MOISES VILLENA Integracin Mltiple

149

5 5.1 INTEGRALES DOBLES

5.1.1 DEFINICIN. 5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 5.1.3 TEOREMA FUBINI 5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES

GENERALES 5.1.5 PROPIEDADES 5.1.6 CLCULO DE INTEGRALES DOBLES

INVIRTIENDO LOS LMITES DE INTEGRACIN

5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

5.1.8 VOLMENES CON INTEGRALES DOBLES 5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS

CILNDRICAS. 5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA

INTEGRALES DOBLES (TRANSFORMACIONES)

5.1.11 REA DE UNA SUPERFICIE

5.2 INTEGRALES TRIPLES OBJETIVOS:

Calcular Integrales Dobles. Invertir el orden de integracin. Calcular Volmenes. Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones. Calcular reas de una Superficie.

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

150

5.1 INTEGRALES DOBLES

5.1.1 DEFINICIN

La integral definida para funciones de una variable se la defini de la siguiente manera:

( ) ( )1

b n

i inia

f x dx lm f x x

=

=

La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el rea bajo la curva ( )y f x= en un intervalo [ ],a b .

Si quisiramos obtener una Integral definida para una funcin de dos variables; primero deberamos suponer que ahora la regin de integracin sera de la forma [ ] [ ], ,a b c d , es decir un rectngulo de 2R , la cual la denotamos como R .

Haciendo particiones de la regin R , de dimensiones no necesariamente iguales:

a b

c

d

x

y

R

a b

c

d

x

y

0x 1x 2x nx1nx

0y

1y

2y

my

1my

1x 2x nx

1y

2y

my

ix

iy

ix

jy

R

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

151

La ij sima particin tendr forma rectangular. Ahora cabe referirse al rea de esta particin, que estara dada por:

ij i jA x y = Podemos definir una funcin de dos variables ( ),z f x y= en la regin

R , que para la ij sima particin sera: ( ),i i jjf x y x y Bien, veamos ahora su significado geomtrico. Observe la grfica

siguiente:

El punto ( ),i jx y , representa cualquier punto del ij simo rectngulo. El volumen del ij simo paraleleppedo, denotmoslo como ijV , estara dado por:

( ),iij i jjV f x y x y = . Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendramos que hacer

una suma de volmenes de una cantidad infinita de paralelepdedos, es decir:

( )1 1

lim ,m n

i i jjnj im

V f x y x y

= =

=

x

y

z

( ),z f x y=

ixjy

( ),ii jz f x y=

( ),i jx y

a

b

c d

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

152

De aqu surge la definicin de Integral doble

Sea f una funcin de dos variables definida en la regin plana [ ] [ ] ( ){ }, , , /R a b c d x y a x b c y d= =

Al ( )1 1

lim ,m n

i i jjnj im

f x y x y

= =

se le denomina la Integral Doble de f en R y se la denota de la siguiente manera:

( , )d b

c a

f x y dxdy Adems, si existe este lmite decimos que f es integrable en R .

Por el momento no vamos a seguir con la interpretacin geomtrica de la Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cmo evaluarla.

En la definicin se dice que si el lmite existe la funcin es integrable, pero

surge la interrogante cundo ser que el lmite exista?. Esto lo veremos en el siguiente teorema.

5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

Sea f una funcin de dos variable definida en la regin plana

[ ] [ ] ( ){ }, , , /R a b c d x y a x b c y d= = Si f est acotada en R y si f es continua en R a excepcin de un nmero finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R .

Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable, si la funcin es continua ser integrable.

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

153

Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral doble.

5.1.3 TEOREMA FUBINI

Sea f una funcin de dos variable definida en la regin plana

[ ] [ ] ( ){ }, , , /R a b c d x y a x b c y d= = . Si f es continua en R , entonces:

( )

( )

( , ) ,

,

d b

R c a

b d

a c

f x y dA f x y dx dy

f x y dy dx

= =

Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales Iteradas.

