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Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 20112012
45. Calcular, mediante coordenadas cartesianas, las siguientes integrales:
siendo , , 1, 0
Observando el dibujo, lo más cómodo es parametrizar el recinto de la siguiente forma
Así nuestra integral resulta
1 212
18
38
012
0 1
Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 20112012
Este valor coincide además con el área del recinto (puedes calcularla con las fórmulas básicas de
cálculo de áreas de figuras regulares, pues el recinto está formado por un triángulo y un rectángulo);
pero esto ya lo sabíamos, porque una el área de un recinto es precisamente
siendo , /0 , 1, 0 Como el recinto es el mismo, parametrizamos de igual forma la integral (sólo cambia el integrando)
Realizamos primero la integral indefinida respecto de la variable calculando una primitiva
2
Así nuestra integral resulta
21
2
12 1
12 2 8 5 12
12 8
12 5
1 2 12
112 15
113840
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siendo , / 16, , 6 , 0, 1
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En esta ocasión hemos dividido el recinto en dos como se ve en el dibujo para tomar con referencia fija
la variable , quedando la variable acotada entre dos funciones de . Así resultan integrales que se
pueden resolver. Si hubiésemos invertido los papeles de las variables (la entre valores fijos y la
variable acotada entre funciones de , necesitamos 3 recintos diferentes y las integrales resultantes
tienen un poco más de dificultad, pero también salen)
Así los recintos parametrizados son:
Así nuestra integral queda:
12
12
12
6 12
16
12 12
36 12
256
12 2 12 36 ln| |
414
2564
12
272 36ln 2
34
14 16 64 3 15 18 ln 2
1 26
2 4
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siendo , /1 2, 0 ,
La parametrización del recinto puede ser
Por tanto esta integral se puede resolver
√ √
2 2√
1 20 √
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2√ 1
212
12 4
3 22
34
Donde la primitiva de la última integral se ha calculado por partes haciendo (puede comprobarlo el
alumno)
2 1 siendo , / 1, , 1
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Observando de nuevo el dibujo tenemos una parametrización fácil del recinto
Así nuestra integral quedaría
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
34
12 1
1 1
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siendo , / 0, 1 1, 2 1
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los recintos parametrizados son:
2 2
12 3 4
12 2
12 3 3 2
12 3
(Termine el alumno las operaciones y así practica)
1
0 1 2
2
0 1 1
