINA DEKOMPOZICIJA VREMENSKE SERIJE
Modeliranje vremenskih serija temelji se na ralambi serije na komponente koje pokazuju
specifine oblike kovarijacija pojave s vremenom. Klasina metoda dekompozicije
vremenskih serije polazi od pretpostavke da na razvojnu komponentu vremenske serije odreeni imbenici utjeu postojano u odreenom pravcu, dok ostali imbenici uzrokuju
odstupanja od te osnovne putanje serije. Tradicionalno se za vremenske nizove ekonomskih pojava generiranih funkcijom
tt u)t(fY pretpostavlja da je njihov sistematski dio f(t) rezultat djelovanja slijedeih komponenata:
komponente trenda
sezonske komponente
komponente ciklusa Na razvoj vremenske serije utjeu i nesistematski imbenici, pa se uz sistematske komponente pojavljuje i stohastika (sluajna komponenta) koja predstavlja sluajnu varijablu odreenih svojstava.
Komponenta trenda pokazuje dugoroni tijek razvoja pojave u vremenu. Izraava se funkcijom vremena, a prema obliku funkcije trend moe biti: linearni, parabolini, eksponencijalni.
Sezonska komponenta oituje se u obnavljanjem pojave unutar jedne godine, a pojavljuje se kao posljedica klimatskih uvjeta, drutvenih faktora, proizvodnih ciklusa i td.
Ciklina komponenta pokazuje obnovljeno kretanje pojave u vremenu od dvije ili vie godina. Tee se identificira od komponente trenda te je stoga i tee predvidiva.
MODELI VREMENSKIH SERIJA
Modeli slue za opisivanje evolucije pojave u vremenu, odnosno prikazivanje zavisnosti tekue vrijednosti pojave o njezinim proteklim vrijednostima te o tekuim i proteklim
vrijednostima sluajne varijable. Usporedo se analizira i autokorelacijska struktura (stupanj i smjer meusobne zavisnosti lanova vremenskog niza razmaknutih jedno ili vie
vremenskih razdoblja).
Klasina ralamba empirijskih vremenskih nizova temelji se na pretpostavci da se svaki
vremenski niz moe predoiti kombinacijom pojedinih komponenti vremenske serije. Stoga, u pogledu djelovanja komponenti na kretanje vremenske serije razlikuju se tri osnovne grupe modela:
aditivan
multiplikativan
mjeoviti (pseudoaditivan) ADITIVNI MODEL
Opi oblik aditivnog modela je:
(4)
gdje je
Y je empirijska serija,
T vrijednost trenda,
C vrijednost ciklike komponente,
S vrijednosti sezonske komponente i
sluajna varijabla.
Sve su komponente izraene u istim mjernim jedinicama kao i vrijednosti serije Yt. Trend i ciklus komponenta esto se ne razdvajaju pa se govori o jedinstvenoj trend-ciklus komponenti, a takav se model predouje izrazom
( ) 5)
odnosno
(6)
u kojem T predstavlja trend-ciklus komponentu. Pri primjeni aditivnog modela pretpostavlja se da sezonska i iregularna komponenta ne zavise o trendu, da se amplituda sezonskih varijacija ne mijenja s vremenom te da je tijekom godine prosjek sezonskih fluktuacija jednak nuli. Dakle, aditivni model pogodan je za analizu vremenskih serija kojih se amplitude sezonskih varijacija ne mijenjaju s vremenom. MULTIPLIKATIVNI MODEL
Multiplikativni model karakteristian je po tome to su komponente faktori umnoka, a u
opem obliku model glasi:
(7)
Ako vremenski niz sadri sve pozitivne vrijednosti multiplikativni model se moe
logaritamskom transformacijom prevesti u aditivni model (log-aditivni) oblika
(8)
U ovom je modelu samo komponenta trenda izraena u mjernim jedinicama pojave Yt. Ostale su komponente dane u relativnom iznosu (indeksi nepomnoeni sa sto). Dekompozicija predoena multiplikativnim modelom oslanja se na pretpostavke da je
amplituda sezonske komponente upravno proporcionalna razini trenda (poveava li se
trend, poveava se i amplituda sezonske komponente, i obrnuto), te da je varijanca iregularne komponente upravno proporcionalna veliini trend-ciklus i sezonske komponente. Multiplikativni model se koristi kada se amplitude sezonskih varijacija poveavaju ili smanjuju proporcionalno s vremenom to je karakteristika veine vremenskih
serija u ekonomiji. Multiplikativni, odnosno log-aditivni model ne moe se primijeniti ukoliko serija sadri 0 ili negativne vrijednosti, u kojem se sluaju kao alternativan rabi
pseudoaditivni model. PSEUDOADITIVNI MODEL
Pseudoaditivni model predstavlja kombinaciju aditivnog i multiplikativnog modela. Pretpostavka njegove primjene je da su sezonska i iregularna komponenta meusobno
nezavisne, ali da obje zavisne o trendu. Opi oblik mjeovitog modela je
( ) ( )
(9)
odnosno
( )
(10)
U navedenom modelu vrijednosti varijable Y jesu vrijednosti serije, T je komponenta trend-ciklus koja je izraena u mjernim jedinicama vrijednosti niza, a sezonska i iregularna
komponenta izraene su kao koeficijenti umnoka (varijabilnost izraena u relativnom iznosu).
Uz trend (trend-ciklus) komponentu, u model se kadto uvodi i komponenta koja izraava varijacije kalendarski varijacija istoimenih vremenskih jedinica (mjeseci, kvartali) re raspored nacionalnih praznika.
12.2. POKAZATELJI DINAMIKE
Pokazatelji dinamike brojane su veliine kojima se opisuju promjene razine pojava u vremenu. Dijele se na one koji pokazuju:
Pojedinane promjene razina pojave u uzastopnim razdobljima ili
Promjene razine tekueg vremena prema razini odabranog razdoblja. Promjene se mogu izraziti u mjernim jedinicama pojave ili u relativnom iznosu pa se u svezi s time razlikuju apsolutne mjere od relativnih mjera promjene pojave. Od pojedinanih mjera razlikuju se prosjene mjere. Relativna promjena uzastopnih razina pojave naziva se stopom promjene. Pokazatelji dinamike grafiki se prikazuju povrinskim i linijskim grafikonom.
Postoji vie mjera promjene razine pojave u vremenu. Mjere se odreuju za jednu vremensku
pojavu ili istodobno vie njih. Polazne brojane veliine za raunanje pokazatelja dinamike jesu vrijednosti vremenske serije . Za njih se pretpostavlja da su konzistentne i da su vezane za jednake vremenske intervale ili jednako udaljene vremenske toke.
Pojedinana mjera promjena po jedinici vremena dana je u obliku prvih diferencija vrijednosti vremenske serije. Ako su vrijednosti vremenske serije, prve su diferencije . Prve diferencije vrijednosti izraavaju veliinu promjena razina pojava u uzastopnim razdobljima. Dane su u mjernim jedinicama pojave, pa su u tom smislu apsolutne mjere promjena. Prvih diferencija ina (n-1). Prosjena promjena razina pojava u uzastopnim razdobljima aritmetika je sredina pojedinanih promjena. Prosjena prva diferencija definira se izrazom:
( ) ( ) ( )
(11)
Prosjena diferencija rauna se uporabom samo posljednje i prve vrijednosti niza. Bit e
reprezentativna ako ne postoje velike varijacije pojedinanih diferencija. Prve diferencije i
prosjena prva diferencija zavise o mjernim jedinicama vrijednosti niza. Njima se ne mogu
usporeivati promjene u uzastopnim razdobljima pojava izraenih u razliitim mjernim jedinicama ni pojava s izrazito razliitim vrijednostima. Zbog toga se raunaju relativne
mjere.
Relativna pojedinana mjera promjena razina pojave u uzastopnim razdobljima naziva se koeficijent dinamike, a izraena postotno naziva se stopom promjene. Stopa promjene empirijske serije jest omjer prve diferencije i odgovarajue vrijednosti serije pomnoen sa sto. Neka su
prve diferencije vremenske serije. Pojedinane stope promjene definiraju se izrazom:
(12)
to jest
(13)
Pojedinanih stopa ima (n-1). Stopa st pokazuje za koliko se postotaka razlikuje razina pojave u vremenu t prema vremenu (t-1). Moe biti pozitivna ili negativna.
12.3. INDEKSI
Indeksi vremenske serije relativni su brojevi koji izraavaju odnos stanja jedne pojave ili skupine pojava u razliitim razdobljima ili vremenskim tokama. Ako se pomou njih prati razvoj jedne pojave u vremenu, tada je rije o individualnim indeksima. Skupnim indeksima prati se razvoj skupine pojava. INDIVIDUALNI INDEKSI
Individualni indeksi pojavljuju se u dva oblika i to kao:
Verini indeksi i
Indeksi na stalnoj bazi. Pomou indeksa esto se jednostavnije uoava priroda varijacija pojave u vremenu. VERINI INDEKSI
Verini indeksi su relativni brojevi koji pokazuju promjene stanja pojave u uzastopnim razdobljima. Verini indeks razdoblja t dobije se tako da se vrijednost tog razdoblja podijeli s vrijednosti prethodnog razdoblja, razdoblja t-1, a zatim se omjer pomnoi sa sto. Omjer tekue i prethodne vrijednosti vremenske serije nepomnoene sa sto naziva se koeficijentom dinamike. Ako se s oznae vrijednosti vremenske serije od n lanova, koeficijenti dinamike su:
(14)
a verini indeksi:
(15)
Openito koeficijent dinamike razdoblja t dan je izrazom:
(16)
a verini indeks izrazom:
(17)
Verini indeksi prikazuju se specifinim linijskim grafikonom i grafikonom jednostavnih
stupaca.
