Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martnez ConchaFacultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo
Departamento de Matemtica y CC Emilio Villalobos Marn.Ejercicios Resueltos
1 Clculo de integrales dobles en coordenadasrectngulares cartesianas
1.1 Problema
CalcularZZ
D
px + ydxdy si D es la regin acotada por las respectivas rectas
y = x; y = x y x = 1SolucinSe tiene que la regin D =
(x; y) 2 IR2= 0 x 1;x y x
ZZD
px + ydxdy =
Z 10
Z xx
px + ydydx
=2
3
Z 10
(x + y)3=2xxdx
=2
3
Z 10
(2x)3=2dx
=25=2
3
2
5(x)
5=210
=8p2
15
1.2 Problema
CalcularZZ
D
px2 y2dxdy si D es el dominio limitado por el tringulo de
vrtices A (0; 0) ; B(1;1); C (1; 1) :SolucinEntonces se tiene que el dominio est delimitado por las rectas y = x;y = x y x = 1:Luego el dominio de integracin es:
D =(x; y) 2 IR2= 0 x 1;x y x
:Integrando a franjas verticales, resulta
1
ZZD
px2 y2dxdy =
Z 10
Z xx
px2 y2dydx
=
Z 10
Z xxx
r1
yx
2dydx
Hacemos el cambio de variablesy
x= sent =) dy = x cos tdt y
determinemos los limites.Para y = x =) arcsen
xx
= arcsen (1) =
2:
Para y = x =) arcsenxx
= arcsen (1) =
2Por tanto
Z 10
Z xxx
r1
yx
2dydx =
Z 10
Z 2
2x2p1 sen2tdtdx
=
Z 10
Z 2
2x2 cos2 tdtdx
=
Z 10
Z 2
2x2(
1 + cos 2t
2)dtdx
=
Z 10
x2t
2+sen2t
4
2
2dx
=
2
Z 10
x2dx
=
2
x3
3
10
=
6
1.3 Problema
CalcularZZ
D
y 2x2 dxdy si D es la regin acotada por jxj+ jyj = 2
SolucinSe tiene que la regin D =
(x; y) 2 IR2= jxj+ jyj 2
Si escogemos la regin con una particin de tipo I, es necesario utilizar dosintegrales iterativas porque para 2 x 0 , la frontera inferior de la regin esla grca de y = x 2, y la superior es y = x+2;y para 0 x 2 la fronterainferior de la regin es la grca de y = x 2, y la superior es y = x+ 2Entonces se tiene D = D1 [D2 tal que D1 [D2 = :donde D1 =
(x; y) 2 IR2= 2 x 0; x 2 y x+ 2
D2 =(x; y) 2 IR2= 0 < x 2; x 2 y x+ 2
2
Por otra parte la funcion del integrando f (x; y) = y 2x2 es simtrica conrespecto al eje y, es decir 8 (x; y; z) 2 D existe (x; y; z) tal que f (x; y) =y 2(x)2 = f (x; y) :Por lo tanto
ZZD
y 2x2 dxdy = 2Z 2
0
Z x+2x2
y 2x2 dydx
= 2
Z 20
y2
2+ 2x2y
x+2x2
dx
= 2
Z 10
4x3 8x2 dx
=
x4 8
3x32
0
= 2
16 64
3
= 32
3
1.4 Problema
CalcularZZ
D
x2 + y2
dxdy si D =
(x; y) 2 IR2= x2 + y2 1 :Usando
coordenadas cartesianasSolucin.Usando coordenadas cartesianas, la regin de integracin es un crculocentrado en el origen de radio unoPor lo tantoD =
(x; y) 2 IR2= 1 x 1;p1 x2 y p1 x2
ZZD
x2 + y2
dxdy =
Z 11
Z p1x2p1x2
(x2 + y2)dydx
=
Z 11(x2y +
y3
3)
p1x2
p1x2dx
= 2
Z 11(x2p1 x2 + 1
3
p(1 x2)3)dx
= 2
Z 11x2p1 x2dx+ 2
3
Z 11
p(1 x2)3dx
Con ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:
Z 11x2p1 x2dx = (x
4
p1 x2 + 1
8(xp1 x2 + arcsenx)
11
=1
8(arcsen(1) arcsen (1) = 1
8(
2+
2) =
8
3
Z 11
p(1 x2)3dx = (x
4
p(1 x2)3 + 3x
8
p(1 x2) + 3
8arcsenx)
11
=3
8
Por lo tanto: ZZD
x2 + y2
dxdy =
2
8+2
3
3
8=
2
Notese que la solucin del problema usando coordenadas cartesianas esbastante compleja
1.5 Problema
CalcularZZ
D
xydxdy si D es la regin acotada por y =px; y =
p3x 18;
y 0:Usando coordenadas cartesianas.Solucin.Si escogemos la regin con una particin de tipo I, es necesario utilizar dos
integrales iterativas porque para 0 x 6 , la frontera inferior de la regin esla grca de y = 0, y la superior es y =
px;y para 6 x 9 la frontera inferior
de la regin es la grca de y =p3x 18, y la superior es y = px
