Integrales Dobles y Triples

5/11/2018 Integrales Dobles y Triples - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/integrales-dobles-y-triples-55a2326df3879 1/100

IlIleg,tlles Dol,/es 5 8 . S

{

O : ; ; x : : : : ; ; 4

Sea D : : " Graficando la region D .x::;y~4

. ." -~

f ! 'l - ,.i /'" { . i i ' _ ,1 , e : / 4 :1 - 1 6~ xe J , dv=ve Jdv=-- =-~(e -I}I) , 4} - O· . 2 I) . 2

t) Calcular Ia in te gr al d ob le J I cos(x+ y)dl:,dy t dende Des un dom inio aeotado por las reetas

D

. v

x

r.II cos(x +y).dxdy =-2

,f)

8010:£1;-

J J cos(x +y)ib:dy " " l ~ < J : C 0 5 ( X +y)dy).

D

2) Caicut,ar Is integral, doble I I Xl ydA • donde D esta limilado, pol' Y = 2x i- I. Y = = X 2+I.

D

Solud6n



586

so n lo s, p unto s d e in te rso oc io n

1:2

I f 1 . ' f . · I 2 n ' 2 . . . . f x Y / 2 ~ . j . 'X ydA=. ( 1 x y~)dx=-.- I dx

(I "'+10 2 . K"ltl

D

1 6

J J 2 .' £ . x I .2 2 2) . r · 34 X 184.xydA~ ~(2x+l) -(x +1) dx~ (2.x +x --)dx~~020 2 3.5

D

3) Cal:cular Ia integral. doble I I xydxdy en l a q u e d . recinlo de i . t 1 I r e g m c i . o n S estalim i.tado PO I'1'08

S

Jf '• . ..I~, . ..d ---' - 1 A - 'd R ' J R 1 o · , . . . . , . , .eJeswCOOl elw,uas ypor e . .,..,trol ex'::::; . cos ,.~ Y ;: : · · . s e n . ,If ~ I .i:!' ~

:2

y

8oluel,6n

{

1

: J t ~ R . : . e o .s ' . . . . . 213 .' 2/3· 2/3.. 2/] .. 2J3.lIl]. ~. x -t-y ;;) R ~Jn:i::(R -x ))I"" Rsen r

4) Calcular 18 i.ntegral doble f I xydx~v. donde D es un dominic limitadopof' III elipsc

D



581

ySol.don

a X

2 b rr= -:; , 2 : ' 2

f ~x y / ~ . a - ~ . - , f i i X b 2:1: b' f a 1 1= , - ,- - - , _ dx= ,'_-'-, '(0 -X)dx=- _ ( a X-X )dx

o 2 _ 0 ,,~2 . Q2, 20 2 0

I I2 . 1 . ; . , 1

,Q Vi

:,. .lJldx = _ ' -s 8

5) Caktilar ta integral doole J J ( X ) ! +2x 2 },dA ~ siendo R: y ~ ,J;j Y1:."X,X = = . o j x := It

R

V Sol.dllo

Graficando la region R setiene:

I I (xy+ 2xl)dA,,;: t ( J _ ~ (zy+ 2x2)dy)d.t

"

6)Calc;ular

f f2)"-1 dxdy" donde D ,estj llmitado plr lasrectas x = 0, y = 0" lx, ~, > = 4 .

D x+1

So~UCI'D

yG ra fica nd o L aregion D se time:

f J 2Y-l , r - r : 2y-l rJ.i - Y j O. ' dtdy =, < . , ' . ' , " dy)tb;~ I' " _ dxD X+) 0 < 2...-4 x+l £) x+l 2~-4

:2

124X -Utx+20 '.' '

"'" ' dx = 36-42Jn3{I x+l



588 EduoNo EspmD1ARumos

7) Calcular I I (x2 .. y2 }dx~v, donde D es Ia :re;gion scotadapor la recta Y ::l: X Y laparabola

D

Graficando la region D se tiene:

Solud6n

{'.'=x ' . x : : : ! : . 0 . { . 0 S.·. . x . , S . " 1 ._._xl -:x _.. D'

2- -.- -t' '" 2 :-Y = = x x - -x :Sy :;;,

I J: 2 : 2

f J x . z2 '• (x +y )dxdy= . (I z(x +y}dy)dx

'0 It

] - 6

f· 1 Y I X ' r 4 : 3 4 X:;,:. (x' ~+-' ) , a x = _ (-x +x -_. ')dT'0' ,jf 3 ' s2 '0 3 J -

= CX4

_ xS

_x1 } / l .i.:__=~

J 5 21 0 J 5 21 , 35: . f f (xl +y2)dxdy==~

D 35

8) I fx+l

Cdcular 1 3 1 integral '- (x+Zy)dxdy" donde Des la r'e.gjonlimitadapor lasrectas Y = = _ . _ . ,: 2

,e j

y=3,y=ltx=7.

1 5 7 X

SQIUe,i ,OD

uraticando laregion D se bene:

f f ,(x+ 2.v)dt,4v = r · ( 1 .7

(x+ 2y)tb:).dl1

, "] '2,.-1 "J

D

1 3. x2

. / 7 1 3 " . : 2::;;:-+xy) . tty = (2 4 + 1:S y- 6 , )d yI 2 2,-1 1

=(24Y+9y2_2),3)/ ..1=(72+81-54)-(24+9-2)=681

: . J J ( x + 2y) lh :dy" '" 68D



InlClfTIlles DoOks 589

9) Hallar hdntegrat. doble r r ~ - ~lh: dyo 0

Sol:udon

Grafleando la r . e _ g i , o n Dse tiene:

II:

{ x - Y si x ~ yx~ ) l i = . . . . Luego D= DI uD2y-.x 51 x e.y

x J l l x - yldxdy =J f ~->idWiy +J J l x - J-idtdyD ~ ~

= l ( x - y ) d x ~ v + J f < , v - x ) dx4vDI Dil

~ - Jx .1= . - - -_dv dx» _. _- _-.- _dxt ({(X y)~y) -- -t ( J { (y x)dy)~__

2 - . 2

rx (J 1 x I] .1. I I

= ~tU+l(--x+""_"_)dx=-+---+-=-·'l12 ~2 2 : 6226:1

,Soluclon



590

y

{

2 ' ..... 2

I . 2 1 y-X. 81 y o : : : . X _ -y-X=_ _ 2. 2

x-y SI y< X= X

x

I J l y - x 2! , c b : d y = f I I Y - X 2 I d x ~ V + f J I Y - X2Id x d Y

D D I D1,

I z ] 1 2 1 41 1.

4t l Y . ". ,I Y 2 : I _ IX I IL : 2 X

~ (X Y--J/ m :+ (-_-.X y l l ItA= . ~dx+. (--X +-)dxo 2 0 0 2 ,.-- 0 2 o 2 .2

r 4 2 1 .X5

X3 x / 1 I I I U= e x -x +~)dx =(-_--+)_=---+=-(} 2 5 3 2__0 5 1 2 30

11) Calcnlar la integral 1 f t I t x - 2 J sen)' dt dy-0 I

Soludon

Ubiqaemos la region D de integraciQ:n.

y

{

X - 2 . , . s. i x · 2 = 2t:r~ Ix-21~

. 2-x si x<2

J I l x ~ ~ .s e n ydi-c(v = J J l x - ~

s e nytb:dy+

J J l x - ~s e n Ydxdy

D ~ _ ~



J nr eg ,.a le s Do b Ie s

1 2 / 1 1 f 4 t: 1 , 2 r(x-2)cosy'. dx« , (2-x) "dx=(4~2x}dx+ ,(2x~4)dx. 1 ' (I '-2 - 11 1 .2

.rJ - I x - 2 1 s e n IV dx dy = = : 5& I ' .

12) Calcular la int~gra1 i J (.r.- y+l)tltdy. donde D es Is. region Ihnitada POI' I.as curvas

D

11)1 1 111~1-y=,x-II.' +1. },=.II.+Y.l'-J

SoI'DCittD

Graficandn ia,region D. y para esto calcularemos los puntas de iruesseceion,

{Y, ={,. _1),1 + , , 1

~

y~ .vx-l ~l

(.1.'- J)3= "JIx-l=> x =; I de danae .v =1

(.9 1 (' ·8, 1x-I) ::;x-' :::;;'.x -I) ='

x ~ 1 = ± 1 ::::) x= 2 , x = O. L uego la region, Des:

III

I

X=(xl-I )J + 1II

!!I

J J ( X - y+lJdxdy== J I{x .- y+ L )d td y+I f < x - y+l)~ ...(l)D q ~

2x ahora ealcujamos cada una de la s integrale.s dobles

••• (,2)



592

I f 1 2 IL+.v:;:T f l . : I r:x- y+ I)tbdy:;;;;: • ( (x- y+ l)4v)dx ~ -~(x- y+U' dx1 1+...-lY 0 2 1+(:.'+li

~

I I 2 [ 3~ 2 . J 2] 1= ~ ~ (x-:.vx-lJ -(x-(x-I») dx = = - . .2t 14

._ ( .3)

ahara reemplazamos (2). (3) en (l}: I f13 I

•(x- y+l)tkdy=~+~=]1 4 ID 4

/)

]3) Caleular 1 8 integral doole J I (2x - y}dxa;y. sobre 1 3 region D por arriba de y =I x - ~ yD

debajo de y ~ . 4 - l x l

y

Sol'ud6,D

Graficando Is region D, de donde se observe que:

L uego ala integra] doble expresarem os en h! ferm a

I I {b-)chdy =I I (2Jc- y)dxdy+ f I ( 2 x - y)dxdy+ I I (2x- y,dxdy

D ~ ~ ~

....(I)

II .' ,. I O f 4 + ~ ' . . J O . . , , 2 /< 4 + 8 . 1 0 8x2+2x-15

(2x~y)dxdy ~. ( (2x- y)~v)dx:;;;;:. {2~V-~} .. dx =.. . " 2 . ' dx-3/2 I-x -3/2 2 I-x -.311

DJ

J I fl 1 4 . ~ x . . I I . yl r : I l18X -IS(2x~ .)J)d:rdy ~ . { (2x~ y)dy)dx "'" . (2.xy--)... dx=. dx

o x 0 2 I-x 0 20.:



JgtJ!fPlIles Dobies 59J,

I Ir J 4 - X 1 512 y2, 1 4 ~ : l '

(2x- y)dxdy = ( (2x- y)dy)dx = (2xy--') iJx

~ 1 ~ I 2 ~

25 725 7 27=--(--)=-+=-24 3 24 J 8

14) Evall.lar f ; J ; x y 2 ( X 1 +y3, -1 /2dxdy+!2 J~.1Cyl(Xl +y~,-I12dXdy

2 2

Soludob

Ubieando La reg ion sebre el cu al se realiz e la integral

I~2x , ~ :I 3,Ill/'b 2 J t ,Sl2, c:',512 ~, 4(J.-.fi)= l-(x+y ) =- (lx - v2x )dx =___:.____;~I) ,3 ',I: 3 , o· 21

f I JI 2· 3 ] -112·" , 1 2Jl 2· 3 ~ -1 2 4(3~..fi). ~,)' xy (x +y) dxdy+y'XY {.x +y3, Jdxdy= "2 1

I} - 1 - '2 . : 2

IS) OIlcul.,.la integral lj £ I ~ I~)~ d t " 'o / , doode D es IUq!ion planalimitada poe I... rectas

x =: I, X = 2, Y = XI Y ~ Jx,



594 EdulINe EspinoVJ Romos

Graficando iaregion D.

Soludlm

Aboral definimos el miWmo entero de [IY I : J e.D la region DIx

r-=1x ] ~.!. 2

yl> - c => [I-I]=,y = 2x y x x

-~2x

y = .1 <

l.=2x

~ 2Y J [l

Y I 1 = 2X IS,- < =:0

Y X X~ ;:;]

x

1 2 . .1 1 . / b 1 2 r1 I l l " 1 2 I l2xe~;· dx+2 2xef;. ,dx~' (2xeli -2xe)dx+4 . (xeJj -xeJi)cD:

.I : x I 2xl 1

2 : 2 . .• d bl16) Celeularelarea. de 1 8 1 regiOn comprendida per; D: y = = x • v =x ,par mlegrnclOn. 0 ne,

So.l.udlin



59,'

I J " f' r f XA(D) ~. dxdy:» k (lr.z dy)dx

D'

J 2~'.A(D)'~-u

: 3

17) Haller el area de 1a region R limitada per laseurvas y ~ .1:2, - X, Y = sen R x

Soluei6n

Dibujando laregion R.

Luego Ia region R es dadopor.

x

2y;;:x -x.

A(R) := J J d r d YR

18)

2 :2

Hallar elarea de Ia reg io n R en ce rrad a pOT la elipse X2

.... Y2 =1.. ab> O~a b

Soluel.60

{b " 22 b ., 2 2}

Luego la ,region R descrita POI R =(;~'.y)/-a S; x~a A --"IJa -X' :S Y ~ -"fa -x ,a a



596

y

19) Haller el volumen del cuerpo Hmitado por elparaboloide z; ; x2 +y : 2 , los pianos

coordenados y el plano x +y = ] .

Sotuelon

y

x

r =J I zdtdy "'" I I (x2 +y2)dt dy = £ ( £ - r (xl +)12 )~)tb"

D .n

f' .2 . y l./,l_.1 ' £: -4x

3

+6x2

-3x+l I.'= (XY+-,)' dx=' _ tlx=-(I J [0 0 J 6

.20) Hallar el volum en del euerpo lim itado por los pianos eoordenados y los pianos x ::;:a, y =b Y

:x2 , y ; !el paraboloid_e elip tico z =- +-_ _

2p 2q

Soluc.on



591

I I ab a2 v 3

:.. V=zd.:rdy=-- (-+-)uD 6 P q

21) Calcular el volumen delcuerpo hmitado per las superficies x2 +y2 = a2 J x2 ...Z'z=.Q:2

Solurl6n

Calculande el velamen de octava parte del cuerpo dado enla figura,

v I I8 = . - -Zdxdy . de donde

D

P' =S J f Z d x a y =8I I ~.a2 - xl .dxdy

D D

1 ] . ]

f d 2 2. .: 2 X I ' " ~ . 3 a. 16a=8 (a -.x )dx =8(a x-----) ;: 8(Q ---_ )=---0 . 3 I) .3 3

22} Haller el volumen H m i t r u : l o par las superficies yl ~x~ z ...X ::l I. z = 0

S O I ' U e 1 6 0

Proyectando a t plano .xy~se tiene,

1 1 ' = J I Z d X d y = f J (l-x)dXdy =£(J~(l-X)dY)tb

J) D



S9S

23) Caleular la integral f l J . 1tgx

2 tb:dyOy

Solmcl6n

U bicande la region. D sobre eJ cual lie calcula l a int egra]

yG ralicando la region D .

como la integral f tg.x2dx se p ued e ca.lcu la,. po r n in gU n]I

xmelooo de iruegracien, en este case seeambia el orderr de

itegracion.

I J. : 2 . . . . . . i. [ 1 1 . I l I A :2.. tgx-dx,dy =0 (, tgx dx)dy :=0 (0 19x ,dy)dx

. D } '

: . J J t g x 2d X dy = .~ In(secl)D

24) Evaluar loaintegrnl I Q J t l X

0..: . J . . . " . . + " zdydx. x ,y

Soluci6,g

{

Os x : S : . , a

Ubicandolaregien D sobreel cual se realiza la integral D:. . - cxSy._, ,a



In teg l' lI le s Dob i e s 599

Graficando Ia region D.

I I X 1 .

4

/" xJ' ,dxdy= ••( . J' ,dyjdxD X +y . .Il x+y

x =1

xf a · 1 ' xdx .. I l l ; 2 2 / Y= C . J . jdy= ·X +y .. !dy-0 .e ',x2 +),2 00

f a ..r: .fi-12 I I I J2- 12= ('\f2y- y)dy ~ . y ~ a

o . 2 0 2

25) Caleular la integral f l J I.1::. e,yhd.:{ d ye -o

Solueliin

Ubicando 1 . 8 region se tiene:

Grnficando la region.

o 1

. . .

x



600 EduIINl~EspillbtJl ,Rllmu

1) Caleular la integral sebre I f ellC+Rlly cosydxl~ t si Is region D es el rectangulo

D

nO<~'<..,. O<y<-A_"~ __ -2' Rpta. (e-1)(el: -I)

2) Calcular la integral doble I J e nJl dxdy. doade D es la regi6a 0 , : : : ; ; ] 1 ; s I • 0 sy. S; 'I.

D

3)

4)

\ .

Rpta. (e- U 2.

Cakulw- la integrnJ J I y : X d _ ~ 312 ' donde Des la region 0 . s x:S; 1 • 0 s y ~I.D CI+:x +y )

2+J2Rpta. In(, . 1 3 , , - )

1+ 3

i

,Calcular Ia integral I I x 2yeA) 'dx~v .donde Des la regiOn 0 ~ x S; It 0 S Y S 2.