INDEKSI NA STALNOJ BAZI
Indeksima na stalnoj bazi mjeri se promjena razine vremenske pojave u relativnom iznosu prema lanu niza jednog odabranog razdoblja ili vremenske toke. Neka se vremenska serija
sastoji od n lanova i neka je vrijednost razdoblja b. Veliine
(18)
Predouje indekse na stalnoj bazi. Opi je izraz za indeks na stalnoj bazi za razdoblje t dan
izrazom:
(19)
Prema tome, indeksi na stalnoj bazi dobivaju se tako da se svaki lan vremenske serije
podijeli s vrijednou baznog razdoblja i pomnoi sa sto. Za bazno se razdoblje uzima
vrijeme u kojemu pojava nije bila izloena neuobiajenim utjecajima. Indeks na stalnoj bazi pokazuje koliko jedinica pojave u razdoblju t dolazi na svakih sto jedinica pojave u razdoblju b. Indeksi na stalnoj bazi upravo su proporcionalni originalnim vrijednostima niza. Grafiki
se prikazuju linijskim grafikom i pomou jednostavnih stupaca. SKUPNI INDEKSI
Skupni indeksi su relativni brojevi kojima se mjere relativne promjene skupine pojava u vremenu. Predmet su indeksne analize skupine koje ine neku loginu cjelinu. Skupnim
indeksima se openito prati dinamika cijena, fizikog obujma (koliina) i vrijednost, pa se s
tim u vezi rabe:
skupni indeksi cijena,
skupni indeksi koliina i
skupni indeksi vrijednosti. Varijabilnost raznih pojedinanih pojava u skupini moe se pratiti individualnim indeksima.
Budui da su mjerne jedinice pojava razliite, individualnim indeksima kao relativnim
brojevima prati se dinamika pojedinanih pojava unutar skupine i usporeuje njihova
kovarijacija. Skupni indeksi raunaju se u obliku potpunih srednjih vrijednosti individualnih
indeksa, najee u obliku aritmetike sredine. U analizi dinamike skupina pojava uobiajeno
se raunaju:
Laspeyresov indeks cijena i koliina,
Paascheov indeks cijena i koliina,
Indeks vrijednosti i
Fisherovi indeksi.
ZADACI ZA VJEBU
1. Klasificirajte sljedee vremenske nizove prema opim obiljejima: (1) Stanovnitvo RH po popisnim godinama. (2) Izvoz RH u razdoblju od 1991-2002. (3) Noenja turista u RH po mjesecima u razdoblju od 1991-2000. (4) Dnevna stanja rauna na iroraunima komitenata banke XY u rujnu 2010. (5) Zakljune cijene dionica odabranih kompanija na burzi po danima prve dekade prosinca
2002. godine. (6) Potronja elektrine energije u RH tijekom 24. listopada 2010. (7) Narodni dohodak po stanovniku u RH po godinama razdoblja 1991-2002. (8) Indeksi proizvodnje preraivake industrije u RH po mjesecima 2010 (sijeanj = 100). (9) Mjesene otplatne kvote potroakog zajma u 2009. godini.
2. Prevezeni putnici (u 000) u cestovnom prometu u Republici Hrvatskoj.
Godina 1991.
1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.
Prevezeni putnici 97140
80177 79263 79027 83652 85764 85236 77595 64763 66556
(a) O kojoj je vrsti statistikog niza rije? (b) Niz prikaite povrinskim i linijskim grafikonom. (c) Formirajte kumulativni niz i prikaite ga povrinskim i linijskim grafikonom. Komentirajte
grafike prikaze i dinamiku prijevoza putnika u navedenom razdoblju na temelju uvida u
varijacije vrijednosti lanova serije.
3. Zavreni i nezavreni stanovi u Republici Hrvatskoj
Godina, kvartal Broj zavrenih stanova Broj nezavrenih stanova
1999. 12863 5591 2000. 12522 5308 2001. I. 643 5265 II. 1071 4751 III. 871 4712
Napomena: broj nezavrenih stanova odnosi se na stanje potkraj razdoblja.
(a) O kojoj je vrsti statistikih nizova rije u ovom primjeru? (b) Prvi niz prikaite povrinskim, a drugi linijskim grafikonom.
4. Noenja turista u Republici Hrvatskoj po mjesecima 2001. godine.
Mjesec I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII.
Noenja (u 000) 257 254 353 1213 2063 5826 13185 14242 4521 918 301 117
Navedeni niz prikaite grafiki odgovarajuom vrstom grafikona.
5. Proizvodnja sirovog elika elektropeima u Republici Hrvatskoj. godina 1996 1997 1998 1999 2000
proizvodnja u t 45752 70660 104114 76832 71021
a) Izraunajte iznose promjene proizvodnje elika u uzastopnim razdobljima. b) Kolika je bila prosjena godinja promjena proizvodnje? Kada je prosjena prva diferencija
dobar analitiki pokazatelj? c) Kolike su promjene proizvodnje prema proizvodnji 1996. godine?
6. Novana masa (M1) u Republici Hrvatskoj u milijunima kuna u 2001.
Mjesec Novana masa
Sijeanj 16717,2
Veljaa 16970,6
Oujak 17395,2
Travanj 18252,7
Svibanj 18845,0
Lipanj 19065,1
Srpanj 20530,8
Kolovoz 19838,2
Rujan 20284,5
Listopad 20064,9
Studeni 20975,8
Prosinac 23703,5
(a) Kolike su promjene novane mase u milijunima kuna u uzastopnim razdobljima? Izraunajte stope promjene novane mase.
(b) Stope prikaite povrinskim grafikonom. (c) Odredite promjene novane mase za stanja u 2001. godini prema stanju u sijenju te godine
u apsolutnom i relativnom iznosu.
7. Indeksi proizvodnje penice i kukuruza u Republici Hrvatskoj
Godina 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.
Indeksi proizvodnje penice
1994=100
100,00 116,93 98,80 111,20 136,00 74,40 137,60 128,67
Indeksi proizvodnje kukuruza 1998=100
85,12 87,59 95,16 110,14 100,00 107,72 76,99 97,93
a) Izraunajte indekse proizvodnje kukuruza u kojima je bazna proizvodnja 1994. godina.
Indekse prikaite grafiki. b) Izraunajte verine indekse proizvodnje penice i verine indekse proizvodnje kukuruza, te
ih prikaite grafiki. c) Kolika je bila proizvodnje penice po godinama navedenog razdoblja ako je 1998.
proizvedeno 1020 tisua tona?
RJEENJA ZADATAKA
1. Serije od (1) do (8) su statistiki nizovi. Niz (9) je deterministiki. Nizovi: (2), (3) i (6) su intervalni nizovi. Nizovi: (1), (4) i (5) su trenutani nizovi. Nizovi (7) i (8) su izvedeni nizovi.
2. (a) Rije je o intervalnom vremenskom nizu, a razine pojave dane su po jednakim (godinjim)
vremenskim intervalima. (b) Povrinski grafikon crta se u pravokutnom koordinatnom sustavu. Ako su razdoblja jednaka,
pravokutnici jednakih osnovica oslanjaju se na os apscisa, a visine su im odreene aritmetikim
mjerilom osi ordinata. Razlika visina pravokutnika govori o razlici vrijednosti lanova niza. Linijski dijagram nastaje spajanjem toaka kojima su apscise sredine razdoblja, a ordinate su dane
aritmetikim mjerilom osi ordinata. Razlike ordinata upuuju na razlike vrijednosti lanova niza. to
su linije u grafu strmije, te su razlike vee i obrnuto.
Povrinski grafikon prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000)
Linijski dijagram prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000)
(c) Kumulativni niz prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000)
Godina 1991.
1991./1992.
1991./1993.
1991./1994.
1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.
Kumulativni niz
97140
177317 256580 335607 419259 505023 590259 667854 732617 799173
Kumulativni niz formiran je postupnim zbrajanjem vrijednosti lanova serije. lan kumulativnog niza
335607 pokazuje da je od 1991. do 1994. godine prevezeno ukupno 335607 tisua putnika.
Kumulativni niz broja prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000), povrinski grafikon
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.
Kumulativni niz broja prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000), linijski dijagram
3. (a) Prvi je niz vremenski intervalni, a drugi vremenski trenutani niz.
(b) Za grafiki prikaz prvog niza iskoristit e se pravokutnici, a kako intervali promatranja nisu jednaki,
pri konstrukciji grafikona rabit e se korigirane vrijednosti lanova niza. Godinje vrijednosti
korigiraju se dijeljenjem s etiri. Vrijednosti se trenutanog niza ne korigiraju jer pokazuju salda u
navedenim vremenskim tokama. Pri konstrukciji grafikona trenutanog niza spajaju se toke s
apscisa koje odgovaraju vremenskim tokama u aritmetikom mjerilu osi apscisa i ordinatama danima
u aritmetikom mjerilu osi ordinata.
Zavreni stanovi u Republici Hrvatskoj prosjek po kvartalu, povrinski grafikon.
Nezavreni stanovi u Republici Hrvatskoj stanje potkraj razdoblja, linijski grafikon.
