MB 148 Integrales Dobles

Integrales Dobles

Integrales Dobles

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingeniera MecanicaUniversidad Nacional de Ingeniera

Calculo Vectorial

Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 77

Integrales Dobles

CONTENIDO

Integrales DoblesIntroduccionLa integral DobleInterpretacion GraficaCalculo de Integrales DoblesPropiedadesIntegrales dobles sobre regiones generalesIntegrales sobre una region no rectangularValor medio para una funcion de dos variablesVolumenes con integrales doblesIntegrales Dobles en coordenadas polares

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INTRODUCCION

En el curso de calculo integral se planteo el problema de hallarel area comprendida entre la grafica de una funcion positivay = f (x), el eje OX y las rectas x = a, x = b. Dicha area se

reprentaba como b

af (x)dx

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Dada una funcion z = f (x, y) en D R2 tal que z > 0,(x, y) D; queremos encontrar el volumen del solido limitadopor f arriba de D, donde D es una region rectangular definida:

D = {(x, y) R2 / a x b, c y d}

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LA INTEGRAL DOBLESea f , continua en una region R del plano XY. Usando lneasparalelas a los ejes para aproximar R por medio de nrectangulos de area A. Sea (xj, yj) un punto del j-esimorectangulo, entonces la integral doble de f sobre R es:

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EjemploEstime el volumen del solido que se encuentra arriba del cuadradoR = [0, 2] [0, 2] y abajo del paraboloide elptico z = 16 x2 2y2.Divida R en cuatro cuadrados iguales y escoja el punto de muestracomo la esquina superior derecha de cada cuadrado Rij. Trace el solidoy las cajas rectangulares de aproximacion.

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SOLUCION

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El volumen exacto del volumen es 48

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INTERPRETACION GRAFICA

La integral doble de una funcion no negativa en dos variablesse interpreta como el volumen bajo la superficie z = f (x, y) ysobre la region R del plano XY.

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OBJETIVOS

1. Evaluar la integral doble usando el teorema de Fubini2. Aplicar las integrales dobles en el calculo del area de una

region plana y volumen de un solido.

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CALCULO DE INTEGRALES DOBLES

Teorema (Teorema de Fubini)Si f es integrable en el rectanguloR = {(x, y) / a x b, c y d}

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EJEMPLO

Ejemplo

Si R = {(x, y) R2 / 0 x 2, 1 y 4}Calcular:

R(6x2 + 4xy3)dA

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INTEGRAL DOBLE

Definicion (Definicion de Integral Doble)Si f esta definida en una region cerrada y acotada R del plano XY, laintegral doble de f sobre R se define como

R

f (x, y)dA = lm||||0

ni=1

f (xi, yi)xiyi

Supuesto que exista el lmite, en cuyo caso se dice que f es integrablesobre R.

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PROPIEDADES

a.

RKf (x, y)dA = K

R

f (x, y)dA

b.

R(f (x, y) g(x, y)) dA =

R

f (x, y)dA

Rg(x, y)dA

c. Si f (x, y) > 0, (x, y) R,

Rf (x, y)dA > 0

d. Si R = R1 R2, donde R1 R2 = R

f (x, y)dA =

R1f (x, y)dA +

R2

f (x, y)dA

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INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES

F(x, y) ={

f (x, y) si (x, y) esta en D0 si (x, y) esta en R pero no en D

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D

f (x, y)dA =

RF(x, y)dA

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L IMITES DE INTEGRACIONSecciones transversales verticales (Barrido Vertical)La region R esta limitada por las graficas de g1(x) y g2(x) en elintervalo [a, b]. Si R es descrita por

R : a x b, g1(x) y g2(x)

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Secciones transversales horizontales (Barrido Horizontal)La region R esta limitada por las graficas de h1 y h2 en elintervalo [c, d]. Si R es descrita por

R : c y d, h1(y) x h2(y)

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EJEMPLO

EjemploCalcular 1

0

xx2

160xy3dydx

EjemploCalcular

RxdA

donde R es la region limitada por y = 2x, y = x2 por los dos metodos(Barrido vertical y horizontal)

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EJERCICIO 1

EjercicioEvaluar 2

0

4x20

xe2y

4 ydydx

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SOLUCION

R :{

0 x 20 y 4 x2

20

4x20

xe2y

4 ydydx

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SOLUCION

Intercambiando Diferenciales

R :{

0 x 4 y0 y 4 4

0

4y0

xe2y

4 ydxdy

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SOLUCION:

40

4y0

xe2y

4 ydxdy = 4

0

x2

2e2y

4 y4y0

= 4

0

(4 y

2e2y

4 y

)dy =

40

e2y

2dy

= 14

(e8 1

)

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EJERCICIO 2

Ejercicio pi0

pix

sin yy

dydx

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SOLUCION

R :{

0 x pix y pi pi

0

pix

sin yy

dydx

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SOLUCION

Intercambiando Diferenciales

R :{

0 x y0 y pi pi

0

y0

sin yy

dxdy

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SOLUCION:

pi0

pix

sin yy

dydx = pi

0

y0

sin yy

dxdy = pi

0

sin yy

xy0

= pi

0

sin yy

ydy = pi

0sin ydy = 2

Por lo tanto: pi0

pix

sin yy

dydx = 2

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EJERCICIO

Ejercicio

Calcular

R(2x + 1)dA donde R es el triangulo que tiene por

vertices los puntos (1, 0),(0, 1) y (1, 0).

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NotaSi f (x, y) = 1, la integral doble representa el area de la region R

A =

RdA

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EjemploHallar el area de la region R limitada por las siguientes curvas

R :

y = xy = 1

xx = 2y = 0

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UN AREA REPRESENTADA POR DOS INTEGRALESITERADAS

EjemploHallar el area de la region R que se encuentra bajo la parabolay = 4x x2, sobre el eje X, y sobre la recta y = 3x + 6

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SOLUCION

Secciones Verticales

R1 :{

1 x 23x + 6 y 4x x2

R2 :{

2 x 40 y 4x x2

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SOLUCION

R = R1 R2

Area(R) = 2

1

4xx23x+6

dydx + 4

2

4xx20

dydx

Area(R) = 152

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CALCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOSLIMITES DE INTEGRACION

Algunas integrales iteradas pueden ser calculadas de las dosformas, pero tenga mucho cuidado cuando invierte el orden delas integrales.

Ejemplo e1

ln x0

xydydx

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EJERCICIO

EjercicioInvierta el orden de integracion para

20

4x20

f (x, y)dydx

EjercicioInvierta el orden de integracion para 4

2

16/xx

f (x, y)dydx

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VALOR MEDIO PARA UNA FUNCION DE DOSVARIABLES

DefinicionSea f una funcion continua en las variables x e y. El Valor Medio de fen una region R esta dado por:

Valor Medio =

R

f (x, y)dAR

dA

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Ejemplo

Encuentre el valor medio de la funcion f (x, y) = x

1 + y3 sob