D

Rpt». 2

I,a lcula r la s s igu iente s integrales.

a) rDx-2lsenydxdy'01

Rpta.2{l - cos 2)

b)

r r(i +y)dydx

I) 1

Rpl'a.11

6

c) 1 2 1 2, (8x

2 +2y)dydx00

Rpta.,1$2

J

d) r r e X cos(y+ eX)dytb:00

e) :.f f e lf (cosy+oosl?"*")dy dx00

f) f ill,dxdy

. . J - _

(JO X + Y +[



Integralu .Dobies 6 C H

"pta. 2ft

b) I 1 r I I f . . 2. ,2 . ', sen x.sen ,.. , dx dy ., ,o 0 •

Rpla.4

6) Calcusar la integral doble f J l x + y l d x ' d y " , conde D: [~l.JJxf~l; 1].,

D

8Rpta. J

7) Calcular la itegroo doble

f f~Y - x 2 1 d ;t dy! donde 0: I xi s 1" 0:5:Y s 2.

D

20+31l"Rpta. ~~-.

] 2

S) Calcular I f /(x."y)dxdy l' donde D: [-1t,.6]x[-2,2]

D

si x.;$; 5i- y2

si x>5+y2

• t ' 73 .. zRpta. 61,+-·+8n:-rr

15

9) Calcular I I /(x.y)dxdy, donde D;[-1.2]{ - : ':] siendo

D

Inx J;r

Sl y:;::-'_-2 4

2Rpta. 2+]1f

3J f n xx s :1 y+-!:~. 4 . ' 2

10) C-alcular la integral doble J J ( X z +y2 )c lxdy .~ . si la region D esta limitada par las .lineas

D'

y= x, x = O. y= 1. Y = 2. Rpta., 5 -



1.U caIcuiar J fOx 2- 2xy +y)drdy,. si la ! legion D esta lim itad a p or la s lineas x = O. X= y2 •

D

244Rpta. ---

.21

12) ·Calcwar II2-; -1 dx dy, donde D esm limimdapor y = 4 - x2• s= o.

- x +1D

80Rpm. 4arclg2-~- - . J;

13) IIsenx.dX d" {' .It }

Calcular ll 2.· • donde D = (x,y) 10 = : ; x 5 ~2. • 0 S; y : : 5 : x .-- 4~sen vD .

. 1 . 1.Rpta .. - ..nJ4

14.' Caleular J I COO (x +y)dxdy " donde D es un trapezoide limitado mediante segmentos de rectasI),

N

Rpta, 2

] 5) Ccdcular J f ~ . .y - J ' dxdy ~ dende D res up lnangulo de vertices, en los pentos 0(0,0)1,

D

A(W.l) YBO,I). Rpta.6

16) Calcular I f e~+Ydxdy , donde D es e~interior del triangulo de vertice (-7.J-6l, (S .J " (0.0).

D

Jell 3e-lJ 41Rpla. -+-+56 9.1 24

17) Calcular J f y In xdr~l'. si la region 0 esta limitado per Ies Iineas x y = I,. y = . [ ; . x ::.2.

D

5(2111.2-1)Rpfa.~---

8

18) Calcular

f J(2xy - 3x 2 . )dxdy , donde D es limitadopor y = = l n l x l . y= 0.,y = -2.

D



l ,. ,eg .r t ll es D 'o. b le s 603

19) Calcular f J < X + y)dA ~donde D eli la re gion limitada por zy = al, 2{x +y) := Sa.

6

20) Calcwar J J O x + .y)dxdy, si la regj6n D sedefine por las desigualdades xl +/!s9.D

2 xy~--.+J

3 .

432Rpia..--· _.

169

21) C.alcular J J i l ~- IY i - ~dxdy" dome D= Dl Uz siendo D I =[O,3].r[-2.,2] y D2 elD

triingu10 fermado per las reetasx ;: 0, 'i ' = 2, 'Y;: 8 ~2x.142

Rpta. -.:3

22) Cakular Ia integral doble I J S i g ( x 2 - y2 +2)drdy, donde Desla regibn limitada par

.1 )

2 2X +y S;4.

2.3) Caleular II J [ l y - 1'2 ~ dx dy. donde D: x2sy s.;

> 4 r : : ;

Rpla... ~ (4 - 3.J2 +4,,3 )- J

24) Demuesnese que si f(x.,y) = g(x) h(y) eneonces

J b I d f l l f a{x.y)dydX= (.' g(x)dx)( 'h(y)dy)P' e ,Q"C '

D

3 Jliaeas x ~:0, y ~ o , x +y s L

trRpta~ s:

2 7 ' \ 1 " 3

26) Calcmar J f xly2(a) _x

3- y3)'I12dxdy .,. donde U es la region limitada porx;;: 0, y ~ 0;

D

.R pt.a . --1 3 S



604 ,Ellullnlo Esp,iniJl./IlltJ",os

f I2 ;} ; -

27) Cakular. ydxd_Y. domk D es el recinto dado por: x ...y ~ 2JlS (I.

D

Rpta. ' J I i :

28) Cslculer J f xy 2 'dxdy • donde D es el recinto dado por X,2 +y2 - 2x S ;, O.

D

:n ;

Kpta. -_.

829) Calcwar las siguieates integrafes dobles.

a) fl f " X , 'dvdxI;,;' • Rpm ..

3

2

b)

2 :1r-4

21fJ i

Rpta~

e) f f : e-ctFdxdyI ()

4 " : 1 . . . ; 2 2e -.nr -I- eRpta.

2

d) Rpta. 0

e) ap ta,

r I I ~ ". (x+ y)dyd:c01

I)

I~~ ~+)' " " ' - d ' ,

Le .[Uty

--I, :,-2j~

e-.]-1 i-I 1--+-+3 2 e

Rpia.

h)

I) Rpca .csch4

In( . ) - 2 tgh 1c~h2

1)

I

T! r - -iH~QS~ 2 .Y senxdydX

00

Rpta.4



,Integrales DtJbles 60 S

Ie)ISn -16

150

I) J 1f121J~II}' l .2 :X sen ydxdy

-n/J 0Rpla.

12

5

30) Calcularla integraL doble J f x . J Y ' d x d Y . donde D es la region encerrada POI' y = x 2 ,D

2y=-x +1

1---1M

31) Caleular iI (2XT 2y)dxdy l' deride D es la regilt.nacotadaper las eurvas y ~ x3, x'~ y,2 .

D

Rpla.5 3 ,

70

32) Csleuler la s s igu ien te s integ rales ddb1.es .

a)

J f

'fl"""TlIQ--;A:-

" (x+y) dydx-6 n

Rpm"2 3-a

3

b) Rpta.,36

33) Caleular JJ(1 +x) sen ydxdJl 9 donde Des el trapezoids de veI1ice (OtO), (1,0)., (1,2)..,(OJ).

D

3Rpta. -+os I+ sen 1- cos2- 2sen2

2 :

34) Calcular I f eX+)'dxdy, dende D::: ( ' ( x ~ y ) / I ~ + I Y J ~ I},D

IRpm. I!.-~

e

35) Caleular las s igu ien te s integ rates dob le s,

Rpta ..

I

3 .



606 Eduardo .Esp inoZ fl,R lJmos

3 . 1Rpta.

60

Rpta.16.,fi-2

2]

J 2 I f I f ~ ;I

, xy dydxO{l

Rpta.3 2 ,

3

e) Rpta.1f2-4

2 1 r3

f) fiy .n). I e tJxdy

1 0.R,tll.

2

g) Rpta.3

a

b)

lrJlisenx ]

.. , (J+P,)dydxo 0 .'1 1-y

Rpta.8

36) Calcular I I x cos(x +y)dxdy ~donde Des el triangulo euyos vertices son (0.0).('1,0), (1t,ft).

D

3 1 t 'R .pta. _--

2 :

37) Calcular J J cos(x+ y)tb: d_v. sabre el trapezoide definido al conectarmediante rectas los

D

Rpla. 0

38) Calculmr J J (x2 +y)chdy ' . 1 1 donde D es un dominic aeotado per las parabolas J' =.1"2 e

D

. 2}'=,X.

33Rptll., -. _.

140

39) Caleular la in te gra l d ob le f J 1 % + y I dx dy ..donde D : [- ')t I ]x[ -1,1] .D



,

lntegrales Dobies 607

40) Calcular la integral. doble J I ~1v : x21dxdY • donde D; Ix l s 1. 0 S y S 2.

D

41) Ca1cwar Ia integra] I I yleAYdxdy,. donde Resta timitada per x:= y2 ~ x=- 4y2. X = = 4.

R

42) Evaluar JJllrz +yl Idxdy doade n ~ Os:x. 6 $y , x + v = 1.

D

43) Calcular les siglliemes inte,gra:les:

a) J f r x2 +y z )d x (v. donde la r~gi6D D esta limitada por las re~as y ~ x,

l)

x + y = 2 3 0 " x= 0,4a

4

Rpta.3

b)

J f(x+ 2Jl)dx dy ~donde la region Desta limitada. 'por Ias curvas y:;: %2 e y;:::;.JX

.D

9Rpta. ,_

2 0

c ) J J (4'~ y)d.tdy , conde la l " " C g i o n D esta Iimitada por las curvas Xl ~ 4YI Y =: 1, x :: OJ,

D

(x > 0). 'R ." 68pts. -.15

d) J J J a:2 +xl dx dy ~ donde la regi 'on D esta limitada per las curves yl - x :Z ~ 02

,.

D

x =8. X ~ 0" y~ O~ (y >.0).

44) Calcalar la i.ntegnd J J en}'x dy , dende : laregi.on D ests Iimitada por las curves y = e - l " ,

Dx=o. y= 2.. Rpta. e



608 Eduardo ,Espinola Rumos

45)- f xdxdyCa lcula r la in te gr al J '1' '2 ' donee la region D esta lim itada per las curves y ~ x 19 x,D x +y

21f

Rpta" -32

46) Calcu la r J ai rnegral J I~xy - yZ dx oy t donde D es el trapecio con "crtice A (l; I), D(S," ) '1

C(l ~',2), D(2,2). th.,' U2..,.la. -9

41) Calcular la integral I I y dxdy , donde D es un tr1angtilo con vertices O(O~O}~( I t u,B(O,].l.D

1DbtS. -"''''t'' 3

48'), c-t, I 1 ' r' ~..:I ,Ii:, 1 A 1 2 2 ( ' f u ' 'd Ia "L.~1').wCUiI'Ue a r e a lllnutiNil por ias , 1 I I J 1 e a sy ,;..,X~ X • Y ;: , x ' ~uem e ap a r a e o s a 1

U; -'Rpta.. (2n - _)14,2

3

49) Calcular d area de 1~regi~n Iimiteda per las lmeas x =y2 - 2y. x +y - = 0

J 2Rphl. -u

6

50) Encontrarel area de la region 00 el primer cuadrante acotada per las parabolas x2= 4)"

2 :x =8-4y.

[62Rpta. -r;, ,

3

51} HaJlar el area de la region limitada por las Iineas .y2=40 - x). ;x'2 +",/ ~ 4 (fuera de [a

, : 8 2Rpta. (:l,R' --)u

Jpartbola).

r= 3.



In tr lr ole s D ,'O b les 60 9

a) , y ; ; ; : ;x2+2, y=x+4 '9 2

Rpta. -u

2

92 :

Rpta. -It2

1 :2R,ta. -u

3 ,

9

Rpta. 2-II

2

Rpta.1 2

~LI

12

Rpta.42-u3

Rpm. 9 1 4 '.2

Rpl a, '1,6Ii

Rpta.,4 l

( . 1 1 ' --)u3

b)2

y=X , Y= x+2

Rpla. '12 11 2

c)2 , 2 :2

X=Y • x : : : : , y-y

Rptll.,

9 2

-u2

d) y2 =x, ::r-Y;;\l2

Rpta.

e)

Rpta"

g)2

X . =4y, 2y-.x-4=O

Rpta.

b)3 . 1

)l ~~ -2x, y = 6::r- x

I)1 1 2

Y ~2x, x + . . y -4y:=.O

2 c 1y=x -9, y=9-x

k)

2

y=4::r-x • y = x

I .)2 . 2

, J ; ; ; ; ;9 +x. y ;;;;9 - Jx

D)

III) y = e~. y = Inx~x = = I. x= 2

n)



6 to Edua,do EspinoZl1R qrnD s. .

54) Hallar el area de laregion plana Hmitada por la parte de.amba POl"x2+}'2 =:2, )' en la parte

de:abajo por y = xl. 1t I 2Rpla. (-+-}u2 3

55) Calcular el area de Iaregion del plano XV"~acotai3o pot las gtjt1ca.~de las curves x = = y:J I

5 2x+y=2, y=O. Rpta. -f,/

4

56) Por medic de la integral doble .•bellar el area de fa regio.n D oomprendida! entre las curves

)~2= 4-x y y2 =4-4x. Rpla. 8 u2

de la region 0 acetado

48 2R,pta. -ti

5

PO I' las curvas y = x~'1er integrales dobles, ealcular el area

58) Calclllar el velamen del cuerpo limjtado p o t2 1 2 :

las, superficies z;:; x +y • y ~ x •

88 2Rpta. '--u

105

59) Calcw .ar el Voium en del solido cuya base' de la region en ,el plano X Y acoeada per Jas curvas

2· . . .y"",4-x t y=3x y euyeteehe esel plano z=x+4.

625Rpta .. -

12

(0)2 2

Halle r e ·1 vo lumea del cuerpo lim itado per el paraboloide hiperbelico z ~ x - JI Y los

. . i i,Rpl·a. V = 27u

61} "a11ar e] volumen del euerpo Iimnado por las super.li.cie.sde:1 palaholoide hiperbblico

z :!:x y , e l c ilin dro y= I X y lo s pIanos x +y = 2. y ~ O . z= O.

3. 3Rpta. V=-u. : 8

62}.2

Haller el volumen del sf,Jido en elprimer octaate limitado por las superficies, x+z = I.

" " _ . 2 .,...-y. x:.::y •151f -12 3

Rpm. u120



611

163) Calcular l e i volcmen del euerpo limitooo per las superficies Xl + 4 JI2 +Z = 1. z: o.

64) HaUar el volumen del solido indicado,

a) E. tetraedre aeotedo por los planes eoerdenados y el plano z = 6- 2x - Jy.

Rpl •• i6u3

b) Ei tetraedro limitado por 108planes coordenados y el plano 3x +4y .. z- 2 . = 0

Rpla .• 2 0..,3

c)22:-

EI sOlido del ler octarae limit ado por 131superfieie 9x +4y =30 Y el plano

9x. +4y - 6z = O.

65) Haller el volumen del solido limitado por las superficies.

a)

b) z=y.:2 1

Z=X +y Rpla.3 2

66) Hallar el vohsmen encerrado entre la s su.pemcies x2+.3Y

2- Z ;:: 0

1Itpla. 4 rr : .U

24-y=z'

67) Cakular el volumen del solido Jinritadopcr las superficies

27/2Rpm•. _-

U)z +2y - 4 ::::0, y = O.

68) Calcular d velamen del sblido limit arlo POI"- . :2

Ias superficies y = 2x, y; = 2:x ,

x + y +z;: 3, x + y + Z ...4.... I.]

Rpta. -~. 3

16 19) Calc,ular el volumen del solido etl el primer octante acotado por ~O $ planoscecrdenados y el

3plano 2x + y +z ~ 6. Rpla.. 18~'



612 Ed.aNo £5' ;"01,11 R"II IOS

70) Haller el vo~umende la region limjtado por ,el ciiindro

4 3 ,RpIL -u''!;;I'

2X +Z ~ 1 Y por los planes

x + y = 1, y:: 0 ' y z = o.

11) Hallar elvolumen del s6lidolimitado por 1 8 1 gnifica de Z'::] - X 2 . - 4Y 2 . eanrerionnente

por la grafiea de ,1 '2 +4 y2 - 4z = 1.5;r :J

Rpta. '-u16

12) Hallar el velamen del sO lido ti.mitado a rriba p or y2 ~ a2~az y abajo per z::;: 0 : Y dentro de

2 2 2X +y ~a .

3 3 JRpta. -1fO II

4 -

73) Hallar el volum.en del espacio comprendido debajo del planox + y + z .;;:S. arriba de

2 3~ta. 170-u

3z=0 y entre los pianos x +2y l':l: 8 , x - 2 Yc8.

