Click here to load reader

RAČUNALNA GRAFIKA 2-kolokvij

  • View
    83

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of RAČUNALNA GRAFIKA 2-kolokvij

RAUNALNA GRAFIKA 2. KOLOKVIJGEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE 2D TransformacijeTranslacija

Translatiramo sve toke neke duine translatiranjem samo njenih rubnih toaka i iscrtavanjem ravne crte meu njima. Isto vrijedi i za skaliranje i rotaciju Skaliranje: Toke mogu biti skalirane za vrijednost sx po x osi i sy po y osi, a nove koordinate toaka raunaju se iz umnoka.

Toke mogu biti skalirane za vrijednost sx po x osi i sy po y osi, a nove koordinate toaka raunaju se iz umnoka. S - matrica skaliranjaDiferencijalno skaliranje (sx sy) Uniformno skaliranje (sx = sy) Rotacija Rotacija toaka oko ishodita za kut moe se matematiki definirati kao: R - matrica rotacije

Pozitivna orijentacija kuta rotacije je obrnuta od smjera rotacije kazaljki na satu

Homogene koordinate i matrini zapis 2D transformacija Matrini zapis translacije, skaliranja i rotacije su respektivnotranslacija - zbrajanje matrica rotacija i skaliranje - mnoenje matrica >Problem pri kombiniranju razliitih transformacija>Predstavljanje toaka homogenim koordinatama omoguava predstavljanje sve tri transformacije kao mnoenje > Umjesto predstavljanja para brojeva (x,y), svaku toku predstavljamo s ureenom trojkom (x,y,W) > Dva skupa homogenih koordinata (x,y,W) i (x',y',W') predstavljaju istu toku ako i samo ako je x' = tx; y' = ty i W' = tW gdje je t konstanta proporcionalnosti Na primjer:(2,3,6) i (4,6,12) predstavljaju istu toku predstavljenu razliitim ureenim trojkama Bar jedna od homogenih koordinata mora biti razliita od nule: (0,0,0) nije dozvoljeno (x,y,W) predstavlja istu toku kao i (x/W,y/W,1) - x/W i y/W nazivamo Kartezijeve koordinate homogenih toaka

Translacijska matrica 3x3 za homogene koordinate ima oblik

Jednadbe skaliranja dane izrazom mogu se napisati u matrinoj formi na sljedei nain:

Rotacijska jednadba moe se napisati kao

Navedene transformacije su afine transformacije Proizvoljna sekvenca takvih transformacija (rotacije, translacije i skaliranja) sauvat e paralelnost linija. ali ne duljinu i kutove Rotacija i neuniformno skaliranje jedininog kvadrata. Rezultat je afina transformacija jedininog kvadrata sauvana je paralelnost stranica, ali ne kutovi niti duljineTransformacija smika- afina> dvije vrste transformacija smika: smik po x osi i smik po y osi Osnovne transformacije smika primijenjene na jedinini kvadrat. U oba su sluaja, nakon transformacije, duljine stranica koje su bile okomite na smjer smika, vee od jedan.Definirajmo matricu smika po x-u Dx kao:

Smik po y osi:

Smik po x i y osi:

Kompozicija 2D transformacijaPrimjer uzmimo rotaciju nekog objekta oko proizvoljne toke P1. Matrica rotacije vri rotaciju s obzirom na ishodite, pa stoga problem rjeavamo u tri koraka:1.Translatiramo objekt tako da se toka P1 preslika u ishodite 2. Rotiramo objekt 3.Translatiramo objekt tako da se toka ishodita preslika u toku P1Slian pristup rjeavanju sloene transformacije koristimo kada elimo skalirati neki objekt s obzirom na proizvoljnu toku P1 . U prvom koraku vrimo translaciju tako da se toka P1 preslika u ishodite, zatim skaliramo, a potom translatiramo natrag u P1

