Integrales Dobles y Triples

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  • 5/11/2018 Integrales Dobles y Triples

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    IlIleg,tlles Dol,/es 5 8 . S

    {O : ; ; x : : : : ; ; 4Sea D : : " Graficando la region D .x::;y~4

    . ." -~f ! 'l - ,.i /'" { . i i ' _ ,1 , e : / 4 :1 - 1 6~ xe J , dv=ve Jdv=-- =-~(e -I}I) , 4} - O . 2 I) . 2

    t) Calcular Ia in te gr al d ob le J I cos(x+ y)dl:,dy t dende Des un dom inio aeotado por las reetasD

    . v

    xr.II cos(x +y).dxdy =-2

    ,f)

    8010:1;-J J cos(x +y)ib:dy " " l ~ < J : C 0 5 ( X +y)dy).D

    2) Caicut,ar Is integral, doble I I Xl ydA donde D esta limilado, pol' Y = 2x i- I. Y = = X 2+I.D

    Solud6n

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    so n lo s, p unto s d e in te rso oc io n1:2I f 1 . ' f . I 2 n ' 2 . . . . f x Y / 2 ~ . j . 'X ydA=. ( 1 x y~)dx=-.- I dx(I "'+10 2 . K"ltlD

    1 6J J 2 .' . x I .2 2 2) . r 34 X 184.xydA~ ~(2x+l) -(x +1) dx~ (2.x +x --)dx~~020 2 3.5D3) Cal:cular Ia integral. doble I I xydxdy en l a q u e d . recinlo de i . t 1 I r e g m c i . o n S estalim i.tado PO I'1'08

    SJf ' . ..I~, . ..d ---' - 1 A - 'd R ' J R 1 o , . . . . , . , .eJeswCOOl elw,uas ypor e . .,..,trol ex'::::; . cos ,.~ Y ;: : . s e n . ,If ~ I .i:!' ~:2

    y8oluel,6n

    {1

    : J t ~ R . : . e o .s ' . . . . . 213 .' 2/3 2/3.. 2/] .. 2J3.lIl]. ~. x -t-y ;;) R ~Jn:i::(R -x ))I"" Rsen r

    4) Calcular 18 i.ntegral doble f I xydx~v. donde D es un dominic limitadopof' III elipscD

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    y Sol.don

    a X

    2 b rr= -:; , 2 : ' 2f ~x y / ~ . a - ~ . - , f i i X b 2:1: b' f a 1 1= , - ,- - - , _ dx= ,'_-'-, '(0 -X)dx=- _ ( a X-X )dxo 2 _ 0 ,,~2 . Q2, 20 2 0I I 2 . 1 . ; . , 1,Q Vi:,. .lJldx = _ ' -s 8

    5) Caktilar ta integral doole J J ( X ) ! +2x 2 },dA ~ siendo R: y ~ ,J;j Y1:."X,X = = . o j x := ItR

    V Sol.dllo

    Graficando la region R setiene:I I (xy+ 2xl)dA,,;: t ( J _ ~ (zy+ 2x2)dy)d.t"

    6) Calc;ular f f 2)"-1 dxdy" donde D ,estj llmitado plr lasrectas x = 0, y = 0" lx, ~, > = 4 .D x+1 So~UCI'Dy G ra fica nd o L aregion D se time:f J 2Y-l , r - r : 2y-l rJ.i - Y j O. ' dtdy =, < . , ' . ' , " dy)tb;~ I' " _ dxD X+) 0 < 2...-4 x+l ) x+l 2~-4

    :21 24X -Utx+20 '.' '"'" ' dx = 36-42Jn3{I x+l

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    588 EduoNo EspmD1ARumos

    7) Calcular I I (x2 .. y2 }dx~v, donde D es Ia :re;gion scotadapor la recta Y ::l: X Y laparabolaD

    Graficando la region D se tiene:Solud6n

    {'.'=x ' . x : : : ! : . 0 . { . 0 S.. . x . , S . " 1 ._._xl -:x _.. D'2- -.- -t' '" 2 :-Y = = x x - -x :Sy :;;,

    I J : 2 : 2 f J x . z 2 ' (x +y )dxdy= . (I z(x +y}dy)dx'0 It] - 6f 1 Y I X ' r 4 : 3 4 X:;,:. (x' ~+-' ) , a x = _ (-x +x -_. ')dT'0' ,jf 3 ' s2 '0 3 J -

    = C X4 _ xS _x1 } / l .i.:__=~J 5 21 0 J 5 21 , 35 : . f f (xl +y2)dxdy==~D 35

    8) I f x+lCdcular 1 3 1 integral '- (x+Zy)dxdy" donde Des la r'e.gjonlimitadapor lasrectas Y = = _ . _ . ,: 2,e jy=3,y=ltx=7.

