Ejercicios Resueltos de Integrales Dobles y Triples

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Text of Ejercicios Resueltos de Integrales Dobles y Triples

  • Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martnez ConchaFacultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo

    Departamento de Matemtica y CC Emilio Villalobos Marn.Ejercicios Resueltos

    1 Clculo de integrales dobles en coordenadasrectngulares cartesianas

    1.1 Problema

    CalcularZZ

    D

    px + ydxdy si D es la regin acotada por las respectivas rectas

    y = x; y = x y x = 1SolucinSe tiene que la regin D =

    (x; y) 2 IR2= 0 x 1;x y x

    ZZD

    px + ydxdy =

    Z 10

    Z xx

    px + ydydx

    =2

    3

    Z 10

    (x + y)3=2xxdx

    =2

    3

    Z 10

    (2x)3=2dx

    =25=2

    3

    2

    5(x)

    5=210

    =8p2

    15

    1.2 Problema

    CalcularZZ

    D

    px2 y2dxdy si D es el dominio limitado por el tringulo de

    vrtices A (0; 0) ; B(1;1); C (1; 1) :SolucinEntonces se tiene que el dominio est delimitado por las rectas y = x;y = x y x = 1:Luego el dominio de integracin es:

    D =(x; y) 2 IR2= 0 x 1;x y x

    :Integrando a franjas verticales, resulta

    1

  • ZZD

    px2 y2dxdy =

    Z 10

    Z xx

    px2 y2dydx

    =

    Z 10

    Z xxx

    r1

    yx

    2dydx

    Hacemos el cambio de variablesy

    x= sent =) dy = x cos tdt y

    determinemos los limites.Para y = x =) arcsen

    xx

    = arcsen (1) =

    2:

    Para y = x =) arcsenxx

    = arcsen (1) =

    2Por tanto

    Z 10

    Z xxx

    r1

    yx

    2dydx =

    Z 10

    Z 2

    2x2p1 sen2tdtdx

    =

    Z 10

    Z 2

    2x2 cos2 tdtdx

    =

    Z 10

    Z 2

    2x2(

    1 + cos 2t

    2)dtdx

    =

    Z 10

    x2t

    2+sen2t

    4

    2

    2dx

    =

    2

    Z 10

    x2dx

    =

    2

    x3

    3

    10

    =

    6

    1.3 Problema

    CalcularZZ

    D

    y 2x2 dxdy si D es la regin acotada por jxj+ jyj = 2

    SolucinSe tiene que la regin D =

    (x; y) 2 IR2= jxj+ jyj 2

    Si escogemos la regin con una particin de tipo I, es necesario utilizar dosintegrales iterativas porque para 2 x 0 , la frontera inferior de la regin esla grca de y = x 2, y la superior es y = x+2;y para 0 x 2 la fronterainferior de la regin es la grca de y = x 2, y la superior es y = x+ 2Entonces se tiene D = D1 [D2 tal que D1 [D2 = :donde D1 =

    (x; y) 2 IR2= 2 x 0; x 2 y x+ 2

    D2 =(x; y) 2 IR2= 0 < x 2; x 2 y x+ 2

    2

  • Por otra parte la funcion del integrando f (x; y) = y 2x2 es simtrica conrespecto al eje y, es decir 8 (x; y; z) 2 D existe (x; y; z) tal que f (x; y) =y 2(x)2 = f (x; y) :Por lo tanto

    ZZD

    y 2x2 dxdy = 2Z 2

    0

    Z x+2x2

    y 2x2 dydx

    = 2

    Z 20

    y2

    2+ 2x2y

    x+2x2

    dx

    = 2

    Z 10

    4x3 8x2 dx

    =

    x4 8

    3x32

    0

    = 2

    16 64

    3

    = 32

    3

    1.4 Problema

    CalcularZZ

    D

    x2 + y2

    dxdy si D =

    (x; y) 2 IR2= x2 + y2 1 :Usando

    coordenadas cartesianasSolucin.Usando coordenadas cartesianas, la regin de integracin es un crculocentrado en el origen de radio unoPor lo tantoD =

