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Ejercicios Resueltos Integrales Dobles y Triples 2011

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Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martnez ConchaFacultad de Ciencia Carlos Silva CornejoDepartamento de Matemtica y CC Emilio Villalobos Marn.Ejercicios Resueltos1 Clculo de integrales dobles en coordenadasrectngulares cartesianas1.1 ProblemaCalcular __1_r + jdrdj si 1 es la regin acotada por las respectivas rectasj = r, j = rj r = 1SolucinSe tiene que la regin 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 1; r _ j _ r___1_r + jdrdj = _10_rr_r + jdjdr=23_10 (r + j)3/2rr dr=23_10 (2r)3/2dr=25/2325 (r)5/210=8_2151.2 ProblemaCalcular __1_r2j2drdj si 1 es el dominio limitado por el tringulo devrtices (0, 0) , 1(1, 1), C (1, 1) .SolucinEntonces se tiene que el dominio est delimitado por las rectas j = r,j = rj r = 1.Luego el dominio de integracin es:1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 1; r _ j _ r_.Integrando a franjas verticales, resulta1__1_r2j2drdj = _10_rr_r2j2djdr= _10_rr r_1 _jr_2djdrHacemos el cambio de variables jr = :c:t == dj = rcos tdt ydeterminemos los limites.Para j = r == arc:c:_rr_ = arc:c:(1) = 2.Para j = r == arc:c:_rr_ = arc:c:(1) = 2Por tanto_10_rr r_1 _jr_2djdr = _10_ 2

2r2_1 :c:2tdtdr= _10_ 2

2r2cos2tdtdr= _10_ 2

2r2(1 + cos 2t2)dtdr= _10 r2_t2 + :c:2t4_2

2dr=2_10 r2dr=2_r33_10= 61.3 ProblemaCalcular __1_j 2r2_drdj si 1 es la regin acotada por [r[ +[j[ = 2SolucinSe tiene que la regin 1 = _(r, j) 112, [r[ +[j[ _ 2_Si escogemos la regin con una particin de tipo I, es necesario utilizar dosintegrales iterativas porque para 2 _ r _ 0 , la frontera inferior de la regin esla grca de j = r 2, y la superior es j = r +2;y para 0 _ r _ 2 la fronterainferior de la regin es la grca de j = r 2, y la superior es j = r + 2Entonces se tiene 1 = 11' 12 tal que 11' 12 = c.donde 11 = _(r, j) 112, 2 _ r _ 0, r 2 _ j _ r + 2_12 = _(r, j) 112, 0 < r _ 2, r 2 _ j _ r + 2_2Por otra parte la funcion del integrando ) (r, j) = j 2r2es simtrica conrespecto al eje y, es decir \(r, j, .) 1 existe (r, j, .) tal que ) (r, j) =j 2(r)2= ) (r, j) .Por lo tanto__1_j 2r2_drdj = 2_20_ r+2r2_j 2r2_djdr= 2_20_j22 + 2r2j_r+2r2dr= 2_10_4r38r2_dr= _r4 83r3_20= 2_16 643_ = 3231.4 ProblemaCalcular __1_r2+ j2_drdj si 1 = _(r, j) 112,r2+ j2_ 1_.Usandocoordenadas cartesianasSolucin.Usando coordenadas cartesianas, la regin de integracin es un crculocentrado en el origen de radio unoPor lo tanto1 = _(r, j) 112, 1 _ r _ 1, _1 r2 _ j __1 r2___1_r2+ j2_drdj = _11_ p1r2

