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5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

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  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    149

    5 5.1 INTEGRALES DOBLES

    5.1.1 DEFINICIN. 5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 5.1.3 TEOREMA FUBINI 5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES

    GENERALES 5.1.5 PROPIEDADES 5.1.6 CLCULO DE INTEGRALES DOBLES

    INVIRTIENDO LOS LMITES DE INTEGRACIN

    5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

    5.1.8 VOLMENES CON INTEGRALES DOBLES 5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS

    CILNDRICAS. 5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA

    INTEGRALES DOBLES (TRANSFORMACIONES)

    5.1.11 REA DE UNA SUPERFICIE

    5.2 INTEGRALES TRIPLES OBJETIVOS:

    Calcular Integrales Dobles. Invertir el orden de integracin. Calcular Volmenes. Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones. Calcular reas de una Superficie.

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    150

    5.1 INTEGRALES DOBLES

    5.1.1 DEFINICIN

    La integral definida para funciones de una variable se la defini de la siguiente manera:

    ( ) ( )1

    b n

    i inia

    f x dx lm f x x

    =

    =

    La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el rea bajo la curva ( )y f x= en un intervalo [ ],a b .

    Si quisiramos obtener una Integral definida para una funcin de dos variables; primero deberamos suponer que ahora la regin de integracin sera de la forma [ ] [ ], ,a b c d , es decir un rectngulo de 2R , la cual la denotamos como R .

    Haciendo particiones de la regin R , de dimensiones no necesariamente iguales:

    a b

    c

    d

    x

    y

    R

    a b

    c

    d

    x

    y

    0x 1x 2x nx1nx

    0y

    1y

    2y

    my

    1my

    1x 2x nx

    1y

    2y

    my

    ix

    iy

    ix

    jy

    R

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    151

    La ij sima particin tendr forma rectangular. Ahora cabe referirse al rea de esta particin, que estara dada por:

    ij i jA x y = Podemos definir una funcin de dos variables ( ),z f x y= en la regin

    R , que para la ij sima particin sera: ( ),i i jjf x y x y Bien, veamos ahora su significado geomtrico. Observe la grfica

    siguiente:

    El punto ( ),i jx y , representa cualquier punto del ij simo rectngulo. El volumen del ij simo paraleleppedo, denotmoslo como ijV , estara dado por:

    ( ),iij i jjV f x y x y = . Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendramos que hacer

    una suma de volmenes de una cantidad infinita de paralelepdedos, es decir:

    ( )1 1

    lim ,m n

    i i jjnj im

    V f x y x y

    = =

    =

    x

    y

    z

    ( ),z f x y=

    ixjy

    ( ),ii jz f x y=

    ( ),i jx y

    a

    b

    c d

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    152

    De aqu surge la definicin de Integral doble

    Sea f una funcin de dos variables definida en la regin plana [ ] [ ] ( ){ }, , , /R a b c d x y a x b c y d= =

    Al ( )1 1

    lim ,m n

    i i jjnj im

    f x y x y

    = =

    se le denomina la Integral Doble de f en R y se la denota de la siguiente manera:

    ( , )d b

    c a

    f x y dxdy Adems, si existe este lmite decimos que f es integrable en R .

    Por el momento no vamos a seguir con la interpretacin geomtrica de la Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cmo evaluarla.

    En la definicin se dice que si el lmite existe la funcin es integrable, pero

    surge la interrogante cundo ser que el lmite exista?. Esto lo veremos en el siguiente teorema.

    5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

    Sea f una funcin de dos variable definida en la regin plana

    [ ] [ ] ( ){ }, , , /R a b c d x y a x b c y d= = Si f est acotada en R y si f es continua en R a excepcin de un nmero finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R .

    Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable, si la funcin es continua ser integrable.

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    153

    Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral doble.

