Problemas Sobre Integrales Dobles

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  • 8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles

    1/17

    UNI- FIE E MATEMTICAI II

    PRCTICA DIRIGIDA3Integrales dobles

    1. Determine

    [xy]dxdy , = {(x, y) | 1 x 2 , 0 y 2}

    [xy]dxdy=2

    0

    21

    xydxdy

    =

    20

    ydy2

    1

    xdx= y2

    2

    2

    0

    x2

    2

    2

    1=3

    y= 2

    y= 0

    x= 1 x= 2

    y

    x

    2. Evale

    (|x| +y) dxdy , = {(x, y) | 1 x 2 , 0 y 2}

    (

    |x

    |+y) dxdy=

    2

    0

    2

    0

    (x+y)dx+0

    1

    (

    x+y)dx dy

    =

    20

    x2

    2 +yx

    2

    0+

    x

    2

    2 +yx

    0

    1

    dy

    =

    20

    3y+

    52

    dy=

    3y2

    2 +

    5y2

    2

    0=11

    y

    x

    y=2

    y=0

    x=-1 x= 2

    1 2z=y-x z=x+y

    3. Calcular

    (|x|+

    |yx|)dx

    dy

    , ={

    (x

    ,y

    )|

    1x

    2 , 0 y

    2}

    (|x| + |y x|) dxdy=2

    0

    2y

    (2x y)dxdy+2

    0

    2x

    (y)dydx+2

    0

    01

    (y 2x)dxdy

    =

    20

    (x2 xy)2y

    dy+2

    0

    y2

    2

    2

    x

    dx+2

    0

    (xy x2)01

    =

    20

    (4 2y)dy+2

    0

    2 x

    2

    2

    dx+

    20

    (y+1)dy

    = (4yy2)2

    0+ 2y

    x 3

    6 2

    0+

    y2

    2 +y

    2

    0=

    323

    CICLO 2011-3 1 Luighi A. Vitn Zorrilla

  • 8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles

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    UNI- FIE E MATEMTICAI II

    4. Calcular

    xy2 +y

    dxdy , = {(x, y) | 1 xy 2 , 0 x y 2}

    xy

    2+y

    dxdy=

    2

    1

    x

    1x

    xy

    2+y

    dydx+

    2+1

    2

    2x

    1x

    xy

    2+y

    dydx+

    3+1

    2+1

    2x

    x2xy

    2+y

    dydx

    =

    2

    1

    xy3

    3 +

    y2

    2

    x

    1x

    dx+

    2+1

    2

    xy3

    3 +

    y2

    2

    2x

    1x

    dx+

    3+1

    2+1

    xy3

    3 +

    y2

    2

    2x

    x2dx

    =

    2

    1

    x4

    3 +

    x2

    2 +

    56x2

    dx+

    2+1

    2

    236x2

    dx

    +

    3+1

    2+1

    x

    4

    3 +2x3 5x2 +20x

    3 4+ 14

    3x2

    dx =0.930153

    y

    x

    y=2

    x

    y=1

    x

    y=x

    y=x2

    12

    3

    (1, 1)

    (

    2 + 1,

    21)

    (

    3 + 1,

    3 1)

    (

    2,

    2)

    5. Determinar

    x2 +xy+2y2

    dxdy , = {(x, y) | 1 x+y 2 , 0 y x 2}

    x2 +xy +2y2

    dxdy=

    12 32

    2+x1x

    x2 +xy +2y2

    dydx+

    0 12

    2+xx

    x2 +xy +2y2

    dydx+

    10

    2xx

    x2 +xy +2y2

    dydx

    =

    12 32

    x2y+

    x y2

    2 +

    2y3

    3

    2+x

    1xdx+

    0 12

    x2y+

    xy2

    2 +

    2y3

    3

    2+x

    x

    dx+1

    0

    x2y+

    x y2

    2 +

    2y3

    3

    2x

    x

    dx

    =

    12 32

    10x3

    3 +10x2 +

    23x2

    +6

    dx+0

    12

    8x2 +10x+

    163

    dx+

    10

    10x

    3

    3 +4x2 6x+16

    3

    dx=

    234

    CICLO 2011-3 2 Luighi A. Vitn Zorrilla

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    UNI- FIE E MATEMTICAI II