    1 5 7 X

    SQIUe,i ,OD

    uraticando laregion D se bene:

    f f ,(x+ 2.v)dt,4v = r ( 1 . 7 (x+ 2y)tb:).dl1, "] '2,.-1 "JD

    1 3. x2 . / 7 1 3 " . : 2::;;:-+xy) . tty = (2 4 + 1:S y- 6 , )d yI 2 2,-1 1=(24Y+9y2_2),3)/ ..1=(72+81-54)-(24+9-2)=68

    1

    : . J J ( x + 2y) lh :dy" '" 68D

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    InlClfTIlles DoOks 589

    9) Hallar hdntegrat. doble r r ~ - ~lh: dyo 0Sol:udon

    Grafleando la r . e _ g i , o n Dse tiene:

    I I: { x - Y si x ~ yx~ ) l i = . . . . Luego D= DI uD2y-.x 51 x e.yx J l l x - yldxdy =J f ~->idWiy +J J l x - J-idtdy

    D ~ ~

    = l ( x - y ) d x ~ v + J f < , v - x ) dx4vDI Dil~ - Jx .1= . - - -_dv dx _. _- _-.- _dxt ({(X y)~y) -- -t ( J { (y x)dy)~__

    2 - . 2r x (J 1 x I] .1. I I= ~tU+l(--x+""_"_)dx=-+---+-=-'l12 ~2 2 : 6226:1,Soluclon

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    y

    {2 ' ..... 2I . 2 1 y-X. 81 y o : : : . X _ -y-X=_ _ 2. 2x-y SI y< X= X

    xI J l y - x 2! , c b : d y = f I I Y - X 2 I d x ~ V + f J I Y - X2Id x d YD D I D1,

    I z ] 1 2 1 41 1.4t l Y . ". ,I Y 2 : I _ IX I IL : 2 X~ (X Y--J/ m :+ (-_-.X y l l ItA= . ~dx+. (--X +-)dxo 2 0 0 2 ,.-- 0 2 o 2 .2r 4 2 1 .X5 X3 x / 1 I I I U= e x -x +~)dx =(-_--+)_=---+=-(} 2 5 3 2__0 5 1 2 3011) Calcnlar la integral 1 f t I t x - 2 J sen)' dt dy-0 I

    SoludonUbiqaemos la region D de integraciQ:n.

    y

    {X - 2 . , . s. i x 2 = 2t:r~ Ix-21~. 2-x si x

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    J nr eg ,.a le s Do b Ie s

    1 2 / 1 1 f 4 t: 1 , 2 r(x-2)cosy'. dx , (2-x) "dx=(4~2x}dx+ ,(2x~4)dx. 1 ' (I '-2 - 11 1 .2.rJ - I x - 2 1 s e n IV dx dy = = : 5& I ' .

    12) Calcular la int~gra1 i J (.r.- y+l)tltdy. donde D es Is. region Ihnitada POI' I.as curvasD

    11)1 1 111~1-y=,x-II.' +1. },=.II.+Y.l'-JSoI'DCittD

    Graficandn ia,region D. y para esto calcularemos los puntas de iruesseceion,

    {Y, ={,. _1),1 + , , 1 ~y~ .vx-l ~l(.1.'- J)3= "JIx-l=> x =; I de danae .v =1(.9 1 (' 8, 1x-I) ::;x-' :::;;'.x -I) ='

    x ~ 1 = 1 ::::) x= 2 , x = O. L uego la region, Des:IIII

    X=(xl-I )J + 1II!!IJ J ( X - y+lJdxdy== J I{x .- y+ L )d td y+I f < x - y+l)~ ...(l)D q ~

    2x ahora ealcujamos cada una de la s integrale.s dobles

    (,2)

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    I f 1 2 IL+.v:;:T f l . : I r:x- y+ I)tbdy:;;;;: ( (x- y+ l)4v)dx ~ -~(x- y+U' dx1 1+...-lY 0 2 1+(:.'+li~I I 2 [ 3~ 2 . J 2] 1= ~ ~ (x-:.vx-lJ -(x-(x-I) dx = = - . .2t 14 ._ ( .3)

    ahara reemplazamos (2). (3) en (l}: I f 13 I(x- y+l)tkdy=~+~=]1 4 ID 4/)]3) Caleular 1 8 integral doole J I (2x - y}dxa;y. sobre 1 3 region D por arriba de y =I x - ~ yD

    debajo de y ~ . 4 - l x ly

    Sol'ud6,D

    Graficando Is region D, de donde se observe que:

    L uego ala integra] doble expresarem os en h! ferm a

    I I {b-)chdy =I I (2Jc- y)dxdy+ f I ( 2 x - y)dxdy+ I I (2x- y,dxdyD ~ ~ ~

    ....(I)

    II .' ,. I O f 4 + ~ ' . . J O . . , , 2 /< 4 + 8 . 1 0 8x2+2x-15(2x~y)dxdy ~. ( (2x- y)~v)dx:;;;;:. {2~V-~} .. dx =.. . " 2 . ' dx-3/2 I-x -3/2 2 I-x -.311DJ

    J I fl 1 4 . ~ x . . I I . yl r : I l18X -IS(2x~ .)J)d:rdy ~ . { (2x~ y)dy)dx "'" . (2.xy--)... dx=. dxo x 0 2 I-x 0 20.:

