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Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martnez Concha Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo Departamento de MatemÆtica y CC Emilio Villalobos Marn . Ejercicios Resueltos 1 CÆlculo de integrales dobles en coordenadas rectÆngulares cartesianas 1.1 Problema Calcular ZZ D p x + ydxdy si D es la regin acotada por las respectivas rectas y = x; y = x y x =1 Solucin Se tiene que la regin D = (x; y) 2 IR 2 = 0 x 1; x y x ZZ D p x + ydxdy = Z 1 0 Z x x p x + ydydx = 2 3 Z 1 0 (x + y) 3=2 x x dx = 2 3 Z 1 0 (2x) 3=2 dx = 2 5=2 3 2 5 (x) 5=2 1 0 = 8 p 2 15 1.2 Problema Calcular ZZ D p x 2 y 2 dxdy si D es el dominio limitado por el triÆngulo de vØrtices A (0; 0) ;B(1; 1);C (1; 1) : Solucin Entonces se tiene que el dominio estÆ delimitado por las rectas y = x; y = x y x =1: Luego el dominio de integracin es: D = (x; y) 2 IR 2 = 0 x 1; x y x : Integrando a franjas verticales, resulta 1

Ejercicios Resueltos Integrales Dobles y Triples

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archivo con ejercicios resueltos de integrales dobles, varios temas..... no es mio.. pero es util para que estudien ...

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Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martnez ConchaFacultad de Ciencia Carlos Silva CornejoDepartamento de Matemtica y CC Emilio Villalobos Marn.Ejercicios Resueltos1 Clculo de integrales dobles en coordenadasrectngulares cartesianas1.1 ProblemaCalcular __1_r + jdrdj si 1 es la regin acotada por las respectivas rectasj = r, j = rj r = 1SolucinSe tiene que la regin 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 1; r _ j _ r___1_r + jdrdj = _10_rr_r + jdjdr=23_10 (r + j)3/2rr dr=23_10 (2r)3/2dr=25/2325 (r)5/210=8_2151.2 ProblemaCalcular __1_r2j2drdj si 1 es el dominio limitado por el tringulo devrtices (0, 0) , 1(1, 1), C (1, 1) .SolucinEntonces se tiene que el dominio est delimitado por las rectas j = r,j = rj r = 1.Luego el dominio de integracin es:1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 1; r _ j _ r_.Integrando a franjas verticales, resulta1__1_r2j2drdj = _10_rr_r2j2djdr= _10_rr r_1 _jr_2djdrHacemos el cambio de variables jr = :c:t == dj = rcos tdt ydeterminemos los limites.Para j = r == arc:c:_rr_ = arc:c:(1) = 2.Para j = r == arc:c:_rr_ = arc:c:(1) = 2Por tanto_10_rr r_1 _jr_2djdr = _10_ 2

2r2_1 :c:2tdtdr= _10_ 2

2r2cos2tdtdr= _10_ 2

2r2(1 + cos 2t2)dtdr= _10 r2_t2 + :c:2t4_2

2dr=2_10 r2dr=2_r33_10= 61.3 ProblemaCalcular __1_j 2r2_drdj si 1 es la regin acotada por [r[ +[j[ = 2SolucinSe tiene que la regin 1 = _(r, j) 112, [r[ +[j[ _ 2_Si escogemos la regin con una particin de tipo I, es necesario utilizar dosintegrales iterativas porque para 2 _ r _ 0 , la frontera inferior de la regin esla grca de j = r 2, y la superior es j = r +2;y para 0 _ r _ 2 la fronterainferior de la regin es la grca de j = r 2, y la superior es j = r + 2Entonces se tiene 1 = 11' 12 tal que 11' 12 = c.donde 11 = _(r, j) 112, 2 _ r _ 0, r 2 _ j _ r + 2_12 = _(r, j) 112, 0 < r _ 2, r 2 _ j _ r + 2_2Por otra parte la funcion del integrando ) (r, j) = j 2r2es simtrica conrespecto al eje y, es decir \(r, j, .) 1 existe (r, j, .) tal que ) (r, j) =j 2(r)2= ) (r, j) .Por lo tanto__1_j 2r2_drdj = 2_20_ r+2r2_j 2r2_djdr= 2_20_j22 + 2r2j_r+2r2dr= 2_10_4r38r2_dr= _r4 83r3_20= 2_16 643_ = 3231.4 ProblemaCalcular __1_r2+ j2_drdj si 1 = _(r, j) 112,r2+ j2_ 1_.Usandocoordenadas cartesianasSolucin.Usando coordenadas cartesianas, la regin de integracin es un crculocentrado en el origen de radio unoPor lo tanto1 = _(r, j) 112, 1 _ r _ 1, _1 r2 _ j __1 r2___1_r2+ j2_drdj = _11_ p1r2