4. Vremenski niz Noenja turista predouje sezonsku pojavu. Takvi se nizovi prikazuju, osim ostalih, i
specifinim dijagramom koji se zove polarni dijagram. Mrea polarnog dijagrama sastoji se od
koncentrinih krugova koji prolaze markantnim tokama aritmetikog mjerila. Mjerilo se nalazi na jednom
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
1991. 1991./1992. 1991./1993. 1991./1994. 1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
1991. 1991./1992. 1991./1993. 1991./1994. 1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.
0
1000
2000
3000
4000
I. II. III.
1999. 2000. 2001. 2001. 2001.
4600
4800
5000
5200
5400
5600
I. II. III.
1999. 2000. 2001. 2001. 2001.
od radijvektora. Ako su na grafu naznaeni samo radijvektori, govori se o dijagramom radarskog tipa.
Polarni i radar dijagrami sezonske pojave Noenje turista u RH u 2001.
5. Promjene proizvodnje u uzastopnim razdobljima dane su prvim diferencijama vrijednosti niza, tj.:
odnosno
..
Prosjena prva diferencija dana je izrazom
Diferencije su izraene u mjernim jedinicama vrijednosti serije. Diferencija uz 1997. godinu pokazuje da je te godine proizvedeno 24908 tona sirovog elika vie nego 1996. godine. Godine 2000. proizvodnja elika
bila je za 5811 tona manja nego prethodne godine. Prosjena prva diferencija 6317,25 tona i nije reprezentativan pokazatelj jer su diferencije razliitog predznaka i znatne varijabilnosti. Prosjena prva
diferencija reprezentativna je kada su prve diferencije istoga predznaka i kada nisu izrazito varijabilne. Njezin je nedostatak i u tome to se odreuje samo na osnovi dviju vrijednosti serije (prve i posljednje). Promjene proizvodnje prema proizvodnji odabranog razdoblja dane su izrazom:
U primjeru je to:
.
Navedene razlike pokazuju veliine promjene proizvodnje u tonama u tekuem razdoblju prema
odabranom baznom razdoblju, odnosno proizvodni elika u 1996. godini.
Pomona tablica godina proizvodnja u t Prve diferencije Diferencije prema 1996
yt
1996 45752 0
1997 70660 24908 24908
1998 104114 33454 58362
1999 76832 -27282 31080
2000 71021 -5811 25269
0
5000
10000
15000I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
6. Pomona tablica
Mjesec Novana
masa Diferencije Stope
Diferencije prema I.
Stope prema I
Sijeanj 16717,2 * * * * Veljaa 16970,6 253,4 1,515804 253,4 1,515804 Oujak 17395,2 424,6 2,501974 678 4,055703 Travanj 18252,7 857,5 4,929521 1535,5 9,185151 Svibanj 18845 592,3 3,244999 2127,8 12,72821 Lipanj 19065,1 220,1 1,167949 2347,9 14,04482 Srpanj 20530,8 1465,7 7,687869 3813,6 22,81243
Kolovoz 19838,2 -692,6 -3,37347 3121 18,66939 Rujan 20284,5 446,3 2,2497 3567,3 21,3391
Listopad 20064,9 -219,6 -1,0826 3347,7 20,02548 Studeni 20975,8 910,9 4,539768 4258,6 25,47436 Prosinac 23703,5 2727,7 13,00403 6986,3 41,79109
(a) Promjene novane mase u milijunima kuna u uzastopnim razdobljima izraunate su kao prve
diferencije (razlike tekue i prethodne vrijednosti) i uvrtene u trei stupac pomone tablice.
Pojedinane stope predouju iznos relativne promjene tekue razine prema prethodnoj razini.
Definirane su izrazom:
Vrijednosti stopa promjena u uzastopnim razdobljima nalaze se u etvrtom stupcu pomone tablice.
Prva je stopa 1,52 i pokazuje da je novana masa u veljai 2001. bila 1,52% vea od novane mase u sijenju 2001. Stopa -1,08 pokazuje da je u listopadu mjesecu 2001., prema rujnu te godine, smanjena novana masa za 1,08%.
(b) U opisu grafikona mora se obavezno naznaiti da visine stupaca (ili ako se rabi linijski dijagram,
ordinate spojnih toaka) oznaavaju relativne promjene prema prethodnom razdoblju.
Stope promjene novane mase u RH (prema stanjima potkraj razdoblja), povrinski grafikon
(c) Promjene novane mase prema stanju potkraj sijenja 2001.:
Diferencije se nalaze u petom stupcu pomone tablice. Promjene su novane mase prema razini u
sijenju varijabilne. Diferencija od 4258,6 milijuna kuna pokazuje da je novana masa potkraj listopada
2001. bila vea od novane mase potkraj sijenja te godine za navedeni iznos. Relativne promjene stanja novane mase prema stanju potkraj sijenja 2001. raunaju se pomou
izraza:
odnosno
(
)
U primjeru su navedene stope sljedee:
-5
0
5
10
15
II/I III/II IV/III V/IV VI/V VII/VI VIII/VII IX/VIII X/IX XI/X XII/XI
Stope su navedene u estom stupcu pomone tablice. Posljednja izraunata stopa iznosi 41,79 i pokazuje da
je novana masa potkraj prosinca bila 41,79% vea od novane mase potkraj sijenja te godine.
7. Pomona tablica
godina Indeksi proizvodnje penice
1994=100
Indeksi proizvodnje kukuruza 1998=100
indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100
verini
indeksi proizvodnje penice
verini
indeksi proizvodnje kukuruza
proizvodnja penice
u 000 t
1994 100 85,12 100,00 * * 750
1995 116,93 87,59 102,90 116,93 102,90 877
1996 98,8 95,16 111,80 84,49 108,64 741
1997 111,2 110,14 129,39 112,55 115,74 834
1998 136 100 117,48 122,30 90,79 1020
1999 74,4 107,72 126,55 54,71 107,72 558
2000 137,6 76,99 90,45 184,95 71,47 1032
2001 128,67 97,93 115,05 93,51 127,20 965
a) Indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100 raunaju se dijeljenjem svakog lana niza s 85,12 (vrijednost
baze, veliine vezane za 1994.) i mnoenjem omjera sa 100. Indeksi na stalnoj bazi preraunavaju se na
drugu bazu tako da se s raspoloivim indeksima postupa kao s originalnim podacima. Taj postupka slijedi iz svojstva proporcionalnosti indeksa na stalnoj bazi i originalnih podataka. Indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100 nalaze se u etvrtom stupcu pomone tablice.
Indeksi proizvodnje kukuruza u Republici Hrvatskoj 1994=100
b) Indeksi na stalnoj bazi pretvaraju se u verine indekse tako da se indeks tekueg razdoblja podijeli s
indeksom prethodnog razdoblja, a omjer pomnoi sa sto, tj. s indeksima se postupa ka da je rije o
originalnim podacima. Verini indeksi uvrteni su u trei i etvrti stupac pomone tablice.
Verini indeksi proizvodnje penice i kukuruza u Republici Hrvatskoj
c) Za utvrivanje niza originalnih podataka, polazei od niza indeksa, dovoljno je raspolagati jednom vrijednou originalne serije. 1020 je peta vrijednost serije, a indeks na bazi 1994=100 jest
dakle,
koristei se definicijskim izrazom za indekse na stalnoj bazi,
izraunate su i preostale originalne vrijednosti lanova serije proizvodnje penice.
90
95
100
105
110
115
120
125
130
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1995/1994 1996/1995 1997/1996 1998/1997 1999/1998 2000/1999 2001/2000
verini indeksi proizvodnje penice verini indeksi proizvodnje kukuruza
13. DESKRIPTIVNE METODE STATISTIKE ANALIZE VREMENSKIH SERIJA
Svrha primjene deskriptivnih metoda jest realizacija prvog cilja u analizi vremenskih serija deskripcije vremenske serije. Uporabom ovih metoda dobije se prva informacija o prirodi vremenske serije i o tome da li ju je potrebno transformirati prije pristupanja realizaciji drugog cilja analize vremenske serije objanjenju kretanja vremenske serije. Postoje brojne metode koje se mogu koristiti u ovoj fazi. Uobiajeno je da se grupiraju kako slijedi:
Grafiki prikazi vremenske serije
Sumarni pokazatelji
Metode transformacije vremenske serije i
Metode izglaivanja vremenske serije. Sumarni pokazatelji Cilj primjene sumarnih pokazatelja jest sagledavanje empirijske raspodjele dane vremenske serije. Ovo je relevantno da bi se ustanovilo da li se empirijska raspodjela moe dobro
aproksimirati normalnom distribucijom. Ukoliko normalna distribucija ne predstavlja dovoljno dobar okvir za danu empirijsku raspodjelu, tada je potrebno utvrditi zato dolazi
do odstupanja od normalnosti. Neke od metoda istraivanja sumarnih pokazatelja su:
Histogram,
Koeficijent asimetrije i spljotenosti i
Jarque-Bera test statistika. Histogram predstavlja grafiki prikaz uestalosti pojavljivanja podataka vremenske serije u pojedinim grupnim intervalima.