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    JgtJ!fPlIles Dobies 59J,

    I I r J 4 - X 1 512 y2, 1 4 ~ : l '(2x- y)dxdy = ( (2x- y)dy)dx = (2xy--') iJx~ 1 ~ I 2 ~25 725 7 27=--(--)=-+=-24 3 24 J 8

    14) Evall.lar f ; J ; x y 2 ( X 1 +y3, -1 /2dxdy+!2 J~.1Cyl(Xl +y~,-I12dXdy2 2Soludob

    Ubieando La reg ion sebre el cu al se realiz e la integral

    I~2x , ~ :I 3,Ill/'b 2 J t ,Sl2, c:',512 ~, 4(J.-.fi)= l-(x+y ) =- (lx - v2x )dx =___:.____;~I) ,3 ',I: 3 , o 21

    f I JI 2 3 ] -112" , 1 2Jl 2 3 ~ -1 2 4(3~..fi). ~,)' xy (x +y) dxdy+y'XY {.x +y3, Jdxdy= "2 1I} - 1 - '2 . : 2IS) OIlcul.,.la integral lj I ~ I~)~ d t " 'o / , doode D es IUq!ion planalimitada poe I... rectas

    x =: I, X = 2, Y = XI Y ~ Jx,

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    594 EdulINe EspinoVJ Romos

    Graficando iaregion D.Soludlm

    Aboral definimos el miWmo entero de [IY I : J e.D la region DIxr-=1x ] ~.!. 2 y l> - c => [I-I]=,y = 2x y x x-~2xy = .1 O~a bSoluel.60

    { b " 22 b ., 2 2}Luego la ,region R descrita POI R =(;~'.y)/-a S; x~a A --"IJa -X' :S Y ~ -"fa -x ,a a

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    y

    19) Haller el volumen del cuerpo Hmitado por elparaboloide z; ; x2 +y : 2 , los pianoscoordenados y el plano x +y = ] .

    Sotuelon

    y

    x

    r =J I zdtdy "'" I I (x2 +y2)dt dy = ( - r (xl +)12 )~)tb"D .n

    f' .2 . y l./,l_.1 ' : -4x3+6x2 -3x+l I.'= (XY+-,)' dx=' _ tlx=-(I J [0 0 J 6.20) Hallar el volum en del euerpo lim itado por los pianos eoordenados y los pianos x ::;:a, y =b Y

    :x2 , y ; !el paraboloid_e elip tico z =- +-_ _2p 2qSoluc.on

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    I I ab a2 v 3:.. V=zd.:rdy=-- (-+-)uD 6 P q21) Calcular el volumen delcuerpo hmitado per las superficies x2 +y2 = a2 J x2 ...Z'z=.Q:2

    Solurl6nCalculande el velamen de octava parte del cuerpo dado enla figura,

    v I I8 = . - -Zdxdy . de dondeD

    P' =S J f Z d x a y =8I I ~.a2 - xl .dxdyD D

    1 ] . ]f d 2 2. .: 2 X I ' " ~ . 3 a. 16a=8 (a -.x )dx =8(a x-----) ;: 8(Q ---_ )=---0 . 3 I) .3 3

    22} Haller el volumen H m i t r u : l o par las superficies yl ~x~ z ...X ::l I. z = 0S O I ' U e 1 6 0

    Proyectando a t plano .xy~se tiene,1 1 ' = J I Z d X d y = f J (l-x)dXdy =(J~(l-X)dY)tb

    J) D

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    S9S

    23) Caleular la integral f l J . 1 tgx2 tb:dyOySolmcl6n

    U bicande la region. D sobre eJ cual lie calcula l a int egra]

    y G ralicando la region D .

    como la integral f tg.x2dx se p ued e ca.lcu la,. po r n in gU n]I

    x melooo de iruegracien, en este case seeambia el orderr deitegracion.I J . : 2 . . . . . . i. [ 1 1 . I l I A :2.. tgx-dx,dy =0 (, tgx dx)dy :=0 (0 19x ,dy)dx. D } '

    : . J J t g x 2d X dy = .~ In(secl)D

    24) Evaluar loaintegrnl I Q J t l X0..: . J . . . " . . + " zdydx. x ,ySoluci6,g

    {Os x : S : . , a

    Ubicandolaregien D sobreel cual se realiza la integral D:. . - cxSy._, ,a

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    In teg l' lI le s Dob i e s 599Graficando Ia region D.

    I I X 1 .4/" xJ' ,dxdy= ( . J' ,dyjdxD X +y . .Il x+yx =1

    x f a 1 ' xdx .. I l l ; 2 2 / Y= C . J . jdy= X +y .. !dy-0 .e ',x2 +),2 00f a ..r: .fi-12 I I I J2- 12= ('\f2y- y)dy ~ . y ~ ao . 2 0 2

    25) Caleular la integral f l J I.1::. e,yhd.:{ d ye -oSoluel