Ejemplo

Calcular

1

0

2

1

2dydxxy

SOLUCIN: Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir:

( )

===

+=

=

=

1

0

1

0

21

0

1

0

331

0

3

1

31

0

2

1

2

23

233

31

38

31

32

3

xxdxdxxx

dxxxdxyxdxdyxy

Aqu pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a

y , sin mayor trabajo. No deje de hacerlo.

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

154

Hasta el momento hemos trabajado con regiones de integracin rectangulares, pero en las mayoras de las ocasiones se presentarn otros tipos de regiones.

5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES

GENERALES El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales.

En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una regin plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera: Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma: Cuya rea, denotada como dA , est dada por: dA dxdy dydx= =

Entonces, igual como lo habamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la regin plana R tiene la forma:

dAyxfR

),( Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras:

PRIMERO haciendo un barrido vertical

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

155

dxdyyxfbx

ax

xfy

xgy =

=

=

=

)(

)(

),(

SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal

dydxyxfdy

cy

yfx

ygx =

=

=

=

)(

)(

),(

Si 1),( =yxf , la integral doble representa el rea de la regin R , es decir:

=R

dAA

La regin anterior es llamada una regin simple- xy , sin embargo pueden

existir regiones simple- x , slo se puede empezar haciendo primero un barrido vertical.

a b

( )y f x=

( )y g x=

dxdy

x

y

R

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

156

Como tambin pueden existir regiones simple- y , slo se puede empezar haciendo primero un barrido horizontal.

Ejemplo 1

Calcular 1

0

3

2

160

x

x

dydxxy

SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:

( ) ( )

[ ]

==

==

=

=

1

0

1

0

10493

1

0

424

1

0

41

0

3

641010

404

404040

40404

1601602

2

xxdxxx

dxxxxxdxyxdxdyxyx

x

x

x

Ejemplo 2

Calcular dydxey

y

xy 1

0 0

2

SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:

d

c

( )x f y=( )x g y=

dx

dy

x

y

R

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

157

( )[ ]

122

022

1222

20211

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

00

2

1

0 0

2

222

22

=

=

=

=

=

=

=

eeeye

ydydyyedyyye

dyyeyedyy

eydydxey

y

yy

yyyyxy

y

xy

Ejemplo 3

Calcular dydxey

y

1

0

1

1

SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:

[ ]

( )( ) dyyedyye

dyxedydxedydxe

yy

yy

y

y

y

y

==

=

=

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

11

La ltima integral, se la realiza POR PARTES:

( ) ( ) ( ) 11010

1

0

==== eeeyedyeeydyey yyduv

yvy

u

dv

y

u

En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los lmites de integracin, por tanto no haba ms que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la regin de integracin porque los lmites no estn definidos.

Ejemplo 1

Calcular dAxR donde R es la regin limitada por xy 2= y 2xy =

SOLUCIN: Primero identificamos la regin R :

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

158

Note que es una regin simple-, la calcularemos de las dos formas. PRIMER MTODO: Haciendo primero un barrido vertical.

La integral doble con lmites ser: dydxx

x

x 2

0

2

2

Calculando la integral, resulta:

[ ] ( ) ( )[ ]

( )344

316

4322

2

432

0

32

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

2

==

==

==

xxdxxx

dxxxxxdxxydxdyx xx

x

x

SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal.

La integral doble con lmites ser: dxdyx

y

y 4

02

Calculando la integral doble, resulta:

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

159

( )

34

384

244

8222

22

4

0

32

4

0

24

0

22

4

0 2

24

02

==

=

=

=

=

yy

dyyydy

yy

dyxdyxdxy

y

y

y

Ejemplo 2

Calcular dA

R donde

==

=

=

02

1:

yx

xy

xy

R SOLUCIN:

La regin R es:

Aqu es mejor hacer un barrido vertical primero: +2

1

1

0

1

0 0

dxdydxdyxx

Calculando las integrales dobles, tenemos:

2ln21

ln2

1

21

1

0

2

2

1

1

0

2

1

10

2

1

1

0

0

1

0

1

0 0

+=

+=

+=

+=

+

xx

dxx

xdx

dxydxydxdydxdy xxxx

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

160

Ejemplo 3

Calcular dAex

R

y 2212 donde == xy xyR3

: en el primer cuadrante.