    5.1.3 TEOREMA FUBINI

    Sea f una funcin de dos variable definida en la regin plana

    [ ] [ ] ( ){ }, , , /R a b c d x y a x b c y d= = . Si f es continua en R , entonces:

    ( )

    ( )

    ( , ) ,

    ,

    d b

    R c a

    b d

    a c

    f x y dA f x y dx dy

    f x y dy dx

    = =

    Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales Iteradas.

    Ejemplo

    Calcular

    1

    0

    2

    1

    2dydxxy

    SOLUCIN: Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir:

    ( )

    ===

    +=

    =

    =

    1

    0

    1

    0

    21

    0

    1

    0

    331

    0

    3

    1

    31

    0

    2

    1

    2

    23

    233

    31

    38

    31

    32

    3

    xxdxdxxx

    dxxxdxyxdxdyxy

    Aqu pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a

    y , sin mayor trabajo. No deje de hacerlo.

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    154

    Hasta el momento hemos trabajado con regiones de integracin rectangulares, pero en las mayoras de las ocasiones se presentarn otros tipos de regiones.

    5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES

    GENERALES El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales.

    En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una regin plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera: Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma: Cuya rea, denotada como dA , est dada por: dA dxdy dydx= =

    Entonces, igual como lo habamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la regin plana R tiene la forma:

    dAyxfR

    ),( Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras:

    PRIMERO haciendo un barrido vertical

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    155

    dxdyyxfbx

    ax

    xfy

    xgy =

    =

    =

    =

    )(

    )(

    ),(

    SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal

    dydxyxfdy

    cy

    yfx

    ygx =

    =

    =

    =

    )(

    )(

    ),(

    Si 1),( =yxf , la integral doble representa el rea de la regin R , es decir:

    =R

    dAA

    La regin anterior es llamada una regin simple- xy , sin embargo pueden

    existir regiones simple- x , slo se puede empezar haciendo primero un barrido vertical.

    a b

    ( )y f x=

    ( )y g x=

    dxdy

    x

    y

    R

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    156

    Como tambin pueden existir regiones simple- y , slo se puede empezar haciendo primero un barrido horizontal.

    Ejemplo 1

    Calcular 1

    0

    3

    2

    160

    x

    x

    dydxxy

    SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:

    ( ) ( )

    [ ]

    ==

    ==

    =

    =

    1

    0

    1

    0

    10493

    1

    0

    424

    1

    0

    41

    0

    3

    641010

    404

    404040

    40404

    1601602

    2

    xxdxxx

    dxxxxxdxyxdxdyxyx

    x

    x

    x

    Ejemplo 2

    Calcular dydxey

    y

    xy 1

    0 0

    2

    SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:

    d

    c

    ( )x f y=( )x g y=

    dx

    dy

    x

    y

    R

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    157

    ( )[ ]

    122

    022

    1222

    20211

    0

    2

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    00

    2

    1

    0 0

    2

    222

    22

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    eeeye

    ydydyyedyyye

    dyyeyedyy

    eydydxey

    y

    yy

    yyyyxy

    y

    xy

    Ejemplo 3

    Calcular dydxey

    y

    1

    0

    1

    1

    SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:

    [ ]

    ( )( ) dyyedyye

    dyxedydxedydxe

    yy

    yy

    y

    y

    y

    y

    ==

    =

    =

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    11

    La ltima integral, se la realiza POR PARTES:

    ( ) ( ) ( ) 11010

    1

    0

    ==== eeeyedyeeydyey yyduv

    yvy

    u

    dv

    y

    u

    En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los lmites de integracin, por tanto no haba ms que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la regin de integracin porque los lmites no estn definidos.

    Ejemplo 1

    Calcular dAxR donde R es la regin limitada por xy 2= y 2xy =

    SOLUCIN: Primero identificamos la regin R :

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    158

    Note que es una regin simple-, la calcularemos de las dos formas. PRIMER MTODO: Haciendo primero un barrido vertical.

