CALCULO VECTORIAL integrales dobles

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  • 8/16/2019 CALCULO VECTORIAL integrales dobles

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    Calculo vectorial 

    INTEGRALES DOBLES

    Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta  x=a y a la derecha por  x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x, y) de dos variables  x e y . Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x, y);  esto es,

    F(x, y)= 1, o  

    F(x, y)= y, 

    Cuando se trate de calcular el área,

    O el momento del área respecto al eje x.

    La notación

    "A" F(x, y) dA (1)

     Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y).  Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes  x  e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,

     A=xy=yx  (2)

    algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de  A y podemos tomar o no en consideraciones aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en  A  interiores al contorno que numeramos en cierto orden

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     A1, A2…….An 

    sea (xk, yk) un punto cualquiera de  Ak  y formemos la suma

    Si la función F  (x, y) es continua en todo punto de  A  y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que  x  y y   tienden a cero (podemos poner y= 2x 0 ), el límite

    Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

    La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) está dado en

    z= F(x, y)  

    El término

    F (xk, yk) Ak  

    Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base  Ak. La suma Sn  de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.

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    donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de  x  que representan las curvas de contornos de  A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación (7) coincide con

    ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN 

    La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano  xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales

    (8)

    Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y , y después respecto a  x ; es decir

    (9)

    Es constante, si el área está limitada a la izquierda por la curva  x=g1(y), a la derecha por

    la curva  x=g2(y), inferiormente por la recta y=c  y superiormente por  xy=d, (figura 3), Espreferible integrar primero respecto a  x  [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y ; es decir como

    (10)

    Para interpretar la primera integración respecto a  x, como suma de todos los elementos

    dA= dxdy  

    situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva  x=g1(y) a izquierda hasta la curva  x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

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    APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES 

    Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región  A del plano  xy , un elemento dm de masa será

    dm= (x, y) dydx= (x, y)=dA (11)

    en donde = (x, y)  es la densidad en el punto (x, y) de  A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular

    a) la masa

    M="" (x, y) dA; (12) 

    b) el primer momento de la masa respecto al eje  x  

    Mx="" y (x, y) dA (13a)

    c) su primer momento respecto al eje y ,

    My="" x(x, y) dA (13b)  

    de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa

    Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca    x y y.  Así el momento de inercia respecto al eje  x representado por Ix  se define por

    (14)

    y el momento de inercia respecto al eje y  es

    (15)

    Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por

    (16)

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    (18)

    Es el momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de los valores mk de las masas y de sus distancias rk. 

     Así, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuación de un eje z trazado por el punto 0 perpendicular al plano  xy .

    Observación 2 .- Los momentos son también importantes en estadística. El primer momento se utiliza en el cálculo de la media (es decir, valor promedio) de un conjunto de datos. El segundo momento (que corresponde al momento de inercia) se usa en el cálculo de varianza ( ²) o de la desviación típica ( ).

    Los momentos tercero y cuarto también se Emplean en relación con ciertas magnitudesestadísticas denominadas torcimiento o sesgo y curtosis  y el momento de t-ésimo se define por

    En esta expresión; rk recorre todos los valores de la variable estadistica en consideración por ejemplo: rk puede representar altura en centímetro o peso en decagramos, etc. Mientras que mk Es el número de individuos de todo el grupo cuya “medida” es igual a rk . Una tabla de valores mk en función de rk constituye una “distribución de frecuencias”, de la Mt es el t -ésimo momento. La medida r se define por

    (21)

    donde M1 es el primer momento, y m="mk,  el número total de individuos de la “población” considerada. La varianza 2 depende del segundo momento respecto a la media, y se define por

    (22a)

    Donde es la llamada desviación típica. Tanto la varianza como la desviación típica miden la forma en que los valores de r  tienden a agruparse en torno a r (pequeños valores de ) o a diseminarse (grandes valores de ). Mediante transformaciones algebraicas en (22ª), la varianza se puede escribir también así

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    (22b)

    Hay una diferencia esencial entre el significado atribuido a y  en el caso de la fórmula

    (23)

    que expresa el área en la figura 5 bajo la curva y=f(x) desde  x=a a  x=b , y el que se le da en las integrales dobles de las ecuaciones 12 a 13. En 23 se debe remplazar y por f(x)  deducido de la ecuación de la curva, antes de integrar, puesto que y  significa la ordenada del punto (x, y) sobre la curva y=f(x).  Pero en el caso de las integrales dobles 12 a 13 no hay que reemplazar por una función de  x  antes de integrar, porque el punto (x, y) es, en general, un punto del elemento dA=dydx  y  x e y son variables independientes. Las

    ecuaciones de las curvas que constituyen la frontera la región A intervienen solo en los límites de integración. Así:

    1.- En el caso de integrales simples tales como

    (24)

    no se integra respecto a y , sino que se sustituye y  por su valor en función de  x antes de realizar la integración.

    2.- En el caso de integrales dobles, tales como

    (25)

    hay que integrar respecto a y; por consiguiente no se debe sustituir y antes de efectuar la integración. Las ecuaciones y=f1(x) e y=f2(x) de las curva de contorno de  A se utilizan para los límites de integración y solo se deberán sustituir después de efectuar la integración.

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    COORDENADAS POLARES  

    Consideremos la región  A determinada por las semirrectas = , = y las curvas r=f1(),   r=f2(), como en la figura 6. Supongamos que  A queda incluida por completo en el sector

    R: 0 " r " a, " "

    Sean m  y n dos enteros positivos y hagamos

    Cubrimos ahora R  por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y trazamos por 0 los rayos =,  +, +2,…, +n= con ello, R  queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de  A; b) interiores a  A, y c) atravesadas por el contorno de  A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna.

     Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N , eligiendoen cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F  (función dada, definida sobre la región  A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obteni