Luego tenemos que D = D1 [D2 tal que D1 [D2 = :Entonces D1 =
(x; y) 2 IR2= 0 x 6; 0 y px
D2 =(x; y) 2 IR2= 6 < x 9; p3x 18 y px
Por lo tantoZZD
xydxdy =
ZZD1
xydxdy +
ZZD2
xydxdy
=
Z 60
Z px0
xydydx+
Z 96
Z pxp3x18
xydydx
=
Z 60
x
y2
2
px0
dx+
Z 96
x
y2
2
pxp3x18
dx
=1
2
Z 60
x2dx+1
2
Z 96
(2x2 + 18x)dx
=
1
6x360
+
x
3
3+ 9
x2
2
96
=185
2
Si escogemos la regin con una particin de tipo II, es necesario utilizar slouna integral iterativa porque para 0 y 3 , la frontera izquierda de la regin
4
es la grca de x = y2 mentras que la frontera derecha queda determinada por
la grca x =y2
3+ 6; obteniendo as la regin
D1 =
(x; y) 2 IR2= y2 x y
2
3+ 6; 0 y 3
la integral iterativa quedaZZ
D
xydxdy =
Z 30
Z (y2=3)+6y2
xydxdy
=
Z 30
x2
2
(y2=3)+6y2
ydy
=1
2
Z 30
"y2 + 18
3
2 y4
#(y2=3)+6y2
ydy
=1
18
Z 30
8y5 + 36y3 + 324y dy=
1
18
43y6 + 9y4 + 162y2
30
=1
18
4336 + 36 + 2 36
=185
2
1.6 Problema
Encontrar el rea de la regin determinada por las desigualdades: xy 4;y x; 27y 4x2:Solucin.Sabemos que xy = 4 tiene por grca una hiprbola equiltera, y = x es la
recta bisectriz del primer cuadrante y 27y = 4x2 corresponde a una parbola.Veamos cuale son los puntos de interseccin de estas curvas con el proprositode congurar el dominio de integracin
xy = 4y = x
=) x2 = 4 =) x = 2 =) y = 2
27y = 4x2
y = x
=) 27x = 4x2 =)
x = 0
x =24
4
)=) y = 0; y = 27
4
xy = 427y = 4x2
=) x = 3; y = 4
3
Para calcular el rea A(R) =ZZ
D
dxdy; podemos escoger una particin del
dominio de tipo I de tipo II.Consideremos dos subregiones de tipo I
D1 =
(x; y) 2 IR2= 2 x 3; 4
x y x
5
D2 =
(x; y) 2 IR2= 3 x 27
4;4
27x2 y x
Si proyectamos sobre eje x
A(R) =
ZZD
dxdy =
ZZD1
dxdy +
ZZD2
dxdy
A(R) =
Z 32
Z x4x
dydx+
Z 27=43
Z x427x
2
dydx
=
Z 32
yjx4xdx+
Z 27=43
yjx427x
2 dx
=
Z 32
x 4
x
dx+
Z 27=43
x 4
27x2dx
=
x2
2 4 lnx
32
+
x2
2 481x327=43
=5
2 4 ln 3
2+729
32 92 481
273
43+4
8133
= 2 4 ln 32+729
32 24316
+4
3
=665
96 4 ln 3
2
Si proyectamos sobre eje y
DI =
(x; y) 2 IR2= 4
y x 3
2
p3y;
4
3 y 2
DI =
(x; y) 2 IR2= y x 3
2
p3y; 2 y 27
4
A(R) =
ZZD
dxdy =
ZZD1
dxdy +
ZZD2
dxdy
A(R) =
Z 243
Z 32
p3y
4y
dxdy +
Z 27=42
Z 32
p3y
y
dxdy
=
Z 243
hp3y 4 ln y
idy +
Z 27=42
3
2
p3y y
dy
=
3
2
p3y3 4
y
243
+
p3y3 y
2
2
27=42
= 83 4 ln 3
2+9 278
72932
+ 2
=665
96 4 ln 3
2
6
1.7 Problema
Encontrar el volumen de la regin acotada por los tres planos coordenados y elplano x+ 2y + 3z = 6Solucin.Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano xy tenemos:
V =
ZZD
6 x 2y3
dxdy ,D =(x; y) 2 IR2= 0 x 6; 0 y 6 x
2
V =1
3
Z 60
Z 6x2
0
(6 x 2y) dydx
=1
3
Z 60
(6 x)y y2 6x2
0dx
=1
3
Z 60
(6 x)2
2 (6 x)
2
4
dx
=1
12
Z 60
(6 x)2dx
=
136(6 x)3
60
= 6
Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano yz tenemos:
V =
ZZR
(6 3z 2y) dzdy , R =(y; z) 2 IR2= 0 y 3; 0 z 6 2y
3
V =
Z 30
Z 62y3
0
(6 2y 3z) dzdy
=
Z 30
(6 2y)z 3
2z2 62y
3
0
dy
=
Z 30
(6 2y)2
3 (6 2y)
2
6
dy
=1
6
Z 30
(6 2y)2dy
=
112
(6 x)33
30
= 6
2 Cambios de orden de Integracin
2.1 Problema
Invierta el orden de integracin y evale la integral resultante .
7
I =
Z 10
Z 22x
ey2
dydx
Solucin.El dominio de integracion dado esD =
(x; y) 2 IR2= 0 x 1; 2x y 2 :
Si se invierte el orden de integracin tenemos que modicar la particin del
dominio. D =n(x; y) 2 IR2= 0 x y
2; 0 y 2
o;entonces la integral
se puede escribir.
I =
Z 10
Z 22x
ey2
dydx =
Z 20
Z y2
0
ey2
dxdy
=
Z 20
xey2 y20dy
=
Z 20
y
2ey
2
dy =1