p1r2(r2+ j2)djdr= _11 (r2j + j33 )p1r2

p1r2dr= 2_11(r2_1 r2 + 13_(1 r2)3)dr= 2_11 r2_1 r2dr + 23_11_(1 r2)3drCon ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:_11 r2_1 r2dr = (r4_1 r2 + 18(r_1 r2 + arc:c:r)11=18(arc:c:(1) arc:c:(1) = 18(2 + 2) = 83_11_(1 r2)3dr = (r4_(1 r2)3 + 3r8_(1 r2) + 38arc:c:r)11=38Por lo tanto:__1_r2+ j2_drdj = 28+ 23 38= 2Notese que la solucin del problema usando coordenadas cartesianas esbastante compleja1.5 ProblemaCalcular __1 rjdrdj si 1 es la regin acotada por j =_r, j =_3r 18,j _ 0.Usando coordenadas cartesianas.Solucin.Si escogemos la regin con una particin de tipo I, es necesario utilizar dosintegrales iterativas porque para 0 _ r _ 6 , la frontera inferior de la regin esla grca de j = 0, y la superior es j =_r;y para 6 _ r _ 9 la frontera inferiorde la regin es la grca de j =_3r 18, y la superior es j =_rLuego tenemos que 1 = 11' 12 tal que 11' 12 = c.Entonces 11 = _(r, j) 112, 0 _ r _ 6, 0 _ j __r_12 = _(r, j) 112, 6 < r _ 9, _3r 18 _ j __r_Por lo tanto__1 rjdrdj = __11rjdrdj +__12rjdrdj= _60_ pr0rjdjdr +_96_ prp3r18 rjdjdr= _60r_j22_pr0dr +_96r_j22_prp3r18dr=12_60r2dr + 12_96 (2r2+ 18r)dr= _16r3_60+_r33+ 9r22_96= 1852Si escogemos la regin con una particin de tipo II, es necesario utilizar slouna integral iterativa porque para 0 _ j _ 3 , la frontera izquierda de la regin4es la grca de r = j2mentras que la frontera derecha queda determinada porla grca r = j23 + 6, obteniendo as la regin11 = _(r, j) 112, j2_ r _ j23 + 6, 0 _ j _ 3_la integral iterativa queda__1 rjdrdj = _30_(2/3)+62rjdrdj= _30_r22_(2/3)+62jdj=12_30__j2+ 183_2j4_(2/3)+62jdj=118_30_8j5+ 36j3+ 324jdj=118_43j6+ 9j4+ 162j2_30=118_4336+ 36+ 236_ = 18521.6 ProblemaEncontrar el rea de la regin determinada por las desigualdades: rj _ 4,j _ r, 27j _ 4r2.Solucin.Sabemos que rj = 4 tiene por grca una hiprbola equiltera, j = res larecta bisectriz del primer cuadrante y27j = 4r2corresponde a una parbola.Veamos cuale son los puntos de interseccin de estas curvas con el proprositode congurar el dominio de integracinrj = 4j = r_ == r2= 4 == r = 2 == j = 227j = 4r2j = r_ == 27r = 4r2==r = 0r = 244_ == j = 0, j = 274rj = 427j = 4r2_ == r = 3, j = 43Para calcular el rea (1) = __1 drdj, podemos escoger una particin deldominio de tipo I de tipo II.Consideremos dos subregiones de tipo I11 = _(r, j) 112,2 _ r _ 3, 4r _ j _ r_512 = _(r, j) 112,3 _ r _ 274 , 427r2_ j _ r_Si proyectamos sobre eje x(1) = __1 drdj = __11drdj +__12drdj(1) = _32_r4xdjdr +_27/43_r427r2djdr= _32 j[r4x dr +_27/43j[r427r2 dr= _32_r 4r_dr +_27/43_r 427r2_dr= _r22 4 lnr_32+_r22 481r3_27/43=52 4 ln 32 + 72932 92 481 27343+48133= 2 4 ln 32 + 72932 24316+ 43=66596 4 ln 32Si proyectamos sobre eje y11 = _(r, j) 112,4j _ r _ 32_3j, 43 _ j _ 2_11 = _(r, j) 112,j _ r _ 32_3j, 2 _ j _ 274_(1) = __1 drdj = __11drdj +__12drdj(1) = _243_ 32p34ydrdj +_27/42_ 32p3drdj= _243__3j 4 lnj_dj +_27/42_32_3j j_dj= _32_3j3 4j_243+__3j3 j22_27/42= 83 4 ln 32 + 9278 72932+ 2=66596 4 ln 3261.7 ProblemaEncontrar el volumen de la regin acotada por los tres planos coordenados y elplano r + 2j + 3. = 6Solucin.Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano xy tenemos:\ = __16 r 2j3drdj , 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 6, 0 _ j _ 6 r2_\ =13_60_ 6x20(6 r 2j) djdr=13_60_(6 r)j j26x20dr=13_60_(6 r)22 (6 r)24_dr=112_60(6 r)2dr= _ 136(6 r)3_60= 6Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano yz tenemos:\ = __1 (6 3. 2j) d.dj , 1 = _(j, .) 112,0 _ j _ 3, 0 _ . _ 6 2j3_\ = _30_ 62y30(6 2j 3.) d.dj= _30_(6 2j). 32.2_62y30dj= _30_(6 2j)23 (6 2j)26_dj=16_30(6 2j)2dj= _ 112 (6 r)33_30= 62 Cambios de orden de Integracin2.1 ProblemaInvierta el orden de integracin y evale la integral resultante .71 = _10_22r c2djdrSolucin.El dominio de integracion dado es 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 1, 2r _ j _ 2_.Si se invierte el orden de integracin tenemos que modicar la particin deldominio. 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ j2, 0 _ j _ 2_,entonces la integralse puede escribir.1 = _10_22r c2djdr = _20_ y20 c2drdj= _20 rc2y20 dj= _20j2c2dj = 14 c240=14_c161_2.2 ProblemaInvierta el orden de integracin y evale la integral resultante .1 = _20_4r2_j cos jdjdrSolucin.El dominio de integracin dado es 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 2, r2_ j _ 4_.Si se invierte el orden de integracin tenemos que modicar la particin deldominio, 1 = _(r, j) 112,0 _ r __j, 0 _ j _ 4_,entonces la integralse puede escribir_20_4r2_j cos jdjdr = _40_ p0_j cos jdrdj= _40_j cos(j)r[p0dj= _40 j cos(j)djIntegrando esta ltima integral por partes se tiene:_40 j cos(j)dj = j:c:(j)[40_40 :c:(j)dj= j:c:(j)[40 + cos(j)[40= 4:c:(4) + cos(4) 182.3 ProblemaInvierta el orden de integracin y evale la integral resultante .1 = _t1_ln r0jdjdrSolucin.El dominio de integracin dado es 1 = _(r, j) 112,1 _ r _ c, 0 _ j _ lnr_.Si se invierte el orden de integracin tenemos que el dominio,1 = _(r, j) 112,c_ r _ c, 0 _ j _ 1_,entonces la integralse puede escribir_t1_ln r0jdjdr = _10_ttyjdrdj= _40 j rtty dj= _40 j(c c)dj= c_j22_40c[j c]40= 8c 4c413 Cambios de variables: Coordenadas polares3.1 ProblemaCalcular __1_r2+ j2_drdj si 1 = _(r, j) 112,r2+ j2_ 1_,usandocoordenadas polaresSolucin.A partir de la coordenadas polares tenemos:r = rco:0, j = r:c:0 == r2+ j2= r2El valor absoluto del Jacobiano de transformacin a polares es:0 (r, j)0 (r, 0) = rReemplazando trminos en la integral, produce__1_r2+ j2_drdj = __1 r20 (r, j)0 (r, 0)drd09= _10_2t0r3d0dr = _10_2t0r30[2t0dr= 2_10 r3dr = 2 r4410= 2Las coordenadas polares dieron una solucion ms simple del problema.Lasimplicidad depende de la naturaleza del problema y de la simetria que presentael dominio.3.2 ProblemaCalcular el rea de la regin interior a la circunferencia r2+j2= 8j y exteriora la circunferenciar2+ j2= 9.Solucin.Determinemos el centro y radio de la circunsferenciar2+ j2= 8j== r2+ j28j = 0 == r2+ (j 4)2= 16El rea de la regin D es: (1) __1 drdjPor simetra, podemos calcular el rea de la regin D en el primer cuadrantey multiplicar por 2.A n de conocer los lmites de integracin en coordenadas polaresnecesitamos conocer el ngulo que forma la recta OT con el eje x.r2+ j2= 8j== r2= 8r:c:0 == r = 8:c:0r2+ j2= 9 == r = 3Como T pertenece a ambas circunferencias se cumple8:c:0 = 3 == 0 = arc:c:38Luego, la mitad de la regin 1

