Aplicaciones de Las Integrales Dobles y Triples

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  • 7/30/2019 Aplicaciones de Las Integrales Dobles y Triples

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    APLICACIONES DE LASINTEGRALES DOBLES Y

    TRIPLES

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    INTEGRAL DOBLE

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    PROPIEDADES

    Linealidad

    Monotona

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    Aditividad respecto a rectngulos

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    Valor medio

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    APLICACIONES

    Masa de la lmina

    Consideremos una lmina delgada L, que ocupa la regin

    R del plano y cuyo espesor es despreciable. En dicha

    regin de distribuye de manera continua una masa con

    densidad superficial , .

    = ,

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    Momentos estticos respecto de los ejes

    El momento esttico respectivamente de unpunto material , de una masa m, respecto al eje x yrespectivamente al eje y, es el producto de la masa por su

    distancia al eje x y respectivamente al eje y. Luego los

    momentos estticos de la lmina L estarn dados por:

    = =

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    Centro de masa o centro de gravedad

    Se define como el punto en que se habra de colocar el

    punto de apoyo para que el sistema alcanzase el

    equilibrio.Viene dado por

    ,

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    Centro geomtrico

    Las coordenadas , del centroide de una regin planaR de rea = satisfacen las relaciones: . = .= =

    =

    o tambin

    . =

    . =

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    Momentos de inercia de L

    El momento de inercia de un punto material P de masa m,respecto a una recta r, o un punto es el producto de la masapor el cuadrado de la distancia de P a la recta o al punto.

    Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materialesrespecto a

    , es la suma de los momentos de inercia de

    los diversos puntos del conjunto. Por tanto, los momentos deinercia vendrn dados por:

    Respecto al eje x

    = 2

    Respecto al eje y = 2

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    Respecto al origen (denominado tambin momento de

    inercia polar)

    = + = 2 + 2

    Respecto a un punto

    ,

    = 2 = 2 2 + 2 2

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    INTEGRALES TRIPLES

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    PROPIEDADES

    . , , = , ,

    =

    0 0

    =

    1+

    + +

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    CALCULO DE INTEGRALES

    TRIPLESEN COORDENADAS CARTESIANAS Para calcular valores exactos, se aplica la versin tridimensional del

    teorema de Fubini visto para las integrales dobles que permitaresolverlas mediante reiteracin de integrales simples. En el caso de

    integrales triples, se necesitarn tres integrales simples reiteradas.

    , , = , , ,

    1 ,

    1

    = , , ,

    1 ,

    1

    , Tomando los lmites de integracin de forma que cubran la regin R,

    pudiendo variarse el orden de integracin seis (6) formas distintas.

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    En coordenadas cilndricas

    Coordenadas cartesianas:

    , ,

    Coordenadas cilndricas: , , Relacin entre las coordenadas cartesianas ycilndricas: = = =

    Un punto Pen coordenadas cilndricas se representapor , , , donde:

    : Coordenada radial, definida como la distancia delpunto P al eje z, o bien la longitud de la proyeccin delradiovector sobre el plano XY

    : Coordenada acimutal, definida como el ngulo queforma con el eje X la proyeccin del radiovector sobreel plano XY.

    : Coordenada vertical o altura, definida como ladistancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

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    En coordenadas esfricas

    Las coordenadas polares esfricas son unageneralizacin de las coordenadas polares en tresdimensiones.

    El sistema de coordenadas esfricas se basa enla misma idea que las coordenadas polares y seutiliza para determinar la posicin espacial de unpunto mediante una distancia y dos ngulos. Enconsecuencia, un punto P queda representadopor un conjunto de tres magnitudes.

    : es la distancia de P al origen

    : es el ngulo que forma con el eje z positivo0 : es el ngulo de las coordenadascilndricas

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    APLICACIONES

    Masa de un slido

    Si es una funcin densidad continua de un slido quecorresponde a una regin slida Q, la masa m del slidoviene dada por:

    = , ,

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    Momentos de primer orden

    Primer momento del slido respecto al plano yz

    = , ,

    Primer momento del slido respecto al plano xz

    = , ,

    Primer momento del slido respecto al plano xy = , ,

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    Centro de masa

    Si la masa del slido es m, las coordenadas del centro de

    masa de la regin slida Q son:

    , , =

    ; =

    ; =

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    Momentos de inercia de una regin

    slida Momento de inercia con respecto al eje x

    = 2 + 2

    , , Momento de inercia con respecto al eje y

    = 2 + 2 , , Momentos de inercia con respecto al eje z

    = 2

    + 2

    , ,

    Momentos de inercia con respecto al origen

    = 2 + 2 + 2

    , ,

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    Valores promedios

    = , ,