14) HaUar d velamen del s6llido en el primer oetante limitado pOI' e,1pa.raboloide z : : :: :: x2 + y '2 , el

cilindro x2

+y2 :::4 y lo s p ia no s c oo rd en ad os ,]

Rpta.. 2nu

1S} Haller el volumen del solJdo limitado superiormentepor el paraboloide 2:r2... 4y2 = = 4 - z e

• . • ' .' 2 2· !j,1fmfenonnente por el parabololde 2;1" +4y =4+4z. Rpf:a. ' J 2

76) Uanar el velamen del espacio comprendido debetjodez =4- y2 arriba de z ~ 0 y dentro de

1 ~. '1 '..J·2 2 0 '2 8 2 's SUp"'iuCles (;1manoas y - :;r ~" • y ~'. -x. Rpta.5 < 1 2 :1 .-u15

71) Hallar el vol~en delespacio comprendido debajo dez ::::;x + a, arriba de z := 0 y dentro de

:2 2;o X +y ~2ax. R 3

]i:1pta.'If.a II



7:8) B plano XY y Ia superocie y '2 = 1,6- 4z conan. el cilindro x2+Y

2"" 4 1 - X'. HalI.W'd velamen

de ~aregion limitada par estas superficies, Rpta • . l.5 rr ri

19) Calcularel vohimende la region sabred plano XY dentro del "cilindto i: ' +y2 = = 4. Ydebajo

" 3RptL 28nu

86) Haller ef vohenen del espacio cornprendido deki:jo de 4z=16- 4Xl - y2 arriba de z ....0

d . 2 2 2Y centro de x +y ,~''': .

81) Hallar·el volumen del solido limitado per x - + y2 =az y );2 + y2 = = 2ax ,en el primer oetante,

3m: l2RpCa.

4

82J HaliareE volumen del sOlido limitado seperiermente per el paraboloide 2x2 +42 ~4'-z e

io fe rio rm en te p er el p a-ra bo lo id e 2X2 +4)12 =4+4z. Rpta. ~.

flJ) Cal:cular 1 8 . ' \ 1 siguientes. integrales dobles,

a) RpCa.2

b)

If!11 f r sen x .. . dyib.o (j 4 -sen2 J!

In3

2 .

c) Rpt:a.4e-9

2

d) Rpm.8

3

e) l rrt2

1 '1f

12 sen Y .' .'~dydxG 'x y Rpla.



614 &lua,do EspillQVlR"mfJs

f) Rpm.

g) Rpca.In,2

4

1 r;r::; , ,$+2 1" 3 1 '2 . 312-[2"1$,\\"2 +In()--(5 -2 ))2 ..J2+1 6 '

Rpta,.

1 II. ) f' ( 1 , ' sen x ax)dy

o k , } f xR,ta. I ~ cos 1

.84) Cambiarel orden de integracion:

: 1 i I ) F i r ' "J I , ( , Ifx, JI ),d;t )t{v_0 .1 "

b)

1'I_y:2

1 ( J , f(x.y)dx)dy_-1 .}'l_1

. 'd)

4 r : . 1 6 - ~ ~!(,jiu:-x1 f(.x.y}iiy)

e)f a r Q i , . , . J ; Z : ; i1JJ20.o;-xl f(x,y)dy)/b:)

g)r 2 r 2 . t -J l ( J : & " f { x , y ) d y ) . ' h '

t) J)

Ie )

:gj) Representaren una, , soLaimegral iterada ala suma de las siguientes integeales,

r'(;.xdtdy + f ' ~ lf xdxdy - + [ , '" I r xdxdyJ-, -2 .~ J l I l J j I , -IJ-2 Itp12.



In te gr llle s D o bie& 615

86) Repmsentar -en una sola integral itemda. 8. lasuma de l as int egmle. s;

J -~/J I - Y J ) , . . 1 2 1 - 2. ~ lex..y)dxdy+. i f(x,y)dxdy+--6 - "( 211 -.;po".-I

-+~ 4 ~4

87) Representar en una soia inle,gmtiterada ala surna de las integndes.

88) Representar en una sola integral itersdaa la sama de L~ iategrales,

"pta. f R J 2 I ' ~- 1R--yl .-. f(x"yJdxdy

I] r

89) Demcstrar que: J 2 J . . 1l' x, 1 4 f 2 1r : x 4( 1r - + ,2).r:sen(-.-) dy tU+ .. sen(-. -)dy dx = . 3

. 1 "IS 2y 2't/~, 2y 7 r :

90)

4Hpla. 3,

2e

Rpta.4e' +--. 3



616 E4U1lrdoUp/noV' Ramos

92) Carnbiar el orden de integracion escribiendn 131,expres.ibn. dada en forma de una integral

iterada de segundo orden.

, ' I f J ' , rJ i ' l .o ( l/(x,y)dx')~v+ J~ ( yl/(x,.y)dx)dy

, 9

b) r -Jr 1 . 2 L 2

- ...( f(x"YJdy)b+ , ( I(x, y).dy)-dx,(} 0 10

c)

d)

1 ...+2 , 10 .f+2

I12(x,y)dy)iIx+ _tl ( r ~ f(x.y)dy)dx_-2 J o J : z J . J 7 : 4

e)

94) Sea f .4 s e , n , x--dx.

,I Ifealcular e n funcion M. el valor de:

r ! r2

sec x dx dy + r l J - 1 se n x dx dy+f ( 1 , 3 ; , sen x dx)dy .. I e ~+p x Jo 2 : X'JI+l X

95)

96)

97) Cal,cuhu la int eg ra l I I y] e1 l l Ydxdy ; donde R esta Hm itad a:per x := y 2 • X -- 4y 2 '.

R



ItUegmles Dobies 617

En esta seccion veremos como se realiza el cambia de variables de una funcion. f(x~y)de: las

ceordenadas (x,y) a las coordenedas polares l (r ,9}. .La transrormaci6n de las eartesianas a las

polares se ha estudiadeen el libro de Ami li si s Ma ten li a( jco II para estudiarees de Cienciae

Ingenieria, aqui veremos su efeeto sobre las integrates dobles,

Consideremos una region Dc: Rl acotada POI' aS; e ~ pya Sf ~ b; es dear:

T raz an do reeras a (rav es dei. polo y efreulos COli centro en el polo, se ebtiene una particion P

de la region D . que viene a ser una, red de "n" r eg io ne s l.1 amada s r ec la ngulo s c ur ve ados ,

A la..norma. de Ia partidon represeataremcs par I ,I yes la longttud de la diagonal mas granded e' I os r ec timgu io s c ur ve ad es .

E1 area del i-esimo :recta:ngulo curveado ri es igual a la dife.rencia. de las areas de los seeteres

eirculares, es dear:

r . 2 ~2 I. . _A(rj '):!!! 'tBi -Bt-1l- J~l(Of-'Oi-l J = 2 (I i + 'i-l)(r.- t1-I){Oi -9i_l) = = r1·Ar,·A9 i



618 &llIarlio Espinoza Ramos

1; . . ~~

Consideremos una funci6n f: De: R ~R continua sobre D y sea (tj,(Ji) un punt!€)en

Ia l -emma sub-.regioncon 1 9h1 = = : 8, = = : 9£ • luego formando la suma de Riemann s e t ie ne :

!/(Ii .6j)A(Ij) = !f.(r.·.JJi )'i·AIJ·A8i

1=1 1=1

tomando limite cuando Ip i _ . . 0 se tiene:

a este limite denotaremos por I f Itr. 9)dA • es decir:

D

Obse"acI6'n~- Sobre hi regien neElel plano eoordenado polar situaremos una superficie z = !(r.9).,

doodle f: D c R2 ~ R es una funciom continua sobre Deon f{r.G) 2: 0, en D.

y

Luego el sOlido comp.ren.di.do en Ia region D y Is superficie z = = t t . r : . 9 ) tiene un volumen V •

dado per:

V(S) = =

I I / ( I ' ,fJ)rdrd9,

D



In te gr tlle s D o l1 le s 619

Coesideremos des casas para el calcuIo de las integrales mediante ceordenedas polares,

ler C aso.~ C onsiderem os la region polar D dado por: D={ Cr,B)!a :s ; 9S:1l" (p{9):S:, S ''i''(a)~

y S1:8 I:D c R 'l ~ R , una mmiiJD continua so ,b ra D_

ii I"~, , ' ( 9 )

. f(r~ 6)d.4 .= ( . /Cr ,JJ) .rdr )d9'a « p e a )

D

lldo Cuo.- Consideremos 13 regioQ-polar D dado. por: D={(r.e) f a,s : clb A q1(rlS 8 S W(rn y

sea f'; D«: Rl _,. R.. una fum:ion continua sobre D.

f f rr<")

, . ! ( r"JJ)dA,=' 'II (~(') f(r. fJ)rdfJ)dr

fJ



620 EdUtlTdo Espinoza Ramos

Oibserv:atl6m.- Parapasar de una iGlegraldobie en ccordenadas ea rtes ianasa una , in teg ral dobte en

coordensdas pclares se tieae la relaci6n:

x :00; r cos e ~ y= r sen 10 . ,pOI' 10 tanto;

I f I(x, y)dxQ'y = I I ff,. oos.9.r sen 9)rdrdDD D

EJemplo.- Calcular 18 in1egTal doble J I ~l-xl - y2 tbuly 1donde E) es 1 : 9 . cuarta parte del ,circulo

D

;(2+y2 : < , ; ; ; ; 1, que se hallS! en el primer cuadrMlle ..

Solud6n

Sea x = r cos e ~ y = r sen H

I f ~I - x~- y1dxdy = = I I ~I ~,.l ',.drde

D D

r~ l2 r .J 2=J . (!~-r rdr)d9

10 0

Ejemplo..- Cakmlar ta integral dable I f ydxdy. dondc . I I) esIa reg~.6nencerrada por Iacardiode

D

r= 1+cos 9, sobre el eje X.

v

r=]+oos8

SOlud6n

Sea x=r eos 6" y =r sen e

{

O S ; 8 ~ ttD·. OS;,f!:l+oos8

Mora calculames 1 3 integral doble, mediante enordeeadas .polares.



1,.~(!grsle5Dobles 621

I f y dxi{v =f J r sen fl.rdr .dB = J f sen R,. 2 d-rdOD o J)

f n l · l + c o ® o , I ' " r ' r:( r: sen (j dr)d8 = ~ sen B· dBn ~l . 03 fi

I J I r ' . . :I (I + cosO)':I / I t 1.. 16 4=- n +(:0:;0)" sene dO ;:;;; , . ~ -~[O-16J = - =-3 1 .1 12 {I 12 12.3

Ejemplo.- Calcul ar J f e - e x . : 1~.!}dxdv; donde D es la region en el primer cuadrante acotado ['lor la

II

_r '2 . 1 2 . J _1 dcircumerencia X· +J =a y ios ejes COOl uena· os,

y

Soluclon

Sea x = r cos e, y = r sen 0

2 2 ! 2 : 2X +y ::;:,a = > r= a = > r=Q'

~OS:B::;1rD: { 2

tosrsa

Luego cambiando a ccordenades polares mediante Is

transformecien x =r cos e, y = = r sen 6 se tiene:

1

e -.Q -1.' R ! 2- l J ' =

2 . n

.,

e-o- -I 1r ;t. _Dl1f : _il'2

--.-=-->(,e -l)=-(l~e )2 2 4 4

E;jemplo.- Hallar el volurnen de Ia region en el espaclo limitado superiorrnerue por el COHO

z = = J x I+J ) 2 . j dentro del cilindro x:l -t/ = iY sabre el ccjcX .



62 2

&lludon

z

x

{o s e ~,'iIf

D:OS,.::; ;}

I I I f i ' I ' f l l ' d l J '" 1 1 ' 1 1r 1 " ' 1 n ,,', ,1 r

V = f (x~y)dxdv=:; : I'.ral".de = ( r1tlr)dfJ= -/' dO = -"=-u.

1

o , . ~o 2 '0 0 3 ' 0 0 3 J

Ejemplo.- Halilar el area de fa regjoo plana D ubieada en el interier del,cireulo I'= 3ros B yen el

exterior de la cardioide r= 1+ cos f l . ,

Solmcfon

Graficando 1 8 0 circunfereneia, lacardioide.

yCalculando las ~nter5e(:'Cionespara obtener los Imiites pal""a. e

r=3C080

r~l+cos:i9 {

r = = 3 -C OS 6 , ' , ,3eo, 8 6 = ,1+ , o s , - , , 01 tr n

1 e => cosO =- :;;;:;}l =-' --,r = +cos ' 2 3' 3

x

. . .

"'" 1rf J =--3

JIT/J r/ 3 !:(iS9 " I1I'13 r ' :2 ' 2 '} , , '

= '-" dO =~ 1L9cos 0 -O+cors.8) , de-1[ 1.12 l«ooB 2 -nIl '



623

I I ~ n " 1~n=- {8~O -,2(,;058 '-l}dEJ'''''~ J (4{I+cos26)-2cosO- '.)dB

2 -nn 2 -nil

1n /3 . . . •, . I ~ .... f I r J 3 2= = 7'_. (4cos.2l9- 2cos6 +3)d6 ::E-(2sen2,f) - 2 sene +36) =tr u

2 -Ttl] 2 ~n;/3

:a) oefinle.lon.- Sea F: S c R2 ~ D CRl una fun:dim (lransforma.cion} comnuamenl 'e

diferenciable dado. par "(u.v) '= (x~y).donde x=:x(u.vJ~ y=y(~v).,

El Jacobiano de ,f es dadopor:

J(U t '1.')= 8(t.Y):.;~ ~o(u.\1) ,

,

Ejemp,lo~...,2

La funcion F : R - - ) R que trensforma ceerdenadas polares en eooedenades

cartesienas lesta dado por F(r,'B)= I(KS) dome x = r cos e ~ y : = ,r sen e entenees el

Jacobieno de F es:

-rsen"=r

reose

aha ra d aremos la d etin ic i,o fl e n forma m a s ge~raJ.



624 £4uo,,40' £ sp ln oZ il R a.m 'o 'S

b) Defli.lc16n,,- Consideremos una fuflciong definida en un coqluntoccrrail!o! n,.es decir:

Supongamos que F : U cRrT ! --+ff I es una funeien centinuameate diferendablc' y

uno a UI'IO en un oonjunto abieI10 U.

Si S es un C O . [ I j u o t o eerrsdc contemdoen UtaI que g C . S la imagen de F en $; es dear:

z z

Q i 0 F

entonees el Jacobiano de F es;

O x m

q y m '

: & x ) O x l--O y l Q y 2

.&2 &2.-~

.I~'Q y2_ O(Xl.X2 x"')

JeVl.Yl'···.YmJ = .' = . .0Ct'I; J'2 , . .. •~,Y IrI )

O x t

Oy",

O x l

0)',.. i



Integrates Dobies 6 2 S

EjempID.- Sea F: Rl ~ R1una , transfonnaciol1 definida 'par F(Yl "Y l ,Y1J = = (xI ,Xl ,Xl) donde

X1= 2Yl - 3Y2' Y2 =: :3Y : z ' Xl::: Yl - Y3 ~en ton ees el laeobiano de F ,es:

mi

( b ! ' 2

O x l

Q Y 2

o x ]

0 / 2

a xl

0,)·1 -3

&2 ~'O

0; 3 0Ox] -

' O y 3

~ J = - 6]

,)

En las integrales ordinarias ,elmetodo desustitucion nos pennitia calcularintegrales

c omp lic ad ss, trn nsfo rmando la e n o tra s mas se nc ills.q , e s d ee ir;

ff(X)dx = rtf(g(t).g~(t)dtIi! J/

En forma similar existe un metodo para las integrales dob),es, es dec-ift que se transforma una

integral deble de la forma I f Ix,y)dxdy ,extendida a una region D del plano XY en Olra

IJ

integral,doble I I flu, v)dudv extendida a una r~gi6n S del plano uv,

s

Pasa esto se vera la re la c'i6 n e ntre la s regmoilles D y S Y lo s in te gra ndDs f(X _ , y ) y F(u. v).

lEImetoda de' sustituci6n en la s integrales dobles es m ilo; laborioso que en las integrales

simples I, puesto que en lllgar de una funci,on Mora se tieae dos funciones X e Y que

relaeicnan a xtY con u,ven Ia fonna siguiente· X -;;xCu.v) t Y;:: y (u,v)..

v

x : : :X(U~v)y :::Y(U/v)

u



626 Edua.rtlo Esptno1.11 Ramos

Geometricamerae, puede co:miderarse que las dos ecuaeienes deHnen una '''aplicacion'' Ique

haee corresponder II ! un punto (u.\f) del plan9' uv, el punto , imagen ('4Y) del plano XV yque Is

a plic ec io n p ue tte ex presarse med ia nte u na funclan vectorial.

_,

E n el plano trazam es rei radio vector r que une el origen (0,0) con el punta (x,yJ de la region

4

D , el vector t depende de u yv, y se puedec:onsidetar com o una funci6n 'Vecm rial de dos

variables, definida por la ecuacion;

I I ;fu, v)= J1(u.11) 7 0 { - y{u".v) 7 Sf (n,v) E

s l

esta eeuacien se llam a ecu ac:i6n v ectorial d e laaplic ac ion, Como. (u,v) -:o co rre p un tas d e S.el .

_ _ ,

vector r ("~.I) describe puntes de D.