p1r2(r2+ j2)djdr= _11 (r2j + j33 )p1r2

p1r2dr= 2_11(r2_1 r2 + 13_(1 r2)3)dr= 2_11 r2_1 r2dr + 23_11_(1 r2)3drCon ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:_11 r2_1 r2dr = (r4_1 r2 + 18(r_1 r2 + arc:c:r)11=18(arc:c:(1) arc:c:(1) = 18(2 + 2) = 83_11_(1 r2)3dr = (r4_(1 r2)3 + 3r8_(1 r2) + 38arc:c:r)11=38Por lo tanto:__1_r2+ j2_drdj = 28+ 23 38= 2Notese que la solucin del problema usando coordenadas cartesianas esbastante compleja1.5 ProblemaCalcular __1 rjdrdj si 1 es la regin acotada por j =_r, j =_3r 18,j _ 0.Usando coordenadas cartesianas.Solucin.Si escogemos la regin con una particin de tipo I, es necesario utilizar dosintegrales iterativas porque para 0 _ r _ 6 , la frontera inferior de la regin esla grca de j = 0, y la superior es j =_r;y para 6 _ r _ 9 la frontera inferiorde la regin es la grca de j =_3r 18, y la superior es j =_rLuego tenemos que 1 = 11' 12 tal que 11' 12 = c.Entonces 11 = _(r, j) 112, 0 _ r _ 6, 0 _ j __r_12 = _(r, j) 112, 6 < r _ 9, _3r 18 _ j __r_Por lo tanto__1 rjdrdj = __11rjdrdj +__12rjdrdj= _60_ pr0rjdjdr +_96_ prp3r18 rjdjdr= _60r_j22_pr0dr +_96r_j22_prp3r18dr=12_60r2dr + 12_96 (2r2+ 18r)dr= _16r3_60+_r33+ 9r22_96= 1852Si escogemos la regin con una particin de tipo II, es necesario utilizar slouna integral iterativa porque para 0 _ j _ 3 , la frontera izquierda de la regin4es la grca de r = j2mentras que la frontera derecha queda determinada porla grca r = j23 + 6, obteniendo as la regin11 = _(r, j) 112, j2_ r _ j23 + 6, 0 _ j _ 3_la integral iterativa queda__1 rjdrdj = _30_(2/3)+62rjdrdj= _30_r22_(2/3)+62jdj=12_30__j2+ 183_2j4_(2/3)+62jdj=118_30_8j5+ 36j3+ 324jdj=118_43j6+ 9j4+ 162j2_30=118_4336+ 36+ 236_ = 18521.6 ProblemaEncontrar el rea de la regin determinada por las desigualdades: rj _ 4,j _ r, 27j _ 4r2.Solucin.Sabemos que rj = 4 tiene por grca una hiprbola equiltera, j = res larecta bisectriz del primer cuadrante y27j = 4r2corresponde a una parbola.Veamos cuale son los puntos de interseccin de estas curvas con el proprositode congurar el dominio de integracinrj = 4j = r_ == r2= 4 == r = 2 == j = 227j = 4r2j = r_ == 27r = 4r2==r = 0r = 244_ == j = 0, j = 274rj = 427j = 4r2_ == r = 3, j = 43Para calcular el rea (1) = __1 drdj, podemos escoger una particin deldominio de tipo I de tipo II.Consideremos dos subregiones de tipo I11 = _(r, j) 112,2 _ r _ 3, 4r _ j _ r_512 = _(r, j) 112,3 _ r _ 274 , 427r2_ j _ r_Si proyectamos sobre eje x(1) = __1 drdj = __11drdj +__12drdj(1) = _32_r4xdjdr +_27/43_r427r2djdr= _32 j[r4x dr +_27/43j[r427r2 dr= _32_r 4r_dr +_27/43_r 427r2_dr= _r22 4 lnr_32+_r22 481r3_27/43=52 4 ln 32 + 72932 92 481 27343+48133= 2 4 ln 32 + 72932 24316+ 43=66596 4 ln 32Si proyectamos sobre eje y11 = _(r, j) 112,4j _ r _ 32_3j, 43 _ j _ 2_11 = _(r, j) 112,j _ r _ 32_3j, 2 _ j _ 274_(1) = __1 drdj = __11drdj +__12drdj(1) = _243_ 32p34ydrdj +_27/42_ 32p3drdj= _243__3j 4 lnj_dj +_27/42_32_3j j_dj= _32_3j3 4j_243+__3j3 j22_27/42= 83 4 ln 32 + 9278 72932+ 2=66596 4 ln 3261.7 ProblemaEncontrar el volumen de la regin acotada por los tres planos coordenados y elplano r + 2j + 3. = 6Solucin.Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano xy tenemos:\ = __16 r 2j3drdj , 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 6, 0 _ j _ 6 r2_\ =13_60_ 6x20(6 r 2j) djdr=13_60_(6 r)j j26x20dr=13_60_(6 r)22 (6 r)24_dr=112_60(6 r)2dr= _ 136(6 r)3_60= 6Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano yz tenemos:\ = __1 (6 3. 2j) d.dj , 1 = _(j, .) 112,0 _ j _ 3, 0 _ . _ 6 2j3_\ = _30_ 62y30(6 2j 3.) d.dj= _30_(6 2j). 32.2_62y30dj= _30_(6 2j)23 (6 2j)26_dj=16_30(6 2j)2dj= _ 112 (6 r)33_30= 62 Cambios de orden de Integracin2.1 ProblemaInvierta el orden de integracin y evale la integral resultante .71 = _10_22r c2djdrSolucin.El dominio de integracion dado es 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 1, 2r _ j _ 2_.Si se invierte el orden de integracin tenemos que modicar la particin deldominio. 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ j2, 0 _ j _ 2_,entonces la integralse puede escribir.1 = _10_22r c2djdr = _20_ y20 c2drdj= _20 rc2y20 dj= _20j2c2dj = 14 c240=14_c161_2.2 ProblemaInvierta el orden de integracin y evale la integral resultante .1 = _20_4r2_j cos jdjdrSolucin.El dominio de integracin dado es 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 2, r2_ j _ 4_.Si se invierte el orden de integracin tenemos que modicar la particin deldominio, 1 = _(r, j) 112,0 _ r __j, 0 _ j _ 4_,entonces la integralse puede escribir_20_4r2_j cos jdjdr = _40_ p0_j cos jdrdj= _40_j cos(j)r[p0dj= _40 j cos(j)djIntegrando esta ltima integral por partes se tiene:_40 j cos(j)dj = j:c:(j)[40_40 :c:(j)dj= j:c:(j)[40 + cos(j)[40= 4:c:(4) + cos(4) 182.3 ProblemaInvierta el orden de integracin y evale la integral resultante .1 = _t1_ln r0jdjdrSolucin.El dominio de integracin dado es 1 = _(r, j) 112,1 _ r _ c, 0 _ j _ lnr_.Si se invierte el orden de integracin tenemos que el dominio,1 = _(r, j) 112,c_ r _ c, 0 _ j _ 1_,entonces la integralse puede escribir_t1_ln r0jdjdr = _10_ttyjdrdj= _40 j rtty dj= _40 j(c c)dj= c_j22_40c[j c]40= 8c 4c413 Cambios de variables: Coordenadas polares3.1 ProblemaCalcular __1_r2+ j2_drdj si 1 = _(r, j) 112,r2+ j2_ 1_,usandocoordenadas polaresSolucin.A partir de la coordenadas polares tenemos:r = rco:0, j = r:c:0 == r2+ j2= r2El valor absoluto del Jacobiano de transformacin a polares es:0 (r, j)0 (r, 0) = rReemplazando trminos en la integral, produce__1_r2+ j2_drdj = __1 r20 (r, j)0 (r, 0)drd09= _10_2t0r3d0dr = _10_2t0r30[2t0dr= 2_10 r3dr = 2 r4410= 2Las coordenadas polares dieron una solucion ms simple del problema.Lasimplicidad depende de la naturaleza del problema y de la simetria que presentael dominio.3.2 ProblemaCalcular el rea de la regin interior a la circunferencia r2+j2= 8j y exteriora la circunferenciar2+ j2= 9.Solucin.Determinemos el centro y radio de la circunsferenciar2+ j2= 8j== r2+ j28j = 0 == r2+ (j 4)2= 16El rea de la regin D es: (1) __1 drdjPor simetra, podemos calcular el rea de la regin D en el primer cuadrantey multiplicar por 2.A n de conocer los lmites de integracin en coordenadas polaresnecesitamos conocer el ngulo que forma la recta OT con el eje x.r2+ j2= 8j== r2= 8r:c:0 == r = 8:c:0r2+ j2= 9 == r = 3Como T pertenece a ambas circunferencias se cumple8:c:0 = 3 == 0 = arc:c:38Luego, la mitad de la regin 1