Ukup

Ukupna transformacijaTransformacija prozor otvorU raunalnoj grafici sliku moemo definirati kao skup projekcija objekata iz prostora nekog svijeta koji moe biti stvaran ili virtualan. Dimenzije i poloaj slike se mogu slobodno odabrati. Nuno je obaviti transformaciju scene iz svijeta (odnosno koordinatnog sustava svijeta) u koordinatni sustav prikaznog ureaja.Taj proces moe se odvijati u vie koraka i ti koraci se na razliit nain se definiraju u okviru razliitih grafikih standarda. Izvorna scena smjetena u koordinatnom sustavu svijeta, a konana slika u koordinatnom sustavu prikaznog ureaja.Prozor (window): Izdvojeni dio koordinatnog sustava svijeta koji sadri scenu koju se eli prikazati Otvor (viewport): Izdvojeni dio koordinatnog sustava prikaznog ureaja koji sadri sliku odabrane scene U okviru prikazne transformacije aplikacijski program izvodi transformaciju prozora u otvor uz moguu nejednoliku promjenu faktora proporcionalnosti. Postupak transformacije koordinata sadri sljedee elementarne transformacije: translacija prozora u ishodite (T1), promjena faktora proporcionalnosti (S), translacija otvora u eljeni poloaj (T2). Izlazni primitivi koji opisuju obris kue prvo su nacrtani s otvorom 1, otvor se promijenio u otvor 2, a potom je aplikacijski program ponovno pozvao grafiki paket da nacrta izlazne primitivi. Koraci transformacije koordinata svijeta u otvor . Matricom sloene transformacije koja se dobije kao umnoak elementarnih transformacijskih matrica:

Mnogi grafiki paketi kombiniraju transformaciju prozor otvor s odrezivanjem izlaznih primitiva prozorom.Izlazni primitivi u koordinatama svijeta odrezani su prozorom. Oni koji su preostali prikazani su u otvoru.Matrini prikaz 3D transformacijaUmjesto prikazivanja toke u prostoru s 3 koordinate (x,y,z), koristimo zapis (x,y,z,W) gdje dvije ureene etvorke predstavljaju istu toku ako je jedna sastavljena od viekratnika prve (razliitih od nula). Ureena etvorka (0,0,0,0) nije dozvoljena. Uobiajeni zapis toke (x,y,z,W) uz je (x/W,y/W,z/W,1). Ovaj nain zapisa - homogeni zapis. 3D koordinatni sustav koji emo koristiti je definiran pravilom desne ruke Translacija u 3D je jednostavno proirenje one iz 2D:

Skaliranje

Provjera: Izraz za 2D rotaciju je zapravo 3D rotacija oko osi z, dakle

Stupci ( i redci) lijevih gornjih 3x3 submatrica navedenih matrica rotacije su meusobno okomiti jedinini vektori Determinante tih submatrica imaju determinantu = 1 to znai da su ortogonalne te uvaju kutove i duljine.

2.prezentacijaMatrini prikaz 3D transformacijaUmjesto prikazivanja toke u prostoru s 3 koordinate (x,y,z), koristimo zapis (x,y,z,W) gdje dvije ureene etvorke predstavljaju istu toku ako je jedna sastavljena od viekratnika prve (razliitih od nula). Ureena etvorka (0,0,0,0) nije dozvoljena. Uobiajeni zapis toke (x,y,z,W) uz je (x/W,y/W,z/W,1). Ovaj nain zapisa - homogeni zapis. 3D koordinatni sustav koji emo koristiti je definiran pravilom desne ruke.Izraz za 2D rotaciju je zapravo 3D rotacija oko osi z, dakle

Matrica rotacije oko osi x Matrica rotacije oko osi y

3D transformacije smika po z osi moemo napisati na sljedei nain ili u matrinom obliku