La. fannula para 1 3 1 lransformaci6n de imegral,es dobles puc: :deescribirse asi,

I J l(x.ylt4dy =IJ,f(X(UtV).y(u. v)~J(u. v)!dudv

D S

donde el factor J(lt,v) es el.illacobiaoo de Is aplieacien,

EJemplol." Sea R la region triangular del plamo XY limirado por: x := O~y = = 0, x +Y = = I, encontrar

~-J'

c.1valor de J J e rlY dydr

.R

Soludlm

T ran sfo rmaremo s la reg io n. R . . : x = O. y:= O~x"" y !:. ]

Sea



,lnlBgnlles DobUs 62 7

u+vpara. x = 0 = - - => 'v =-,t.I

2

[ ) = H u,v) Iv = -u '. v= u, v = = l]

\}-f.i

,,=0=--', ;;:;)!/=l.I. 2

Calculande el Jacobiano J(u" v}.", v(x.),) se tienei i ' ( ~ u . "v J

'm j " I(x'v) -", 'c"

J(u.v} = = ' . ' - , ' = D u , ' ' , " a v . , = 2. o(~ ,1 ) 8y B y 1

flu O v , 2

-I -Ie-e. II e+e

=: vd\!::;::~~~

20 4

f fyt cosXl'

Calcular ]3 integral d()ble '. '", ,+ dA~ doadex .

D -

'I!.. 'l 2. 2. 1· 2 . 4'pa raI :Jo as v= z , x = = l'" ~ 4)1~.Y ::;:e x

D es la region l.imitada por las

Soluelob

2 7 . Z 1Trat1sfonllando la regioll D: y = x. x = y. X'= 4 . 1 ' . , J' = 4x para esto bacemos el

cambio de variable sigui.ente:

r-----~~--~~--~~------~ __~ -- ~~~



628

{

2

. X. = .Y4

2 .x=_V

r 2

J

- "-=1X

= > Iyl ~·-=4

xr 2X

-=1

r

2=>.x

= > t v - ~

r 2Y

=> U=-l ' : : : u : : ; . o 4

lS:v;S;:4

x

x2 ,·-=4

)'

por 1 0 tanto Is regIon D se transforma en la lle,gion R .. donde

R=·{Cu"v)e R2/1~u~4 A. 1 . : S ; Y ; S ; 4 }

Graficando las regiones se tiefle:

Ahora calcularnos el Jacobianc

lY

U"""-

X

xl

v~-y

XV =U\'

a x ii\' I 2ll 113

J. .._ B(x.y) _ i J u ~ . . _ 3 U 11. (ut v , ~ . . - ~ . -

. !i(u v)HI<' • 2 .. -1,'\ I ]

u.. _ -u v,(;" i3

2 I J -113U Ii'

3

[ Ul -2:]

-u V··3

4

4 · · u

1 4 I,==:"_,.,_"".,.,, =........9 9 3



I nt eg l'll le s Dob le : s 62 9

1 1 4 / 4 . 1 1 4 [ [ cos4u ] / 4-;. sen ltV du ::; -:- ' (scn4u - sen u)du =:; , o j - - - +cos u •j I I 3 I . ~ 4 , - 'I

I [ [oos16 oDs4 .] 1[ S . . cosl6 ]: : . J . - . (cos4 )-(--.--+[COS~)'=~ ~[cos4- .. '-cos[·_ 4 - 4 . J 4 ,4

I

~-[~kos4-cos 16-4cosl]1 .2

11'0. Centro de Masa de una Limln8.-

Consideremos una lamina [que tienela forma. de unllll'cgi6:n cerrada Reo elplano XV, y sea P

Iii medida de Is densidad de area de la lamina en cualqWer punto (xS) de R, donde

p: R' c R2 ~ R res.una. fu:ncion continua sobre R.

IEntonces Iarnasa total.de Ia lamina R e sta d ado per:

M =II p(x, .v)dA.'I/.'

,M I = II yp:(x,[y)dAR

IJ) EI memento de m asa de una him ina. Rcon respecre a 1 I eje Y es,:

M y = = I f xp(x.y)dAI

R



630 EdulI,do .BspinozlIRamos

Luego el centro de masa de Ia lamina es el pumo P{x.y) doede:

y I I p tX 7 y)dA I

R

. f I xp(X~J')dA- M y ,Rx : ;;: ; _ ._ ; ;; ~ :- - - ~ ~

.. M I I p(Xtj)dA

R

I I J'P(X" y)dA

R

2do.. Mumenlu de' Iner'ela de uDaLimlIUl.-

Coesidesemos una psrtieula de masa m que se eneuentra a una. distancie d umdades de u.na

rec~a L , entoeces Ilamaremos memento de inercis de la particula respecto a Lal numem.

E I momento de masa de una particula, usualmente se Ie llam a el primer momemo y el

memento de mescia el segundo. momento de la plmiclJla respecto a L.

Censideremos un sistem a den partieulas de mesas nt[, m 2 ,•••,m~l situad os a distan cias

d; .d1,... , d " respectlvamenre desde una recta 1L,tiene un memente de inereia I q q , e s e defi.ne

como la suma de los momentes de las partleulas individuales.

rr

J =: L,mrdi, , , , 1 ,

ELmomeflto de' inercia de una lD.minll queliene la fonna de una region plana S y una funcion

densidad. p: ScR2 ----+R oontinua. puede encontrarse respecte a cualquier recta L.

En partic u1a.r~lo s memen to s de in erc ia de Ia:lanuna respecto a los ejes X e Y estan dodos por;

I r =I I i!:p(x,y)dA ; lJl =I f x2p(x,y}dAs s

EI.mome.nto polar de inercia alrededor del origen 0 ·~stadado por:

.

10 = 1J;+ l' y = = I I (x2 +y2 }p(x,y}dA

o S



l nt eg r a .l es .Dob l es 6.31

Observ:&cilln.- Consideremos en el plano XY una lamina S que tiene una densidad continua,

p: S c Rl ~ R. entonces los:primeros momeotos MI,.M 1 . de S respeeto a las

rectas x = 8, y::: b, ,esl3.n dadas respecuvamerne per;

M f """f (x - a ) p ( x , . 1 j I 1 ' d A '

s

M~ BI I (y - b)p(Xt y)dAS

Observaclim..- Los mementos de inereia de la lamina Srespectoa las rectas L : ! : x =Q, Z=0;

L'};,:y =b. z=0; L ): X= til" Y =b son respecdvemerue.

r{' = I J ( x - a ) , 2 p(X,Y)dA ; l~ = fJ(y-b),2p(X,y)dA

s s

l;,b =I f [(x - a)2 + (y - b )2 P(x,y)dA

S

OllsetVadoll.- EI :000 de giro de un objel() respecto de un eje L es ,eI nmnero R definido por

f T .R ::;;:17donde I es el momento de inercia respecto de L yM es ]8 mssa total del

obJeto.

EJempJo.- Encoatrar Iamasa y el centro de mass de Is lamina en 1 8 1 forma de una region reetangular

acotada porlas rectas x = Jt Y = 2 Y los ejes coordenados,

Si la densidad de a r e a en cualquierpunta

esxy2

Slupslp2Solution

'II

M = f I p(X,y)dA;:: I I >.y2dx~vR R

lf ' · · .I3xyl:2

s f 3=. ( ... 1')'2 dyJdx=. ~/. dx=- x t b :z z: l2 s /up su 00 J .. 00 3 · 0

~ - - - - ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ ~ ~ - - ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - -



632 Eduordo Espinoza RameN

f ff' J ' . f 3 f ' , r 1 x , , 4 / 2 f 3~ ~ . yp(Xty}dA~ ,x ,ldx l.{Y= : ( xyldy)dX~J. _-_ , dx=4 xdx=18

01 } [1 4 ID I)R R

I 3

I I I f 2 2 , I J X Y / , 2 8 1 3 2 :M= x p(X~y)dA <::: I X Y dx dy = (-' -), , d x =; - , x dx = .24Y [I 3 0 J I}

R R

~

_ My 24x ,

- - ' - , - ' - - ' , - . - 2.. - .. - -

M 12

- M x 18 3

lY~-'~-,~-M 12 2

I

i"~2

- 3Y=-

2

3Luege el centro de masa es (x,y) = (.2t-)

2

Ejemplo.- Eneontrar el memento de inereia de la lamina. homogenea de la form,a de lar,egioll

aeotsda pos 4 y : : : : lx, X " =4 Yd eje X, correspondierae al eje Y, s : i la densidad de

" I .,,"/ 2area es p SIU~ P

Solu.cJon

I Y ~ f I x~p(x.J')dA donde p(x.y);;: P

R

3x

1v =J I xJ pdxdy = t c ( 4 x2pdyl'dx

R

.lx

1 4 2 ( f ' , 3 p I ~ 3: p X Y 4 dx=-- x a x

[I - 0 4 (I

3p 4 / 4 2~~K , ; ; 48p -slugs/p.

v 4 I 0

EJrmplo.- Enconlrar el momerno de iuercia de la lamina homogenea de la farma de' la region

aeotada por la parabola . - l =4 - ,4 y Y el eje X . si la densjdmJ

de irea es p slugs! p : 2

Solution



633

t,=J I y= p(x"y)dA = f J J,l pdxdyR

4-~~ 2

f 1~ '. 2 P J 2 4-x J

=P ( 4 Y d,.'v)dx=- ( ) dx~o 3 ~ 4

P f 2 ' " 2 : . 4 I) . I 73I =~ (64-48x +12x - x )dx -:;- p

X 192 -2 280

I.) Caleular 18 integral doble JJe-(X~4 }hdA ) donde R es la reg ion en el primer cuadrante

D

acotado per el circulo x2

+vI = 4 Ylos ejes coordenados,

Solucion,

v;;2 +r::;:" Pasando a coordenm:bs polares

x = r cos H • y;;:::r!£fi O.doooe el Jacobiane es Jh·~e)=: r.

ahora sustituyendo en la integral dada, se tiene:

J'_ - -r

I f (1 1] I 1Ir2 1 1 l" (.ft12 e / 2,e-,X -iY dA ~ , ( e I' rdr)dlJ= J , _ - - dB

(I "0 0 2 Il

D

1 , f "' -: --4 ,,1f . 4=--, (e -lJ'dQ =-(I-e- )

2 0 4

2J2 22 222

Dada la region R eo el. primer cuadrante entre los eireules x +y =a • x +y =b.

- , J J ' dxdw0< a < b. Calcular el valor de la integr,al doole • .: .2 - 2;

R X +y

Solucion



Edua rdo ' E spino , '{ .J lRamos

y Graficando 1 3 1 region R>pa~a:ndo a ceordenadas pol ares.

x = r cos fl. y = r sen (), donde el Jacobsane es J(r.9) = 1' .

r=aahora sUslj,tuimos en 13.integral doble, se tiene:

x I f dx dv 1 1 f l ; r I ± f b dr' 2 . 2 = (,2r)dfJ = ,1t -)dO

RX+Y 0 « r OoT

fL.b b f t If b= m r / , ' dO=In- de =-, In(~){I u a [I 2 Q

Ubicando la region sobre el cual se reahizala integral

r=a J

-d5x~a

, .D: l J J1 2 2

-'(2 -,X : = 5 : y : S ; a -x{,

2. i: 2

+ _ l I '=Q

=:>

x=±aa

p a.'1mndoa coo rd en ad as pola re s

: a

K :: r cos O. y~ r sen e. donne el Jacobiano es J(r,e, = r,

ahora pesando a coordenadas polares se tiene:

1 2 1 T [ , J 1 2 . " . 1 . 2 2 , 3 1 2 J / ' ( /;;; ~ . a ~r{Jf' -2a)-2(a ~,. ) 1 , . dOo 0



4}

,22<1' , >10·>0+y _0 X ~ ~~ y __ .

y

1 : r =1

2 2 :

J

' J ]-x -y , .. . "1.iIxdy, conde D es dado pot· las deSJgu.aldades

D .l+x-+y

Solud6n

Graficando la region.D. pasando a coordenadas polares

x = = r cos e , y = r sen , 9 , de donde el Jaeobiano es

o(x,y).J(r~lJ) = ~r

a(r~6)

abora reempiazando en La inlegmi dada, setiene;

J J ' 1 ,,2 2 I ' I l g l 2X ~ y. . 7.' -,.

, 2. 2 tlxdy = = . { , u 2 rtlr}d9D l+x -!-y o 0 1+,.

It I, I 2 ' / 1 , I t if 1 n ,... (- arcsenr2 +-:--1 =T' '), d e : : ; ; { - ~ - ) : ; : , - ( 1 1 " - 2)02 2 I) 042. tl

5) Calcular la integral doble pasande aeoordenadas polarea J I . J R2 - x2

- y2dx dy donde nes

y

r = RoosO

D

Soluemo-

Graficando 13 region'2 I

D: x +y ;:;Rx, completendo

2R 2 2 R

cuadrado (x-~l1- Y =-_.2 4

pasandoe ceordenadas polares: x ~ r cos 9" y = = r sen e .

. ,,8(x,y)donde e] Jacobiano es J(r t E J ) . : : ; ; = = r

fJ(r,.6 )



6,36

2 . :2(u +1)(\1 -I) "'"0 : : : : : > 11"" ±I

22 2 Z 2·,2·2.·· 2,.2u v=-u +v +1 => N (V +1)=", +] dedende (u -1)('" +M)=O =;> u=±1

Luego D~ H~v) I-I .s;U:$; 1 A -l sv ;5 ; I}

2 2Come x : : ; : : , 'U - V .y ~ 2 UV; calculando el Jacobiane

a x

a(x . v , CuJlu.v) =.' • = ".8(u.vJI 4'

a u l J v

-1 o

~ 'z . 1 ~( 2 : : 1 . ) 2 . . 2 2 (:I .2)X +Y ~ u -v'. +4u v =ts +v .'

1

-2uJ(U,V) =

2 1 1

-2\122

=4(,.. +v )2u

Mora reem plazand o en la integ ral do ble

R D

11.4. 221 .. 448

=16 (u +,-:-u +-)du =-.u 3 ;5 45

ll) Calcular J J /4x2 +y24xdy• utilizanoo el siguiente cambio de variable x = UV~ Y= a/-v 2

R

donde Res laimagen de Ia region 0=: Hu,v) 11 su:s: 2 A ~1::S;;,;S; I]

Soludilll

c(x.Y) .

CalcuJando el Jaeebiano J(u, v)= 'i es decir:a(u. \I)



INtegr l1 les Dobies 637

& f k

afx. v)

r uJ(u,. tI} = .' ~ ' i No(u,v) _.

,d i

u . 2 "

-2Y ~-2(v +El)

J- . . . .

4 1 2 J 4 2 : 2 . . . . :2 2 2_.Z 2 :.x + Y =.." U v + (u - II ) = II +V , shora reemplazando ell la in te gral G ob le

y

1

() 1

·1 J J. 2 2 . 2 , · f · c r - 2 2 . 1 4 . 3 2

= 2(u .. v,' dud» ==:2. { (u +v )dv)du~~_ .I ~l 45

D

Calcular 1 3 1 integml doble IJ(2x-y)2dx~Y ~si Des Ia region en elplano XY~ hmitado pOT

D 1-4x+ y

la s rec tas ]I = 2x. y= 1 :2 +4x, Y"" " 4x.. y +2;;;;;2x.

12)

So.udon

Transformando 13 regio n D : y =: 2x, y : ; ; : : 2x - 2, Y = 4x, Y = 4x.+ 12. para esto hacem os el

cambio de variable sigaiente ..

{

2X-V=U { o . s : u : s : 2. ~ • de donde R={(u.v)e RxR/Osu:52 t\ O~v.s 12.

y-4x = 1I 0:5: vS 12

Luegola region ndel plano XV se tmnsfonrumdo enla region R de] plano uv, cuyo galicoes:

v v

12

o2 u



638

AJlara ealeulamos e m Jacobiann

{

2X~ v= u::::)

.v -4 x:;:;: ~

- J 22

f J (2X-y,· J J u. . I f · f , l l U dv ., .. dx,dJP "" -1.J(u.V)ldudV~~ ( ~)dzi

D 1-4x+y If 1'+\1 2 . 0 o I+v

] 1 2 2.. /12 InllI2 2 4 . .~-~ . u mO+v ) du---. udu=~lnlJ

2 . 0 o 2!J .3

H...ll la i at d bl J J . (x- y)dxdy A_ de R ] drils d ,.. (20 (42)i:II! ar a lDtegr 0 e.. J . > '. '. ... .' 'LWB e es ,e . cua .. 1aterc -e:veruees '., ). ., "3

.2 2 ,

1 / . ' l+x -y

(2,4). , (O .2) .

,SolucioN

Graficamos R Y haUamos las ecuaciones de los lsdos del

paralelogramo.

Transfo:rmando la region R en otra region mediante el

cambio de variable ..

r u+v

I X = - . 21 U~V

lY""Z-

{·u:x. + y.