= _(r, 0) ,3 _ r _ 8:c:0; arc:c:38 _ 0 _ 2___1 drdj = __1

0 (r, j)0 (r, 0)drd0102_t/2o:cstn38_8stn03rdrd0 = 2_t/2o:cstn38r228stn03d0_t/2o:cstn38_64:c:20 9_d0 = _64_02 :c:204_ 920_t/2o:cstn38= _552 0 16:c:20_t/2o:cstn38= _554 552 arc:c:38 + 16:c:(2arc:c:38)_- 38, 423.3 ProblemaCalcular__1r2+ j2r +_r2 + j2drdj , si D es el interior del cardioide r = a (1 + cos 0)Solucin.Cambiando a cordenadas polares, tenemos:__1r2+ j2r +_r2 + j2drdj = __1

r2r cos 0 + r0 (r, j)0 (r, 0)drd0= __1

r2r cos 0 + rrdrd0= _2t0_o(1+cos 0)0r21 + cos 0drd0= _2t011 + cos 0 r33o(1+cos 0)0d0=a33_2t0(1 + cos 0)2d0=a33_2t0_1 + 2 cos 0 + cos20_d0=a33_0 + 2:c:0 + 02 + :c:204_2t0= a3Observacion si deseamos se rigurosos debemos hacer notar que la integral esimpropia cuando r _ 0, e j = 0, pues en tal caso el denominador es cero.Luego:111 = limo!t

:!0_o0_o(1+cos 0):r21 + cos 0drd0 +limo!t+:!0_2to_o(1+cos 0):r21 + cos 0drd0= limo!t

a33_o0 (1 + cos 0)2d0 +limo!t+a33_2to(1 + cos 0)2d0= limo!t

a33_32c + 2:c:c + :c:2c4_+limo!t+a33_3 32, 2:c:, :c:2,4_= a33.4 ProblemaCalcular el volumen V el slido acotado por las grcas . = 9r2j2y . = 5.Solucin.Como el slido es simtrico, basta encontrar su volumen en el primer octantey multiplicar su resultado por cuatro.Usando integrales dobles y proyectando la regin sob

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