Koeficijenti asimetrije i koeficijenti spljotenosti predstavljaju neke od parametara kojima se opisuje empirijska raspodjela vremenske serije. Koeficijent asimetrije, pokazuje u kojoj mjeri postoji koncentracija podataka vremenske serije oko toke koja je vea ili manja od srednje
vrijednosti. Pritom, je raspodjela simetrina ako su podaci grupirani priblino simetrino u
odnosu na srednju vrijednost. Koeficijent asimetrije jednak je nuli kod simetrinih raspodjela. Asimetriju u desno prati vrijednost koeficijenta asimetrije koja je vea od nule, dok je
koeficijent asimetrije manji od nule kod raspodjele koja je asimetrina u lijevo. Koeficijent spljotenosti ili zaobljenosti, opisuje repove empirijske raspodjele. Spljotenost se uvijek izraava u odnosu na spljotenost normalne raspodjele. Vrijednost koeficijenta
spljotenosti kod normalne raspodjele jednaka je tri. Ako je koeficijent spljotenosti vei od
tri, tada su repovi dane raspodjele tei od repova normalne raspodjele, obrnuto, ako je
vrijednost koeficijenta spljotenosti manja od tri, onda su repovi raspodjele laki od repova
normalne distribucije. Termin teki rep sugerira da se na repu empirijske raspodjele nalazi vei dio jedininih vjerojatnosti nego to je to sluaj kod repova normalne raspodjele. Jarque-Bera test statistika (JB) koristi se da bi se napravila diskriminacija izmeu sljedeih hipoteza:
( ) ( )
Metode transformacije vremenske serije Cilj metoda transformacije jest dobivanje vremenske serije sljedeih svojstava:
Vremenska serija ima empirijsku raspodjelu koja je simetrina i normalna.
Vremenska serija posjeduje stabilan nivo i varijabilnost.
Simetrinost raspodjele i stabilizacija razine vremenske serije esto se postie koritenjem
transformacije Box-Cox, koja se u veini sluajeva svodi na logaritmiranje originalnih vrijednosti. U cilju stabiliziranja razine vremenske serije koristi se operator prve diferencije, ime se dobije vremenska serija sa stabilnom razinom. Metode izglaivanja vremenske serije Metode izglaivanja polaze od tradicionalnog shvaanja da se vremenska serija moe
predstaviti kao suma dugorone komponente i kratkoronih varijacija. Pri tome, dugorona
komponenta odraava osnovni tijek serije, dok kratkorone varijacije oznaavaju sluajne
fluktuacije. Smisao primjene ovih metoda jest izdvajanje dugorone tendencije u kretanju
vremenske serije, to se postie eliminiranjem sluajnih varijacija. Ovaj pristup sadri
izvjesnu dozu proizvoljnosti zato to je izuzetno teko napraviti jasnu razliku izmeu osnovnog tijeka i sporadinih varijacija. Najee koritene metode izglaivanja su:
Regresijske metode i
Metode pominih prosjeka
Metode eksponencijalnog izglaivanja i
Hodrick-Prescottov filter (HP filter/trend)
14. ODABRANI MODELI VREMENSKIH NIZOVA
Metoda dekompozicije polazi od pretpostavke da pojava slijedi jedan isti obrazac ponaanja
tijekom vremena. Nakon definiranja osnovnih komponenti vremenske serije pristupa se njihovoj procjeni. Modelima trenda statistiki se opisuje dugorona kovarijacija pojave s
vremenom. Ako se pretpostavi da serija ne sadri periodine komponente, model trenda u
opem obliku je
aditivni model
multiplikativni model
gdje je ( ).
U navedenim izrazima je pojava predoena vremenskom serijom, T komponenta trenda predoena nepoznatom funkcijom vremena ( ), a su nepoznata sluajna odstupanja od trenda s obiljejima sluajnih varijabli. Pretpostavi li se da se parametri u modelima trenda ne mijenjaju s vremenom, rije je o globalnom, odnosno deterministikom modelu trenda. Lokalnom modelu trenda svojstvena je promjenjivost parametara. U sklopu analize vremenskih serija uvodi se i specifian model
trenda koji se naziva stohastikim trendom.
14.1. MODELI TRENDA
U praksi je relativno esta upotreba linearnog trenda, eksponencijalnog trenda te nekih
asimptotskih modela. Njihova se analiza provodi metodama regresijske analize.
Model trend polinoma K-tog stupnja je oblika:
(20)
a model eksponencijalnog trenda:
(21)
odnosno:
(
)
(22)
Exp oznaava bazu prirodnog logaritma. Eksponencijalni modeli trenda lineariziraju se logaritamskom transformacijom radi pojednostavljenja numerike analize. Oblici modela
trenda iz navedenih skupina i skupine asimptotskih modela koji se relativno esto
primjenjuju dani su sljedeoj tablici.
Tablica 1: Oblici modela trenda
NAZIV MODELA OBLIK TRENDA
Model linearnog trenda (model trend polinoma prvog stupnja)
Parabolini trend drugog stupnja
Eksponencijalni trend (jednostavni)
Eksponencijalni trend- sloeni, logaritamska parabola
Modificirani eksponencijalni trend
Gompertzov trend
Logistiki trend
U navedenim izrazima su vrijednosti vremenske serije, je varijabla vrijeme koja odgovorno poprima vrijednosti prvih n prirodnih brojeva ( ) , su vrijednosti sluajne varijable e, a , , 1 su parametri. Izbor tipa modela zavisi o danom sluaju primjene. Izbor trenda proizlazi iz kvalitativne analize, grafikog prikaza serije,
analize prvih ili viih diferencija originalnih ili logaritamskih vrijednosti serije te statistiko-analitikih postupaka. Numerika analiza modela obuhvaa procjenu nepoznatih
parametara, odreivanje pokazatelja reprezentativnosti i ispitivanje kvalitete modela.
Pretpostavi li se da e trend biti postojan i u prognostikom horizontu, model s procijenjenim parametrima moe se iskoristiti u prognostike svrhe. Kadto trend komponentu valja ukloniti kako bi se mogao primijeniti odgovarajui model.
Trend komponenta uobiajeno se otklanja pomou diferencija serije, diferencija vrijednosti logaritama ili drugih prikladno transformiranih vrijednosti serije. Moe se pokazati da se
prvim diferencijama odstranjuje linearni trend, drugim diferencijama trend polinom drugog
stupnja, odnosno openito k-tim diferencijama eliminira se trend polinom k-tog stupnja. Diferencijama logaritama eliminira se eksponencijalni trend. Uklanjanje trend komponente provodi se i tako da se od vrijednosti vremenske serije oduzmu vrijednosti trenda izraunate
na temelju modela trenda s procijenjenim parametrima. U tom je sluaju izvedena serija jednaka seriji rezidualnih odstupanja.
14.2. ODABIR TIPA FUNKCIJE TRENDA
Analizi trenda prethodi utvrivanje oblika funkcije vremena. Prvi korak u analizi
deterministikog trenda jest ispitati da li vremenska serija uope posjeduje izraeni trend.
Nakon, toga, ako trend postoji, ispituje se koja se funkcija trenda najbolje prilagoava
empirijskim podacima. Izbor funkcije trenda podrazumijeva odabir linearne, paraboline,
eksponencijalne ili neke druge nelinearne funkcije koja najbolje odgovara vremenskoj seriji. Postoji vie metoda kojima se vri ispitivanje odabira funkcije trenda:
1. Grafiko prikazivanje, 2. Metoda diferencija, 3. Srednja kvadratna pogreka, te 4. Metoda pominih prosjeka.
15. METODE IZGLAIVANJA VREMENSKE SERIJE
Metode izglaivanja omoguavaju analizu osnovne tendencija vremenske serije, ali imaju i
iroku primjenu u prognoziranju buduih vrijednosti vremenske serije. Dvije
najjednostavnije metode izglaivanja vremenske serije jesu metoda pominih prosjeka i metoda eksponencijalnog izglaivanja.
15.1. METODA POMINIH PROSJEKA
Metoda pominih prosjeka spada meu metode izglaivanja koje omoguavaju analizu osnovne tendencija vremenske serije, ali imaju i iroku primjenu u prognoziranju buduih
vrijednosti same serije. Tom se metodom sluajna odstupanja u podacima ublaavaju
njihovim svoenjem na prosjek, s ciljem da se na tako izglaenim podacima prepozna
pravilno ponaanje na temelju kojeg se moe izvesti prognoza. To se postie tako da se tone
vrijednosti iz vremenskog niza zamjenjuju prosjekom te vrijednosti i nekoliko susjednih vrijednosti. Serija pominih prosjeka je zapravo serija aritmetikih sredina. Ova je metoda
korisna ukoliko se moe pretpostaviti da e potranja na tritu ostati stabilna tijekom
vremena, te se koristi kada je trend komponenta mala ili je uope nema.
Pomini prosjeci su aritmetike sredine M uzastopnih vrijednosti lanova vremenske serije
(M
Razlikuju se:
Jednostavni pomini prosjeci od
Vaganih pominih prosjeka JEDNOSTAVNI POMINI PROSJECI
Jednostavni pomini prosjeci jednostavne su aritmetike sredine M uzastopnih vrijednosti lanova vremenske serije. Ako je broj lanova pominog prosjeka neparan, to jest M=2m+1, raunaju se pomou izraza:
(23)
U navedenom izrazu su vrijednosti pominih prosjeka, a vrijednosti lanova serije.
Vrijednost prosjeka pridruuje se razdoblju sredinjeg lana pominog prosjeka. Kada je broj lanova pominog prosjeka M paran broj, to jest M=2m, provodi se postupak centriranja. Centrirani prosjeci raunaju se u obliku dvostrukih pominih prosjeka, to jest odreivanjem
jednostavnih pominih prosjeka od prethodnih pominih prosjeka od po dva lana. Formula
je za izravno raunanje centriranih prosjeka:
[
( )
] (24)
Za prvih m i posljednjih m razdoblja ne mogu se izraunati vrijednosti pominih prosjeka. S obzirom na to da su jednostavni pomini prosjeci nevagane aritmetike sredine, svaka
vrijednost serije ima jednak ponder.
