Ejercicios Resueltos Integrales Dobles

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Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martnez ConchaFacultad de Ciencia Carlos Silva CornejoDepartamento de Matemtica y CC Emilio Villalobos Marn.1 Ejercicios Resueltos1.1 Calculo de integrales dobles en coordenadas1.2 rectngulares cartesianas1.2.1 ProblemaCalcular 1

r + ndrdn si 1 es la regin acotada por las respectivas rectasn = r. n = rn r = 1SolucinSe tiene que la regin 1 = (r. n) 1120 _ r _ 1; r _ n _ r

1

r + ndrdn = 10

rr

r + ndndr=23

10 (r + n)3/2

rr dr=23

10 (2r)3/2dr=25/2325 (r)5/2

10=8

2151.2.2 ProblemaCalcular 1

r2n2drdn si 1 es el dominio limitado por el tringulo devrtices (0. 0) ,1(1. 1). C (1. 1) .SolucinEntonces se tiene que el dominio est delimitado por las rectas n = r.n = rn r = 1.Es decir 1 = (r. n) 1120 _ r _ 1; r _ n _ r

.Integrando a franjas verticales, resulta1

1

r2n2drdn = 10

rr

r2n2dndr= 10

rr r

1

nr

2dndrHacemos el cambio de variables nr = :c:t == dn = rcos tdt ydeterminemos los limites.Para n = r == arc:c:

rr

= arc:c:(1) = 2.Para n = r == arc:c:

rr

= arc:c:(1) = 2Por tanto

10

rr r

1

nr

2dndr = 10 2

2r2

1 :c:2tdtdr= 10 2

2r2cos2tdtdr= 10 2

2r2(1 + cos 2t2)dtdr= 10 r2t2 + :c:2t4

2

2dr=2

10 r2dr=2r33

10= 61.2.3 ProblemaCalcular 1

r2+ n2

drdn si 1 = (r. n) 112r2+ n2_ 1

.Usandocoordenadas cartesianasSolucin.Usando coordenadas cartesianas, la regin de integracin es un crculocentrado en el origen de radio unoPor lo tanto1 = (r. n) 112 1 _ r _ 1.

1 r2 _ n _

1 r2

2

1

r2+ n2

drdn = 11

p1r2

p1r2(r2+ n2)dndr= 11 (r2n + n33 )

p1r2

p1r2dr= 2

11(r2

1 r2 + 13

(1 r2)3)dr= 2

11 r2

1 r2dr + 23

11

(1 r2)3drCon ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:

11 r2

1 r2dr = (r4

1 r2 + 18(r

1 r2 + arc:c:r)

11=18(arc:c:(1) arc:c:(1) = 18(2 + 2) = 8

11

(1 r2)3dr = (r4

(1 r2)3 + 3r8

(1 r2) + 38arc:c:r)

11=38Por lo tanto:

1

r2+ n2

drdn = 28+ 23 38= 2Notese que la solucin del problema usando coordenadas cartesianas esbastante compleja1.2.4 ProblemaEncontrar el rea de la regin determinada por las desigualdades: rn _ 4.n _ r. 27n _ 4r2.Solucin.Sabemos que rn = 4 tiene por grca una hiprbola equiltera, n = res larecta bisectriz del primer cuadrante y27n = 4r2corresponde a una parbola.Veamos cuale son los puntos de interseccin de estas curvas con el proprositode congurar el dominio de integracinrn = 4n = r == r2= 4 == r = 2 == n = 2327n = 4r2n = r == 27r = 4r2==r = 0r = 244 == n = 0. n = 274rn = 427n = 4r2 == r = 3. n = 43Para calcular el rea (1) = 1 drdn. podemos escoger una particin deldominio de tipo I de tipo II.Consideremos dos subregiones de tipo I11 = (r. n) 1122 _ r _ 3. 4r _ n _ r11 = (r. n) 1123 _ r _ 274 . 427r2_ n _ rSi proyectamos sobre eje x(1) = 1 drdn = 11drdn +

12drdn= 32

r4xdndr +

27/43

r427r2dndr= 32 n[r4x dr +

27/43n[r427r2 dr= 32r 4r

dr +

27/43r 427r2

dr= r22 4 lnr

32+r22 481r3

27/43=52 4 ln 32 + 72932 92 481 27343+48133= 2 4 ln 32 + 72932 24316+ 43=66596 4 ln 32Si proyectamos sobre eje y11 = (r. n) 1124n _ r _ 32