SOLUCIN: La regin R es: Aqu es mejor primero un barrido horizontal Por qu? Observe qu ocurre si hacemos primero un barrido vertical? Planteando la integral doble con lmites y calculndola, tenemos:

( )

=

=

=

1

0

3

1

0

1

0

333

1

0

31

0

2

22

2

3

2

3

2

44

4

31212

dyeydyye

dyyye

dyxedydxex

yy

y

y

y

y

y

y

y

Haciendo cambio de variable 2yt = . De aqu tenemos: ydydt 2= Reemplazando y resolviendo:

[ ]( )[ ]

4210222

22

22

24

2444

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

3

1

0

1

0

3

1

0

22

==

=

=

=

ee

etee

dttedte

ydtey

ydtyedyeydyye

ttt

tt

ttyy

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

161

Ejemplo 4

Calcular ( )dAx

R +12

donde R es el tringulo que tiene por vrtices los puntos )0,1( , )1,0( y )0,1( SOLUCIN: La regin R es: No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinacin de las ecuaciones de las

rectas se las puede obtener empleando la formula ( )112

121 xx

xx

yyyy

= .

Aqu tambin es mejor primero un barrido horizontal:

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

[ ]

( )

( ) 112

2

22

1111

1111

12

1

0

1

1

1

02

1

0

1

0

22

1

0

22

1

0

1

12

1

0

1

1

=+

=

=

++=

++=

+=+

dydxx

yy

dyy

dyyyyy

dyyyyy

dyxxdydxx

y

y

y

y

y

y

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

162

5.1. 5 PROPIEDADES

Sean f y g funciones de dos variables continuas en una regin R , entonces: 1. ;

R R

kdA k dA k= 2. ( )

R R R

f g dA fdA gdA = 3.

1 2R R R

dA dA dA= + donde 1 2R R R=

5.1.6 CLCULO DE INTEGRALES DOBLES

INVIRTIENDO LOS LMITES DE INTEGRACIN

Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, pero

tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales.

Ejemplo 1

Calcular e x

dxxydy

1

ln

0

SOLUCIN: Primero se debe identificar la regin de integracin. En este caso, la integral doble est dada primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dydx , entonces tenemos que interpretar la integral doble de la siguiente manera:

=

=

=

=

ex

x

xy

y

dxxydy

1

ln

0

Por tanto, la regin es

===

exy

xyR 0

ln: , es decir:

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

163

Invirtiendo los lmites de integracin hay que hacer ahora un barrido horizontal primero, es decir:

( )

81

8

81

844

221

221

22

21

2222

2

222

1

0

221

0

22

1

0

2

1

0

21

0

221

0

21

0

=

+=

=

=

==

e

eee

eeyye

dyyedyyedyeeydyxydyxydx

yy

yye

e

e

ey

y

Ejemplo 2

Invierta el orden de integracin para 2

0

4

0

2

),( dxdyyxf

x

SOLUCIN:

Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos: =

=

=

=

2

0

4

0

2

),(

x

x

xy

y

dxdyyxf . Se ha hecho

primero un barrido vertical

Entonces la regin de integracin es

==

=

004

:

2

yx

xyR

Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:

4

0

4

0

),( dydxyxf

y

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

164

Ejemplo 3

Invierta el orden de integracin para

+

+

1

1

1

1

),( dydxyxf

y

y

SOLUCIN:

Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos: =

=

+=

+=

1

1

1

1

),(

y

y

yx

yx

dydxyxf . Se ha

hecho primero un barrido vertical

Entonces la regin de integracin es

==

11:

2

yxyR

Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:

2

2

1

12

),( dxdyyxf

x

Ejemplo 4

Invierta el orden de integracin para 4

2

16

),( dxdyyxfx

x

SOLUCIN:

Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos: =

=

=

=

4

2

16

),(

x

x

xy

xy

dxdyyxf Se ha hecho

un barrido vertical primero

Entonces la regin de integracin es

=

=

=

2

16:

xx

y

xy

R

Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

165

+4

16

2

4

2 2

),(),( dydxyxfdydxyxf

yy

Ejercicios propuestos 5.1

1. Calcular +1

0 0

y

yx dxdye

2. Emplee una integral doble para hallar el rea de la regin limitada por

=+

=+

09

092

2

yx

yx

3. Emplee una integral doble para hallar el rea de la regin limitada por:

==

5222

xyxy

4. Calcular: R

dAx

y2

2 donde R es la regin limitada por

===

12

xyy

xy

5. Calcular R

dAx12 donde R es la regin limitada por

==

xyxy2

2

6. Calcular 2

0

4

2

cos

x

ydydxy

7. Calcular dxdye

y

x 1

0

21

2

2

8. Invierta el orden de integracin: +

+

+

+

3

2

3

3

2

1

1

3

),(),(

x

x

x

x

dydxyxfdydxyxf

9. INVERTIR el orden de integracin y EVALUAR.

+

2

1

2

0

1

0 0

2

dxydydxydy

xx

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

166

10. Calcular: R

y dAex2212 , donde R es la regin del primer cuadrante limitada por 3xy = y

xy=

11. Representar la regin de integracin para: ( ) ( ) +8

2

82

1

,,

3

x

x

x

dxdyyxfdxdyyxf e invertir el

orden de integracin.

5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Sea f una funcin continua en las variables x y y . El valor Medio de f en una regin plana R est dado por:

=

R

R

dA

dAyxfMedioValor

),(

Ejemplo

Encuentre el valor medio de la funcin 31),( yxyxf +=

sobre la regin limitada por

===

0

2

xxy

y

SOLUCIN: La regin de integracin es: Empleando la frmula, tenemos:

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

167

( )

( )( )

2

3

0 02

0 02

23

00

2

0

0

2

2 3

02

0

23

3 2

022

0

1( , )

12

1 12

1132 12 27 12 6

2

2136

y

Ry

R

y

y

x y dxdyf x y dA

Valor Medio

dA dxdy

xy dy

x dy

y y dy

ydy

y

y

+

= =

+

=

+

=

+

= =

=

Ejercicios Propuestos 5.2

1. Calcule el valor medio de la funcin 21

),(

= yeyxf x en la regin del primer cuadrante

limitada por

===

10

2

yx

xy

2. Para una compaa concreta, la funcin de produccin de Cobb-Douglas es 4,06,0100),( yxyxf = . Estimar el nivel medio de produccin, si el nmero de unidades de trabajo vara entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300 y 325.

3. Hallar el valor medio de 42),( ++= yxyxf sobre la regin limitada por las rectas

0,3,2 === yxyxy

4. Encuentre el valor medio de la funcin 2

),( xeyxf = sobre la regin

====

2

20

yxy

xx

5. Encuentre el valor medio de la funcin 2

2

)1(),(

+=

xy

yyxf , sobre la regin

o

6. Calcular el rea de la superficie dada por: cos

2 cosx ry rz

= = =

,10 r 20

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

193

5.2 INTEGRALES TRIPLES 5.2.1 DEFINICIN

Para definir una integral para una funcin de tres variables, anlogamente a integrales dobles, deberamos pensar que nuestra regin de integracin se extendera a la forma [ ] [ ] [ ], , ,a b c d e g ; es decir, ahora se tendra un

paraleleppedo, una regin de 3 , la cual se la denota como Q :

