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 Uso de las integrales dobles y triples En la INDUSTRIA PETROLERA

integrales triples y dobles

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INTEGRACIÓN

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x),busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otromodo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todasellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

INTEGR L MÚLTIPLE

Es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real,por ejemplo, ó .

De la misma manera en que la integral de una función positiva de unavariable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráficade la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funciónpositiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puedeinterpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xyen ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función definidaen una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo esbueno notar que si el resultado se puede interpretar como elvolumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, elresultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vezsuperiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos deintegración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda esel último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden deejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, oa menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

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Es importante destacar que no es posible calcular la funciónprimitivao antiderivada de una función de más de una variable por lo que las

integrales múltiples indefinidas no existen.Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante surepresentación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definidopor la ecuación y una región en el espacio definido porlos ejes de las variables independientes de la función (si es una regióncerrada y acotada y está definida en ésta). Por ejemplo, si , el volumensituado entre la superficie definida por y una región en elplano es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, está

definida en .puede dividirse en una partición interior formada por subregiones

rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en . Lanorma de esta partición está dada por la diagonal más larga enlas subregiones.

Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregióncon dimensiones para cada una de las m subregiones de lapartición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la delespacio entre el objeto definido por y la subregión i. Esteespacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre elobjeto definido por la ecuación y la región mediantela suma de Riemann de las magnitudes de los espacios correspondientes acada una de las subregiones:

Esta aproximaciónmejora a medida que el número de subregiones se hacemayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite.

Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

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El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo sipara todo existe un tal que

para toda partición de la región (que satisfaga ), y para todas laselecciones posibles de en la iésima subregión. Esto conduce ala definición formal de una integral múltiple:

Si está definida en una región cerrada y acotada del definido por los ejes de las

variables independientes de f, la integral de sobre está dada por:

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que es integrable conrespecto a T.

INTEGR LES DOBLES

Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular elárea o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por lacurva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a laderecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesarel concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Las

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aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particularespara F(x,y); esto es,

F(x,y)= 1, oF(x,y)= y,

Cuando se trate de calcular el área,o el momento del área respecto al eje x.

La notación

"A" F(x, y)Da (1)

Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la

función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelasa los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,

A=xy=yx (2)

algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores yotras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendienteslas que están de A y podemos tomar o no en consideración aquellas que se hayanparcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores alcontorno que numeramos en cierto orden

A1, A2…….An (3)

sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)

Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su

contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, deforma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

(5)

Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

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La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el casode que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base deun sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en

z= F(x, y)

El término

F(xk, yk) Ak

Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tienepor base Ak. La suma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación delvolumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.

La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemosque hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversosproblemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodospara calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en lapráctica, integral doble se reduce al cálculo o otra de las siguientes integralesiteradas:

"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx (6)

Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen unmétodo (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas noson iguales entre sí y a la integral doble (1), con tal que la función sea continuaen A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condicionesnecesarias para ella se cumplen para los ejemplos.

Vamos a explicar ahora el significado de la notación

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"A" F(x,y) dy dx

El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularlaen función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

(7)

Considerando x como constante se hace la integración respecta a y.Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación (7) de manerasiguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendoz= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar,que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas porplanos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cadarebanada mediante la diferencial del volumen.

dV=A(x)dx,

Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta vienedada por la f2 por la integral

donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración delárea plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x querepresentan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integraliterada de la ecuación (7) coincide con

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Integrales triples

Para el cálculo de las integrales triples partiremos de la definición de integral tripleque es similar a la de integral doble, solo que ahora consideraremos una tercera

variable:Si f(x,y,z) es continua en un recinto D del espacio R3, tal que D ={(x,y,z) Î R3 |a £ x £ b, c £ y £ d, e £ z £ f, entonces la integral triple de f sobre D,se define como:

siempre que exista el límite. Nótese que el elemento de volumen es dV = dx dy dz.

Tomando en cuenta las consideraciones de continuidad para f(x,y,z) y lasconsecuencias posteriores de integrabilidad similares a las hechas para la integraldoble, se tiene que la integral triple sobre el paralelepípedo D de la función f(x,y,z)se puede expresar como:

Como se puede observar se utilizan integrales iteradas. Para las mismas tambiénse cumple el teorema de Fubini, o sea se puede cambiar el orden de integraciónobteniéndose el mismo resultado.