3n. 43 _ n _ 211 = (r. n) 112n _ r _ 32

3n. 2 _ n _ 2744(1) = 1 drdn = 11drdn +

12drdn= 243 32p3u4ydrdn +

27/42 32p3uudrdn= 243

3n 4 lnn

dn +

27/4232

3n n

dn= 32

3n3 4n

243+

3n3 n22

27/42= 83 4 ln 32 + 9278 72932+ 2=66596 4 ln 321.3 Cambios de orden de Integracin1.3.1 ProblemaInvierta el orden de integracin y evale la integral resultante .1 = 10

22r cu2dndrSolucin.El dominio de integracion dado es 1 = (r. n) 1120 _ r _ 1. 2r _ n _ 2

.Si se invierte el orden de integracin tenemos que modicar la particin deldominio. 1 = (r. n) 1120 _ r _ n2. 0 _ n _ 2.entonces la integralse puede escribir.1 = 10

22r cu2dndr = 20 y20 cu2drdn= 20 rcu2

y20 dn= 20n2cu2dn = 14 cu2

40=14

c161

51.3.2 ProblemaInvierta el orden de integracin y evale la integral resultante .1 = 20

4r2

n cos ndndrSolucin.El dominio de integracion dado es 1 = (r. n) 1120 _ r _ 2. r2_ n _ 4

.Si se invierte el orden de integracin tenemos que modicar la particin deldominio.1 = (r. n) 1120 _ r _

n. 0 _ n _ 4

.entonces la integralse puede escribir

20

4r2

n cos ndndr = 40

pu0

n cos ndrdn= 40

n cos(n)r[pu0dn= 40 n cos(n)dnIntegrando esta ltima integral por partes se tiene:

40 n cos(n)dn = n:c:(n)[40

40 :c:(n)dn= n:c:(n)[40 + cos(n)[40= 4:c:(4) + cos(4) 11.3.3 ProblemaEncontrar el volumen de la regin acotada por los tres planos coordenados y elplano r + 2n + 3. = 6Solucin.Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano xy tenemos:\ = 16 r 2n3drdn , 1 = (r. n) 1120 _ r _ 6. 0 _ n _ 6 r26\ =13

60 6x20(6 r 2n) dndr=13

60

(6 r)n n2

6x20dr=13

60(6 r)22 (6 r)24

dr=112

60(6 r)2dr= 136(6 r)3

60= 6Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano yz tenemos:\ = 1 (6 3. 2n) d.dn , 1 = (n. .) 1120 _ n _ 3. 0 _ . _ 6 2n3\ = 30 62y30(6 2n 3.) d.dn= 30(6 2n). 32.2

62y30dn= 30(6 2n)23 (6 2n)26

dn=16

30(6 2n)2dn= 112 (6 r)33

30= 61.4 Cambios de variables: Coordenadas polares1.4.1 ProblemaCalcular 1

r2+ n2

drdn si 1 = (r. n) 112r2+ n2_ 1

.usandocoordenadas polaresSolucin.A partir de la coordenadas polares tenemos:r = rco:0. n = r:c:0 == r2+ n2= r2El valor absoluto del Jacobiano de transformacion a polares es:

0 (r. n)0 (r. 0)

= r7

1

r2+ n2

drdn = 1 r2

0 (r. n)0 (r. 0)

drd0= 10

2t0r3d0dr= 10

2t0r30[2t0dr= 2

10 r3dr= 2 r44

10=2Las coordenadas polares dieron una solucion ms simple del problema.Lasimplicidad depende de la naturaleza del problema y de la simetria que presentael dominio.1.4.2 ProblemaCalcular el rea de la regin interior a la circunferencia r2+n2= 8n y exteriora la circunferenciar2+ n2= 9.Solucin.Determinemos el centro y radio de la circunsferenciar2+ n2= 8n== r2+ n28n = 0 == r2+ (n 4)2= 16El rea de la regin D es: (1) 1 drdnPor simetra, podemos calcular el rea de la regin D en el primer cuadrantey multiplicar por 2.A n de conocer los lmites de integracin en coordenadas polaresnecesitamos conocer el ngulo que forma la recta OT con el eje x.r2+ n2= 8n== r2= 8r:c:0 == r = 8:c:0r2+ n2= 9 == r = 3Como T pertenece a ambas circunferencias se cumple8:c:0 = 3 == 0 = arc:c:38Luego, la mitad de la regin 1

