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Integrales Dobles 01_01

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Material sobre integrales dobles

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Notas de Clase

2007 Clculo Vectorial Integrales Dobles

M. M. Aino Clculo Vectorial 2007

1.- La integral definida y el clculo de reas. 2.- La integral doble y el clculo de volmenes. 3.- La integral doble sobre un rectngulo. 4.- Integrales Iteradas. 5.- El teorema de Fubini. 6.- Principio de Cavalieri. 7.- La integral doble sobre regiones ms generales. 8.- La integral doble sobre regiones tipo I. 9.- La integral doble sobre regiones tipo II. 10.- Propiedades de la integral doble.

Bibliografa:1. STEWART, J.: Clculo. Trascendentes tempranas (Cuarta Edicin). Thomson-Learning. 2001 2. MARSDEN, J. E. y TROMBA, A. J. : Clculo Vectorial (Cuarta Edicin), Addison-Wesley Iberoamericana, 1998.

Integral Definida

funcin continua definida en: subintervalos

Si f(x) 0

Area bajo la curva1

Volmenes e Integrales dobles

2

Objetivo: Calcular el volumen encerrado por : El plano z = 0 Los planos x = a, x = b Los planos y = c, y = d Y la superficie definida por z = f (x, y)

3

DEFINIMOS UNA PARTICIN EN R

Se subdivide en

partes

Se subdivide en

partes

Esta particin genera m.n subrectngulos Rij

4

5

Vij

=

6

7

Integrales dobles sobre rectngulosSea R = [a, b]x[c, d] un rectngulo en R2

f(x,y) definida en el rectngulo REn R se efecta una Particin (segn lo visto anteriormente) Se define la doble suma de Riemann:

Si existe el lmite:

Se dice entonces que f(x,y) es integrable en el rectngulo R y a dicho lmite se lo indica:

8

Significado del lmite

9

Notas

El lmite si existe es independiente del punto de evaluacin elegido

Una interpretacin geomtrica

Un Teorema Si f(x,y) es continua en R entonces el lmite existe y se dice que f es integrable en R.

10

Integrales Iteradasf(x,y) definida y continua en R R = [a,b]x[c,d] Mantenemos la variable x fija e integramos con respecto a la variable y

Mantenemos la variable y fija e integramos con respecto a la variable x

11

Clculo

de la integral doble sobre un rectngulo:

Teorema de Fubini Si f(x,y) es continua en un rectngulo R, entonces:

Nota: Una demostracin formal puede encontrarse en Textos de Clculo (Ver Clculo vectorial deMarsden )

Es posible dar una justificacin del teorema de Fubini para un caso particular: f(x,y) 0 usando el Mtodo de Cavalieri

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Bonaventura Cavalieri (1598-1647) Discpulo de Galileo y profesor en Bolonia

En qu consiste el Mtodo de Cavalieri para determinar volmenes?

13

Principio de Cavalieri

V A( x) x (Volumen de unaseccin cilndrica) efectuando una particin en[ a , b] b-a a = x , ....., x , ..... x , ..... x = b, con x = i -1 i n 0 n x * cualquier punto en[ x ,x ] i i -1 i Resulta: b n * ) x= A( x)dx V= A( x i n i=1 a lim14

Apliquemos Cavalieri para calcular el volumen del cuerpo acotado por los planos x = a, x = b, y = c, y = d, z = 0 y debajo de z = f(x, y)

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Teorema de Fubini Justificacin para el caso: f(x,y) 0

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Plano de Referencia Y=0

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Integrales dobles sobre regiones ms generalesD es una regin acotada f(x,y)es continua en D

Si (x,y) est en D

Si (x,y) est en R pero no en D

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Si (x,y) est en D

Si (x,y) est en R pero no en D

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Regiones D en el plano del tipo I

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Integrales dobles para funciones definidas en regiones tipo II

Regin Tipo II:

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Propiedades de las Integrales Dobles

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