Metoda pominih prosjeka je prognostika metoda koja koristi srednju vrijednost podataka za n najsvjeijih vremenskih razdoblja da bi se prognozirala potranja za naredno vremensko razdoblje. Jednostavni pomini prosjeci najee se primjenjuju kod odstranjivanja sezonskih
i ciklikih komponenti iz strukture vremenskog niza, ili u sluaju da se pojava razvija
priblino po linearnom trendu. U suprotnom pomini e prosjeci (izglaivanjem) sistematski
precjenjivati ili podcjenjivati prisutni trend u vremenskom nizu. U takvoj se situaciji umjesto jednostavnih koriste vagani pomini prosjeci. VAGANI POMINI PROSJECI
Kada je u vremenskoj seriji prisutan trend ili neka druga zakonitost, koriste se teinski
faktori, ponderi, tako da se jai naglasak stavi na svjeije podatke, a stariji se podaci smatraju
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
1 5 9 131721252933374145495357616569737781858993
broj turista
pomini prosjeci m=3
pomini prosjeci m=6
pomini prosjeci m=12
manje vanima. Vagani pomini prosjeci jesu vagane aritmetike sredine M uzastopnih
vrijednosti lanova serije, to jest:
(25)
U vaganom pominom prosjeku znaaj jednog lana niza odreen je njegovim ponderom.
Ponderi su obino unaprijed poznati i tabelirani. Oni su simetrini u odnosu na sredinji, a
njihov je zbroj jednak nuli. Ponderi odreuju se na razliite naine. Uobiajena je primjena modela lokalnog trenda, odnosno pominog regresijskog modela. Postupak se sastoji u tome da se najprije odredi jednadba trend polinoma odreenog stupnja na temelju prvih
M=2m+1 vrijednosti lanova serije. Pomou te jednadbe izrauna se vrijednost trenda za (m+1) toku ili se, to je isto, odredi vrijednost trenda za sredinje razdoblje od M razdoblja. Slijedi odreivanje trend polinoma istog stupnja za sljedeu skupinu od M uzastopnih
lanova (bez prvog lana niza, a s ukljuenim M+1 lanom) te raunanje vrijednosti trenda sredinjeg razdoblja. Postupak se nastavlja sve do posljednje skupine od M=2m+1 lana. Vrijednosti trenda ekvivalentno se odreuju u obliku linearne kombinacije koeficijenata i
odgovarajuih vrijednosti lanova serije. Koeficijenti ili, to je isto, ponderi izvode se iz
normalnih jednadbi lokalnih polinom trenda. Postojani su i tabelirani za dano M i K (stupanj polinoma). Za koeficijente kojima se ponderiraju vrijednosti serije uzimaju se katkada binomni koeficijenti, ili su to vrijednosti prvih M prirodnih brojeva, pri emu je
najvei ponder za M-tu vrijednost serije i sl. Nad pominim prosjecima provode se razliite operacije. Primjerice, raunaju se viestruki
prosjeci (prosjeci prosjeka), pomini se prosjeci zbrajaju i raunaju njihovi prosjeci itd. Postoje pomini prosjeci specifinih svojstava. Takvi su Hendersonovi i Spencerovi pomini prosjeci. Rije je o pominim prosjecima sa simetrinim ponderima kojima se aproksimira
polinom trenda drugoga i treega stupnja. Osim u brojanom opisivanju tendencije razvoja, uporaba pominih prosjeka vana je u postupcima analize sezonskih (ciklikih) pojava. Pominim prosjecima izraava se
komponenta trenda. Ako je broj lanova jednostavnog pominog prosjeka jednak periodu
obnavljanja ili viekratniku tog perioda, niz pominih prosjeka nee biti periodian. Tom operacijom u cijelosti se odstranjuje periodina komponenta.
Osim u brojanom opisivanju tendencije razvoja, uporaba pominih prosjeka vana je u
postupcima analize sezonskih (ciklikih) pojava. Pominim prosjecima izraava se
komponenta trenda. Ako je broj lanova jednostavnog pominog prosjeka jednak periodu obnavljanja ili viekratniku tog perioda, niz pominih prosjeka nee biti periodian. Tom
operacijom u cijelosti se odstranjuje periodina komponenta. I jednostavni i vagani pomini prosjeci efektivni su u izglaivanju iznenadnih fluktuacija u
dijagramu potranje kako bi se jamile stabilne prognoze. Ipak kod pominih prosjeka
postoje tri problema:
Poveanje veliine n (broj uprosjeenih razdoblja) bolje izglauje fluktuacije, no ini metodu manje osjetljivom na realne promjene podataka
Pomini prosjeci dovoljno dobro ne osjeaju trend. Naime budui se radi o prosjecima,
uvijek ostaju unutar prolih razina i ne predviaju promjene u pravcu viih ili niih
razina, stoga zaostaju za stvarnim vrijednostima.
Zahtijevaju znaaju koliinu povijesnih podataka.
15.2. METODA EKSPONENCIJALNOG IZGLAIVANJA
Metoda eksponencijalnog izglaivanja srodna je metodi pominih prosjeka. Radi se o metodi
koja koristi trenutane i prole vrijednosti vremenskoga niza za predvianje njegovih
buduih vrijednosti. Vrijednosti serije izglauju se ponderiranjem lanova niza nejednakim ponderima. Izglaena vrijednost tekueg razdoblja t vagana je sredina vrijednosti prethodnih razdoblja. Eksponencijalno izglaivanje moe biti:
Jednostavno ili
Viestruko. S obzirom na komponente koje sadri vremenska serija primijenjuju se razliite metode
eksponencijalnog izglaivanja. Sljedea tablica prikazuje odabir metode eksponencijalnog
izglaivanja s obzirom na komponente vremenske serije. Tablica 2: Modeli eksponencijalnog izglaivanja
Jednostavno eksponencijalno izglaivanje (SingleExponentialSmoothing, SES)
Stacionarni vremenski niz (prisutna samo iregularna komponenta)
Dvostruko eksponencijalno izglaivanje
(DoubleExponentialSmoothing, DES) Prisutna trend komponenta
Trostruko eksponencijalno izglaivanje (TripleExponentialSmoothing, TES) Holt-Wintersovi aditivni i multiplikativni modeli
Prisutne trend i sezonska komponenta
Jednostavno eksponencijalno izglaivanje koristi se za prognozirane buduih razina pojave
kod stacionarnih vremenskih nizova, dvostruko eksponencijalno izglaivanje primjereno je kod vremenskih nizova s izraenom trend komponentom. Trostruko eksponencijalno
izglaivanje moe se koristiti kod vremenskih nizova koji pokazuju trend, ali i sezonsku
komponentu. Ako vremenska serija sadri trend, izglaene vrijednosti dobivene jednostavnim eksponencijalnim izglaivanjem sistematski e precjenjivati ili podcjenjivati
razinu pojave. Zbog toga se u sluaju prisutnosti trenda rabi model dvostrukog, trostrukog
odnosno viestrukog eksponencijalnog izglaivanja. Vie je takvih modela. Meu njima je,
primjerice, Brownov model dvostrukog, trostrukog, itd. izglaivanja, Holt-Wintersov model itd. JEDNOSTAVNO EKSPONENCIJALNO IZGLAIVANJE
Postupak jednostavnog eksponencijalnog izglaivanja svodi se na izraunavanje vagane
sredine sadanjih i ranijih vrijednosti, pri emu vrijednost tekueg razdoblja ima najvei
ponder. Vrijednosti pondera proteklih razdoblja smanjuju se eksponencijalno. Opi izraz za
izraunavanje izglaenih vrijednosti je:
( )
(26) gdje je vrijednost serije razdoblja t,
eksponencijalno izglaena vrijednost razdoblja t, je konstanta izglaivanja, . Uzastopnom supstitucijom navedeni izraz postaje:
( ) ( ) ( )
( ) , (27)
Budui da je konstanta izglaivanja broj izmeu nule i jedan, vidljivo je da se ponderi
vrijednosti lanova serije eksponencijalno smanjuju. U postupku je potrebno odrediti
konstantu izglaivanja i izglaenu vrijednost nultog razdoblja (inicijalne vrijednosti). Konstanta izglaivanja obino se odreuje iterativnim postupkom (vrijednosti se mijenjaju u
koracima 0,1, 0,01 i sl., a za svaku se vrijednost izrauna veliina pogreke-srednje apsolutno odstupanje ili drugi pokazatelj). Odgovarajua je veliina konstante izglaivanja ona za koju
je prosjena pogreka najmanja. Za izglaenu vrijednost nultog razdoblja esto se uzima da
je ta vrijednost jednaka prvoj vrijednosti serije.
Model eksponencijalnog izglaivanja predstavlja model zaborava prolosti. Ponderi ine
eksponencijalno opadajui niz, na nain da kronoloki posljednja vrijednost u nizu ima
najvei ponder u formiranju prognostike vrijednosti. to je vrijednost niza udaljenija od vremena za koje se prognozira, to je njen utjecaj na prognostiku vrijednost manji. Prognostike vrijednosti za jedno razdoblje nakon tekuega (jedno razdoblje unaprijed),
unutar vremenske serije utvruju se izrazom:
( ) (28)
gdje je = konstanta izglaivanja
= prognostika vrijednost za prvo razdoblje, inicijalna prognostika vrijednost
(najee je jednaka prvoj stvarnoj vrijednosti ili aritmetikoj sredini vremenske serije)
Model jednostavnog eksponencijalnog izglaivanje koristi se za prognozu pojava bez
sistemskih komponenti (vremenske serije u kojima je prisutna samo iregularna komponenta). Ako vremenski niz sadri trend, izglaene vrijednosti dobivene jednostavnih eksponencijalnim izglaivanjem sustavno e precjenjivati ili podcjenjivati razinu pojave.