    (x; y) 2 IR2= 1 x 1;p1 x2 y p1 x2

    ZZD

    x2 + y2

    dxdy =

    Z 11

    Z p1x2p1x2

    (x2 + y2)dydx

    =

    Z 11(x2y +

    y3

    3)

    p1x2

    p1x2dx

    = 2

    Z 11(x2p1 x2 + 1

    3

    p(1 x2)3)dx

    = 2

    Z 11x2p1 x2dx+ 2

    3

    Z 11

    p(1 x2)3dx

    Con ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:

    Z 11x2p1 x2dx = (x

    4

    p1 x2 + 1

    8(xp1 x2 + arcsenx)

    11

    =1

    8(arcsen(1) arcsen (1) = 1

    8(

    2+

    2) =

    8

    3

  • Z 11

    p(1 x2)3dx = (x

    4

    p(1 x2)3 + 3x

    8

    p(1 x2) + 3

    8arcsenx)

    11

    =3

    8

    Por lo tanto: ZZD

    x2 + y2

    dxdy =

    2

    8+2

    3

    3

    8=

    2

    Notese que la solucin del problema usando coordenadas cartesianas esbastante compleja

    1.5 Problema

    CalcularZZ

    D

    xydxdy si D es la regin acotada por y =px; y =

    p3x 18;

    y 0:Usando coordenadas cartesianas.Solucin.Si escogemos la regin con una particin de tipo I, es necesario utilizar dos

    integrales iterativas porque para 0 x 6 , la frontera inferior de la regin esla grca de y = 0, y la superior es y =

    px;y para 6 x 9 la frontera inferior

    de la regin es la grca de y =p3x 18, y la superior es y = px

    Luego tenemos que D = D1 [D2 tal que D1 [D2 = :Entonces D1 =

    (x; y) 2 IR2= 0 x 6; 0 y px

    D2 =(x; y) 2 IR2= 6 < x 9; p3x 18 y px

    Por lo tantoZZD

    xydxdy =

    ZZD1

    xydxdy +

    ZZD2

    xydxdy

    =

    Z 60

    Z px0

    xydydx+

    Z 96

    Z pxp3x18

    xydydx

    =

    Z 60

    x

    y2

    2

    px0

    dx+

    Z 96

    x

    y2

    2

    pxp3x18

    dx

    =1

    2

    Z 60

    x2dx+1

    2

    Z 96

    (2x2 + 18x)dx

    =

    1

    6x360

    +

    x

    3

    3+ 9

    x2

    2

    96

    =185

    2

    Si escogemos la regin con una particin de tipo II, es necesario utilizar slouna integral iterativa porque para 0 y 3 , la frontera izquierda de la regin

    4

  • es la grca de x = y2 mentras que la frontera derecha queda determinada por

    la grca x =y2

    3+ 6; obteniendo as la regin

    D1 =

    (x; y) 2 IR2= y2 x y

    2

    3+ 6; 0 y 3

    la integral iterativa quedaZZ

    D

    xydxdy =

    Z 30

    Z (y2=3)+6y2

    xydxdy

    =

    Z 30

    x2

    2

    (y2=3)+6y2

    ydy

    =1

    2

    Z 30

    "y2 + 18

    3

    2 y4

    #(y2=3)+6y2

    ydy

    =1

    18

    Z 30

    8y5 + 36y3 + 324y dy=

    1

    18

    43y6 + 9y4 + 162y2

    30

    =1

    18

    4336 + 36 + 2 36

    =185

    2

    1.6 Problema

    Encontrar el rea de la regin determinada por las desigualdades: xy 4;y x; 27y 4x2:Solucin.Sabemos que xy = 4 tiene por grca una hiprbola equiltera, y = x es la

    recta bisectriz del primer cuadrante y 27y = 4x2 corresponde a una parbola.Veamos cuale son los puntos de interseccin de estas curvas con el proprositode congurar el dominio de integracin

    xy = 4y = x

    =) x2 = 4 =) x = 2 =) y = 2

    27y = 4x2

    y = x

    =) 27x = 4x2 =)