    La integral doble con lmites ser: dydxx

    x

    x 2

    0

    2

    2

    Calculando la integral, resulta:

    [ ] ( ) ( )[ ]

    ( )344

    316

    4322

    2

    432

    0

    32

    2

    0

    2

    2

    0

    2

    2

    0

    2

    2

    2

    ==

    ==

    ==

    xxdxxx

    dxxxxxdxxydxdyx xx

    x

    x

    SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal.

    La integral doble con lmites ser: dxdyx

    y

    y 4

    02

    Calculando la integral doble, resulta:

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    159

    ( )

    34

    384

    244

    8222

    22

    4

    0

    32

    4

    0

    24

    0

    22

    4

    0 2

    24

    02

    ==

    =

    =

    =

    =

    yy

    dyyydy

    yy

    dyxdyxdxy

    y

    y

    y

    Ejemplo 2

    Calcular dA

    R donde

    ==

    =

    =

    02

    1:

    yx

    xy

    xy

    R SOLUCIN:

    La regin R es:

    Aqu es mejor hacer un barrido vertical primero: +2

    1

    1

    0

    1

    0 0

    dxdydxdyxx

    Calculando las integrales dobles, tenemos:

    2ln21

    ln2

    1

    21

    1

    0

    2

    2

    1

    1

    0

    2

    1

    10

    2

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0 0

    +=

    +=

    +=

    +=

    +

    xx

    dxx

    xdx

    dxydxydxdydxdy xxxx

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    160

    Ejemplo 3

    Calcular dAex

    R

    y 2212 donde == xy xyR3

    : en el primer cuadrante.

    SOLUCIN: La regin R es: Aqu es mejor primero un barrido horizontal Por qu? Observe qu ocurre si hacemos primero un barrido vertical? Planteando la integral doble con lmites y calculndola, tenemos:

    ( )

    =

    =

    =

    1

    0

    3

    1

    0

    1

    0

    333

    1

    0

    31

    0

    2

    22

    2

    3

    2

    3

    2

    44

    4

    31212

    dyeydyye

    dyyye

    dyxedydxex

    yy

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    Haciendo cambio de variable 2yt = . De aqu tenemos: ydydt 2= Reemplazando y resolviendo:

    [ ]( )[ ]

    4210222

    22

    22

    24

    2444

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    3

    1

    0

    1

    0

    3

    1

    0

    22

    ==

    =

    =

    =

    ee

    etee

    dttedte

    ydtey

    ydtyedyeydyye

    ttt

    tt

    ttyy

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    161

    Ejemplo 4

    Calcular ( )dAx

    R +12

    donde R es el tringulo que tiene por vrtices los puntos )0,1( , )1,0( y )0,1( SOLUCIN: La regin R es: No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinacin de las ecuaciones de las

    rectas se las puede obtener empleando la formula ( )112

    121 xx

    xx

    yyyy

    = .

    Aqu tambin es mejor primero un barrido horizontal:

    ( ) ( )

    ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

    ( ) ( )[ ]

    [ ]

    ( )

    ( ) 112

    2

    22

    1111

    1111

    12

    1

    0

    1

    1

    1

    02

    1

    0

    1

    0

    22

    1

    0

    22

    1

    0

    1

    12

    1

    0

    1

    1

    =+

    =

    =

    ++=

    ++=

    +=+

    dydxx

    yy

    dyy

    dyyyyy

    dyyyyy

    dyxxdydxx

    y

    y

    y

    y

    y

    y

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    162

    5.1. 5 PROPIEDADES

    Sean f y g funciones de dos variables continuas en una regin R , entonces: 1. ;

    R R

    kdA k dA k= 2. ( )

    R R R

    f g dA fdA gdA = 3.

    1 2R R R

    dA dA dA= + donde 1 2R R R=

    5.1.6 CLCULO DE INTEGRALES DOBLES

    INVIRTIENDO LOS LMITES DE INTEGRACIN

    Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, pero

    tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales.