    y

    x

    y =1 x

    y = 2 x

    y = 2 + x

    y = x

    12

    3

    6. Calcular

    x2 +xy+2y2

    dxdy , =

    (x, y) | y 1 x2 , 0 y x

    x2 +xy +2y2

    dxdy=

    512

    512

    1x2x

    x2 +xy +2y2

    dydx

    =

    512

    51

    2

    x2y+ x2

    y2 +2

    3

    y31x2

    x

    dx

    =

    512

    512

    23

    +x

    2 x2 19

    6 x3 +x4 +

    x5

    22

    3x6

    dx=2.728535

    y

    x

    y=x

    y=1x2

    512

    512

    CICLO 2011-3 3 Luighi A. Vitn Zorrilla

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    UNI- FIE E MATEMTICAI II

    7. Determine

    (x+y+ |x y|) dxdy , = (x, y) |x2 + |y| 1

    (x+y+ |x y|) dxdy=

    152

    1

    1x2x21

    2ydydx+

    512

    152

    1x2x

    2ydydx+

    512

    152

    xx21

    2xdydx+

    1

    512

    1x2x21

    2xdydx

    152

    1

    1x2x21

    2ydydx=

    152

    1y2

    1x2x21

    dx =

    152

    1(0)dx=0

    512

    152

    1x2x

    2ydydx=

    512

    152

    y21x2x

    dx =

    512

    152

    (1 3x2 +x4)dx= 0.8

    512

    152

    xx21

    2xdydx=

    512

    152

    2xy|xx21dx=

    512

    152

    (2x+2x2 2x3)dx= 0.314757

    1

    512

    1x2x21

    2xdydx=1

    512

    2xy|1x2x21dx=1

    512

    (4x 4x3)dx =0.381966

    (x+y+ |x y|) dxdy=1.496723

    y

    x

    y=x2 1

    y=1x2

    y=x

    21

    3

    4

    z=2y

    z=2x

    15

    2

    512

    8. Determine

    ex2y2 dxdy , =

    (x, y) |x [0, 1] , y R+0

    Analicemos los lmites de la regin : 0 x 1 yy 0.Cuando se efecta la transformacin a coordenadas polares:

    0 r cos 1 0 r sec

    CICLO 2011-3 4 Luighi A. Vitn Zorrilla

  • 8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles

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    UNI- FIE E MATEMTICAI II

    ex2y2 dxdy=

    er2rdrd=

    2

    0

    sec 0

    er2rdrd

    =

    20

    12er

    2sec 0

    d=

    20

    12

    e sec

    2 1

    d

    = 12

    2

    0

    e sec2 d+

    14

    y

    xx = 1( 0 , 0 )