Ejemplo. Sea D = [0,1]×[0,2]×[0; 3] y f(x,y,z) = xyz. Entonces:

Ejercicio a entregar por escrito: cambiar el orden de integración y comprobar que

se obtiene el mismo resultado.

Al igual que se hizo para las integrales dobles, se extienden estos conceptos arecintos más generales, acotados por funciones que se definen en función de lasvariables de la manera siguiente:

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Nótese que integramos entre 2 funciones de x e y que acotan los valores de z,posteriormente entre dos funciones de x que acotan los valores de y y finalmenteentre los valores de a y b que acotan a la variable x. Si consideramos otro ordende integración hay que hacer las correspondientes consideraciones sobre lasfunciones que acotan los valores de cada variable.

Ejemplo: Calcular la integral triple de f(x,y,z) = xy en la región definida por

D = {(x,y,z) Î R3 |x2+y2+z2 £ 1, x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0.

R/ Nótese que la región de integración es la parte de la esfera de centro en elorigen de coordenadas y radio 1 que está contenida en el primer octante, que semuestra en la siguiente figura:

Entonces los límites de integración serán: z entre 0 y √1- x2 – y2 ; y entre 0 y 1 - x2 ; x entre 0 y 1. Entonces:

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z=0z=LLuego, la integral queda de la forma

V=2*int(0,θ2,int(A*csc(θ),R,int(0,L,rdzdrdθ))

USO DE LAS INTEGRALES DOBLES

Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z x = +4 y y z =1 y dentro delcilindro 2 2x y + ≤1, calcule su volumen empleando integrales dobles.

Solución:

En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las superficies z x = 4 + yy z =1 y dentro del cilindro 2 2x y + ≤1.

Sólido S del ejemplo 3.5

El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:

[41 3 ] [ ] D D V xy dA xy dA = +− = + ∫∫ ∫∫

donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta

proyección, se observa en la figura 3.13

EJEMPLO 3.5

S 2 2 x y + =1Valor de z a

la salida de S

z xy = 4 +

Valor de z a

la entrada de S

z =1Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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Figura 3.13

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Región D del ejemplo 3.5

En este caso, la región D se define como:

{( ) } 2 2 D xy y x y y = , 1 1 11 − − ≤ ≤ − −≤ ≤

Por lo tanto la integral de volumen queda como:[ ]

2

2

11 1 2

11 1

3 61 3 y

y V xy dxdy y dy π −

− −− − = + = −= ∫∫ ∫

[3 3 ] D V xy dA =+ = π ∫∫

Dibuje el sólido S acotado por 3 3 z x y xy =+ + 1 , z = 0 , 3 yx x = − y

2

yx x = + y calcule su volumen empleando integrales dobles.

Solución:En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por

3 3 z x y xy =+ + 1 e inferiormente por z = 0 ; mientras que las

superficies 3 yx x = − y 2

yx x = + definen las paredes de dicho

cuerpo tridimensional.

EJEMPLO 3.6

Valor de x a

la salida de D

2 x = −1 y

Valor de x a

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la entrada de D

2 x =− −1 y

D

En este ejemplo, laregión D es de tipo 1 y

también tipo 2, pero se

trabaja como una región

tipo 2. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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Figura 3.14

Sólido S del ejemplo 3.6

Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:

33 33 1

Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región

bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15

Figura 3.15Región D del ejemplo 3.6

Valor de y a

la salida de D

3 yx x = −

Valor de y a

la entrada de D 2 yx x = +

D

En la figura 3.15, se

observa que la región D

del ejemplo 3.6 es una

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región de tipo 1.

S

Valor de z a

la salida de S

3 3 z =+ + 1 x y xy

Valor de z a

la entrada de S

z = 0Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

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Por lo tanto, la región D se define como:

{( ) } 2 3 D xy x x x y x x = , 10 −≤ ≤ + ≤ ≤ −

La integral de volumen queda como:

3

2

0 3 31

1 x x

x x V x y xy dydx −

− + = ++

13 9 0 11 8 7 6 3 2

1

7 517 42 2

4 4 1260

x x V x x x x x x x dx −

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3 3 517 1 D 1260