Si hacemos particiones de Q , la ijk -sima particin tendra la forma: Y su volumen sera: ijk i j kV x y z = . Una funcin de tres variables ( ), ,w f x y z= definida en Q , para esta

particin sera de la forma

( ), , ki j i j kx y zf x y z Donde ( ), , ki jx y z representa un punto cualquiera de la ijk -sima

particin.

a

b

c d

e

g

x

y

k

Q

ixjy

kz

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

194

Para todo Q , habra que considerar una cantidad infinita de particiones, es decir:

( )1 1 1

, ,lim ki jl m n

i j knm k j il

x y zf x y z = = =

De aqu surge la definicin de integrales triples

Sea f una funcin de tres variables definida en una regin de 3 , [ ] [ ] [ ] ( ){ }, , , , , /Q a b c d e g x y z a x b c y d e z g= =

Al ( )1 1 1

, ,lim ki jl m n

i j knm k j il

x y zf x y z = = =

se

le denomina la Integral Triple de f en Q y se la denota de la siguiente manera:

( , , )g d b

e c a

f x y z dxdydz Adems, si existe este lmite decimos que f es integrable en Q .

Si ( ), , 1f x y z = , sera el volumen de la regin Q. En esta seccin nos ocuparemos de calcular volmenes con integrales triples para familiarizarnos con su planteo y con su evaluacin; en otra seccin calcularemos otras integrales triples y adems con alternativas de evaluacin.

El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales tambin, porque al

igual que integrales dobles, estas pueden ser observadas como integrales iteradas. Y es ms, si tuvisemos regiones generales tambin el teorema de Fubini es aplicable.

Ejemplo 1

Encontrar el volumen de la regin acotada por 2 23z x y= + y 21123

z x= .

Solucin Haciendo un dibujo

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

195

La integral triple para el volumen sera:

( ) ( )

( )

213

213

2 2

2 2

12

12

3

3

2 2 213

2 243

12 3

12 3

x

x

x y

R Rx y

R

R

V dz dA dA

x x y dA

x y dA

z

+

+

= =

= +

=

Para definir la regin R , determinemos la curva de interseccin entre las superficies:

2 2

2

31123

z x y

z x

= +

=

Igualando, tenemos:

2 2 2

2 2

2 2

13 123

4 3 123

19 4

x y x

x y

x y

+ =

+ =

+ =

21123

z x=

2 23z x y= +

x

y

z

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

196

Poniendo lmites, tenemos:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2

2

36 43 3

2 2 2 24 43 3

0 0

36 432 33

00

3 3 32 22 2

0

33

2 2

0

12 3 4 12 3

36 44 3

3 3

36 4 36 44

9 27

24 36 427

x

R

x

V x y dA x y dydx

x yy dx

x xdx

x dx

+

= =

= =

=

Empleando sustitucin trigonomtrica:

3x sent= entonces 3cosdx t dt= y 0 0

32

x t

x t

reeemplazando

2 2

19 4x y

+ =

x

y

3

2 236 43

xy + =

0

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

197

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )

3 233 2 22 2

0 0

2

3

0

2

4

0

22

0

22

0

2 2 2

0 0 0

2 84 36 4 36 4 3 3cos27 27

8 6cos 3cos27

16 cos3

16 1 cos 23 2

1 2cos 2 cos 2163 4

1 cos 44 2cos 23 2

4 2 123 2 2

V x dx sent tdt

t tdt

t dt

t dt

t tdt

tdt tdt dt

sen t st t

= =

=

=

+ =

+ +=

+

= + +

= + + +

2

0

3

48

4 33 2 2

en t

V u

= =

Ejemplo 2 Empleando integrales triples para calcular el volumen de la esfera que tiene por ecuacin 2 2 2 2x y z a+ + = . Solucin: Haciendo un grfico

dxdy

dz

y

z

x

2 2 2z a x y=

a

a 0z =

Q

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

198

El volumen del paraleleppedo diferencial sera: dV dzdA= (altura por rea de la base), ser mejor plantearlo de esta forma para que el dA sea planteado igual que en integrales dobles. El volumen total sera:

Q

V dzdA= Trabajando con la porcin superior de la esfera, haciendo un barrido vertical, el lmite inferior para z sera la ecuacin del plano 0z = y el lmite superior sera la ecuacin de la esfera

2 2 2z a x y= , entonces:

2 2 2

2 2 2

0

2 2

z a x y

R R

V dz dA a x y dA

=

= =

los dems lmites se los obtiene observando la proyeccin de la superficie en el plano xy Pasando a polares y evaluando la integral:

( )

( )

2

2 2 2 2 2

0 0

2 32 2 2

0 0

3 22 20

3

2 2

223 2

2 0343

a

Ra

V a x y dA a r rdrd

a r

a

a

= =

=

=

=

Las integrales triples igual que las integrales dobles, pueden presentarse laboriosa en su evaluacin; por tanto, aqu tambin es posible utilizar trasformaciones.

2 2 2x y a+ =

a

a

x

y

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

199

5.2.2 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFRICAS

Recordemos que las transformaciones en coordenadas esfricas son:

cos

cos

x seny sen senz

= = =

Anlogamente a integrales dobles, ahora una integral triple en

condiciones especiales puede ser expresada de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( ), ,

, , , ,, ,

Q Q

x y zf x y z dV f d d d

=

Hallemos el Jacobiano:

( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

, ,, ,

cos coscos 0

cos cos cos

cos cos cos cos cos

cos cos

x y zx y z

x y zx y z

sen sen sensen sen sen

sen sen

sen sen sen sen sen sen sen

sen sen

=

=

= + = +

2 3 2 2

2 2 2 3

2 2 2

2

cos

cos

cos

sen sen

sen sen

sen sen

sen

+ =

= + =

Por tanto:

( )( )

2, ,, ,

x y zsen

=

Ejemplo 1

Calcular el volumen de la esfera 2 2 2 2x y z a+ + = empleando coordenadas esfricas. Solucin: La ecuacin de la esfera en coordenadas esfricas es a =

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

200

El volumen estara dado por:

2

2

0 0 0

a

V sen d d d

= Evaluando

( )

( )

2 23

2

00 0 0 0 0

23

0

02

3

03

2

0

3

3

cos3

1 13

23

43

aa

V sen d d d sen d d

a d

a d

a

a

= =

=

= +

=

=

Ejemplo 2

Hallar el volumen de la porcin del cono 2 2 2z x y= + , limitada superiormente por la esfera 2 2 2 2x y z a+ + = . Solucin: Haciendo un dibujo:

a =

x

y

z

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

201

La integral para el volumen sera:

2 4

2

0 0 0

a

V sen d d d

= Evaluando

( )

2 24 43

2

00 0 0 0 0

23

40

02

3

0

32

0

3

3

cos3

213 2

213 2

2 213 2

aa

V sen d d d sen d d

a d

a d

a

a

= =

=

=

=

=

a =

x

y

z

4 =

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

202

Ejercicios Propuestos 5.6 1. Determine el volumen del slido limitado en su parte superior por la esfera

2 2 2 9x y z+ + = y en su parte inferior por el cono 2 2 22x y z+ = ; considere 0z .

2. Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cilindro 222 ayx =+ y el

hiperboloide 2222 azyx =+ 3. Calcular el volumen del slido limitado por los tres planos coordenados, la superficie

22 yxz += ;y el plano 1=+ yx

4. Calcular el volumen del slido limitado por la esfera 2222 azyx =++ y el cono

0;222 += zyxz

5. Calcular el volumen del slido limitado superiormente por la esfera zzyx 4222 =++

e inferiormente por el cono 222 zyx =+ . Resp. 8 6. Calcular el volumen del slido limitado por las superficies:

1;2 22222 =+=+ zyxzyx ;y 0=z 7. Utilizando una transformacin adecuada, hallar el volumen del cuerpo limitado por el

elipsoide 22549

222=++

zyx y el cono 0

2549

222=+

zyx

8. Sea un campo escalar ( )zyxf ,, definido sobre una regin 3RQ , se define el valor

medio de f por: ( )=Q

med dVzyxfQVf ,,

)(1

, donde V(Q) es el volumen de Q.