=$.

v=x-y

L uego fa regiim R se transforme en la region D = = { ( l i l t . v) e· R'l 1 2 ~ U:,:S; 6 ,A ._ 2 ::: ;; .::;;} cuya

g ra fic a e s:



Integrllies Dohles 639

ahora calculamos el Jacobiano

1 2

5 .1 4 5 1J(u v)"" S =_. +-''''''._- =-. ". 2 1 25 25 25 5

5 5

Luego reemplazando en la integral doble

f f (x- 2y+3);!)elx.,.}'+ldx4IJ;: J J (U+3)2e¥+1IJ(u. v}ldudv ;;:~ II (u+3)2ell+1dudvR D D

4e~I __ 63,,4_= [216~27]=-(e -.,

II) ,5 .J ' I . 1 h·l·1'+1 .63 4

:.(x-2v+3) , e - dxd'l'=-(e -1), _ . s -f?

1O} La region R se ercuentra en el semiplano superior del plano XY y esta Iirnjtada por las

parabolas y 2 ; : ; :4(l±xJ y eI eje X, calcular J I J x 2 + . 1 ' 2 dA. haciendo el cambia de

R

iabl 2 2 2ana es x = u - v ,Y = .,u v.

yGraflcando la region R

2=> y =4(1±x) de donde

1

T ran sto rmando la region R, a etra region.

2 2 2, 2 2Y ~4(Jr+l) ~ 4 1 4 v =4(1+u -\I )

2 ,2 - 2 2 : 2 .Z 2U fj! =l+u -v:-:> u (v -1)=I-v'



640 Edu ard o' E sp in oz a RQmos

2 2(u +J)(v -1)=0 = = > v=±l

2.· 1.1 1 2para y~-4(x~l) => 4u v ~-4(u -v -1)

2 2, 2 21 2 . (2. l) 2 I ..Ii d _~II V = -u +v +I => U ,v +, = = v +. .we · ouoe (u.2-1)(l+,I)=O => :u=±]

Luego 0 = {(u"v) I-I S; u S; I 1\ -1 :::;v si:

C. 2 2omo x ='1 .1 ~V , y = 2 uv, calculando e1 Jacebiano

y

-1 o 1 x I-2M

J(u, v , =2 "

- 2 1 1 2=4{zr +v )2 L 1

a ho ra r eempla za ndo e ,n la i nt eg ra l dob le

.f f 2 2 2 . . 1 1 ' 1 12 2:2 . ' 1 1 o S 2" J v

5 / 14 . · 1 (u +v ) dudv =16 (. (u +v) dv),du =16 (u v+- __u v +), du. .0 lIO 3 j. Q

D

1

1.4 2 2 1 . 448=1,6 (u +-u +-)'du:::;:-

n 3 5 45

II) Caleular j I J ' 4 x2

+ - ~ v " 2dxdy ~ utilizando el siguiente cambia de variablex = uv, y.:= : u2_ , , ?

R

donde R es la imagen de la region D= Uu,v) I ]~ u . : S : 2 I\. -1 S; v S. I}

Soiudlm

CI(x,y) ..Calculalldo el Jacobiane J{u~v) =.' •es decir:

o e u . v}



Integrales Dobies 64L

ik ik

& v u . 2 2.

- _ ::;::-2(" +u )~l - 2u -2V .- - - - - _ ,

l J v

~ 2 2 J 22 2 11 2 2 .4x + y .~ ..4u v +(u-v) ~u +v • ahors reemplazando en Iaimegrsl doble

y

1~E:'

0 '1 ::':. ~ Z X

-1

R D

I I,2 1 2 . . .I' f ' - 1 : 2 '_ . 1432

=. 2(u + v ) dud" =2 . (, (u +1 ' )dV)du=--·1 .-I 45

D'

J2) f f. ldxd'

Calcular Is jntegrru doble . _ .(2x- y) .- ·.Y, si Des la region enel plano XY. limitadc porD 1-4x+y

las reetas y = 2x, y = 12 + 4x. y;::; 4x, y + 2 ::;;:2x-

Transfbrmande la region D: y= 2xtY ' = 2x - 2, y;;:; 4x, y;; 4x'" 12 para esto hacemos e E

cambia de variable siguiente,

J2x- y=u { O S ; uS; 2ly-4x= v = > Os 1 '512 t

de donde R : : : : : {(u.v) tii RxR I0 ~ u ~ 2 A 0 S;v:S: 12}

Laego la f1:giOll D del plano XY se transformando enla region R de.~piano UY, cuy,o grafieo

es..

y Ii

12

; : 2 u

o



6 4 , 2

Ahora caleulamos e m Jacobiano

.E du llrdo E sp ilfo ZQ R amo s

{

2X-Y=U~,

y-4x=v

1 , , ' u+l'X=-~

2 =>

L v ~ '-{2u +v)

I

2~2

2 ,2 2

I f (2x - Y) IIu 1r I ~ 2 u dv',_, " tlxd_ I ' = '---IJ(u. v)ldudv::- , I ( , --}du

J - 4x+y , 1+v 2 0 0 1+VD R

1 f a 2 , , / 1 2 Inn r ' 2 4=-- u m(l+v) , du=- Ii du ~-lnB

20D 20 3

I J(2x - y)2 ,,' 4

,:. , , " , ' dxdy =~]n13D 1-4x+y J

tJ) II(x- yJdXdy

Hallar [a integral doble, J " ' 2 -" ." ~ donde Res el cuaarilatera de vertices (2.0)~ {4..2)tR 13+x - r:

Solution

Graficamos R Y hallamos las ecuaeiones de los Iades del

paralelogremo,

Transformande Ia region R en otra region mediante el

eambio de variable.

~

U,'+V=-~

2

U'-v

lY=-;z-

Luegc Ia region R se t ransforma en la region D " " " {(u . v } E R2 1 2 : o f ; u~ : 6 .A - 2 : s ; ; v S; 2} cUY3!

grifica es:



643

o

Calculando el Jacobianey

211&&1 , - -

Jl '). _8(x"y) _ i i N . ' -,u.v - . , -: 0'

o(u, v) i -

i J u lt v

-2 porto tanto reemplazando en, la inle,gr-al dada se time"

If'I6 vdu, 1 1 1 rt:= .~ _ . . . ( " - )dv=-, (13 + uv) .' dv2""'2 2J13+uv 2 -2 2 ,

. : I I (x~ y}dxdy _~ 51/7-205

D J13+x2 _yZ 9

14) C a l c u l a r J J 2 n : ( x 2_y2)SCnR(x-y)2dA; donde D~{< x,y),e R 'lI l x ' l l + l . v l s I }

D

Solution

Transformanda la region D~mediante el siguiente cambio de variable setiene:

Ju~x+y =:> , { , - l ~ U ~ Jl v = x- y -,I ~ vS:; 1

Luego la region Dire transfOnml. en la region R donde R = ~(11,v)I -I : s : u :S:] 1\ -1 ; 5 ; v:S: I}

ahara graficamos las regiones,

u

1 u

I



Ahora calculamos el Jacobiano

{

u~x+y

como ", = >v=x-y

u+V ',r~-- a x

2 = > J(u., v)= vex, y) = Ou'a{u, v) By

a uII-V

y~'~2

Luega su st it ui remos en la in teg ral d ad a,

I f 2n(x2 - y2 )sen~x ~ yfZ dA=IJ2TWvsen 'l'tV2dud»

D R

J 1J 1 2 , ' . ' If 2 : / , 1 m J I -= (, n uvSCIur v dv)du ~ ~-. "'COSH V du» -~ ,U{COSJf u-costr)du = 0-1-] 2 -1 '~I 2-l

15) Cslcular la integral, doble J J cos[(2x'- y)2 +2(:x:-+y)z]dA) siendo D Iii!region enel primer

D

cuadranteecceada pOT 2x2 + y2 :: : :4 y los ejes cocrdensdos,

Solud{m

Dib'4janao 13 regi6n, D acotllda par 2x 2+yl =4

eambiande de variable se tiene,

i'x . -.Jlr , 00, S ( J

y!i::::2rsen6 {

O : s : 6 ' $1[': : : : : : > , 2' , Ahora caloulanda el Jacobiane

O : S ; r : S : I



lnte;grales Dobies 1 6 4 5

L uego reem plazande en la integral dada

f J cos[(2x- y)2 +2(x+ y , 2 P A =

I f cos3(2x2 +y'l )dxdy

D D

=iI cDs12r2IJ{r.9~d,.,de =JJcos12r22.J2rdrd9D D

• . • .2. I T f '. ' 1 1 " sen 12 r /1 ,2Ji., ( (;0812,.2 .rdr)df)= 2.Ji, 2 .' se

o u 0":;'0

.fii f . u, . J 2 If,sen 12=~ sen12d& "":~----l2 0 24

[ 6 ) II;(-)'

Calcular la integral doble , .cos(---)dx dy. donde Des la regionlitnitada per las reetasx+y

R

x-ey = I, x+y=4. 111.=0, y:: : :O.

Soludltn

Transformandc laregi6n D:' x + y ;0; 1. X +Y~4" X - = 0, y : = ; 0 :para este hacemos la

sustituci6n siguiente:

u+vpara x::; 0=- ;:;;> - I V =-N

2

v-uy=o=-- =;;. v= u

: 2

Luego la region 0 se ha transformado en la region R= { ( t l . v) e : fillv=-u. v = U., 1sv : S ; , 4 l

Gsaficando las regiones se bene:

I



646 Eduardo Espino'QI Rfilmos

Calculando el Jacobianc se tiene

Ahora: sustttuiremos en la integral dada

x

II x- y ~ ~ f · J U I . I ] f f Ucos(~)dxd::v = COS~I J(u. VJ dudv =~2· co:s(~) : ;:::du dvD x+y .R V D l'

1 . 1 4 J ' " u I. 4 ,Il

j . "- ( oos~du)dv = ~ vsen-·· d»2 I -If 'V 2 I V-If

2I 1 ~ 4 (4 Ii /~4 sen! 15sen1

:;:: . v(sen.l- sen(-1)dv =).v sen 1dv = sen L-- =Ssenl - -- = . ~2 11 2 1 2 2

11) Calcul.a:rla integral I f ~dxdy., do.ooe D es un dominic limitado pOT la linea

lJ

2 2:X Y .ry

( - + - " _ )4

= r;: situado en el primer euadrante,2 3 < V '6

Cambiandc de variable se tieae:

Soludo'D

{

. r : : ; 2 ~ . 2 · 2X="I/L.U X Y 4 xy

. .. . . ~ _ x : V ~ . J 6 tiV como (-. -.+.) ~.-.

y= ..Jjv 2 . ] , J6

"2 : 2)4 demsentonees tu +v = UV, a emas renemos



647

a(x.y)Ahoracalcwamos el Jaccbiano : J(ut v)=----

a(u.I! 'J

a x

Jr!.l~v)~ .~

a;

Luego reemplazando en. la inlegrnldada

Mora. pasando a coerdenadas polares se tiene:

laintegral



648 Eduardo .Espino4)lBamos

JJe-(2~2:-2~si) aretg( x+y ) . d A ' .

D x - 2y

D={(XoY)' 1~ 2x2_ 2xy +5y2 ~ 9, (l-l3)x+(I+ 2/i)y 5; o..Jj{x+y):a: x- 2y.)

18) Calcular La integral donde:

So.ludon

Haciendo eI cambio de variablese tiene:

{u~x. +y

v=x-2y

{

2 . :2 . 2U ~x +2xy+y

=>- : 2 2 2

1/ . = x -4xy+4y

2 2 . . . 2 2U +\T= 2x -2xy+Sy

Luego la regio'll D se ha mmsformado len Wa re.gion R donde:

Graficando L a . region: S up omend o q ue :

ahora reemplazandc en la integral dada.

Jjle-~211.-2~+5llarctg(_ x+ J' )dA =I f e-(r.lZ+",2} arctg(U )]J(u, vJlaudv

D x-2y RV



649

2u+v

3 O x j ' 2

entonees J(u v) "'"8.U . . . . 8....•.~3. 1 Q v ~ 1- -a u 8v 3

}).'.=-~

~

{

U=X+Yl u e g o

v=x-2y

.)1=--

u-vY=~

3

{{

1f 1f'lJ=rsen6 _. ~9 S~

,353000 a coordenadas polares se tiene; . => J(r ,0 )= r '.' 6 . 3v=,rc.os9

lSr:S:3

It

m I J ' _.1 r- sen 9 . . l g ' ' L 3_ 1 , ,=-:-.,e r arctg(--~) IJtr, 9) Idr d9 ~ - ; ( e r arctg(tg9)r dr)19

3 .' r cos € I 3 - , I,R 6

. . . . . . . ' . . - I I f 2x+3y Ji§ ; "alcular Ia lnte:gral dob~e " e dxdy. donde D es el triangulo limitado por

X+J_'D

4-2xY = y los ejes coordenadas.

3

Hacienda lasustitucion por:

Solud60

{

U=;(+. Y

v:::::::2x+3y{

X=3U-V

. : : : : -y~ v-2u

{.

X . ' .=0 . . = . 3U-. v { " V ~ 3 " . _ ;ahora transformando la region D se liene: y =0= v- 2u ~,v = .2u

2x+I3y~4 :::q.! ,v=4

L uego 1 a regio n D se lransforma en la f\eg io n R = {(u.:v)12u ~ v S ; _ 3 u ~ v = = . 4 '~



650 Eduardo' Esp;I'o1.ll Rumos

y

x

Cal ul . d -I J bi Jt .' o(x,Y).•c .an {)e. aro, 'UlnO .',u, v) =::.........;.,..,~

o(u.lIl)

ahora reemplazando en la integral dada.

1 . .1 . ' . . . 2x+3y ~ J f £ \ I 1 ; : 1 'J J f ' £ v fi .. 1 ' 4 , r t £ \ I , r ; : ,'~~""'elm!i dxdy »'. -e'll7 J(-u~v)dudv= '. -e"" dudv,:",:'.' u . -e'i>:du)dvX + Y ' u u 0 ... U

D 'R . R ~

20)

i I , ! ; ;pl2

f -2x+4.ji

.r r: 2 f '1 2

r: * . 1 : ,112

...,xydxdy~l f lIx~Ydy)dX=~. '\fx(-2x+4 ...£.) dxo 0 3 :0 uF



Integrales lJfJfJles

2sea x~ 6,. =;)dx = = 12 tdl para" = O. r= 0 ~ .r :='-.. . r =-

3 3

2

J J J ; ; . 2 {3/2 C ~ lJ2 2 f / l r: 2· 3J2.·.... x v d x.d v »> <It/x(-2x+4. -)dx ='.~. . ",6r(-I2;1' +4.1). "121dl '~~ .., 3 '0 6" 30. .

F6

....(1)

2 . . 2Sea 31 = = sen 8 ~ di = -sen 8'cosOdB

3

r

6

I ] 1': . 312 J se n e . 2 312 2 '. c, . 2 , J 1.4f "Ill (1- 3t) tlt.=·. (1- se n 8) - sen t J c o s e dB= _. ...sen e .COS ! 8dB

. 21 J fil

2 J " . m 8. s • " . . -.= - . . (-cos B ·-300s f J " , " 3cos B -s-eos 8)sen8 de8]

~_!(l_Jt}~/21.{l-31)1 +(1-31)2 .3(1-3t) !] .81 . . H 3 7 5

•...(2)

reemplazando (2) en 0)

I

I I tz: 6 4 - . / 6 " , . . . (l-lt)3, (1-3t~2 '1( .1-

7

..3 1 ' ) ' _.~.l.i I . ' / ~ , ~ '. ' vzydxdy = 8 1 . (2)(1- 3.0" '"'[ II + 3 '""l ..t.ll u

F

11rl-x _L

2 I) Calculer Jailltegral dobl,e 0 Jo ex+1dy a x

Soludon

Ubiquemos la region sobreel eual se fealiza la integracion.



652 Edutlrdo EspintJZtJ Ra",06

Para y= 1 -)1 . ~ x +y eL

v

x = o

Aplicando Jaeebiana selien,c:'

O x ~ .~. o(x,y) -.., ~ 1-' .,J{u v) = • . . . . . = O u . . . O v ·:: 1 ~ l~ ()= I

X ' a(u, "') By Q y 0 ~.

a u 8v

Calcu.hmdo 131regionR en el plano uV",teniendo en cuenla ta t~fennacion x= 'U - v,r-v

Para .. luego se bene:

= = > u=I

Graficando la region R setiene:

y

v v

= f f e; I Jfu. vH du dv =J ~ J : e; dv)duR

x fl LI' 2 : lie-I

~ .(ue~"')du".,.(e-l)~.. .. =~o 2 I) 2

22)

.. Soludlln



'n'egrilles Dobies 653

. . . . . .2xy(2-3x) .La 1t··n·c·Anno es . nNnu"" en (00) nero .e s a ...etada c D' p...-.t, 'que 0 ~ , . :S ; I eft,ilU . 1.., . '" C!'J..u .. ,11., .. ~ Jr·· .....~ .. ,..,en ".""""...0,.· 2 : 2 ..,.

x +.y

paes integ rab le .

t

Grafieando la o ~gi6nF se bene.

v

x' 1 / 2 :

I · J2xy(2 - 3x) ..~ . _ r,, I · J r x 2A )1 (2x - lx....) '.." c

, 2 . 1 dxdy- ( 22 dy)dxF x +2y e I) x T.ly

I t xf2 -. 3 ) ; " ) . . . z . : 2 / . . . J ! - : r I : t x(2 - 3xh., 2 2'l..= . In(x +2y ) dx"",·'· 'l1n(l-x )-10x jdr(} 2 . iQ 0 2 -

i I= 0 x(2 - lx)[In(l-x) -inx J d : c = 8 .

