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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL E SCUELA S UPERIOR DE I NGENIERÍA M ECÁNICA Y E LÉCTRICA N OMBRE : G ARCÍA R EYES L ESLIE M IREYA G RUPO: 2MV9 CALCULO V ECTORIAL P ROFESOR : D E P AZ P EÑA M IGUEL ANGEL Bole!: 2"#$%&"%$%

Integrales dobles, triples, Teorema Green, Integrales de linea

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Calculo Vectorial

Text of Integrales dobles, triples, Teorema Green, Integrales de linea

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica

Nombre: Garca Reyes Leslie Mireya

Grupo: 2MV9

Calculo Vectorial

Profesor: De Paz Pea Miguel Angel

Boleta: 2015360353

ndiceIntegrales Dobles3Definicin3Propiedades3Ejercicio 15Ejercicio 26Ejercicio 37Ejercicio 48Ejercicio 59Integrales Triples10Definicin10Propiedades10Ejercicio 112Ejercicio 212Ejercicio 313Ejercicio 414Ejercicio 515Teorema de Green16Definicin16Propiedades16Integrales de lnea18Definicin18Propiedades18Ejercicio 119Ejercicio 220Ejercicio 321Ejercicio 421Ejercicio 523Teorema de la Divergencia24Definicin24Propiedades24Teorema de Green27Definicin27Propiedades27

Integrales dobles.DEFINICIN:Sea f(x,y) una funcin continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para un y fijo obtenemos la funcin F(x)=f(x,y) que tambin es continua y por tanto integrable en [a,b], por tanto:

La funcin obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma que podemos definir la integral doble de la funcin f(x,y) el rectngulo R=[a,b]x[c,d] como: Es decir, realizar una integral doble consiste en realizar dos integrales simultneas, una en primer lugar en funcin de x, considerando que la y es una constante; y en segundo lugar en funcin de y (en este caso ya no habr ningn termino con x).PROPIEDADES:1. Se cumple la propiedad de linealidad:Si hay un escalar multiplicando dentro de la integral se puede sacar factor comn: La integral de la suma de dos funciones dobles f(x,y) + g(x,y) es igual a la suma de la integral doble de cada una de ellas:

2. Cumplen la propiedad de la monotona:Si f(x,y)g(x,y) para todos los valores de (x,y) pertenecientes a R, entonces:

3. Si el recinto R se puede dividir en dos recintos disjuntos R1 y R2, es decir, tal que R1 U R2 = R y cuya interseccin sea vaca o lo que es lo mismo que R1R2 no tenga rea, entonces:4. El rea del recinto R=[a,b]x[c,d] se puede calcular mediante la siguiente integral:

5. Podemos intercambiar los lmites de integracin siempre y cuando cambiamos tambin el orden de las variables respecto a las que estamos integrando: 6. La funcin del valor absoluto, |f(x,y)| tambin es integrable y verifica que:

EJERCICIOS:1. Calcular la siguiente integral dobleDonde S es la regin limitada por las rectas y = 1, y=1, x = 3 y el eje Y.Respuesta:Graficamos la regin de integracinDe esta regin se desprenden los siguientes intervalos:

Lo que nos permite reescribir:

Primero se resuelve la integral interna la que llamamos

En ():

2. Calcular la siguiente integral doble:Donde S es la regin limitada por las rectas 1 y = x + 1, y = 2x y el eje Y.

Respuesta:Graficamos la regin de integracin: De esta regin se desprenden los siguientes intervalos:

Lo que nos permite reescribir:

Primero se resuelve la integral interna la que llamamos

En ():

3. Calcular la siguiente integral doble Donde S es la regin limitada por la parbola y = x2 y la recta x y + 2 = 0.Respuesta:Graficamos la regin de integracin: De esta regin se desprenden los siguientes intervalos:

Lo que nos permite reescribir:

Primero se resuelve la integral interna la que llamamos

En ():

4. Calcular la siguiente integral doble Donde S es la regin limitada por las curvas y = ex , y = lnx y las rectas x = 1; x = 3 .

Respuesta:Graficamos la regin de integracin: De esta regin se desprenden los siguientes intervalos:

Lo que nos permite reescribir:

Primero se resuelve la integral interna la que llamamos

En ():

5. Calcular la siguiente integral doble Donde S es la regin limitada por la curva y = lnx y las rectas x y = 0 ,y = 2 y el eje X.

Respuesta:Graficamos la regin de integracin: De esta regin se desprenden los siguientes intervalos:

-Tngase en cuenta que el intervalo variable de x debe estar comprendido entre dos funciones dependientes de y. Por ello se ha despejado la variable x en trminos de y.

y = x es equivalente a x = yy = ln x es equivalente a x = Lo anterior nos permite reescribir:

Primero se resuelve la integral interna la que llamamos

En ():

Integrales triples.

