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integrales triples y dobles

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    INTEGRACIN

    Integrar es el proceso recproco del de derivar, es decir, dada una funcin f(x),busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

    Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otromodo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

    F'(x) = f(x).

    Si una funcin f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferencindose todasellas en una constante.

    [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

    INTEGR L MLTIPLE Es un tipo de integral definida aplicada a funciones de ms de una variable real,por ejemplo, .

    De la misma manera en que la integral de una funcin positiva de unavariable definida en un intervalo puede interpretarse cmo el rea entre la grficade la funcin y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funcinpositiva de dos variables, definida en una regin del plano xy, se puedeinterpretar como el volumen entre la superficie definida por la funcin y el plano xyen ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una funcin definidaen una regin del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo esbueno notar que si el resultado se puede interpretar como elvolumen de la regin de integracin. Para integrales de rdenes superiores, elresultado geomtrico corresponde a hipervolmenes de dimensiones cada vezsuperiores.

    La manera ms usual de representar una integral mltiple es anidando signos deintegracin en el orden inverso al orden de ejecucin (el de ms a la izquierda esel ltimo en ser calculado), seguido de la funcin y los diferenciales en orden deejecucin. El dominio de integracin se representa sobre cada signo de integral, oa menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de ms a la derecha:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Hipervolumenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Signos_de_integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Signos_de_integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Signos_de_integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Signos_de_integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hipervolumen
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    Es importante destacar que no es posible calcular la funcinprimitivao antiderivada de una funcin de ms de una variable por lo que las

    integrales mltiples indefinidas no existen.Una forma relativamente sencilla de definir las integrales mltiples es mediante surepresentacin geomtrica como la magnitud del espacio entre el objeto definidopor la ecuacin y una regin en el espacio definido porlos ejes de las variables independientes de la funcin (si es una regincerrada y acotada y est definida en sta). Por ejemplo, si , el volumensituado entre la superficie definida por y una regin en elplano es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencion, est

    definida en .puede dividirse en una particin interior formada por subregiones

    rectangulares sin solapamiento que estn completamente contenidas en . Lanorma de esta particin est dada por la diagonal ms larga enlas subregiones.

    Si se toma un punto que est contenido dentro de la subregincon dimensiones para cada una de las m subregiones de laparticin, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la delespacio entre el objeto definido por y la subregin i. Esteespacio tendr una magnitud de:

    Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre elobjeto definido por la ecuacin y la regin mediantela suma de Riemann de las magnitudes de los espacios correspondientes acada una de las subregiones:

    Esta aproximacinmejora a medida que el nmero de subregiones se hacemayor. Esto sugiere que se podra obtener la magnitud exacta tomando el lmite.

    Al aumentar el nmero de subregiones disminuir la norma de la particin:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiderivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiderivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitiva
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    El significado riguroso de ste ltimo lmite es que el lmite es igual L si y slo sipara todo existe un tal que

    para toda particin de la regin (que satisfaga ), y para todas laselecciones posibles de en la isima subregin. Esto conduce ala definicin formal de una integral mltiple:

    Si est definida en una regin cerrada y acotada del definido por los ejes de las

    variables independientes de f, la integral de sobre est dada por:

    siempre que el lmite exista. Si el lmite existe se dice que es integrable conrespecto a T.

    INTEGR LES DOBLES

    Vamos a ver ahora como se utiliza el mtodo de doble integracin para calcular elrea o el centro de gravedad de una regin A, limitada superiormente por lacurva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a laderecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesarel concepto de integral doble de una funcin F(x,y) de dos variables x e y. Las

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    aplicaciones fsicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particularespara F(x,y); esto es,

    F(x,y)= 1, oF(x,y)= y,

    Cuando se trate de calcular el rea,o el momento del rea respecto al eje x.

    La notacin

    "A" F(x, y)Da (1)

    Ahora para designar la integral doble, extendida a la regin A, de la

    funcin F(x,y). Imaginmonos la regin A cubierta por una red de rectas paralelasa los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeas reas rectangulares,

    A=xy=yx (2)

    algunas de las cuales yacen por completo en la regin A, otra son exteriores yotras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendienteslas que estn de A y podemos tomar o no en consideracin aquellas que se hayanparcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atencin en A interiores alcontorno que numeramos en cierto orden

    A1, A2.An (3)

    sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

    (4)

    Si la funcin F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su

    contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace ms tupida, deforma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el lmite

    (5)

    Existe, y se expresa por la notacin utilizada en la ecuacin (1)

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    La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el casode que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la regin de la base deun slido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en

    z= F(x, y)

    El trmino

    F(xk, yk) Ak

    Representa una aproximacin razonable del volumen de aquella porcin que tienepor base Ak. La suma Sn de la ecuacin (2) nos da as una aproximacin delvolumen total del slido, del lmite (3) proporciona un volumen exacto.

    La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuvisemosque hallar el lmite de estas sumas, (3) para dar respuesta numrica a los diversosproblemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen mtodospara calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en laprctica, integral doble se reduce al clculo o otra de las siguientes integralesiteradas:

    "A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx (6)

    Que vamos a explicar a continuacin. Antes de ello observemos que existen unmtodo (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas noson iguales entre s y a la integral doble (1), con tal que la funcin sea continuaen A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condicionesnecesarias para ella se cumplen para los ejemplos.

    Vamos a explicar ahora el significado de la notacin

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    "A" F(x,y) dy dx

    El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularlaen funcin resultante entre los lmites y=f1(x) e y=f2(x);para integrar el resultado de a) respecto a x entre los lmites x=a y x=b.Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

    (7)

    Considerando x como constante se hace la integracin respecta a y.Podemos adquirir ideas del significado geomtrico de la ecuacin (7) de manerasiguiente. Imaginemos un slido cuya base sea la regin A del plano siendoz= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar,que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de slido determinadas porplanos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cadarebanada mediante la diferencial del volumen.

    dV=A(x)dx,

    Siendo A(x) el rea de la seccin del slido por el plano trazado por x. Esta vienedada por la f2 por la integral

    donde x se considera constante, dependiendo de los lmites de integracin delrea plana considerada. Esto es, los lmites y son aquellas funciones de x querepresentan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integraliterada de la ecuacin (7) coincide con

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    Integrales triples Para el clculo de las integrales triples partiremos de la definicin de integral tripleque es similar a la de integral doble, solo que ahora consideraremos una tercera

    variable:Si f(x,y,z) es continua en un recinto D del espacio R3, tal que D ={(x,y,z) R3 |a x b, c y d, e z f, entonces la integral t