23) Una region R en la parte superior del eje.X esta limitatlra: par la i.zquierda poria recta y::; ~X

.. . I .Z 2 ; . liZ ·2 2'· . . •y pur 1 3 1 derecha poE a curva 3{x' +y} -lx"", x' +y .HalI.a.rsu area.

'SoiudoD

.A(R) = I I dxdyR

pasandoa coordenadas polares

{

X '::::,T, 0.0.s6 . .'=> J(r.B) =r

J' = rsen9I

como 3(x2 +y2ii -3x~ Xl .. y2 : : = > 3r-.3rc{)s6::::,.2 de dome r= 0, r;:;:;3 - 3 cos 9



654 ,Etl lUln/O Espine: ,a Bl Imos

I I

-, - J - J ' f J - I~1 1 -J W S 9 , 1 C ~ ,/l-lCOSOA(R} = dxdy """ IJ(r,.9~drde=1 rdrdfl= () C o rdr}d8::::::

2J~ r'l, (I de

R R R

24) Calclilar 13integral doble fJ~iI6-x2 - y2dx dy. dende 0 es la region iimitada por la

D

Solucl6n

Para pear la r-egjonD completamos cuadrados en Ia ecuaeien x2 +y2 -4y = 0 es decir:

yPasando : : I I , eeordenadas polares

r =4 sen ex ~ r cos e~ y ~ r sen e. dx ely ~ r dr dB

x

La region Des coordeaadas polares es: Do:: {(r.,e)!0 s e ~ 1t A. 0 s r S 4 sen £I }

Roompla zando en, la illtegral f f ~16-x2 -y1dxdy se tieee:

D

f J ~ -2 2 - f " . J , - 2 (lfl'bese . . J ' 2 . , -__,16-x - y ,dxdy =, J ' 16-r rdr dO = ,k ( 0 ' 16- r r dr)dfJ'

D D

~- 64 r " (cos] 8 -1)d6' ~ ,6 4 r~[]-fl-seil28)cP58]d63Jo 3 _ 0

3

64 sen (J

I f f64:::--1[8' - sen (1+ - --_)' =-1f

J 3 - 0 : 3 :



655

.2 z

Calcu1m- la integral f J xy dx dy t donde .D es un dominie Iimitado pOI" Is dipse x2 +Yz =1- n a b

y situado enel primer Guadrante c _

Soludb!

2 y2

Graficando laregion D; ~+ - =1aZ b2

Xl yl _-+=12 h2a

r :;:1

pasandoa coordenadas po)a,res.se tiene~:

:x- = = rcos(Ja

l.~rsenBb

= > { x . . . . . a r . . .o . 58..y =brsen6

Ox

Qdculando el Jacobiano J(r ,.8) = = ~ .-msen8

de donde J(r,9) ;;;abrbrsc116

I I xydxdy = I I ar C O S (lbr sen ( J _ IJ(r.6) l,dr,dB

.D D

=.abJ J " ' 2 sene oos·6.abrdrd6 = a2b

2JJr

3sen0 cos8 drd6.

D D

2·1 n 2-,>·1: ." 2a b r. . abo·... 2 /.'-'a~.b-

~-~, 2 sen 8 cos6aB =~. =-sen 6 ... =--4 '\ 0 8, 0 8

26) lEncontrar e~ a r e a de la region en el prim ee cuad ra:n te del _plan oXV lim itad c pOI lascnrvas

22 2. 2: : I t +2y = ID , x +2)1 ' ~4. y== 2x. y= 5x.

Solndo.R



• Eduardo EspinoUlllllMos

D ib ujan do Ia ,region aeotada,

cambiando I~ variables se tiene

{

2 2x +2y ~[,.

2 1x +2y :::4

x

f

y

x, =2, :=)

y .

lx =5

y1I=~ ~ 2S\'55

x

L uego la region D se transforma en Ia reg io n I..donde R = { { u , v ) EJt II'~ u ~,4, 1\ 2s:v: : ; 5}

ahara ealeulaade el Jaeobiaao

v

5

2'

0 1 4 u

a uo(u, \') a r8(x,Y)I: O v

O x

, , ' ' o(xtY) 1perIo tanto J(u" v) =' ',' ,',= = :2

0(11. v) ,2+4¥



657

Solm:lou.

Dibujando Ia region compnmdida pesandoa c.oo.r-den~ pOIar.es

x = r cos l e i , . y = = r sen e = > J(r,e):::r

4 2] 36 - n 2,3 (Jr = = or co s 1 ~ . , . =u. 1"::" .aeGS '

A(.R)=I I dxdy= I I I J ( r ~ e ) l d r d a = J J r d r , d 9R R R

1 ' " r ' ~ . . . 1 3 . ! l 'uCOS" .. , _ % 2 2tlaJO ,9 , 21- < 6 , " -

= = 2 . ( rdr)d6 = = r / dB = = 4a , I C O S fJ dB.1) 1)0 n I)

. 3 , . . , ~ , . 3,61

sen46 , sen' 29"=0 +-sen28 +-+ '+~~2 2 8 :2

3 2 ~ n ] '~~l- 1 ] 5' 2 ,seD 17. I T =tl _ f l , ' +_~, =In a6 ,,' 0 . 2 .2 : 4. 8

c 2sn a 2

. A(R)= ". 8

" 1 1 ' ° , - , ' ) , TI~n" " 1;, ._..I~, l I ! i ' (2 :2)3 4 .;~ fiillUHr etarea urnnaca por a Ilea .x + - y , :;:::::;+y

Stduclom

pasando D e oo rd en ad as pola re s se tie ne ,

{

X, = , , . " c o ' , s 6 ":~ xl +y2 =,.2 Y J(roe) :::.r

y =rsen6

(:2 2 )3 4 ,4 ,6 4 (,4 8' 4·ll) ..1 d de:x +y ,=:t' +Y : = > . r = r teos +5en [1., ~e on



658 EdUIUylo Espin.oZll ,llllrtlO&

- - , . . I 2 1 ' ! ' I · ""-OOtJ"fJ+ml+fj p l 1 " r2;Joott'9+SCl1-f()A(R) =IIdxdy =

I J I J t ( r .e~drde=JJrdrd9 = (. rdr)d(J =:: 1 . _ , rzrt _ dlJ

,- 0 -0 -(I : 2 - 0R R R

~ I l l t . " ' . o f : " _ . I { 2 ' 1 ( , _ _ I _ sen46 / . 2 1 : 1 : 3n 2=- (COS 6+sen 6)d9=- (J+cos46)d9="-(.361+ - ).' =-u2 I} 8'0 8 4 0 AI

. A(R) = I f dtdy =: 3 ; ' . /R

29) RaHat elarea de Ia region limitada pDf la linea fx2 +/~)2 =: 2a2 (x2 _y2) (Lemniscata de

Bernoulli>

Sohldlm

yDib_u_ 1_ 1 ; a n d o la_ r e . : p i · c·n did- d.I eo"'- oompre ,n -. - .'ii ypasan __ a

3 7 f . .~,4 -,

coordenadas polares,

{

X - 1'0086." :2 2 2=>x +y =r

y=rsen6y J(r,.e):=r

S ir

4 -- , 1 1 :

"" 4

como ()t2 +y2)2 "'"2a2 (x2_ y2:) : : : : : : > r4 :~2a2r2 cos.26

de donde

~~ w

f· 2 : _ 1 - / 'i 2 . - 1t tr.2· .-- 2 :

= = 20- cos28d9=a sen26. '= a (sen-_-~sen~~)=a (J+U=2a_1!_ ....!., 2 -2·~ 4 -- "

:. A (R )= = I I dxdjy = 2a 2 u 2

, R ,



659

30)

2 .1x y

Calcular el vohimen del sOlido limitado por ,el plano XY,el paraboIoide ,Z =:2+~ y ela b

22·.. x Y 2x

clU nd· ro -. -+--::;;~_ - 2 2 :a b Q

SoluElfin

II I I·);2 ,2

V = = , z o x dy = = ' ( ' " " " ' 2 + Yb·J dxdy I !:lp tic andocoomenada s pola re s, s e tie ne :

D D a

x = = a r cos e , y = b r sen 9, dondc el Jaoobianoes:

= l a .i

coS6.bene

-D.rsenO=ob,-

-brrrosB

:I 2 :

'. x.Y 2xa dema s c omo 2+~ =.~ ~ : r ' :: : : '2 COli 9

a b a

y

x I ' " i ' - - J l ~ 1 . 1 ' " / " , , , , .lI: r . . _ . , . . 3 ' , au 'l' • .. :.. ,

::;:2 '. ( ab r dr )t /(J ~ -., ,.4.. dBo ·0 20 {I

Q1blt if··· .'I t 1+,00826 2"""_ ,,' 16cos OdO =8ab ( . ) dB2 01 ) " 2 .

It , .' .'. I t 3 .0 0848 ,~ 2.ab , (1+2cos28 +cos2 28)dB ~:lab (""" '+2c0,82B + 2 ) d l B

o u 2 .

36 • sen46 It Jab1f 1=2ab{--~'+sen2B+" , ) .=_·-u

2 S!l 2 .

.31) Calcwar las coordenadas del centro de gravedad de ls ·figUm. limitada por las Hneas

1 '2 =4::r+4, y2 =-2x+4

SolucloD



fi60

y Como h i . figura es simetric~ con respecto a x => y: 0 . , . luegenos

q ue da . e alc ala r x c alc ula ,n do e l area d e la figu ra

J i r¥ ..' I 24 -y2 y2 -4 . r i 3,:2. !

S ~ (J.i-<t. dx)t1y = = ( - )dy = f3-- ' '-Jay := , 8-2 --:r -2 2 4 -2 4

32) Eneontrar Ia masa yet eentro demasa de la c lamina en ta forma de una regionacotada por la c

curva y =: sen x y el eje X de x = 0 ax =n, si Ia densidad de area varia conla distsaeia a1

ejeX.

=:~. Irr(l_ cos2x) dx = If .4 (I . 4

Soblcbin

M =I J p ( x . Y J d A ~ donce tP (x ,y ) =: Y

R

f J ' I IIf !ie,DJC.

M=. ydxdy="O (Idy)dx. R . .

J : . . 2 / _ - I I ' "',Y ..stn.f . •• :2

= .-.. dx =___s·en .xd»o 2 . 0 2 I)

I I · I I 2 .. I~S ( ! l l x 2 4M x= Y p(x,y)dx.·:; y dx dy ~ .0 q o ydy)dx = 9

B R



Integrales Dobies 661

n2

- My8 1fx=~· ~~~~M 1 r 2

4 - - n 16'" ~ (x~y)=(;'_I~)

4 29n

- Mx 9 16y---. ;;:;;-;:;;;.-.

M n 9#

4

33) Eneontrar , la mesa de 18.lamina que tienel,a forma de' Ia region dentrodel semi cireulo

1fr:= a I C OS Q~ O : = : : ;8 5 · 2 ' a dema s e nc om ra r el c en J:ro d e ma ss. de 'Ia lam ina cuy a medica de

densidad dearea en cualquier plIlnto es preporcional a lamedide de su distaneia al polo (masa:

en dugsy lil disrancia en pies).

VfJ=1r r=acos8

&dud6n

La deasidad p(x,y) = k J x 2 +y2 ~celculaado bl masa se

tiene:

R D

oD f)

Cal~,·"'' ' ' ' ' ' 'do :1ce ...tro de masa ( y.) el nomiento d : .........3, 0 : - - r e spee to all e'e Xl.I.'w.,.... e __ J.J!.. . . _". x, r r» > rno. e,.,_ : e .U~. _on, . ,. . _.1 ,_ .•

M ,; = JJYP(x.JI)dxdy =Jlrsen9.krFdrdB

R D

I J f ' "I..l.

I · k4

1 .'. 1" . J:I'()O II6 1 ," 1 " : 4 4 ' a=k '.r sen 6dr'dB =k ( r sene dr)dB = - a cos 8.scn9 d8 =~~(l [I 40 20

D



662

e1 momento dem asa con respeeto al eje Y .

M r = I I xp(x. y)!Uczy =I I rees fJkr rdrda ~iI ,.~·cosDdt-dOD D D

Itd «119 3 .• I e f l l l . 2 4: 5 lira4

~ k : ( r cos8 dr}d8 = - a cos 6 dB!=;: -~G (Ii 4 0 15

t

f;=30

5 ,

: = : >

. . - . . 3 . 0 .y=-

40

30 36= > p(-;-)

5 4C

centro demasa,

M yx=_·_

I M

34) Encontrarej momento de inercia de lal8m:ina. bomogenea de L a torma de la re.gion acotada

por un ciroulo de radio "a" unidades con respecto a su centro, si la densidad de Ares.es p

slugslp2.

SolucliJn

If) = = I J € x 2 +yl)p{x.y)dA) donde p(x,y)::: p eatonces:

R

10 ~ f J p(;x 2+y2 ) d x 4 v = J o 2 1 f ( J : p,r 1 . r dr)d8

R

4 4P f 2 1 ! ' 4 . · (Ja. p a n , 2

"'l' - (J de = _ . . - 2H :;::.. 10 =s.lugsl p4n 4· 2 .

35) DetJerminar el memento de mercia de una lamina en la Iorma de la region encerradapor [a

L.· 2 2 2 . £ : 1 11 1 L . ..i_...i d l d .Lemmscata r =a cos 'IJ,respectoRL eJe po lar.. a denslUl :l lU ie areavaria con a istaneia

desde el polo.

SOJudon

. E l i momen to d e in ercia co n resp ec to a1 poloes

10 = J J ( ; l ? +y2)P(X,Yld: ta:v , donde p(x.,y) = = , PR



lniegt'dJes DoblmJ 663

1 0 =I I p(x:l +y2 )dtczy ~ p I I r 2 _r dr d6

R R

,r=fl.JCOS2B

xI'"' ~ . .,.il 4 I "oj! , (loa"", _ P , ( J . . . . . . 2J, __,

=2 P ( T dr)d8 ~ ~~, cos 2,(Jd80-0 " : 2 o

4 _ ~,,] •pO t P a , se:1l48 ,7= = - 1 (1+cos48)d8 ~ ,6+ "/'4 II 4 ,. 4, (j

36) Hallar las coordenadas del centro degravedad de Is. figura limitada PO'tI,a,cardiuide

r = a (1+cos 9)

Solucl6n

y , r.,; ,1(1 +usB}

{

:II' I,,()+r;MD')M ..... f'rdr)d6

00

x

2

=o i r , a 2 (l+00861)2 dl6 =1 C

2€ J per l8 simetrta del ej:e X

se tieae y =0

I n IIl(htOd~) 2 2 r · _ 3 3M, ;:;:2 ( ros6.,. dr)d6 =~ cos9a U+cos6) dB

y 0 - (I 3 n

203,!~ 2 3 , (1+COS 28)1

=- [cos8+3(1-'sen' O,cosfJ +-=-(1+oos219)+ . jiB30' 2 4

_ M y Sa

X=-- =- = : -M 6

Sa(-,0)

6

.-



6641 EdUtlrdo Espi"lJ,za Ramos

31) HaDar las eoerdenadas del centro de grave-dadde un sector circular de radio a" cuyo a~lo

central es iguata 2a (ver figura)

v

o x

Soltlel.on

Usando coordenedaspolares se tiene: I· f 2, a · . qra. 2M"" 2 (rdr)dfJ : ; ; : : ; . 2 , ~ / dO ~ a a

o "1 ) 0 2 . 0 1

PQf ser s.im etrica con. respecto a X se liene ,)1= 0

I ' 2 1 ' 2 ::\a 2 .' Q' ) . . "iI.. . . .' aM =2 : ( . r cosO _dr)d6 =~r cosB ,. dO =_. ~sen ay 0 I} 30'0 3

M~ 2asenaLugo x ~.~ "'"---

M 3a

2asen,apor lo tanto fXtY)1 ~ ( to)

3 e e

'3~) Hallar el m om enro de m ercia de un anillo circular de diam etro d y 0 (d '" D)

a) Con respeeto a su propio centro •

y

b) Conrespectoa su diametro.