Encontrar el valor medio de ( ) xyzzyxf =,, sobre el cubo de lado "L" que se encuentra en el primer octante con vrtice en el origen y aristas paralelas a los ejes coordenados

Miscelneos 1. Califique como verdaderas o falsas lasa siguientes proposiciones:

a) ( ) ( ) ( )

ln 1 0

1 ln 0 1

, , ,

y y

e x e e

x e e

f x y dydx f x y dxdy f x y dxdy

= +

b) ( ) ( )

2 21 1 1 1

2 2

1 1 0 1

3 2 3

x x

x x

x y dydx x y dydx

+ = + c) El valor promedio de la funcin ( ),f x y xy= en la regin [ ] [ ]0,1 1,3 es igual a 1.

d) ( )

( )

( )2

1 11 1 1

0 0 01 1

, ,

y

x

f x y dydx f x y dxdy

+

=

e) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2 1

0 1 1 1 0 1

, 2 , ,

y yx

x y

f x y dydx f x y dxdy f x y dxdy

= +

2. Empleando integrales dobles, calcular el rea de la regin limitada por: a) 25102 += xy ; 962 += xy

b) xyx 222 =+ ; xyx 422 =+ ; xy = ; 0=y

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

203

3. Calcule la integrales doble sobre la regin R

===

=+ 4

0,

21 xxy

yR

Rx

y

4. Calcular dydxx

y

x sen

2

0

4

2

5. Calcular +2

0

231 dydx

x

yx

6. Evaluar dA

R

xy

e donde R es la regin limitada por 2xy = , xy = , 1=x , 2=x . 7. Suponga que el tringulo R con vrtices (0,0) , )10,0( y )0,10( representa la regin situada dentro

del lmite de cierta regin de la provincia de Manab. Despus de una tormenta de invierno, la

profundidad del agua en el punto ),( yx de R era 501005001),(

yxeeyxf

= cm. Suponiendo

que x e y se miden en centmetros HALLE una expresin para establecer la profundidad media del agua en la regin.

8. Para las integrales dadas, calcular el valor de la integral, dibujar la regin de integracin,

cambiar el orden de integracin y calcular el valor de la nueva integral.

a) ( )

+1

0

1

1

2

2y

dxdyyyx

b)

a a

z xa

adxdz

022

c) ( ) +1

0

3x

x

dydxyy

d) +

0

cos1

0

2 senx

xdydxy

e) +8ln

1

ln

0

yyx dxdye

9. Evaluar

R

xdA ; si R es un tringulo con vrtices los puntos (2,3) ; (7,2) ; (4,5). 10. Calcular

D

xydA donde D es la regin comprendida entre la elipse 12 22 =+ yx y la circunferencia 122 =+ yx en el primer cuadrante.

11. Calcular D

xydA donde D es el cuadrado con vrtices (0,0); (1,1); (2,0); (1,-1).

12. Evaluar cos4

R

xy dA ; donde R es el rectngulo [0,2]x[-1,0].

MOISES VILLENA Integracin Mltiple

204

13. Calcular ( )2 22R

x y dA+ ; R es la regin acotada por las grficas 1=xy ; 2=xy ; xy = ; xy 2= . Utilizando la transformacin:

vyvux

=

=

14. Encuentre el rea de la superficie del paraboloide hiperblico 22 xyz = comprendida

entre los cilindros 122 =+ yx y 422 =+ yx .

15. Determine el volumen del slido comprendido entre las esferas ( )22 21 : 1 4S x y z+ + = y

( )22 22 : 1 4S x y z+ + + = . Resp. 10 3

16. Determine el rea de la superficie de la esfera 2 2 2 2x y z R+ + = que se encuentra en el interior del cilindro 2 2 2x y a+ = . Considere 0z