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7/30/2019 Aplicaciones de Las Integrales Dobles y Triples
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APLICACIONES DE LASINTEGRALES DOBLES Y
TRIPLES
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INTEGRAL DOBLE
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PROPIEDADES
Linealidad
Monotona
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Aditividad respecto a rectngulos
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Valor medio
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APLICACIONES
Masa de la lmina
Consideremos una lmina delgada L, que ocupa la regin
R del plano y cuyo espesor es despreciable. En dicha
regin de distribuye de manera continua una masa con
densidad superficial , .
= ,
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Momentos estticos respecto de los ejes
El momento esttico respectivamente de unpunto material , de una
masa m, respecto al eje x yrespectivamente al eje y, es el producto
de la masa por su
distancia al eje x y respectivamente al eje y. Luego los
momentos estticos de la lmina L estarn dados por:
= =
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Centro de masa o centro de gravedad
Se define como el punto en que se habra de colocar el
punto de apoyo para que el sistema alcanzase el
equilibrio.Viene dado por
,
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Centro geomtrico
Las coordenadas , del centroide de una regin planaR de rea =
satisfacen las relaciones: . = .= =
=
o tambin
. =
. =
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Momentos de inercia de L
El momento de inercia de un punto material P de masa m,respecto
a una recta r, o un punto es el producto de la masapor el cuadrado
de la distancia de P a la recta o al punto.
Y el momento de inercia de un conjunto de puntos
materialesrespecto a
, es la suma de los momentos de inercia de
los diversos puntos del conjunto. Por tanto, los momentos
deinercia vendrn dados por:
Respecto al eje x
= 2
Respecto al eje y = 2
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Respecto al origen (denominado tambin momento de
inercia polar)
= + = 2 + 2
Respecto a un punto
,
= 2 = 2 2 + 2 2
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INTEGRALES TRIPLES
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PROPIEDADES
. , , = , ,
=
0 0
=
1+
+ +
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CALCULO DE INTEGRALES
TRIPLESEN COORDENADAS CARTESIANAS Para calcular valores exactos,
se aplica la versin tridimensional del
teorema de Fubini visto para las integrales dobles que
permitaresolverlas mediante reiteracin de integrales simples. En el
caso de
integrales triples, se necesitarn tres integrales simples
reiteradas.
, , = , , ,
1 ,
1
= , , ,
1 ,
1
, Tomando los lmites de integracin de forma que cubran la regin
R,
pudiendo variarse el orden de integracin seis (6) formas
distintas.
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En coordenadas cilndricas
Coordenadas cartesianas:
, ,
Coordenadas cilndricas: , , Relacin entre las coordenadas
cartesianas ycilndricas: = = =
Un punto Pen coordenadas cilndricas se representapor , , ,
donde:
: Coordenada radial, definida como la distancia delpunto P al
eje z, o bien la longitud de la proyeccin delradiovector sobre el
plano XY
: Coordenada acimutal, definida como el ngulo queforma con el
eje X la proyeccin del radiovector sobreel plano XY.
: Coordenada vertical o altura, definida como ladistancia, con
signo, desde el punto P al plano XY.
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En coordenadas esfricas
Las coordenadas polares esfricas son unageneralizacin de las
coordenadas polares en tresdimensiones.
El sistema de coordenadas esfricas se basa enla misma idea que
las coordenadas polares y seutiliza para determinar la posicin
espacial de unpunto mediante una distancia y dos ngulos.
Enconsecuencia, un punto P queda representadopor un conjunto de
tres magnitudes.
: es la distancia de P al origen
: es el ngulo que forma con el eje z positivo0 : es el ngulo de
las coordenadascilndricas
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APLICACIONES
Masa de un slido
Si es una funcin densidad continua de un slido quecorresponde a
una regin slida Q, la masa m del slidoviene dada por:
= , ,
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Momentos de primer orden
Primer momento del slido respecto al plano yz
= , ,
Primer momento del slido respecto al plano xz
= , ,
Primer momento del slido respecto al plano xy = , ,
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Centro de masa
Si la masa del slido es m, las coordenadas del centro de
masa de la regin slida Q son:
, , =
; =
; =
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Momentos de inercia de una regin
slida Momento de inercia con respecto al eje x
= 2 + 2
, , Momento de inercia con respecto al eje y
= 2 + 2 , , Momentos de inercia con respecto al eje z
= 2
+ 2
, ,
Momentos de inercia con respecto al origen
= 2 + 2 + 2
, ,
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Valores promedios
= , ,