    Ejemplo 1

    Calcular e x

    dxxydy

    1

    ln

    0

    SOLUCIN: Primero se debe identificar la regin de integracin. En este caso, la integral doble est dada primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dydx , entonces tenemos que interpretar la integral doble de la siguiente manera:

    =

    =

    =

    =

    ex

    x

    xy

    y

    dxxydy

    1

    ln

    0

    Por tanto, la regin es

    ===

    exy

    xyR 0

    ln: , es decir:

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    163

    Invirtiendo los lmites de integracin hay que hacer ahora un barrido horizontal primero, es decir:

    ( )

    81

    8

    81

    844

    221

    221

    22

    21

    2222

    2

    222

    1

    0

    221

    0

    22

    1

    0

    2

    1

    0

    21

    0

    221

    0

    21

    0

    =

    +=

    =

    =

    ==

    e

    eee

    eeyye

    dyyedyyedyeeydyxydyxydx

    yy

    yye

    e

    e

    ey

    y

    Ejemplo 2

    Invierta el orden de integracin para 2

    0

    4

    0

    2

    ),( dxdyyxf

    x

    SOLUCIN:

    Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos: =

    =

    =

    =

    2

    0

    4

    0

    2

    ),(

    x

    x

    xy

    y

    dxdyyxf . Se ha hecho

    primero un barrido vertical

    Entonces la regin de integracin es

    ==

    =

    004

    :

    2

    yx

    xyR

    Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:

    4

    0

    4

    0

    ),( dydxyxf

    y

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    164

    Ejemplo 3

    Invierta el orden de integracin para

    +

    +

    1

    1

    1

    1

    ),( dydxyxf

    y

    y

    SOLUCIN:

    Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos: =

    =

    +=

    +=

    1

    1

    1

    1

    ),(

    y

    y

    yx

    yx

    dydxyxf . Se ha

    hecho primero un barrido vertical

    Entonces la regin de integracin es

    ==

    11:

    2

    yxyR

    Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:

    2

    2

    1

    12

    ),( dxdyyxf

    x

    Ejemplo 4

    Invierta el orden de integracin para 4

    2

    16

    ),( dxdyyxfx

    x

    SOLUCIN:

    Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos: =

    =

    =

    =

    4

    2

    16

    ),(

    x

    x

    xy

    xy

    dxdyyxf Se ha hecho

    un barrido vertical primero

    Entonces la regin de integracin es

    =

    =

    =

    2

    16:

    xx

    y

    xy

    R

    Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    165

    +4

    16

    2

    4

    2 2

    ),(),( dydxyxfdydxyxf

    yy

    Ejercicios propuestos 5.1

    1. Calcular +1

    0 0

    y

    yx dxdye

    2. Emplee una integral doble para hallar el rea de la regin limitada por

    =+

    =+

    09

    092

    2

    yx

    yx

    3. Emplee una integral doble para hallar el rea de la regin limitada por:

    ==

    5222

    xyxy

    4. Calcular: R

    dAx

    y2

    2 donde R es la regin limitada por

    ===

    12

    xyy

    xy

    5. Calcular R

    dAx12 donde R es la regin limitada por

    ==

    xyxy2

    2

    6. Calcular 2

    0

    4

    2

    cos

    x

    ydydxy

    7. Calcular dxdye

    y

    x 1

    0

    21

    2

    2

    8. Invierta el orden de integracin: +

    +

    +

    +

    3

    2

    3

    3

    2

    1

    1

    3

    ),(),(

    x

    x

    x

    x

    dydxyxfdydxyxf

    9. INVERTIR el orden de integracin y EVALUAR.

    +

    2

    1

    2

    0

    1

    0 0

    2

    dxydydxydy

    xx

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    166

    10. Calcular: R

    y dAex2212 , donde R es la regin del primer cuadrante limitada por 3xy = y

    xy=

    11. Representar la regin de integracin para: ( ) ( ) +8

    2

    82

    1

    ,,

    3

    x

    x

    x

    dxdyyxfdxdyyxf e invertir el

    orden de integracin.