    x = 0

    x =24

    4

    )=) y = 0; y = 27

    4

    xy = 427y = 4x2

    =) x = 3; y = 4

    3

    Para calcular el rea A(R) =ZZ

    D

    dxdy; podemos escoger una particin del

    dominio de tipo I de tipo II.Consideremos dos subregiones de tipo I

    D1 =

    (x; y) 2 IR2= 2 x 3; 4

    x y x

    5

  • D2 =

    (x; y) 2 IR2= 3 x 27

    4;4

    27x2 y x

    Si proyectamos sobre eje x

    A(R) =

    ZZD

    dxdy =

    ZZD1

    dxdy +

    ZZD2

    dxdy

    A(R) =

    Z 32

    Z x4x

    dydx+

    Z 27=43

    Z x427x

    2

    dydx

    =

    Z 32

    yjx4xdx+

    Z 27=43

    yjx427x

    2 dx

    =

    Z 32

    x 4

    x

    dx+

    Z 27=43

    x 4

    27x2dx

    =

    x2

    2 4 lnx

    32

    +

    x2

    2 481x327=43

    =5

    2 4 ln 3

    2+729

    32 92 481

    273

    43+4

    8133

    = 2 4 ln 32+729

    32 24316

    +4

    3

    =665

    96 4 ln 3

    2

    Si proyectamos sobre eje y

    DI =

    (x; y) 2 IR2= 4

    y x 3

    2

    p3y;

    4

    3 y 2

    DI =

    (x; y) 2 IR2= y x 3

    2

    p3y; 2 y 27

    4

    A(R) =

    ZZD

    dxdy =

    ZZD1

    dxdy +

    ZZD2

    dxdy

    A(R) =

    Z 243

    Z 32

    p3y

    4y

    dxdy +

    Z 27=42

    Z 32

    p3y

    y

    dxdy

    =

    Z 243

    hp3y 4 ln y

    idy +

    Z 27=42

    3

    2

    p3y y

    dy

    =

    3

    2

    p3y3 4

    y

    243

    +

    p3y3 y

    2

    2

    27=42

    = 83 4 ln 3

    2+9 278

    72932

    + 2

    =665

    96 4 ln 3

    2

    6

  • 1.7 Problema

    Encontrar el volumen de la regin acotada por los tres planos coordenados y elplano x+ 2y + 3z = 6Solucin.Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano xy tenemos:

    V =

    ZZD

    6 x 2y3

    dxdy ,D =(x; y) 2 IR2= 0 x 6; 0 y 6 x

    2

    V =1

    3

    Z 60

    Z 6x2

    0

    (6 x 2y) dydx

    =1

    3

    Z 60

    (6 x)y y2 6x2

    0dx

    =1

    3

    Z 60

    (6 x)2

    2 (6 x)

    2

    4

    dx

    =1

    12

    Z 60

    (6 x)2dx

    =

    136(6 x)3

    60

    = 6

    Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano yz tenemos:

    V =

    ZZR

    (6 3z 2y) dzdy , R =(y; z) 2 IR2= 0 y 3; 0 z 6 2y

    3

    V =

    Z 30

    Z 62y3

    0

    (6 2y 3z) dzdy

    =

    Z 30

    (6 2y)z 3

    2z2 62y

    3

    0

    dy

    =

    Z 30

    (6 2y)2

    3 (6 2y)

    2

    6

    dy

    =1

    6

    Z 30

    (6 2y)2dy

    =

    112

    (6 x)33

    30

    = 6

    2 Cambios de orden de Integracin

    2.1 Problema

    Invierta el orden de integracin y evale la integral resultante .

    7

  • I =

    Z 10

    Z 22x

    ey2

    dydx

    Solucin.El dominio de integracion dado esD =

    (x; y) 2 IR2= 0 x 1; 2x y 2 :

    Si se invierte el orden de integracin tenemos que modicar la particin del

    dominio. D =n(x; y) 2 IR2= 0 x y

    2; 0 y 2

    o;entonces la integral

    se puede escribir.

    I =

    Z 10

    Z 22x

    ey2

    dydx =

    Z 20

    Z y2

    0

    ey2

    dxdy

    =

    Z 20

    xey2 y20dy

    =

    Z 20

    y

    2ey

    2

    dy =1