Solucilln

II 1 : 2a) 10 = (x +Y )p(Xty)dIdy

D

. l o = J f r x 2 +y2)dxdy, donde p(x,Y) = I, poe ser

D

mementos de il1.en:ia de flguras planas, ahara usando

eoerdenadas pclares x = = r cos a • y:: r sen III se

tiene:



Illtegroles Dobl£s 66S

I I 2 : : 1 _ . 1 2 K j j ! - ' 3 _ D4 _d4

10 = (x +y )dxdy=, ( r dr)d9 = .... II.. ' () 'd12

32D

b) I J 1.:I: 1 2xI T 32 ;r 4 ~I~ = r se n B .d8 dr=,' (J " se,n Bd~)dfJ =-(D-,d )

o - £AiD ~ ~

36) En unaIamina de lade "a", Is.deasidad es proporciena] a la distancia hasta uno de sus

vertices, calcular d, memento de inereia de dicha lamina con respeeto :8 , los lados que pasan

por este venice

&lltle.ltD

De acuenio a las condicieees del. problema. se t ie :ne :

p(x.y) = k J x 2 +y2 ,el memento de mercia Be determina con respecto at eje X.

Ill:::: i Jy2p(X.y)tkdy = = J J r

2

s e n2

6.kr2

dl'd8D .D

It f n x ¢ l J 4 2 I t f oO O l!eC 8 , 4 2= It G ( 0 r sen f J dr)dfJ + . . !. . ( 0 k,. sen (J dr)d6

" '

I e I t ,5 : 2 . . / a ~ i I . * , ' I t , 5 : 2 / " C O I . f ' d J i=- r sen I J " d6+-,. sen 6 . d61

5 -0 0 5 f . 0:

.1. S I · J. : 5 f '~\Q " ; j ; ' s . } ; . . 1\0 1" . 2 '~ -,- sec f) sen 6 ' dB +.....-_,"cosec9.sen. (J dB

5 0 .5 T

39) Determine la masa de la.mmadelgada que riene la forma de ~aregi6n limitadapor lagnifica.

.. x2. yl , ' _ . a2de la ecU3C10n ._ +._= o X +y, sim densidad en cada "0010 es p"X, y) = Ix - ~ I_.' 2' ,2 '. r v . ' 1 , "

a b if.

Soludlm

r



666

2 2

p . B T a I grafiear laeClllacioJl X2

+ ' 1 ~ . .J: +.y se debe comp.letarcuadrados. es decir en la formaa' b

2 2

C(·~ !_\ y " su- , 2 'II 2 i'

y

x

P...<"'-. do s . ·Id'"-....-1",,,, . ")"-s 8e' tiene:san 0 a coo. enaoas posare ._"'

, 2Q D,j 22

,X----=-.Q+b reesB2 2

",2 b r 22v~-=- ¥ lL + 1 1 rse:nBy 2 2

La ecuacion de la elipse en forma polar es r= 1 . es decir se transforma en un,cireulo.

Calculando el Jaeobiane

xO x I '"" .b

ur 6) = o . r . ' ee...~~. 'a2+h2)r~. . 8y 8y 4 ~ ,

o r 09

2 :

La masa de la , lamina. es M:= I f p(x,y)dx.dy = f i lX- (l2 Idxt/y

v D

Pasande a coerdenadaspolares modificadas se tiene:



667

M =1 J I . 1 _G

2

2

I d x d y : ; , f I I ; J a 2 +b2rc.os8 U J(r16) , I drd'(j

D R

: 2 3

J J I a ~. 2 J;.2 L lI ab 2 b1 ..1 so ab ,'. l 1.2 2 : ' 1 2 i l ' C ! l . £ 1 1 ; 2d va~ , ~' a +u rcosu II~.~(~' +)ruY' U :: ~(,a + . [ .1 ) ' , iC05V' J r ,r,...v" 2 4 8 '0 0

, R '

]) Evalwr la integral doole , I I eX.!: +.ldA.dende Des la reg:ioflcncerrada per :>;2 +y2 S; ·4.

D

2 ) Calcular J f . , ~ d : v 2 112' donde Des e) recinto dado por x2 +y2 - 2.x sO.D(4-x-y)

Rpl.a.. 2 , l I t + 2

3) Calcular J J e : . o ? + · l dxdy, donde Des 1 8 region aeotada pot las circunferencias x 2 ... y2 = = 1 Y

D

xl .. y2 ~ 9. apia. tt e(e'! -1)

4)

. . f f ' xl y 2E.valuar la: inteeral '"., .1-- - _.- fix d ! v , a, > 0, b >0,. do.nde D es la rem,'o n limiteda n;nr la. ., '0"'-': ,,2,,2 ... e" r~

D a

Rpta.21rOO

J

.-



668 Eduardo &pino'lJl Ramos

6)

7)

8)

9 )

1 2

Calcular t i l integral , J ' J ' xydxdy ~donde nes un, dom inic lim itado por 13.cU pse x:2 + Y :2 .~ I y

a bD

, 'tu· ..1 . e I "> - - ,', A_ 'teSl _aYU _ne primer CU2\,lJlan •

Calcular f J dx dy ,~a > 0, b> 0. YD es la region limitade por ,Iaehpse X

2

2• + J'~ ~ l.

, 2 2 : a b'D x ,Y ,4_ . , . + _ . -+

a2, b1

Rpta. 2n-ab(./5 - 2)

Cslculae J J (Xl+y2)dA, donde D es la region timltada por x2 +y2 = 2x, Xl+y2 '= 4x

,l)

1Rpla." i2

I f /2 2 110) Calcular _-va -x' ~;v dxdy, dende D esta limitado por Ii1 hoja de Lemniscata

D

11)

1.2)

Rpla .•[iT,_ 16..fi -20] Q~

,3 9 2

. " iI - 9 " 2 dx~v ". .".' . 'Evaluar la Integral., J . , , ' . . . " , : 2 " , Jt ,donde Fes 13 region limitada por Ia CUfV0,

P" 4'-xl_y2(x +yl) : 2

:2 : 2X +y ~ 2.y-

'( 22 2)3/2 A-d

J ' r r " x +y .~Q ... ' tM .~y , c: t: lCalcular J . 2 : 2 . 2 ,donde D=l(X.y)l!x+y~a-v2i!0,y~x+a1l2~O,

D (x +y )

13) Calcular la i.otegml doble J I dX~, dome el recinm D esra Iimitado porIa eurva

D



669

14)

16)

11)

18)

19)

20 )

2Jl)

22)

f22

Calcular 1 - I( 4 - ;J;\2- y 2 )dx dy, donde D esuna parte de anillo elipticolimibds par 1()S,Q b

'D

Rp,ta. abI t (ff(roosO " rsenO)rdr)dSo I

IR I ~ ,Medi,ante coordenadas polares cakular, b1(l+Xl +y:! )dym

o "0

4nRn"s -1:"'1.. 3

1 2. . r : : : r '~:I:),~ ~'IICalcular e (, . ' , d y dxo 0

R -4"Rpta.-(I ~e )- 4

I'f"T""T

IiI " , ,, ,- -,X- 1 2 , 2

Calcular 6 0 J a -x -y dydx

:3no

Rpta. ~iii

. j l J I i 2 2 -112Calcu lar _ (~+y ) --dxdy

o J i'

IJ-JJ 2 2 -Calcular. Ir::::--i." .l sen(x +y ) dxdy

o ,18-)1

2na

Rpta., -2,

J "f ' , - , r = = = 1 4 J, . "', +"'4-·x~ , 2. 1,

C awular _-2 2-J4~i J 16 - x - y dydx641 I' 4

Rpta. --+3 9'



670

2-4)J2+m(../2+l)

Rp'l'a., ----- .........

5 -

2S ) f ' f ~ J 2 2 1alcular -10 . (x .t-y) dydx

Calcnlar [a inte:grnl doble II," dxdyJ{a.R') = = , ' . . 2 2 2 1 < 1

F (a +x +y )

F ;: {(X'.Y) I x2

+y'l s ;; R2} "Determinar los valcres de "a" para los cusles Jfa,R) aiene limite

sobre el disoocirculal!'

euando R -+ +w.

27) f 'f'~b ",b~-:x- 1 Z _ ,

Evaluar la InteEfal, J b - ydy,dx. '0 0 ' ,"

2 . 2 : 2 . 112. . . ' J 2 yx(sen x-x +cos x) " ' . .. '28) Bvaluar la Integral ',2 2 .... ·dA sr.emlo F Ia region seo.ada por las

11 + . 1 'F r

:2 2 8

cusvas x~ : 0, y , ~ 0 y x +Y " ~

I ::;0 IDnta. -. .'"1" 15

29) l, · r ; - ;. Ii 'iJ1-x" ,: 2 :2

Usando ceordenadas polares calcalar " J x +Y dydxC :;f

1 1 :

Rpta. ~6

3.0) f ' I " ~, it ' 1 1 1 - - . . " 1 - 2 ,2 lIZCalcular Iaintegrel deble , (a - y) dytlx

o 0

2 ;3

, aRpta~ ~

3

3,]) Caleular Jf£n(.:ry +x

2

+Y 2 . +A YCOB

tr ) t . b :C Z Y , siendo , F IS!region en el primer ·cuad~amte eniln:F

1.22 2 I 2las circunferenci-as x +y =a • . x + y ~ b con 0 - c ,a - c b.

. , 1 1 : ['b 2 '1 ' b 1 2 ( 1 1.))Rp.a~, . 2 ' ( , n - 2)- a I na-2,

32) Exp rese r como u na so la in teg ra] y evaluar (3 1 > 0)

I I II.rr7

QQ 2 . : 2 . 1 1 , 21 1

' !lI+"tCll-y . 2, 2 Ul 'o .~~(x +y }lhdy+, (I ..~. (x +y) thdy

3

R 16.Q..'pla.9



I fttegml 'es Dob ies 671

33} Rpta.

4361£

4

1 · . I ' I"""'r"i"I ia--Y2 .2Calclllar (x +.Y ) dx dy

G O ,

4Q 'R

Rpta.. ~8

3:5) Rpta. J 2 . . - 1

y-cx

36) Caku1at

J IeJ'+x dx:~l1~ ronde Des, el triangulo iimitadopor 1 8 rett~ x + y:: 2 y los ejes

D

ecordenedos, R-l

pta ..e-e

37) Calcular I I 4 ( , x 2+y2)cos(r2 +2xy - y2)dA. doade D esla region en el primer cuadrarse,

-v

I" . - - 2 1 · 1 : 2 2imitado POl' las eurvas J[- Y ~ ..• x· -y ,= 2. xy = = 1. xy ~ 2.

Rpla., cos S - 'cos 6,+ cos 4 • cos 3

3,8) Calcular I I e·J x ·. . 1Ytlxdy" donde Des la, region ] imitada, por las reetas ,x+2y = 4~D

x-2y=O yel ejeX,.. 1Rpta~ e +3

39} Cal· .•, 1 ,.. a 1 · 1 tf l-l, 2 2)t...Ldarcuier amtegr. . , ; _ x - " ""'!Yo .J!

IRpta. -

'9

40)

"I 2 Z

Sea lfx,y)= (x+ y)"" e" -Y; D es una region e n XY litttitada per x= O. y = = X .

I .4-1

X -+ Y.··' t o . x + Y = = 2. Caleular IJ.l(xty)dytb. Rpta. -[3 +!__ -~]J 2 .2 2D

41) I a i 4 Q ' - ~ x+y 'I" d . I I . J : d x . 'Graficar laregion de integracion y cslcular la integra] ., :I

o 3J r (3x-y+8a)

5Rpla .. f2In2--)a- 4

.-



672 Edutll'titl Espillof,ll RIIIIIDS

42), -1

Rpta.. 2(e- e)

43) Calcular I i (x - JIll sen 2 (x+ y)dxdy ~ d on de R es el p araleIo 'g ram o· c on , w rtice' (R.OJ~

I I .

( In. -l i t) . (n.,21t) . C O , K )

4:If

Rpla. -1

44)

y - 2 , X

Calcular J J e ,v+2x d x , z y donde

D1

0 : : 5 x e-e-l

D: Osy Rpu. -~I 2l2x+ y::; 2

45), Eveluar la integral JJ(2x+ y)eJl:-"drdy sobreel pa:ralelogramo de ten_n :inadopOr lo s

D

veetores (1 t J ) Y ( I ~ ft2 )e lig ie ndo un c amb io lineal de variab le aprop iado .

3(e

1

-.I}Rpta. '.2

i J [ t x+ y)2 +(x - y)2 ~:rt{v

D

IRpta~ -

3

47)

al 1 I J ' y.dxdy _..11 D ~. . del h.l '1' i l l" I; '0._..1_Ccuiar , ,- .do:liue r es el mtenor \,.K; c U Q 4 I n atero eurv neo umnaco por, f 2 2~'D "; X +Y "'/I+.x

.' 2 ,2 _ I 2 3 ' : 2 , "las paraboles y =4(x+I), y =2(x+-,}' Y :: 6 ( - 2 ' -x). y ~4(I-JrJ.

2 .',

R.pta. S( J6- ,I - J2 )

48)1 Calcular el valor de, I J e -.Q(x~ +},,z) oos(x2 +y 2 )dxdy extendida a . todo el espacio,

{)

1[0R.pta. 2 _a: +1



' l J u , , , , ' e s ,Dobies 673

49)

50) Cakular II (x+y)dxdy , donde

D

o <a< b, 0 < : c - c d. D,_" , . . ! , ( . btl} ) _ 4/] )( ,2 -. _ _ 2 _ ) , 3 (.·d5 JJ _ :5l)( 111_ Llll)'...~.... 4 ' c bIn a1/3' + 5 ,f: .a tI' ,

.51) Calcular I f (x2 +yl)dxdy '. donde D ={<.r,y)!;r ~ 0, y2 +2.1 ~l}

D

52)

53)

6Rpla. -

35

'I " x-y '0 1( )1 2 2 - -Calcular J , . , ' . " 2 : z dx,d)!. donde =t X",Y.X +Y -2y~O " y.~x}x(x +y )

D

54) Calcular J I (.1+y)l (x,_ ,yzdxdy. donde D es el cuadtade limitado ppr las eeetas

D

x + Y = I, x ,_y= l~x + y := : 3. 1 1 : ~ Y O ' I ! O -l20

Rpm. -.3

55) Calcular IJ ' l i t h : ? . si D esta lirnitado por la.semicircunfere,ncia y = J 1- . 1 . 2 . ' Y el1eje X.D·.r +y +1

56)

nHpta.-lfi2

2

" - ', j J s e r t 4 x2+y2 D .,.u, li:"tad 'I.......j" 2.2: ,,'2

Ca1.cuJ.ar ',' 2 '.1 dxdy" donde , essa uffil a 0 pot' 1Ga' plleas : x + , . =- ~I...+y 9

D ' V ' " .

1. 2 2X +y = 'H "



674 .84,,",46Espi1w:,4 RII",os

.57) Calcwar J J d x d Y ~ donde D esta lim itado por las lineas xy = = 1, xy = 2, Y =: x, Y [: lx.

1)

In 3Rpm•._-

2

58) Calcular J J . X 1 y 2 dxdy t donde D es la region acotada entre 18$ des hlperbolu

D

xy = 1 1 xy = 2 : y la s llaeasrectas y = XI ' Y = = 4x.2

.Rpta~-ln23

59) Calcular I I e:t-"'lttdy. donde D es el interior del triangulo eneerrado per los ejes'D

eoordenados y la recta de ecuaci6n x +y :::: .

60)

2 .

f ~ f · sec xEv al.u ar la in te gm l J . . . . . . . dydx; a . >O .

e 0. (a-x)(x- y)

6 1 . } Calcular el valor de la integra1 fJxydnl.v, donde D res la region. aco tad a p ar las c nrv as

D

y - .2x = O . Y - 2x +2 ~ O . x - y ;: 0; y ~ X + L

62.)

J:

Eva1uarla rnte.......,.l~ficando la :rem on de inteerscion r t o , J x t 1 v . dx. - - .6"- cr- ,D ,b"-~ (}.0 2 2.:;

l+x +y

I I61 J.

63) Calcular Ia ilttcgral . (4.1+ y}eilx -y dxdy, donde D es la r e , g L l O n :limitada per el

iJ

,elf; -17

.4

64) . J J . 1· 2 :2Bvaluar ..(x -4y) senl(x -l6y )lb:dy 1

lJ

(8~Q),(4•.1).

donde D es el rombo de vertices (0.0). (4,~1)1!

65) Evalum I f I l l > - ( J C - y ) ' - y : du{v. domIe R es I.. ro;gi< in Iimicad. I""" las curvas

Il



In'egra'es Debles 675

66)

1

I.a2 e ( J +IRIa. --4e - +- .2 )

- Q

67) Cal.cular I J J xl _},2 dulY j sobre laregion D eneerrada par las rectas x:= 1. y;: X,

.0

y = ,-x (sug, x =: U. y = UBen v)1 1 '

Bpi •. z,6

68) Caleuler

D

69) Evaluar jI sen J'1dA 1 donde D es la region Iimitada por y = . . r ; " y::;; 2, x <;n.