    5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

    Sea f una funcin continua en las variables x y y . El valor Medio de f en una regin plana R est dado por:

    =

    R

    R

    dA

    dAyxfMedioValor

    ),(

    Ejemplo

    Encuentre el valor medio de la funcin 31),( yxyxf +=

    sobre la regin limitada por

    ===

    0

    2

    xxy

    y

    SOLUCIN: La regin de integracin es: Empleando la frmula, tenemos:

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    167

    ( )

    ( )( )

    2

    3

    0 02

    0 02

    23

    00

    2

    0

    0

    2

    2 3

    02

    0

    23

    3 2

    022

    0

    1( , )

    12

    1 12

    1132 12 27 12 6

    2

    2136

    y

    Ry

    R

    y

    y

    x y dxdyf x y dA

    Valor Medio

    dA dxdy

    xy dy

    x dy

    y y dy

    ydy

    y

    y

    +

    = =

    +

    =

    +

    =

    +

    = =

    =

    Ejercicios Propuestos 5.2

    1. Calcule el valor medio de la funcin 21

    ),(

    = yeyxf x en la regin del primer cuadrante

    limitada por

    ===

    10

    2

    yx

    xy

    2. Para una compaa concreta, la funcin de produccin de Cobb-Douglas es 4,06,0100),( yxyxf = . Estimar el nivel medio de produccin, si el nmero de unidades de trabajo vara entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300 y 325.

    3. Hallar el valor medio de 42),( ++= yxyxf sobre la regin limitada por las rectas

    0,3,2 === yxyxy

    4. Encuentre el valor medio de la funcin 2

    ),( xeyxf = sobre la regin

    ====

    2

    20

    yxy

    xx

    5. Encuentre el valor medio de la funcin 2

    2

    )1(),(

    +=

    xy

    yyxf , sobre la regin

    o

    6. Calcular el rea de la superficie dada por: cos

    2 cosx ry rz

    = = =

    ,10 r 20

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    193

    5.2 INTEGRALES TRIPLES 5.2.1 DEFINICIN

    Para definir una integral para una funcin de tres variables, anlogamente a integrales dobles, deberamos pensar que nuestra regin de integracin se extendera a la forma [ ] [ ] [ ], , ,a b c d e g ; es decir, ahora se tendra un

    paraleleppedo, una regin de 3 , la cual se la denota como Q :

    Si hacemos particiones de Q , la ijk -sima particin tendra la forma: Y su volumen sera: ijk i j kV x y z = . Una funcin de tres variables ( ), ,w f x y z= definida en Q , para esta

    particin sera de la forma

    ( ), , ki j i j kx y zf x y z Donde ( ), , ki jx y z representa un punto cualquiera de la ijk -sima

    particin.

    a

    b

    c d

    e

    g

    x

    y

    k

    Q

    ixjy

    kz

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    194

    Para todo Q , habra que considerar una cantidad infinita de particiones, es decir:

    ( )1 1 1

    , ,lim ki jl m n

    i j knm k j il

    x y zf x y z = = =

    De aqu surge la definicin de integrales triples

    Sea f una funcin de tres variables definida en una regin de 3 , [ ] [ ] [ ] ( ){ }, , , , , /Q a b c d e g x y z a x b c y d e z g= =

    Al ( )1 1 1

    , ,lim ki jl m n

    i j knm k j il

    x y zf x y z = = =

    se

    le denomina la Integral Triple de f en Q y se la denota de la siguiente manera:

    ( , , )g d b

    e c a

    f x y z dxdydz Adems, si existe este lmite decimos que f es integrable en Q .

    Si ( ), , 1f x y z = , sera el volumen de la regin Q. En esta seccin nos ocuparemos de calcular volmenes con integrales triples para familiarizarnos con su planteo y con su evaluacin; en otra seccin calcularemos otras integrales triples y adems con alternativas de evaluacin.

    El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales tambin, porque al

    igual que integrales dobles, estas pueden ser observadas como integrales iteradas. Y es ms, si tuvisemos regiones generales tambin el teorema de Fubini es aplicable.

