CALCULO VECTORIAL integrales dobles

8/16/2019 CALCULO VECTORIAL integrales dobles

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INTEGRALES DOBLES

Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área oel centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x),inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es deconsiderar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de unafunción F(x, y) de dos variables x e y . Las aplicaciones físicas resultan inmediatamenteeligiendo expresiones particulares para F(x, y); esto es,

F(x, y)= 1, o

F(x, y)= y,

Cuando se trate de calcular el área,

O el momento del área respecto al eje x.

La notación

"A" F(x, y) dA (1)

Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estasrectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,

A=xy=yx (2)

algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras,finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que estánde A y podemos tomar o no en consideraciones aquellas que se hayan parcialmentedentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos encierto orden


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A1, A2…….An

sea (xk, yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

Si la función F (x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno soncontinuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0 ), el límite

Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de queF(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2cuya altura es el punto (x, y) está dado en

z= F(x, y)

El término

F (xk, yk) Ak

Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene porbase Ak. La suma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen totaldel sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.


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donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área planaconsiderada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvasde contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación (7) coincidecon

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región delplano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales

(8)

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1,cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y , y después respecto a x ; esdecir

(9)

Es constante, si el área está limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por

la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Espreferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y despuésrespecto a y ; es decir como

(10)

Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hastala curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es


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APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES

Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy , unelemento dm de masa será

dm= (x, y) dydx= (x, y)=dA (11)

en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabeutilizar una integral doble para calcular

a) la masa

M="" (x, y) dA; (12)

b) el primer momento de la masa respecto al eje x

Mx="" y (x, y) dA (13a)

c) su primer momento respecto al eje y ,

My="" x(x, y) dA (13b)

de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos deinercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando loscuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

(14)

y el momento de inercia respecto al eje y es

(15)

Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por

(16)


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(18)

Es el momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de losvalores mk de las masas y de sus distancias rk.

Así, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuación de un eje z trazadopor el punto 0 perpendicular al plano xy .

Observación 2 .- Los momentos son también importantes en estadística. El primermomento se utiliza en el cálculo de la media (es decir, valor promedio) de un conjunto dedatos. El segundo momento (que corresponde al momento de inercia) se usa en el cálculode varianza ( ²) o de la desviación típica ( ).

Los momentos tercero y cuarto también se Emplean en relación con ciertas magnitudesestadísticas denominadas torcimiento o sesgo y curtosis y el momento de t-ésimo sedefine por

En esta expresión; rk recorre todos los valores de la variable estadistica en consideraciónpor ejemplo: rk puede representar altura en centímetro o peso en decagramos, etc.Mientras que mk Es el número de individuos de todo el grupo cuya “medida” es igual a rk .Una tabla de valores mk en función de rk constituye una “distribución de frecuencias”, dela Mt es el t -ésimo momento. La medida r se define por

(21)

donde M1 es el primer momento, y m="mk, el número total de individuos de la “población”considerada. La varianza 2 depende del segundo momento respecto a la media, y sedefine por

(22a)

Donde es la llamada desviación típica. Tanto la varianza como la desviación típicamiden la forma en que los valores de r tienden a agruparse en torno a r (pequeños valoresde ) o a diseminarse (grandes valores de ). Mediante transformaciones algebraicas en(22ª), la varianza se puede escribir también así


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(22b)

Hay una diferencia esencial entre el significado atribuido a y en el caso de la fórmula

(23)

que expresa el área en la figura 5 bajo la curva y=f(x) desde x=a a x=b , y el que se le daen las integrales dobles de las ecuaciones 12 a 13. En 23 se debe remplazar y por f(x) deducido de la ecuación de la curva, antes de integrar, puesto que y significa la ordenadadel punto (x, y) sobre la curva y=f(x). Pero en el caso de las integrales dobles 12 a 13 nohay que reemplazar por una función de x antes de integrar, porque el punto (x, y) es, engeneral, un punto del elemento dA=dydx y x e y son variables independientes. Las

ecuaciones de las curvas que constituyen la frontera la región A intervienen solo en loslímites de integración. Así:

1.- En el caso de integrales simples tales como

(24)

no se integra respecto a y , sino que se sustituye y por su valor en función de x antes derealizar la integración.

2.- En el caso de integrales dobles, tales como

(25)

hay que integrar respecto a y; por consiguiente no se debe sustituir y antes de efectuar laintegración. Las ecuaciones y=f1(x) e y=f2(x) de las curva de contorno de A se utilizanpara los límites de integración y solo se deberán sustituir después de efectuar laintegración.


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COORDENADAS POLARES

Consideremos la región A determinada por las semirrectas = , = y las curvas r=f1(), r=f2(), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector

R: 0 " r " a, " "

Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr ytrazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos desubregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A.Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto alas del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna.

Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N , eligiendoen cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definidasobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y sesuman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma

(26)

(27)

según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior, rk-½r; por consiguiente


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que después de efectuar operaciones se reduce a 27.

Imaginemos reiterado este proceso con retículos cada vez más tupidos, y consideremosel límite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la

función F es continua y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, lassumas tienen como límite la integral doble de F extendida a A:

(28)

Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:

(29)

Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas paraescribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares. La respuesta esafirmativa en términos generales.