Transformacije smika po x i y osi imaju slian oblik Kompozicija 3D transformacijaPotrebno je translatirati toku P1 u ishodite tako da segment P1P2 lei na pozitivnoj z osi, a segment P1P3 lei na pozitivnoj polovici y osi ravnine (y,z). Duljine segmenata ostaju nepromijenjene nakon transformacije. Rjeenje:1. Translacija toke P1 u ishodite 2. Rotacija oko osi y tako da P1P2 lei u ravnini (y,z) 3. Rotacija oko osi x tako da P1P2 lei na osi z 4. Rotacija oko osi z tako da P1P3 lei u ravnini (y,z)

1. Translacija toke P1 u ishodite: Napiimo matricu translacije

Primjenom matrice T na toke P1, P2 i P3 dobijemo:

2. Rotacija oko osi y Projekciju duine P1'P2' koja ima duljinu D1 rotiramo u os z. Kut pokazuje pozitivni smjer rotacije oko osi y. Kut koji zapravo koristimo je - (90 - ) .

3. Rotacija oko osi x P1''P2'' rotiramo na os z za pozitivan kut . D2 je duljina segmenta. Segment P1''P3'' nije prikazan jer se ne koristi za odreivanje kutova rotacije. Obje linije se rotiraju za Rx().

4. Rotacija oko osi zProjekcija segmenta P1'P3', duljine D3, rotira se za pozitivan kut na os y, na taj nain dovodei segment u ravninu (y,z). D3 je duljina projekcije.

Ukupna matrica transformacije: Ukupna matrica transformacije: Rotacija pomou Eulerovih kutovaNain prikaza openite rotacije pomou rotacija oko 3 osi.Rotacija se definira: R=Rz(r) x Rx(p) x Ry(h)gdje su h skretanje (engl. head); p poniranje (engl. pitch); r valjanje (engl. roll)Rotacije se vre u lokalnom koordinatnom sustavu Intuitivno Problemi: Blokada kardana (engl. gimbal lock) Mogue nepredvidljivosti prilikom interpolacija.Rotacija pomou quaternionaRjeavaju probleme koji se pojavljuju kod rotacije Eulerovim kutovima. Quaternioni su 4-dimenzionalni vektori. Predstavljaju proirenje kompleksnih brojeva s 3 imaginarne komponente. Neintuitivni teko je predoiti rotaciju na temelju quaterniona.

OBJEKTI U 3D PROSTORUU 2D svijetu, postupak prikazivanja obuhvaa:1. odreivanje prozora iz tog svijeta2. njegovo prikazivanje u otvoru (viewport) na nekoj 2D povrini koju promatramo (npr. ekranu). Konceptualno, objekti iz svijeta odrezuju se nekim prozorom i potom transformiraju u neki otvor za prikaz. Prikaz 3D objekata je sloeniji (nego prikaz 2D objekata) zbog:- dodatne dimenzije- ogranienosti prikaznih ureaja na dvije dimenzije.3D ProjekcijeProjekcije transformiraju tj. preslikavaju koordinate toaka objekata iz prostora vieg reda u koordinate toaka u prostoru nieg reda. Primjer takvog sluaja: prikaz scene definirane u 3D prostoru na dvodimenzionalnom prikaznom ureaju kao to je zaslon raunala. Promatramo preslikavanje 3D objekata u 2D te na podruje ravninskih geometrijskih projekcija. Projekcije: ravninske neravninske* negeometrijske* *Projekcija na zakrivljenu povrinu odnosno uz uporabu zakrivljenih projekcijskih zraka (npr. mnoge kartografske projekcije). Projekcije:Ravninske geometrijske projekcije se u naelu odvijaju na sljedei nain:1. projekcijske zrake (ili projektori) izlaze iz projekcijskog sredita (COP center of projection)2. projekcijske zrake prolaze kroz sve toke objekta i presijecaju projekcijsku ravninu (projection plane) tvorei u njoj oblik projekcije.

Ravninske geometrijske projekcije: perspektivne projekcije paralelne projekcije Temeljna razlika je u odnosu projekcijskog sredita i projekcijske ravnine. Paralelne projekcije: udaljenost projekcijskog sredita i projekcijske ravnine je beskonana Perspektivne pr

Search related