PROPIEDADES:

1. La integral triple es lineal:

2. La integral triple es aditiva sobre cajas que tengan en comn como mucho una porcin de cara. Si: Entonces:

3. Acotacin: Si en casi todos los puntos (en casi todos los puntos significa en todos los puntos menos en un nmero finito) de, entonces:

En consecuencia, si en casi todos los puntos de :

Y si en casi todos los puntos de :

4. Acotacin modular: Para cualquierintegrable en:

EJERCICIOS:1. Hallar:

Si: Respuesta:Graficamos la regin de integracin: De esta regin se desprenden los siguientes intervalos:

2. Hallar:

SI:

Respuesta:Graficamos la regin de integracin: De esta regin se desprenden los siguientes intervalos:

3. Hallar:

Si:

Respuesta:Graficamos la regin de integracin: De esta regin se desprenden los siguientes intervalos:

4. Calcular el volumen del slido limitado por el cilindro y los planos son: z= 0, z=4:Respuesta:Graficamos la regin de integracin:

De esta regin se desprenden las siguientes coordenadas cilndricas:

Descripcin de D en cilndricas:

5. Calcular el volumen del slido limitado por el cilindro y los planos son: z= 2, z=0:

Teorema de Green.

Elteorema de Greenes el que relaciona unaintegralde lnea sobre una curva cerrada (C)que es frontera de una superficie (D) y una integral doble sobre lareginD.Este teorema es uno de los ms utilizados en anlisis matemtico,ya que permite cambiar las integrales para su mejorresolucin. Cabe remarcar que es de suma importancia que la curva sea cerrada, si esto no sucede, no es posibleaplicar el teorema de Green.Lafrmula delteoremade Greenes la siguiente:

PROPIEDADES:

Sea C la frontera de una regin donde pueda aplicarse el teorema del Green. Se utiliza este teorema para calcular:

a)

b)

Integral que depende solo del rea: Muestra que el valor de alrededor de cualquier cuadrado y no de su localizacin en el plano:

rea como una integral de lnea: Muestre que si R es una regin en el plano, acotada por una curva C simple cerrada y suave por partes, entonces:

Integral definida como una integral de lnea: Suponga que una funcin no negativa y= f(x) tiene una primera derivada continua en [a,b]. Sea C la frontera de la regin en el plano xy acotada por debajo por el eje x, por arriba por la grfica de la funcin f, y a los lados por la recta x= a y x= b.

rea y centroide: Sea A el rea y la coordenada x del centroide de la regin R acotada por una curva C simple cerrada suave por partes en el plano xy. Muestra que:

Momento de inercia: Sea I, el momento de inercia con respecto al eje y de la regin.

Integrales de lnea.

Una integral de lnea acumula elementos a lo largo de una curva. El concepto de integral se puede extender a dominios de integracin ms generales, tales como las lneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de lnea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la fsica cuando se trata concampos vectoriales.Unaintegral de lneaes una integral donde lafuncina integrar es evaluada a lo largo de unacurva. Se utilizan varias integrales curvilneas diferentes. En el caso de una curva cerrada tambin se la denomina integral de contorno.

PROPIEDADES: Linealidad: Las integrales dependen linealmente del campo que se integra. Ms concretamente, se verifica que:Para cualquier camino regular a trozos g en Rn, cualesquiera campos escalares f y g que sean continuos sobre la curva recorrida por el camino g y cualesquiera a,b 2 R. Anloga propiedad se tiene para campos vectoriales:

Continuidad. Las integrales de lnea tambin dependen de manera continua del campo que se integra; intuitivamente, pequeas perturbaciones del campo dan lugar a pequeas variaciones en la integral. Ello es consecuencia de las desigualdades que vamos a presentar. Sea g : [a,b] ! Rn un camino regular a trozos que recorre una curva G, sea f un campo escalar continuo sobre G y supongamos que f est acotado en G por una constante k, es decir:

Anlogo resultado se tiene para un campo vectorial F que sea continuo sobre G. De hecho, podemos considerar el campo escalar F, que tambin es continuo sobre G, y la desigualdad de Cauchy-Schwartz nos permite escribir:

Aditividad: Las integrales de lnea son aditivas con respecto al camino de integracin, en el sentido de que al recorrer consecutivamente dos caminos, las integrales se suman. Ms concretamente, sean g : [a,b]!Rn y s : [c,d]!Rn caminos regulares a trozos consecutivos, esto es, verificando que g(b)=s(c), y consideremos el camino suma g_s. Si f y F son, respectivamente, un campo escalar y un campo vectorial, ambos continuos sobre la unin de las curvas recorridas por g y s, se verifica que:

EJERCICIOS:

1. Calcular la integral de la lnea, donde es la trayectoria entre los puntos (0,0) Y (2,2).Respuesta:Determinamos la ecuacin paramtrica de la trayectoria:

Derivando la ecuacin anterior, queda:

A partir de la definicin de integral de trayectoria tenemos:2. Calcular la integral de la lnea, donde es la trayectoria: , x > 0.Respuesta:Determinamos la ecuacin paramtrica de la trayectoria orientada positivamente: Determinemos el vector . Calculemos la integral:

3. Calcular la integral de la lnea, donde es la trayectoria , tal que x > 1, y > 0.Respuesta:Observemos que es el segmento de la circunferencia:Entonces:

Calculamos el campo vectorial sobre la trayectoria:

Calculamos la integral:

4. Calcular las siguientes integrales de lnea:

Donde es el origen de coordenadas y , a lo largo de las trayectorias:

Respuesta:

En la primera de las integrales, si llamamos como , entonces la integral es independiente de la trayectoria. Basta encontrar una funcin cuyo gradiente sea . Resulta este caso con lo que la integral vale:

En la segunda integral, si llamamos entonces , de modo que el valor de la integral depende de la trayectoria descrita. En cada caso, para resolver la integral debemos parametrizar la curva correspondiente.

5. Calcular la integral de la lnea:

El campo vectorial , con , en conservativo porque:

Teorema de la divergencia.El Teorema de la divergencia es una analoga, en tres dimensiones, del Teorema de Green en el plano, donde en este caso se establece la relacin que existe entre una integral sobre la superficie S y la integral triple de una regin slida B, en la cual la superficie S es su frontera.

Especficamente el teorema de la divergencia dice que:

DondeSes una superficie cerrada cuyo interior contiene al volumenV,Fes un campo vectorial arbitrario, yes, como siempre, el vector unitario normal a la superficie. En esta seccin nuestro objetivo ser aplicar este teorema, dejando su demostracin para ms adelante. De momento podemos pensar que que el flujo deFa travs de la superficieSes igual a la divergencia deFtomada a travs del volumenV.

En la seccin anterior habamos evaluado (con cierta dificultad) la integral

DondeSes la superficie de la esferax2+y2+z2=a2, yF=x3i+y3j+z3k, y cuyo resultado fue 12pa5/ 5. Esta vez aplicaremos la frmula dada en (1).

La divergencia deF=x3i+y3j+z3kes

De modo que debemos calcular la integral

Puesto que el volumen V corresponde al interior de una esfera, centrada en el origen, de radioaparece natural hacer cambio de variable y utilizar las coordenadas esfricas, esto es

Donde el dominio de las variables (r,f,q) es

Y adems

De modo que obtenemos la siguiente integral

Puesto quex2+y2+z2=r2. Efectuando los clculos, nos queda

Como podemos observar, el clculo del flujo es analticamente ms manejable a travs de la divergencia sobre el volumen. Veamos otro ejemplo.

Calcular el siguiente flujo

DondeSes la superficie del slido constituido por el planoz= 3x+ 2 y el cilindrox2+y2= 4.

La divergencia del campo vectorialF= 2yi+ 3zkesdivF= 3. Por otro lado, para describir el volumen utilizaremos las coordenadas cilndricas, esto es

Y adems

Donde el dominio de las variables (r,q,z) est dado por

De modo que

Como podemos observar, la aplicacin del teorema de la divergencia se fundamenta en saber calcular simples integrales sobre un volumen, y, a travs de estos ejemplos, podemos ver que juega un papel fundamental las coordenadas esfricas y cilndricas.

Teorema de Stokes.Elteorema fundamental del clculoestablece que laintegral de una funcinfen elintervalo[a,b] puede ser calculada por medio de unaantiderivadaFdef:

El teorema de Stokes es una generalizacin de este teorema en el siguiente sentido: Para laFelegida,: En el lenguaje de lasformas diferencialeses decir quef(x)dxes laderivada exteriorde la 0-forma (como por ejemplo una funcin)F:dF = fdx. El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales mayoresen vez deF. En un lenguaje matemtico, el intervalo abierto (a,b) es unavariedadmatemtica unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntosayb. Integrarf en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemtica de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones tcnicas: la variedad matemtica debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida. Los dos puntosaybforman parte de la frontera del intervalo abierto. Ms genricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadasMcon frontera. La frontera MdeMes una variedad en s misma y hereda la orientacin natural deM. Por ejemplo, la orientacin natural del intervalo da una orientacin de los dos puntos frontera. Intuitivamenteahereda la orientacin opuesta ab, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrandoFen los dos puntos fronteraa,bes equivalente a tomar la diferenciaF(b)F(a).Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una funcin sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la funcin en los lmites que encierran dicho intervalo: Por otro lado elteorema de Greenhace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinacin de derivadas sobre un rea limitada por la curva simple:

Similarmente elteorema de la divergenciarelaciona la integral de una funcin sobre una superficie con la integral de una combinacin de derivadas sobre el interior del conjunto:

El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una funcin "derivada" sobre el interior de la regin limitada por la frontera.