D

l-oos8 "Rpt•..._-~31'

10) Calcalar I..· r ; ; ; dx~" donde Desta iimjtadapor la elipse (X2 + Y . : ; ! )2 ,~ . ~ situade en el, vAY . . 2 3' " I J 6o

1 C

pr imer cuadrante . RIta.. sq6

7J)

1 C :zRpla. _tea -lJ

4

72) Cal:ular

2 2

I f x(x3+y'3 )dX dy

D

doride' D es Is regien

:2 2 2 2

D = = Hxty) e R2 Ix] +yl s; 2i1 X ~ OJ. apia. (~~)2t

3 8 5



73:) Calcular la integral doble J J ~ xl +y : Z -'9 dx 4 Y , donde la R'~,6n Des, un anillo entre des

D

• _f: • 2 _1 9 .2 2 2~5c lrcu lU,ere:nC I3 lS x +y = . y x + y =...., R,ia.

74) Calcular ' 1 3 1 integral deble I J (x 2; +y:2 )d x ,dy, donde la R.gion Desta ljmjtada po.r las curvas

D

75)

16)

77,

18)

79)

45 4-Ra

1 5 4Rpta,.

lQ

rg.:- ,rdrCaloular lamtegral doble (_. .' . .' .)dy .

o f J y - - r ~a2 _x2 _ y2Rpm. a

I Itkdy

C aleular ~ a integral doble ','---;::::======= (c > I) donde la regi6n D esta: lim itada por laD 2 : Xl y2

-c -~~~aZ b

2

.. 2, x" y

elipse ~,-;t.- -:::::1 [pase a eeordenadas :polares generelizades x= at cos 9~ y = = br se n OJ.0 :2 ,hI

Rpla. 21r a h( c- ~c1-l )

I Idxdy

Calcular )a illi~gm.l dlble .' f 2 - 2 :2' dQn.de )81 ~gton D es una parte del eirculo deD v a -x -y

radio a con el centro en el punta O(O~O)la euafestasituada en el primer cuadrante.

i'rtlRpta. --

2

rr xdx dCa:lcular la o integral dobJe I I X

2-"' ~-" donde la region D esta limitada par las, cUJVaS,

x +y, D

- '.. .. -. ax2 =oy, . : : c

2 +yl =20,1, y~O (x >0" a>O). Rpta. 2 (2-1n2)

Calcular Ia integral deble II x~x~ +),2 dxdy f d o n d & : : Ia region D esaalimitada perelpesalo

lJ

2 - 1 2 4

--QI SRpla.



Integrales Dobles 677

80) HaUal' los limites de integraci6n de J J lex, y)dxdy 'I donde D esta limilada superionnente

D

par y =2+~l- x2 e iruerionn('DlC: por y =2 I x ! .

81) Sea D ia re,gionljmitada par las reetas x-,2y:; O. x.-21' = 4" x + y:; 4~ x + y:::: 1. calmlar

la integral. deble I I 3 x y dx dy.

D

t''a~ dx

Calcu)ariaimegrnJ doble c I " 2 22~Vo r (4s .+x +y )

83} Caleular I I . , ,~dY,2 1,donde Des el triangula de Vertices· (O~o.),2,0), (~,.Jj).D (1+.1:' +y )

84) Caroular el valor de Iil. itegra1, J I x dx £ t v " donde D es laregion acolada por las ltneas

F

y-2X;: : ; :01' y-2x+2~O. x-y:O,. y =x+ L

85)J ' 1

Hallar eI area de la regi6n limitada por las Icunte xy = 4. xy = '8.l.J" = 15. xy ~ S,"

,Rpla. .lin 3. u:2

86) HaUar el a r e a , Iimiradapor Laelipse. (x ~ 2 Y+J)2; +(3x +4y ~ I) '2 ~I,OO

.2

Rpta. 1011'U

87}2 :

HaUar el a r e a delcuadriiatero curvilinee limitado per losarcos de la s pmibolas x ~Qy.

Rpla,.(b-o)(!3 -a) :2--_.;..--u

3

H ]'1 1· ..I~ I . • I· .~- I I' ,X).:Ul +(Y ), ,2/3=, I,. (x ) . : 2 1 l +'.Y ) .U l _ _ > II, • . ,' a -.at' e ' area ee a regton mntada por as IDeas , - "- '"II

Q b a b

IR9 1 12ab-arct.g~+--16, 3 2S

xb = ay. 8bx: al' ,. a>O~b : > O. R,ta.



67 8 EdUDNO Espino%ll RaMos

89) Hallar el a r e a de I a re ,g jon I im i tada por la parte exterior del eirculo (x - . t i l +y2 ~ 16 e

•, • 1_ -~ . C ' £)2 1; 36mtenol' a J L i 1 , ClfCllmetencU:I, x : - D + Y = ,',.,

. .

Hal 'l 't • .ii_I. "lim.i,,~-.;!, 1 line (22)34 4, . ar eJ!,area,uw lLareg ion . . ~a poria "3 . ,x +y "",x +y -

91)

2 1 :

H-lI-- l' d e la " -I: "4-_-1_ 1 li (,x Y)2 xyWI4II e area eia region umIl.I].I!,W POI' sa neal+ 2~2

abc

2b 2a" 2

Rpta--u,- ' , , 1 :2c

92)

.,1 22

+'2

Hall I' d 1 ' .. ' li -.nAl~ I-U' (x 1')2 X Yauar 6. area e. a fe,gton nntaea par U1, nea--+- ", : := : " .

- 4 9 2S

3 9 1 1 ' :2Rpta. --u

25

93)

2 1 2 2" , ' " _ ' , " X Y2 X Y 2H allar d area de IS ' reg IOn Iimitada par 131tinea (-+) ~-- Rpta. 6u

4 9 4 9

94) HaJJar el ~a de Ia regWn lirnitada per Ia eurva t+ f f = I, x = 0, y = 0,

3>0, b >O.ab 2

Rp,la. -- ,L I

10

I I, 1; 2 2 2 :2

95) Banar el area de Is regi6.n limitada por as ineas x +)! ~x • x + y = = 4x -r Y = = X.

3H 3 :2

Kpia,. (-+-)u. 4 2

y=o.,

96) Calcular

I Jxdxdy sobre Is regi6.nencerrada POI' las parabolas y =x

2• X =J' 2 , "

D

1Y - . I . .. . (x ~ I ) , (y -I) = = : ; x - l

IRpla. _-. 3

I~H) E noontrar el area de la regioD en el cu ad ran te po sltiv osdel p lano XY lim itada p ar leseu rvas

x2 +2y2 =1, : x 2 +2y2 =4~ y= 2x, y= Sx.

98) Hallar e l a r e a de la .region aeotada p or la curv a y

2

;;;;X II ( . 1 " +4) .,



679

(9)

2 2 2

Hallarel area de la regionlimJtadaporlacurv3 rt_+y )2 =~., a1 b 2 c

Z

100)4 2BaUar el area de la region Iimitadapor el bucihe de ]8 Curv8 (x .. y) = ax y que se

eneuentrs enel primer cuadrante [a >0).

10l) Hatlese elarea de ta ,figum limitada por las CUf'V',a5 Xl +y2 ~ 2ax. x 2 +)'2 ~ abx , y = X.

bI 2

Rpta.. ' ~ a (x+2)

102) HitUerue el are,a limitada par las curvas ,.2:3 4m+402 y X+Y = 2a (3) 0).

_ 64 2Rpl.a,. _Q

J

]03) HiUense el area de la figura limitada. por la s ICUJ'Vas Y = 2 : 80] 2" X = - 2y, x ,:;::: (a > 0),"x +4a

Rpra. a2(Jr -1)

104) Hallense el area 00 La, figura limibda por las curves y2 = px , y ~ ax , y ~ bx

(0< p< q, 0 <a <b).(' 2 i,)(d ,3)q -p_FJ -6 "

R.pta. ....:..;;__.;:..__.......;..._ -€ i , a3b]

] OS,) Encontrar el vohanen del sOlido del primer ,octante bajo el paraboloide z ~ x2 +y2 Y dentro

. . : 1 1 - 1 il i d 2 2 : 9;Clm TO ', X +}' = ','81 J

Rpta.-Tr 14

8

106) Hular el vohrmen del solido S limitado - I n 1 2 _ 2 . 1 'I- 1i 'dpot e ,CQ 0 Z = x +y y e, paraW.oliQI"e

9 1 1 ' :1Rpm. -u2

2 2Jz'=x +y



680 Eduar ilO ' .Esp ill:OU l R41 IJ (lS

107) Encontmr elvolumen de la region situeda sabre el disco ,.Tz+ (y ~ 1)2 sly aeotada perarriba

d la£ • :2 2 Rpt 3n.3e o . runeron % =x +y ..3. ~. .~.2

108) Hajlar el volumen li.m:itado )XlI' las superficies 2az =x2+.l. X·! +y"Z - i=a 2 f z= 0

1g.a }

Rpra. -u3

II

109) Calcul~ el vofumen del sOlido limitaao porel plano Xy~la superfieie z ~ ae-{.!" +Y } Y el2 2 2

cilindro, x +y = - R. _Ill 3

Rpla. m(.l-e .)u

HO) Hall:ar el volumen del solido limillado por elparaboloide: 20% =x2 + y2 Y 1 3 esfera

: x2-I - , 2 +i-a2

(s e sobre entiend e el vo lum en sin aad e dentro del p arabo loide] ,

3NO

Rpla. ~(6Jj - 5)u1

3

Ill} HaUar el volumen del s.oJido Umitado por las superficies z = x + y ., xy = I. xy = 2.

Ji -C;.JR,la. - 0"\1 2 . -1)u"

3y = x, y = 2~ z = 0 (x> O. y> 0)

112) Hallar el volumen del solido Hmitad-o superiormeate por el cone z=,a _~X2 +y z ...

inrerionnente por el plano XY y lateraLmctlte por el eilindro, x1+ 1'2 ::;0 ax

J.

. . 0.. . 3Rpta., -(9·1r -16)u

3 6

113) Haller el vclumen del solido limitado superiormentepor la superficle e:derica

:2 2 2 . o r . . . l I XY I _1_· I .. " d 2 2 Ix +y +z- 4, mlcnonncnte POf e P ann ... y ate[~UI.i~l:1teer e .£1 In. ro x + . 1 1 =.

2 t: sRpt.a. -(8- 3'\11}1rU3



681

,1

114) Hallar el volumen deleuerpo limitado por los ciliadros x2+y2 = = R'l 1Z=~ y el plano

(J

z= 0, x ~ o .s

4R ;]Rpt'a.~u

lS.a

2 2 :X z

11.5) Hallar elvohanen del. euerpo Limitadopor el c ilin dro eHp tio o 2+2~I y los planesa c

bJ'~-;;r,. )'=,0, Z~O,' (X20)

D

abc JR,ta,.~iI

3

116)2 2

Bellar el volumen del solido comprendido dentro de La superficie : z = xy, X +y "'"I,

2. : 2 :(x-.I) +(Y'~ 1) =1, z= O.

. .n 2 3RpI3 .•(---)U. ,4 3

117)

l 2

Caleulsr el volumen del cuerpo Umitado por las superficies x.,+Y I" =I~ y= 0, z=·.x,a" b ' L > : 2

z=x ..2 ba 3Rpla..-·-Il

: 3

118) Hallsr el velamen del solido timitado Inferiormerne par el. plano .xY, superionnente pot el

11.22.2.2 2.2.elipsoide derevoluc:i6n. b.l; +-b'Y +a Z= D b Y lateralme:nte pm ,,:1 cilmdro

:2.2a b. . ]

Rpta. --. (3Jr ~ 4 )u! 9

2 2.r +y =ay

119) Encontrar el volumen encerradopor las superficies definidas por las ecuaeiones x2

+y2 :.:CZ.

3,4 ·

_ . 1 f a 3Rpta.· 'u

1 2 c

2 : 2 _X + y =,ar. Z:::::O.

_ ]

4a1r I:: . :3

Rpm. (",,2-I)u3 .



682 Ed:UIII'd"BspinoZllIl.lllos

121) naIlar el velumen del sOlido DO'en el primer octaete limitada por:

rx2+Z=64

13H4Y~24

D: I . : : :

z=o

122)2 2 I.1 2

Encontrlr el velamen acotado por las superficies z=x ..y y Z =-(x +y' + 1).2

n )Rpta. -u

.4

123)2 2 2 .2

Ha.llar e,~ v olumen d el s.6Lido lim itad o p orlas su perficies. x' +y = 2x ,2 -.r - y - z = 0

3 , ; 1 1 " 3 ,

Rp:ra.~u4

y z=o.

124) Caleular el voLumen del sOlido limitado por Xl +y ' 1 +i = 9c2 y x'1+y2 :;;:4c2, interior ai

cilindro.

125) Calcular el volumen V del euespo acotado p o e 18 superficies e'siCrica x2

+y2 +z1 =4a2y el

l6a1

Rpta. V;:::7(31t ~4)lid' 2 2 01 'n ·~ox ...y - Zoy """' ,

126) Hallar el volumen de Ia re~6n sOEida S limitada superiorruente por z = = 1- x :2 _y2 e

inferiormente pot el plano z = 1 - y.

127) HsUar el volumen del sOlido comprendido por debajo de Z=8- yl., pot encima de z =: 0 y

deDtro de las superficies y2 ,..,2x y y2 =8 - 2x

12S) Haller el volumen del sOlido limitad~ por el pilrtlboloide

2 . 2 .2a -~·-4'1

Z~ Y ela

plaoo z=O.



2 : 2 ;

129) Encentrar d volumen del sOlido que se obtjene corumJo la superficie Z c + : = 2.x par un

planoparalelo a l. plano YZ. x = a. R._ 7 : r= 1_P"'. Q"IIQC'Ir U

130) Hallarel volumen del s6.lido limitado por el p·lano XV'" el COIlO i=x2 +y2 yel dJj~

. 2 ; \ . -x +l' = = ,2a:r

32 1 1Rpta. --Q tI

9

131) E"1 '1 "de' 'I' 'l"d '~. , " ' , -~'II1 " 2 2 : 1 . :1 1 ( ' '2 2)

" ,noontrarcJ vo'umenI, "

: r o , 1_ 0 en e~pnmer ,oc tanteaoo tClUo par e~oooa y ::;:::"x + ,Z •

:2a : ' I I 7r ],Rpta. II

12y entre y=O. y=b

132) Encorsrarel vo'lumendel solido en el primer octaittc acetadc plr .Iocilindros paraoolicos

1 2 486/i :Iz=9-x • x:::::J- y .. y : : : : : 0, 7( .=0, ,Rp'ta. II

3 '

133) Encentrar e~ volumen del sOlido oomprendido deatro ,del pamboloide de

2'R Ha J

Rpm. u2

'2 , " 1 '2 2 - I XV'a Z= H{a -x - y) yel Plano.

134) Encontrar el volumen del OOlidoen elprimer oclante acotade plr los pianos ceordenados y

1 ",' d l h(' 1 2 ) 2 f '2 :2 )PS'ClIlfl:rOS Q. }' = ,Q -X ,a:z ::::: \ a -,X . Rpla.

8abc :3-u~5

135) Hallar el volumen del solido enel interi,or d e , ! I c , i i i n d r - o x2

+y2 =a2, entre z > O. y

1r q2h :3

uh '( 2 2)az~",;.r+y.,2

136) Hallar el volumen del sOlido comprendido dentrc) de la.esfera xl +y2 +i ; 401 y ciUndro

16a3

R,la. -(3n-4)9



131) Hallar el velnmen del sOlido comprendid.o ell cl interior del p,nsma acotado por loti planes

a. , : 2

2

y:::x. y = = O. x =12 yentre el pla.no z:: 0 y el cene z=h1Jx +y

a2h .J 2 ' , _R,ta., ~- [l+~ In,(1+--J2)]

t2 2

138) Calcular la mesa y el centro de masa de Ie lamina indioada para la densidad que se

proporciona,

. i i i(1- 2a 2 . a

Rpta. -.(-,-. )6 S 5,

b)L4mina: Region Umitada got y = x 1 : ~ Y2 = x ,densidad proporoional al cuadrado ~ 18

6 275 27.5R _ J 1 lt a ,. - _ K.(-,,-- -)

35 432 432dis ta :nc ,ia a] origee,

1.39) Calcular la mas-a de una, plaea cuadrsds de ledo Us", cuya. densidad en cUfdquierpunro es

proporcionelal eaadredo de 1 3 1 distaneiaentse este punto Yuno de los vertices del caadrado.

2-a

4k. k~ coeficiente de proporcionalidad~

3Rpla,.

:140) Calcular la masa de tina placacircular de mdio r, si su densidades i:nversamenle

proposcional a lit distancia entre un funto y el cernre yes igual a B en el borde.de 'Ia placa,

R p la . • 2 11 : ' r2£

141) Encontrar el eeetro de masa de una 13minaque tiene la forma de una region limitada por Ia

. 12-····· ] 2curva; x +y" =64. de' dem~l(ladp(x. J') =x +y en cadapunto (x.y).

142) Encontrar la masa de una region p lan a:,aco ta da p or u na rc -o d e Is eu rv a y = sen x , y el eje X .

si . a . l densidad es propereional a la dislancia desde et. eje X.,

IrkRpla_ -

4

Documents

Integrales Dobles y Triples