Stoga se, u sluaju prisutnosti trenda upotrebljava model dvostrukoga, trostrukoga odnosno
viestrukoga eksponencijalnoga izglaivanja. Meu takve modele ubrajaju se Brownov model dvostrukoga, trostrukoga eksponencijalnog izglaivanja, Holt-Wintersov model i drugi. HOLT-WINTERSOV MODEL EKSPONENCIJALNOGA IZGLAIVANJA Holt-wintersov model eksponencijalnog izglaivanja za pojave s trendom ima slijedei oblik:
( )(
) (
) ( )
0
(29)
gdje je
= stvarna razina pojave u vremenu t
= izglaena vrijednost = procjena utjecaja trenda
i = konstante izglaivanja
Da bi se proveo postupak izglaivanja, potrebno je utvrditi inicijalne vrijednosti za razinu
pojave i efekta trenda te konstante izglaivanja.
Od modela analize sezonskih pojava koristi se Holt-Wintersov model izglaivanja za sezonske pojave. Model moe biti aditivni, multiplikativni i mjeoviti. Pretpostavi li se da
vremenski niz sadri trend, sezonsku i sluajnu komponentu i da je prikladan
multiplikativni model, tada analiza pojave poiva na trima jednandbama: prvom
jednadbom izglauje se razina pojave, drugom trend komponenta, a treom sezonska
komponenta. Te su jednadbe:
( )( )
(
) ( )
( )
( ) ( )
0
(30)
gdje je
= stvarna razina pojave u vremenu t
= izglaena vrijednost = procjena utjecaja trenda
, = konstante izglaivanja L = 4 ili 12 i predouje sezonski period
( ) = sezonski faktor Da bi se proveo postupak izglaivanja, potrebno je utvrditi inicijalne vrijednosti za razinu
pojave i efekta trenda te konstante izglaivanja. Taj se izbor provodi na razliite naine.
Primjerice, za razinu pojave nultog razdoblja uzima se konstantni lan u jednadbi linearnog
trenda, a za efekt trenda toga razdoblja koeficijent uz varijablu vrijeme. Inicijalne se vrijednosti kadto odreuju i ovako: izglaena vrijednost drugoga razdoblja jednaka je
vrijednosti drugog lana serije, to jest . Za procjenu poetne vrijednosti efekta trenda
uzima se diferencija druge i prve vrijednosti niza, odnosno . Konstante izglaivanja odreuju se od sluaja do sluaja,pri emu se polazi od razliitih
kriterija, kao to je, primjerice, srednje apsolutno odstupanja stvarnih od izglaenih
vrijednosti. Odabire se za konstantu za koju je to odstupanje najmanje.
Od modela analize sezonskih pojava rabi se i Holt-Wintersov model izglaivanja za sezonske pojave. Model moe biti aditivni, multiplikativni i mjeoviti. Poe li se od pretpostavke da serija sadrava trend sezonsku i sluajnu komponentu i da je prikladan multiplikativni
model, tada analiza pojave poiva na trima jednadbama: prvom jednadbom izglauje se
razina pojave, drugom jednadbom trend komponenta, a treom sezonska komponenta. Te
jednadbe su sljedee:
( )(
),
(
) ( ) ,
( )
( )
( ) .
(31)
U navedenim su jednadbama konstante izglaivanja. To su vrijednosti izmeu 0 i 1. L je 4 ili 12 i predouje sezonski period.
je izglaena srednja razina pojave. su
vrijednosti trenda. ( )
je sezonski faktor.
Prvo razdoblje s izglaenom vrijednosti srednje razine pojave jest ( ) i ona je
( ( ) ( ) ) ( ) ( )
Inicijalne vrijednosti za faktor trenda i sezonski faktor i ovdje se odreuju na razliite naine,
primjerice:
( )
( ) ( )
[ ( ) ( )
( ) ( )
]
Pri primjeni metoda eksponencijalnog izglaivanja potrebno je donijeti razliite odluke koje
se ne oslanjaju samo na poznavanje opih svojstava metoda ve i svojstava serije. Na odluku
o broju lanova pominog prosjeka (M) i njegovu obliku utjee priroda pojave koju serija
predouje. Meutim, ne postoje egzaktni kriteriji koji omoguuju izbor tih veliina. Broj
lanova pominog prosjeka ovisi o stupnju varijabilnosti i o namjeni prosjeka. S poveanjem stupnja varijabilnosti potrebno je, u naelu, poveati i broj lanova prosjeka. Odstranjuje li se
periodina komponenta, broj lanova pominog prosjeka jednak je periodu obnavljanja
pojave. Iskoristi li se izglaena serija u drugim postupcima, primjerice u regresijskog analizi, trena imati na umu da serija pominih prosjeka moe oitovati osobitosti koje nisu svojstvene
izvornoj seriji (periodinost, autokorelacija). Stanovitu potekou ini i nedostatka vrijednosti
pominih prosjeka na poetku i na kraju serije. Kada je rije o modelima eksponencijalnog izglaivanja, valja istaknuti problem izbora
konstanti izglaivanja i odgovarajuih inicijalnih vrijednosti u postupku. Metode izbora
konstanti i inicijalnih vrijednosti nisu jedinstvene, a o njima ovise rezultati izglaivanja. Primjenom razliitih algoritama, kadto se dobivaju rezultati koje se znatno razlikuju.
Metode pominih prosjeka eksponencijalnog izglaivanja primjenjuju se na modificirani
nain u prognostike svrhe.
15.3. METODE ANALIZE SEZONSKIH POJAVA
Sezonske su periodine pojave one koje se obnavljaju na isti ili priblino isti nain s
periodom od jedne godine. Temelj su numerike analize modeli koji polaze od
dekompozicije serije na trend-ciklinu, sezonsku i iregularnu komponentu. Kako je ve navedeno, u analizi se uobiajeno polazi od aditivnog modela, multiplikativnog modela i
njegova lineariziranog (logaritamskog) oblika ili od pseudoaditivnog modela. U opem su
obliku ti modeli:
(1) , (2) , (3) ( ).
U navedenim izrazima Y predouje vrijednosti vremenske serije, T trend-ciklus komponentu, , vrijednosti iregularne (sluajne) komponente. Uz komponentu trenda (trend-ciklus) i iregularnu komponentu u model se kadto uvodi i komponenta koja izraava varijacije istih vremenskih jedinica (mjeseci,kvartali) te raspored nacionalnih praznika. Dva su temeljna pristupa analizi sezonskih pojava. Prvi se pristup sastoji u ralanjivanju
sezonske pojave na komponente pomou pominih prosjeka (filtriranje, ad hoc pristup) i u osnovi ima obiljeja neparametarske statistike. Drugi se pristup oslanja na modele u kojima
se analitiki izraavaju komponente serije (trend, sezonska, iregularna), odnosno definira
model stohastikog procesa koji generira seriju. Postoji vie metoda analize sezonskih pojava u sklopu navedenih pristupa. Relativno je
jednostavna metoda odnosa prema pominim prosjecima, zatim regresijski model sa sezonskim indikator-varijablama. Posebno je rairena CENSUS metoda i njene varijante, primjerice X-12-
ARIMA, koju rabi vei broj dravnih zavoda za statistiku, te TRAMO/SEATS, STAMP i druge. Svrha je analize sezonskih pojava izmjeriti sezonski utjecaj i veliine drugih prisutnih
komponenti te analitiki (modelom) izraziti njihov razvoj. Postupci desezoniranja pruaju vane informacije za prosudbu gospodarskih kretanja, odnosno za voenje poslovne i
gospodarske politike. S obzirom na to da razliite metode analize sezonskih pojava esto
daju razliite rezultate, nuno je poznavati temelje svake od njih i osobitosti analiziranih pojava kako bi se prosudila kvaliteta dobivenih statistikih pokazatelja. Metoda odnosa prema pominim prosjecima uobiajeno polazi od multiplikativnog modela . U navedenom izrazu T je vrijednost trenda, je sezonski faktor, a faktor
rezidualnih odstupanja. Prvi se korak u analizi navedenog modela metodom odnosa prema pominom prosjeku
sastoji u procjeni trend komponente vrijednostima pominih prosjeka . Za kvartalne
podatke, odreuju se vrijednosti etverolanih centriranih pominih prosjeka. U drugom koraku izraunavaju se prve procjene sezonskih faktora. One su dane omjerima
odgovarajuih vrijednosti serije i pripadajuih pominih prosjeka, to jest .
Procjene sezonskih faktora istih mjeseci (kvartala) variraju. Da bi se dobio sezonski faktor (konstanta) za svaki mjesec ili kvartal valja odrediti prosjenu vrijednost prvih procjena sezonskih faktora istih mjeseci (kvartala). Za prosjek se uzima medijan, modificirana aritmetika sredina (iskljuuju se najmanja i najvea vrijednost) ili jednostavna aritmetika
sredina. Zbroj sezonskih faktora mora biti jednak 4 odnosno 12. U protivnome, navedene prosjeke istoimenih kvartala (mjeseci) valja korigirati, to jest njihov zbroj svesti na 4 odnosno 12. Trei se korak sastoji u izraunavanju vrijednosti oienih od sezonskih utjecaja. Taj se
postupak provodi dijeljenjem vrijednosti serije sa sezonskim faktorima, odnosno . etvrti korak u analizi odnosi se na izraunavanje rezidualnih faktora. Oni se odreuju tako
da se desezonirane vrijednosti pojave podijele s pominim prosjecima kao procjenama trenda, to jest
. Rezidualni faktori pomnoeni sa sto nazivaju se indeksima rezidualnih odstupanja. Metoda X-12-ARIMA ubraja se meu filtarske metode. Odreivanje vrijednosti komponenti i desezoniranje (ostvarivanje sezonskog utjecaja na razinu pojave) u sklopu te metode temelji se na vremenskoj seriji koja sadri najmanje tri ciklusa, odnosno 12 kvartalnih i 36 mjesenih
vrijednosti. Analiza se provodi na temelju aditivnog, multiplikativnog ili pseudoaditivnog modela. Postupak desezoniranja gospodarskih serija najee polazi od multiplikativnog modela.