    9. Encontrar

    (|x+y| + |x y|) dxdy , = {(x, y) | |x| + |y| 2}

    10

    2yy

    2xdxdy=1

    0

    x2

    2yy

    dy=1

    0

    (4 4y)dy=2

    10

    2xx

    2ydydx=1

    0

    y22xx

    dx =1

    0

    (4 4x)dx=2

    01

    x+2x

    2ydydx=0

    1y2

    x+2x dx=0

    1(4x+4)dx= 2

    10

    yy2

    2xdxdy=1

    0

    x2yy2

    dy=1

    0

    (4 4y)dy=2

    01

    yy2

    2xdxdy=0

    1x2

    yy2 dy=0

    1(4y+4)dy=2

    01

    x2x

    2ydydx=0

    1y2x2x dx =

    01

    (4x+4)dx =2

    10

    xx2

    2ydydx=1

    0

    y2xx2

    dx=1

    0

    (4 4x)dx =2

    01

    y+2y

    2xdxdy=0

    1x2

    yy+2dy= 01

    (4y+4)dy=2

    (|x+y| + |x y|) dxdy=16

    y

    x

    y =xy =x

    y=x + 2

    y=x2

    y=2 x

    y=x2

    3 2

    14

    5

    6 7

    8

    z=2y

    z=2x

    z=2y

    z=2y

    z=2x

    10. Determine

    1

    (x2 +y2 +1)2dxdy , =

    (x,y) |x [0, 1] , y R+0

    1(x2 +y2 +1)2

    dxdy=

    0

    10

    1(x2 +y2 +1)2

    dxdy

    =

    0

    x

    2(y2 +1)(x2 +y2 +1)+

    1

    2y2 +1

    3 arctan xy2 +1

    1

    0

    dy

    =

    0

    1

    2(y2 +1)2 +

    1

    2y2 +1

    arctan 1y2 +1

    3

    dy

    = l mb

    y

    4(y2 +1)+

    y

    2y2 +1

    arctan 1y2 +1

    +

    2

    4 arctan

    y2

    b

    0

    =

    8

    2

    11. Determine

    |x+y||x y| dxdy , = {(x,y) | |x+4| + |y+4| 1}

    CICLO 2011-3 5 Luighi A. Vitn Zorrilla

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    6/17

    UNI- FIE E MATEMTICAI II

    Realizamos una transformacin conveniente:

    y x = u , y+x = v x= v u2

    , y= v+u

    2

    J(u, v) =

    12

    12

    12 12 = 12 |J(u, v)| =

    1

    2

    |x+y||x y| dxdy=

    12

    vu2 +

    v+u2

    vu2 v+u2

    dvdu= 121

    1

    79

    |v||u| dvdu

    =12

    10

    79

    vu

    dvdu+12

    01

    79

    v

    udvdu

    = 12

    10

    1u

    du7

    9vdv+

    12

    01

    1u

    du7

    9vdv

    = 12

    lm

    0

    1

    1u

    du7

    9vdv+

    12

    l m

    0

    11u

    du7

    9vdv

    = 12

    l m0

    ln |u||1v2

    2

    7

    9+

    12

    l m0

    ln |u||1v2

    2

    7

    9

    = 16

    l m0

    ln

    esta integral diverge

    y=x

    y=

    x

    7y=x + 1

    y=9 xy=x1

    12

    ( 4,3)

    ( 5,4)

    ( 4,5)

    ( 3,4)

    z=x + y

    xy

    z=x + y

    yx

    12. Evale1

    0

    10

    xy

    dxdy ,

    xy

    =

    xy

    xy

    13. Encontrar el volumen encerrado por

    z= 4 (x 1)2 (y 1)21= (x 1)2 + (y 1)2z= 5

    Realizamos una adecuada transformacin:

    x 1= r cos , y 1= r sen x= r cos +1, y= r sen +1

    J(r, ) =cos r sen sen r cos

    =r |J(u, v)| =rDe esta manera el volumen que se requiere encontrar se encuentra acotada por las superficies: z = 5 yz = 4 r2 y la regin sobrela cual se levanta el slido es: 0

    r

    1.

    CICLO 2011-3 6 Luighi A. Vitn Zorrilla

  • 8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles

    7/17

    UNI- FIE E MATEMTICAI II

    La integral quedara expresada de la siguiente manera:

    20

    10

    5 (4 r2)

    rdrd=

    20

    10

    r+r3

    drd

    =20

    r2

    2 +

    r4

    4

    10

    =3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    1

    0

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    4

    5

    14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del slido al rotar la reginy =3x, y = x2 alrededor dey =4x

    15. Demuestre que

    E

    f(x,y)dxdy

    E

    |f(x, y)| dxdy

    16. Encontrar

    |(x2 +y2 +1)4

    dxdy , =

    (x, y) |x2 +y2 16

    Haciendo la transformacin a coordenadas polares laintegral queda expresada como:

    20

    4

    1(r2 +1)4

    rdrd=2 l mb