= (r. 0) 3 _ r _ 8:c:0; arc:c:38 _ 0 _ 28

1 drdn = 1

0 (r. n)0 (r. 0)

drd0= 2

t/2o:cstn38

8stn03rdrd0= 2

t/2o:cstn38r22

8stn03d0= t/2o:cstn38

64:c:20 9

d0= 64

02 :c:204

920

t/2o:cstn38= 552 0 16:c:20

t/2o:cstn38= 554 552 arc:c:38 + 16:c:(2arc:c:38)

- 38. 421.4.3 ProblemaCalcular

1r2+ n2r +

r2 + n2drdn , si D es el interior del cardioide r = a (1 + cos 0)Solucin.Cambiando a cordenadas polares, tenemos:9

1r2+ n2r +

r2 + n2drdn = 1

r2r cos 0 + r

0 (r. n)0 (r. 0)

drd0= 1

r2r cos 0 + rrdrd0= 2t0

o(1+cos 0)0r21 + cos 0drd0= 2t011 + cos 0 r33

o(1+cos 0)0d0=a33

2t0(1 + cos 0)2d0=a33

2t0

1 + 2 cos 0 + cos20

d0=a330 + 2:c:0 + 02 + :c:204

2t0= a3Observacion si deseamos se rigurosos debemos hacer notar que la integral esimpropia cuando r _ 0. e n = 0. pues en tal caso el denominador es cero.Luego:1 = limo!t

:!0

o0

o(1+cos 0):r21 + cos 0drd0 +limo!t+:!0

2to

o(1+cos 0):r21 + cos 0drd0= limo!t

a33

o0 (1 + cos 0)2d0 +limo!t+a33

2to(1 + cos 0)2d0= limo!t

a3332c + 2:c:c + :c:2c4

+limo!t+a333 32 2:c: :c:24

= a31.5 Cambios de variables. Coordenadas curvilineas1.5.1 ProblemaCalcular 1 = 1 3rndrdn. donde 1 es la regin acotada por por la rectasr 2n = 0. r 2n = 4r + n = 4. r + n = 1(1)Solucin.Podemos usar el cambio de variables10n = r 2n = r + n(1) ==r = 13 (2n + )n = 13 (n )(2)Asi,r 2n = 4 se transforma enn = 4r 2n = 0 se transforma enn = 0r + n = 1 se transforma en = 1r + n = 4 se transforma en = 4Para calcular el Jacobiano

0 (r. n)0 (n. )

tenemos dos posibilidades.La primera, es usar la transformacin inversa (2) r e n en trminos de n y .La segunda, mucho ms simple, es calcular a partir de (1)

0 (n. )0 (r. n)

y luegousar la propiedad

0 (r. n)0 (n. )

=

0 (n. )0 (r. n)

1.En efecto

0 (n. )0 (r. n)

=

121 1

= 1 + 2 = 3 ==

0 (r. n)0 (n. )

= 13Por lo tanto, del teorema del cambio e variables se deduce que:1 = 1 3rndrdn = 1

3

13 (2n + ) 13 (n )

0 (r. n)0 (n. )

dnd= 41

0419

2n2n 2

ddn=19

412n2 n22 33

04dn=19

418n2+ 8n 643

dn=198n33+ 4n2 643 n

41dn = 16491.5.2 ProblemaCalcular el rea de la regin 1. que esta acotada por las curvasr2n2= 1. r2n2= 9r + n = 4. r + n = 6(1)Solucin.Teniendo en cuenta el cambio de variables que transforma la regin 1 enla regin 1

n = r2n2 = r + n(1) ==La regin 1

esta acotada por la rectas verticales;r2n2= 1 se transforma enn = 111r2n2= 9 se transforma enn = 9y las rectas horizontalesr + n = 4 se transforma en = 4r + n = 6 se transforma en = 6

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