X=f(u, v), y=g(u, v) (30)

Se puede interpretar como la representación de una región A del plano xy mediante otraregión G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f y g , lasiguiente ecuación constituye la fórmula para el pase de las coordenadas xy a las

coordenadas uv en una integral doble:

(31)

donde el símbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano que se define por el siguientedeterminante

En el caso de coordenadas polares se tiene:

x=r cos , y=r sen


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Por consiguiente, la ecuación 31 se adopta la forma:

““( x, y) dx dy = " " (cos + sen ) r dr d (32)

que corresponde a la 29

El área total de una región esta dad por una cualquiera de las dos integrales dobles

A=" " dx dy= " " r dr d (33)

con límites apropiados. Esto, esencialmente significa que la región dada se puede dividiren porciones de área

DAxy= dx dy (34)

Mediante rectas paralelas a los ejes x e y o que también puede dividirse en porciones deáreas

DAr =r dr d (35)

Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el área totalesobtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero obsérvese

que las áreas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En efecto, mediante uncálculo elemental que se ve que

DAxy=dx dy= d(r cos )d(r sen ) " r dr d = dAr


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INTEGRALES TRIPLES

Definición

Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de

Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral

triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el

volumen.

Propiedades.

Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.

1. Toda función continua es integrable

2. Linealidad, monotonía y aditividad

3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede

hallar por integración reiterada.

Integrales triples sobre regiones más generales

Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes

tipos de regiones:

Tipo I: (paralelepípedo con

paredes frontal y posterior rectas).

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepípedos con paredes

izquierda y derecha planas).

Las regiones del tipo III son aquellas en las que e (paralelepípedos con fondo y

tapa planas).

Sus integrales triples se resuelven de manera análoga.

Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como

regiones de los tipos I, II o III.

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una región acotada de entonces

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/funpro/funpro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos11/funpro/funpro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


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Cambio de variables en integrales triples

Es parecido al cambio de variables en integrales dobles.

A dxdydz se le llama elemento de volumen. Representa el volumen de un paralelepípedo

infinitesimal dxdydz = dV .

Sabemos que el volumen de un paralelepípedo en cuyos vectores

Son

En valor absoluto

Por consideraciones análogas a las que hicimos para integrales dobles, el elemento de

Volumen dV = dxdydz , resultado de transformar mediante T el elemento de volumen

du.dv.dw es:

Podemos, pues, enunciar el siguiente resultado

Teorema del cambio de variable para integrales triples

http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos14/camposvectoriales/camposvectoriales.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/camposvectoriales/camposvectoriales.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES


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PROPIEDADES DE INTEGRAL TRIPLE:

EJERCICIO:

Calcular la siguiente integral triple: 1

0 0

2

22

x

y xdzdydx

2

1

0 0

21

0 0

21

0 0

2

22222222

y x

x

y x

x

y x

x

y x z dydxdz dydxdzdydx

x x x x x

dy ydy xdydxdy y xdx y xdydx0 0

21

0 0

21

0 0

221

0 0

22222

dx x x

x x x y

y x ydx

x

3

0002

32

32

3

21

0

3

2

0

1

0

3

2

1

0

1

0

31

0

31

0

3

3

3

4

23

4

232 dx x xdxdx x

xdx x

x x

3

00

3

11

343

4

22

4

2

4

2

1

0

4

2

1

0

42 x x

x x

3

2

3

13

3

11


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La Integral Curvilínea

DEFINICION


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PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL CURVILINEA

EJERCICIO:


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3.


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Integral de superficie

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en

que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el

nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.

Integral de superficie de un campo escalar

Se define la integral de superficie de una función escalar (real) F(x, y, z) en el espaciotridimensional R 3 respecto a una superficie S representada por la función vectorial continua

. Si la superficie S es la imagen de laregión T en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

En que son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S , respecto alas variables u y v.1

La razón de esta definición proviene del hecho de que una integral doble "clásica" de una

función f(x, y) puede definirse subdividiendo la región de integración T en pequeños

rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoria de los

productos f(x, y) ·dx·dy en que el punto (x, y) se halla en el interior del rectángulocorrespondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos,

por lo que habitualmente este producto se denota por dA.

Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños

sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x, y, z) y se evalúa la sumatoria de los productos f(x, y, z) ·dS . El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del

paralelogramo formado por sus vectores tangentes de longitud infinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector es un vector perpendicular a ambos

vectores cuya área es la de dicho paralelogramo, por lo tanto, .Al valor dS lo llamamos elemento escalar de área.2

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_doblehttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADneahttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADneahttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_doble


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Integral de superficie de un campo vectorial

Definimos la integral de superficie de un campo o función vectorial bajocondiciones similares al caso anterior, de la siguiente forma:3

Las componentes del vector pueden escribirse como determinantes jacobianos dela siguiente forma:

Por lo tanto, si , la integral de superficie puede escribirse como:

Esta notación es fácilmente sugerida por el teorema del cambio de variable para integrales

dobles. Sin embargo, nótese que en dicha notación el orden de los símbolos dx, dy o dz es

importante, ya que , por lo que, por ejemplo:

La integral de superficie de un campo escalar y la integral de superficie de un campo

vectorial están conectadas mediante la identidad:

en la cual, es un vector unitario normal a la superficie S .

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial


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