Sam se postupak provodi koracima i sadri vrlo velik broj razliitih brojanih operacija te
konstrukciju grafikog prikaza. Opisni koraci su u nastavku. U prvom koraku se utvruju inicijalne procjene komponenti, u drugom se one revidiraju
odnosno poboljavaju. U treem se koraku daju konane procjene komponenti i
mnogobrojnih statistiko-analitikih pokazatelja kakvoe rezultata. Inicijalna procjena trenda predouje se centriranim pominim prosjecima po 4 lana (za
kvartalne serije) ili 12 lanova (za mjesene serije). U nizu pominih prosjeka nedostaju
vrijednosti na njegovu poetku (za dva prva, odnosno prvih est razdoblja) i na kraju niza (za posljednja dva, odnosno posljednjih est razdoblja). Omjer originalnih vrijednosti i
procjene trenda predouju inicijalnu (zajedniku) procjenu sezonske i iregularne
komponente. Da bi se dobila prva procjena sezonske komponente, za navedene omjere odreuju se vagani pomini prosjeci, a preliminarna procjena sezonske komponente slijedi korekcijom prve
procjene tako da zbroj vrijednosti te komponente iznosi 4 ili 12 za multiplikativni model, a 0
za aditivni. Dijeljenjem originalnih vrijednosti serije s preliminarnim procjenama vrijednosti sezonske komponente dobivaju se preliminarne desezonirane vrijednosti pojave. Slijede postupci revidiranja preliminarnih procjena radi poboljanja njihovih svojstava.
Poboljanje procjene trenda postie se Hendersonovim pominim prosjecima po 9, 13 ili 23 lana preliminarnih desezoniranih vrijednosti serije. Broj lanova prosjeka zavisi o stupnju
varijabilnosti serije. Dijeljenjem vrijednosti originalne serije s navedenim pominim prosjecima dobiva se druga procjena sezonske i iregularne komponente. Slijedi procjena vrijednosti koje nedostaju na poetku i na kraju serije odgovarajuim (asimetrinim) pominim prosjecima. Konana
procjena sezonske komponente dobiva se primjenom odgovarajuih pominih prosjeka i njihovom korekcijom tako da im je zbroj jednak 4, odnosno 12 ili 0 u aditivnom modelu. Dobivenim vrijednostima utvruju se desezonirane vrijednosti. Konana procjena trend
komponente slijedi iz primjene Hendersonovih pominih prosjeka od 9, 13 ili 23 lana na
desezoniranim serijom, koja je prethodno modificirana za ekstremne vrijednosti. Konana
procjena iregularne komponente dobije se tako da se vrijednosti trend komponente podijele s vrijednostima desezonirane serije. Metoda X-12-ARIMA je iterativna metoda, a ukljuuje primjenu mnogobrojnih statistiko-analitikih pokazatelja i postupaka (prosjeci, standardne devijacije, modifikacije zbog pojave
atipinih-ekstremnih vrijednosti, testiranje hipoteza o znaajnosti sezonske komponente, procjene efekata varijacija kalendara pomou regresijske analize i dr.). metoda je programski podrana. Cjelokupni izlaz obrade sastoji se od tabelarno prikazanih rezultata i grafikih
prikaza. Za razliku od X-12-ARIMA metode desezoniranja, koja se ubraja meu filtarske metode, metode analize sezonskih pojava TRAMO/SEATS, STAMP temelje se na modelima vremenskih serija u vremenskoj domeni.
ZADACI ZA VJEBU
1. a) Dane su vremenske serije ( je varijabla vrijeme, a vrijednosti su nizova u stupcima)
xt Niz 1. Niz 2. Niz 3. Niz 4. Niz 5.
1 25 29 31 105,0000 99,75000
2 30 31 47 110,2500 89,79931
3 35 31 85 115,7625 72,95925
4 40 29 157 121,5506 53,49767
5 45 25 275 127,6282 35,40272
6 50 19 451 134,0096 21,14392
7 55 11 697 140,7100 11,39677
8 60 1 1025 147,7455 5,54402
Napiite analitiki oblik funkcija kojima se generiraju podaci. Za serije u tablici odredite sljedee
vrijednosti (1) (2) (3) (4) (5)
to zakljuujete? 2. Stanovnitvo SAD-a (u milijunima, stanje sredinom godine)
Godina 1989. 1990. 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997.
Stanovnitvo
247 250 253 255 258 261 263 266 268
(a) Prikaite navedeni niz linijskim grafikonom. to zakljuujete na temelju grafa o trendu broja stanovnika?
(b) Analizirajte model linearnog trenda tako da odredite trend vrijednosti i rezidualna odstupanja. Kolika je standardna devijacija, koeficijent varijacije trenda i standardne pogreke procjena? Liniju trenda ucrtajte u grafikon. Protumaite znaenje procjena
parametara i drugih izraunatih veliina. (c) Testirajte hipotezu o pozitivnoj autokorelaciji pogreaka relacije. Primijenite Durbin-
Wattsononv test. Razina signifikantnosti 5%. DW=2,281
3. Godinji prihod tvrtke XX u milijunima kuna
Godina 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002.
Prihod 22 19 20 23 25 26 30 39
a) Navedeni niz prikaite linijskim grafikonom. to se na temelju grafikog prikaza moe zakljuiti o obliku trenda?
b) Odredite jednadbu trenda i druge uobiajene veliine. Testirajte hipotezu o znaajnosti kvadratnog lana u modelu. Razina signifikantnosti 5%.
c) Dobiveni trend polinom prikaite na linijskom grafikonu. (c)
4. Prodaja svjeeg mlijeka (u 000 litara) u lancu trgovina XC.
Godina
1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001 2002.
Prodaja
199 250 313 403 525 678 900 1153 1428 1825
a) Navedeni niz prikaite linijskim grafikonom. b) Izaberite prikladni model trenda i analizirajte ga.
5. Proizvodnja maslinovog ulja u RH (u 000 hl)
Godina
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Proiz 23,7 5,8 30,6 27,0 13,1 25,1 54,5 22,9 15,7 31,7 52,8 23,5
vodnja
a) Izraunajte (1) trogodinje pomine prosjeke, (2) etverogodinje pomine prosjeke, (3) petogodinje pomine prosjeke.
b) Usporedite originalnu seriju i serije izraunatih pominih prosjeke ja jednom grafikonu. to zakljuujete?
6. Kamatne stope poslovnih banaka na kratkorone devizne kredite 2001. godine
Mjesec VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII,
Kamatna stopa (%)
5,27 6,22 5,36 6,07 5,25 5,25 5,78
Izraunajte izglaene vrijednosti serije. Primijenite postupak jednostavnog eksponencijalnog izglaivanja. Konstanta izglaivanje je 0,3.
7. a) Primijenite postupak izglaivanja Holt-Wintersovim dvoparametarskim modelom za
pojave s linearnim trendom polazei od ovih podataka:
Godina, kvartal
2001, I. II. III. IV. 2002, I. II. III. IV.
Prodaja (u 000)
95 111 129 133 147 155 174 171
Konstante su izglaivanja: = 0,3, =0,4. Izraunajte izglaene vrijednosti primijenivi postupak
jednostavnog eksponencijalnog izglaivanja. Konstanta izglaivanja jednaka je 0,3. Za izglaenu vrijednost nultog razdoblja uzmite vrijednosti prvog lana serije. b) Prikaite na istom grafikonu originalnu seriju te serije izglaenih vrijednosti.
8. Vrijednosti prodaje tvrtke XX po godinama i kvartalima (u 000 )
Godina I. kvartal II. kvartal III. kvartal IV. kvartal
1998 2758 1151 250 887
1999 3140 1449 211 452
2000 3665 1290 389 596
2001 3611 1321 371 645
2002 3902 1151 302 693
a) Analizirajte navedenu seriju polazei od multiplikativnog modela. Trend i ciklinu komponentu uzmite kao jednu. Primijenite postupak odnosa prema pominom prosjeku.
Interpretirajte pomine prosjeke, sezonske i iregularne faktore. b) Niz iz tablice, pomine prosjeke i desezoniranu seriju prikaite na istom grafikonu.
32
RJEENJA ZADATAKA
1. a) Sve su navedene vremenske serije deterministike.
(1) PRVA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y
Equation
Model Summary Parameter Estimates
R Square F df1 df2 Sig. Constant b1
Linear 1,000 . 1 6 . 20,000 5,000
Logarithmic ,919 67,974 1 6 ,000 20,375 16,691
Exponential ,985 383,433 1 6 ,000 23,483 ,123
Model koji generira niz je:
Slika 1.: Prikaz prve vremenske serije i modela koji seriju generira
(2) DRUGA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: yy
Equation Model Summary Parameter Estimates
R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 b2
Linear ,800 24,000 1 6 ,003 40,000 -4,000
Quadratic 1,000
5742936909539640,00
2 5 ,000 25,000 5,000 -1,000
y = 5x + 20
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5 6 7 8
33
0
Growth ,570 7,939 1 6 ,030 4,397 -,362
Model koji generira niz je:
Slika 2.: Prikaz druge vremenske serije i modela koji seriju generira
(3) TREA VREMENSKA SERIJA
Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y3
Equation
Model Summary Parameter Estimates
R Square F df1 df2 Sig.