    Ejemplo 1

    Encontrar el volumen de la regin acotada por 2 23z x y= + y 21123

    z x= .

    Solucin Haciendo un dibujo

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    195

    La integral triple para el volumen sera:

    ( ) ( )

    ( )

    213

    213

    2 2

    2 2

    12

    12

    3

    3

    2 2 213

    2 243

    12 3

    12 3

    x

    x

    x y

    R Rx y

    R

    R

    V dz dA dA

    x x y dA

    x y dA

    z

    +

    +

    = =

    = +

    =

    Para definir la regin R , determinemos la curva de interseccin entre las superficies:

    2 2

    2

    31123

    z x y

    z x

    = +

    =

    Igualando, tenemos:

    2 2 2

    2 2

    2 2

    13 123

    4 3 123

    19 4

    x y x

    x y

    x y

    + =

    + =

    + =

    21123

    z x=

    2 23z x y= +

    x

    y

    z

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    196

    Poniendo lmites, tenemos:

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    2

    2

    36 43 3

    2 2 2 24 43 3

    0 0

    36 432 33

    00

    3 3 32 22 2

    0

    33

    2 2

    0

    12 3 4 12 3

    36 44 3

    3 3

    36 4 36 44

    9 27

    24 36 427

    x

    R

    x

    V x y dA x y dydx

    x yy dx

    x xdx

    x dx

    +

    = =

    = =

    =

    Empleando sustitucin trigonomtrica:

    3x sent= entonces 3cosdx t dt= y 0 0

    32

    x t

    x t

    reeemplazando

    2 2

    19 4x y

    + =

    x

    y

    3

    2 236 43

    xy + =

    0

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    197

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )( )

    ( )

    ( )

    ( )

    3 233 2 22 2

    0 0

    2

    3

    0

    2

    4

    0

    22

    0

    22

    0

    2 2 2

    0 0 0

    2 84 36 4 36 4 3 3cos27 27

    8 6cos 3cos27

    16 cos3

    16 1 cos 23 2

    1 2cos 2 cos 2163 4

    1 cos 44 2cos 23 2

    4 2 123 2 2

    V x dx sent tdt

    t tdt

    t dt

    t dt

    t tdt

    tdt tdt dt

    sen t st t

    = =

    =

    =

    + =

    + +=

    +

    = + +

    = + + +

    2

    0

    3

    48

    4 33 2 2

    en t

    V u

    = =

    Ejemplo 2 Empleando integrales triples para calcular el volumen de la esfera que tiene por ecuacin 2 2 2 2x y z a+ + = . Solucin: Haciendo un grfico

    dxdy

    dz

    y

    z

    x

    2 2 2z a x y=

    a

    a 0z =

    Q

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    198

    El volumen del paraleleppedo diferencial sera: dV dzdA= (altura por rea de la base), ser mejor plantearlo de esta forma para que el dA sea planteado igual que en integrales dobles. El volumen total sera:

    Q

    V dzdA= Trabajando con la porcin superior de la esfera, haciendo un barrido vertical, el lmite inferior para z sera la ecuacin del plano 0z = y el lmite superior sera la ecuacin de la esfera

    2 2 2z a x y= , entonces:

    2 2 2

    2 2 2

    0

    2 2

    z a x y

    R R

    V dz dA a x y dA

    =

    = =

    los dems lmites se los obtiene observando la proyeccin de la superficie en el plano xy Pasando a polares y evaluando la integral:

    ( )

    ( )

    2

    2 2 2 2 2

    0 0

    2 32 2 2

    0 0

    3 22 20

    3

    2 2

    223 2

    2 0343

    a

    Ra

    V a x y dA a r rdrd

    a r

    a

    a

    = =

    =

    =

    =

    Las integrales triples igual que las integrales dobles, pueden presentarse laboriosa en su evaluacin; por tanto, aqu tambin es posible utilizar trasformaciones.