Constant b1 b2 b3
Linear ,870 40,200 1 6 ,001 -266,000 136,000
Logarithmic
,646 10,928 1 6 ,016 -194,749 407,935
Quadratic
,997 936,869 2 5 ,000 124,000 -98,000 26,000
Cubic 1,000
10671458238996350,000
3 4 ,000 25,000 5,000 -1,000 2,000
Compound
,995 1302,93
4 1 6 ,000 18,474 1,679
Growth ,995 1302,93 1 6 ,000 2,916 ,518
y = -x2 + 5x + 25
0
5
10
15
20
25
30
35
1 2 3 4 5 6 7 8
34
4
Exponential
,995 1302,93
4 1 6 ,000 18,474 ,518
Model koji generira niz je:
Slika 3.: Prikaz tree vremenske serije i modela koji seriju generira
(4) ETVRTA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y4
Equation
Model Summary Parameter Estimates
R Square F df1 df2 Sig.
Constant b1 b2 b3
Linear ,998
2523,967
1 6 ,000 97,885 6,099
Logarithmic
,892 49,656 1 6 ,000 98,706 20,086
Quadratic
1,000 1130471
,790 2 5 ,000 100,115 4,762 ,149
Cubic 1,000
1299886433,089
3 4 ,000 99,995 4,886 ,116 ,002
Compou 1,000 1590160 1 6 ,000 100,000 1,050
y = 2x3 - x2 + 5x + 25
0
200
400
600
800
1000
1200
1 2 3 4 5 6 7 8
35
nd 522810,629
Growth 1,000
1590160522810,
629 1 6 ,000 4,605 ,049
Exponential 1,000
1590160522810,
629 1 6 ,000 100,000 ,049
Model koji generira niz je:
(5) PETA VREMENSKA SERIJA
Rije je eksponencijalnom polinomu drugog stupanja. Vrijednosti varijable x su prirodni brojevi.
Model koji generira niz je:
Diferencije polinoma prvog stupnja, polinoma drugog i treeg stupnja navedene su u pomonoj tablici.
Pomona tablica
xt Niz 1. Niz 2. Niz 3.
( ) ( )
( )
1 25 * 29 * * 31 * * *
2 30 5 31 2 * 47 16 * *
3 35 5 31 0 -2 85 38 22 *
4 40 5 29 -2 -2 157 72 34 12
5 45 5 25 -4 -2 275 118 46 12
6 50 5 19 -6 -2 451 176 58 12
36
7 55 5 11 -8 -2 697 246 70 12
8 60 5 1 -10 -2 1025 328 82 12
Iz tablice je vidljivo da su prve diferencije polinoma prvog stupnja konstantne. Prve diferencije polinoma drugog stupanja zavise o varijabli vrijeme (varijabilne su), a druge su diferencije konstante. Tree su diferencije polinoma treeg stupanja konstante. Moe se pokazati da su K-te diferencije polinoma K-tog stupnja konstantne, a (K+1) su jednake nuli. etvrti niz ine vrijednosti eksponencijalne funkcije, odnosno eksponencijalnog polinoma prvog stupnja, a peti vrijednosti eksponencijalnog polinoma drugog stupnja. Vrijednosti polinoma , njihove logaritamske vrijednosti te verini indeksi vrijednosti i verini indeksi verinih indeksa, diferencije logaritamskih vrijednosti dani su u sljedeoj pomonoj tablici.
Pomona tablica x
t Niz 4. Niz 5.
( ) 1 105,000
0 * 2,02118
9 * 99,7500
0 * * 1,9989
1 * *
2 110,2500
105
2,042379
0,02119
89,79931
90,02 *
1,95327 -0,04564 *
3 115,7625
105
2,063568
0,02119
72,95925
81,25 90,25
1,86308 -0,09019 -0,04455
4 121,5506
105
2,084757
0,02119
53,49767
73,33 90,25
1,72833 -0,13475 -0,04455
5 127,6282
105
2,105947
0,02119
35,40272
66,18 90,25
1,54904 -0,17930 -0,04455
6 134,0096
105
2,127136
0,02119
21,14392
59,72 90,25
1,32519 -0,22385 -0,04455
7 140,7100
105
2,148325
0,02119
11,39677
53,90 90,25
1,05678 -0,26840 -0,04455
8 147,7455
105
2,169514
0,02119
5,54402 48,65 90,25
0,74382 -0,31296 -0,04455
Verini indeksi 4. niza, koji predouje vrijednosti eksponencijalnog polinoma prvog stupanja, konstantni.
Konstantne su i prve diferencije logaritamskih vrijednosti toga niza. Peti niz se odnosi na eksponencijalni polinom drugog stupanja. Iz tablice je vidljivo da su verini indeksi verinih indeksa toga niza konstantni.
Takoer su konstantne druge diferencije logaritamskih vrijednosti toga niza. Na temelju navedenih rezultata moe se zakljuiti da diferencije serije, diferencije njihovih logaritama ili drugih prikladno transformiranih vrijednosti lanova serije mogu posluiti kao pomono sredstvo pri
izboru trenda. Pri tome valja imati na umu da empirijske vremenske serije nisu deterministike, jer na
razvoj pojave u vremenu utjeu sluajne varijacije, odnosno model razvoja razine pojave osim deterministike funkcije vremena sadri i sluajnu varijablu.
2. a)
Slika 4.: Prikaz vremenske serije stanovnitva SAD-a, stanje sredinom godine
245
250
255
260
265
270
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
stan
ovn
itv
o, u
mili
juim
a
Stanovnitvo
37
Grafiki prikaz pokazuje da postoji priblina linearna kovarijacija broja stanovnika s vremenom. To
potvruju i prve diferencije serije (pomona tablica), koje su istoga predznaka i ne variraju na izrazito
razliitim vrijednostima, pa se moe iskoristiti model linearnog trenda.
Godina Stanovnitvo (u milijunima) Varijabla vrijeme Prve diferencije
1989 247 1 *
1990 250 2 3
1991 253 3 3
1992 255 4 2
1993 258 5 3
1994 261 6 3
1995 263 7 2
1996 266 8 3
1997 268 9 2
2321 45
b) Model linearnog trenda identian je modelu jednostavne linearne regresije u kojem je vrijeme
nezavisna varijabla. Oblika je . Model linearnog trenda s procijenjenim
parametrima glasi . Procjene parametara, standardne pogreke procjena i drugi rezultati dani su u sljedeoj tablici.
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R 0,999013
R Square 0,998028
Adjusted R Square 0,997746
Standard Error 0,342725
Observations 9
ANOVA
df SS MS F Significance F
Regression 1 416,0667 416,0667 3542,189 9,92E-11
Residual 7 0,822222 0,11746
Total 8 416,8889
Coefficients Standard
Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%
Lower 95,0%
Upper 95,0%
Intercept 244,7222 0,248984 982,884 2,98E-19 244,1335 245,311 244,1335 245,311
X Variable 1 2,633333 0,044246 59,51629 9,92E-11 2,528709 2,737958 2,528709 2,737958
RESIDUAL OUTPUT
Observation Predicted Y Residuals
1 247,3556 -0,35556
2 249,9889 0,011111
3 252,6222 0,377778
4 255,2556 -0,25556
5 257,8889 0,111111
6 260,5222 0,477778
7 263,1556 -0,15556
8 265,7889 0,211111
9 268,4222 -0,42222
Durbin-Watson 2,281
Model linearnog trenda s procijenjenim parametrima i oznakama glasi:
38
( )
Uz jednadbu trenda s procijenjenim parametrima navode se uobiajene oznake (vrijeme za poetnu
vrijednost varijable x, jedinica mjere vremena, jedinica mjere vrijednosti lanova niza). Jednadbom trenda s procijenjenim parametrima metodom najmanjih kvadrata opisuje se razvoj pojave u vremenu
u smislu prosjeka. Koeficijent (isto to i regresijski koeficijent u modelu linearne regresije) pokazuje prosjenu linearnu promjenu razine pojave za jedinini porast vrijednosti varijable vrijeme. U primjeru
koeficijent pokazuje da se broj stanovnika poveao u prosjeku linearno 2,6 milijuna godinje. Konstantni lan iznosi 244,7 i predstavlja vrijednost trenda broja stanovnika za godinu koja prethodi prvoj godini u nizu, to jest za godinu 1988.
Slika 5.: Prikaz linearnog trenda i vremenske serije stanovnitva SAD-a, stanje sredinom godine
Pomou jednadbe linearnog trenda s procijenjenim parametrima i vrijednosti varijable vrijeme
izraunavaju se vrijednosti trenda. Vrijednosti trenda procjene su razine pojave prema trendu i isto su
to i regresijske vrijednosti. Rezidualna odstupanja su razlike vrijednosti vremenskog niza i vrijednosti trenda te upuuju na disperziju oko trenda kao srednje vrijednosti. Vrijednosti trenda i rezidualna odstupanja dani su u pomonoj tablici. Rezidualna odstupanja podloga su za izraunavanje varijance, odnosno standardne devijacije trenda, kojom