    2 2 2x y a+ =

    a

    a

    x

    y

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    199

    5.2.2 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFRICAS

    Recordemos que las transformaciones en coordenadas esfricas son:

    cos

    cos

    x seny sen senz

    = = =

    Anlogamente a integrales dobles, ahora una integral triple en

    condiciones especiales puede ser expresada de la siguiente forma:

    ( ) ( ) ( )( ), ,

    , , , ,, ,

    Q Q

    x y zf x y z dV f d d d

    =

    Hallemos el Jacobiano:

    ( )( )

    2 2 2 2 2 2 2 2

    2 2 2 2

    , ,, ,

    cos coscos 0

    cos cos cos

    cos cos cos cos cos

    cos cos

    x y zx y z

    x y zx y z

    sen sen sensen sen sen

    sen sen

    sen sen sen sen sen sen sen

    sen sen

    =

    =

    = + = +

    2 3 2 2

    2 2 2 3

    2 2 2

    2

    cos

    cos

    cos

    sen sen

    sen sen

    sen sen

    sen

    + =

    = + =

    Por tanto:

    ( )( )

    2, ,, ,

    x y zsen

    =

    Ejemplo 1

    Calcular el volumen de la esfera 2 2 2 2x y z a+ + = empleando coordenadas esfricas. Solucin: La ecuacin de la esfera en coordenadas esfricas es a =

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    200

    El volumen estara dado por:

    2

    2

    0 0 0

    a

    V sen d d d

    = Evaluando

    ( )

    ( )

    2 23

    2

    00 0 0 0 0

    23

    0

    02

    3

    03

    2

    0

    3

    3

    cos3

    1 13

    23

    43

    aa

    V sen d d d sen d d

    a d

    a d

    a

    a

    = =

    =

    = +

    =

    =

    Ejemplo 2

    Hallar el volumen de la porcin del cono 2 2 2z x y= + , limitada superiormente por la esfera 2 2 2 2x y z a+ + = . Solucin: Haciendo un dibujo:

    a =

    x

    y

    z

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    201

    La integral para el volumen sera:

    2 4

    2

    0 0 0

    a

    V sen d d d

    = Evaluando

    ( )

    2 24 43

    2

    00 0 0 0 0

    23

    40

    02

    3

    0

    32

    0

    3

    3

    cos3

    213 2

    213 2

    2 213 2

    aa

    V sen d d d sen d d

    a d

    a d

    a

    a

    = =

    =

    =

    =

    =

    a =

    x

    y

    z

    4 =

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    202

    Ejercicios Propuestos 5.6 1. Determine el volumen del slido limitado en su parte superior por la esfera

    2 2 2 9x y z+ + = y en su parte inferior por el cono 2 2 22x y z+ = ; considere 0z .

    2. Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cilindro 222 ayx =+ y el

    hiperboloide 2222 azyx =+ 3. Calcular el volumen del slido limitado por los tres planos coordenados, la superficie

    22 yxz += ;y el plano 1=+ yx

    4. Calcular el volumen del slido limitado por la esfera 2222 azyx =++ y el cono

    0;222 += zyxz

    5. Calcular el volumen del slido limitado superiormente por la esfera zzyx 4222 =++

    e inferiormente por el cono 222 zyx =+ . Resp. 8 6. Calcular el volumen del slido limitado por las superficies:

    1;2 22222 =+=+ zyxzyx ;y 0=z 7. Utilizando una transformacin adecuada, hallar el volumen del cuerpo limitado por el

    elipsoide 22549

    222=++

    zyx y el cono 0

    2549

    222=+

    zyx

    8. Sea un campo escalar ( )zyxf ,, definido sobre una regin 3RQ , se define el valor

    medio de f por: ( )=Q

    med dVzyxfQVf ,,

    )(1

    , donde V(Q) es el volumen de Q.

    Encontrar el valor medio de ( ) xyzzyxf =,, sobre el cubo de lado "L" que se encuentra en el primer octante con vrtice en el origen y aristas paralelas a los ejes coordenados

    Miscelneos 1. Califique como verdaderas o falsas lasa siguientes proposiciones:

    a) ( ) ( ) ( )

    ln 1 0

    1 ln 0 1

    , , ,

    y y

    e x e e

    x e e

    f x y dydx f x y dxdy f x y dxdy

    = +

    b) ( ) ( )

    2 21 1 1 1

    2 2

    1 1 0 1

    3 2 3

    x x

    x x

    x y dydx x y dydx

    + = + c) El valor promedio de la funcin ( ),f x y xy= en la regin [ ] [ ]0,1 1,3 es igual a 1.

    d) ( )

    ( )

    ( )2

    1 11 1 1

    0 0 01 1

    , ,

    y

    x

    f x y dydx f x y dxdy

    +

    =

    e) ( ) ( ) ( )

    2 22 2 2 1

    0 1 1 1 0 1

    , 2 , ,

    y yx

    x y

    f x y dydx f x y dxdy f x y dxdy

    = +

    2. Empleando integrales dobles, calcular el rea de la regin limitada por: a) 25102 += xy ; 962 += xy

    b) xyx 222 =+ ; xyx 422 =+ ; xy = ; 0=y

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    203

    3. Calcule la integrales doble sobre la regin R

    ===

    =+ 4

    0,

    21 xxy

    yR

    Rx

    y

    4. Calcular dydxx

    y

    x sen

    2

    0

    4

    2

    5. Calcular +2

    0

    231 dydx

    x

    yx

    6. Evaluar dA

    R

    xy

    e donde R es la regin limitada por 2xy = , xy = , 1=x , 2=x . 7. Suponga que el tringulo R con vrtices (0,0) , )10,0( y )0,10( representa la regin situada dentro

    del lmite de cierta regin de la provincia de Manab. Despus de una tormenta de invierno, la

    profundidad del agua en el punto ),( yx de R era 501005001),(

    yxeeyxf

    = cm. Suponiendo

    que x e y se miden en centmetros HALLE una expresin para establecer la profundidad media del agua en la regin.

    8. Para las integrales dadas, calcular el valor de la integral, dibujar la regin de integracin,

    cambiar el orden de integracin y calcular el valor de la nueva integral.

    a) ( )

    +1

    0

    1

    1

    2

    2y

    dxdyyyx

    b)

    a a

    z xa

    adxdz

    022

    c) ( ) +1

    0

    3x

    x

    dydxyy

    d) +

    0

    cos1

    0

    2 senx

    xdydxy

    e) +8ln

    1

    ln

    0

    yyx dxdye

    9. Evaluar

    R

    xdA ; si R es un tringulo con vrtices los puntos (2,3) ; (7,2) ; (4,5). 10. Calcular

    D

    xydA donde D es la regin comprendida entre la elipse 12 22 =+ yx y la circunferencia 122 =+ yx en el primer cuadrante.

    11. Calcular D

    xydA donde D es el cuadrado con vrtices (0,0); (1,1); (2,0); (1,-1).

    12. Evaluar cos4

    R

    xy dA ; donde R es el rectngulo [0,2]x[-1,0].

  • MOISES VILLENA Integracin Mltiple

    204

    13. Calcular ( )2 22R

    x y dA+ ; R es la regin acotada por las grficas 1=xy ; 2=xy ; xy = ; xy 2= . Utilizando la transformacin:

    vyvux

    =

    =

    14. Encuentre el rea de la superficie del paraboloide hiperblico 22 xyz = comprendida

    entre los cilindros 122 =+ yx y 422 =+ yx .

    15. Determine el volumen del slido comprendido entre las esferas ( )22 21 : 1 4S x y z+ + = y

    ( )22 22 : 1 4S x y z+ + + = . Resp. 10 3

    16. Determine el rea de la superficie de la esfera 2 2 2 2x y z R+ + = que se encuentra en el interior del cilindro 2 2 2x y a+ = . Considere 0z