= _(r, 0) ,3 _ r _ 8:c:0; arc:c:38 _ 0 _ 2___1 drdj = __1

0 (r, j)0 (r, 0)drd0102_t/2o:cstn38_8stn03rdrd0 = 2_t/2o:cstn38r228stn03d0_t/2o:cstn38_64:c:20 9_d0 = _64_02 :c:204_ 920_t/2o:cstn38= _552 0 16:c:20_t/2o:cstn38= _554 552 arc:c:38 + 16:c:(2arc:c:38)_- 38, 423.3 ProblemaCalcular__1r2+ j2r +_r2 + j2drdj , si D es el interior del cardioide r = a (1 + cos 0)Solucin.Cambiando a cordenadas polares, tenemos:__1r2+ j2r +_r2 + j2drdj = __1

r2r cos 0 + r0 (r, j)0 (r, 0)drd0= __1

r2r cos 0 + rrdrd0= _2t0_o(1+cos 0)0r21 + cos 0drd0= _2t011 + cos 0 r33o(1+cos 0)0d0=a33_2t0(1 + cos 0)2d0=a33_2t0_1 + 2 cos 0 + cos20_d0=a33_0 + 2:c:0 + 02 + :c:204_2t0= a3Observacion si deseamos se rigurosos debemos hacer notar que la integral esimpropia cuando r _ 0, e j = 0, pues en tal caso el denominador es cero.Luego:111 = limo!t

:!0_o0_o(1+cos 0):r21 + cos 0drd0 +limo!t+:!0_2to_o(1+cos 0):r21 + cos 0drd0= limo!t

a33_o0 (1 + cos 0)2d0 +limo!t+a33_2to(1 + cos 0)2d0= limo!t

a33_32c + 2:c:c + :c:2c4_+limo!t+a33_3 32, 2:c:, :c:2,4_= a33.4 ProblemaCalcular el volumen V el slido acotado por las grcas . = 9r2j2y . = 5.Solucin.Como el slido es simtrico, basta encontrar su volumen en el primer octantey multiplicar su resultado por cuatro.Usando integrales dobles y proyectando la regin sobre el plano xy tenemos:\ = 4_ _1_9 r2j25drdj1 = _(r, j) 112,r _ 0, j _ 0, 0 _ r2+ j2_ 4_A partir de la coordenadas polares, obtenemos:r = rco:0j = r:c:0_ == ) (r, j) = 4 r2j2= 4 r20 _ r2+ j2= r2_ 4 == 0 _ r _ 2 y 0 _ 0 _ 21

= _(r, 0) ,0 _ r _ 2, 0 _ 0 _ 2_El valor absoluto del Jacobiano de transformacin a polares es:0 (r, j)0 (r, 0) = rReemplazando trminos en la integral, produce:\ = 4_ _1

_4 r2rdrd0= 4_t/20_20_4 r2rdrd0= 4_t/20_42r2 14r4_20d0= 8124 Cambios de variables. Coordenadas curvilneas4.1 ProblemaCalcular 1 = __1 3rjdrdj, donde 1 es la regin acotada por por la rectasr 2j = 0, r 2j = 4r + j = 4, r + j = 1(1)Solucin.Podemos usar el cambio de variablesn = r 2j = r + j_(1) ==r = 13 (2n + )j = 13 (n )(2)Asi,r 2j = 4 se transforma enn = 4r 2j = 0 se transforma enn = 0r + j = 1 se transforma en = 1r + j = 4 se transforma en = 4Para calcular el Jacobiano0 (r, j)0 (n, ) tenemos dos posibilidades.La primera, es usar la transformacin inversa (2) r e j en trminos de n y .La segunda, mucho ms simple, es calcular a partir de (1)0 (n, )0 (r, j) y luegousar la propiedad0 (r, j)0 (n, ) = _0 (n, )0 (r, j)_1.En efecto0 (n, )0 (r, j) = 121 1 = 1 + 2 = 3 ==0 (r, j)0 (n, ) = 13Por lo tanto, del teorema del cambio e variables se deduce que:1 = __1 3rjdrdj = __1

3_13 (2n + ) 13 (n )_0 (r, j)0 (n, )dnd= _41_0419_2n2n 2_ddn=19_41_2n2 n22 33_04dn=19_41_8n2+ 8n 643_dn=19_8n33+ 4n2 643 n_41dn = 16494.2 Problema13Calcular el rea de la regin 1, que esta acotada por las curvasr2j2= 1, r2j2= 9r + j = 4, r + j = 6(1)Solucin.Teniendo en cuenta el cambio de variables que transforma la regin 1 enla regin 1

n = r2j2 = r + j_(1) ==La imagen 1

de la regin D est acotada por la rectas verticales;r2j2= 1 se transforma enn = 1r2j2= 9 se transforma enn = 9y las rectas horizontalesr + j = 4 se transforma en = 4r + j = 6 se transforma en = 6Es decir, 1

= (n, ) ,1 _ n _ 9, 4 _ _ 6Vamos a calcular0 (r, j)0 (n, ) a partir de (1)0 (n, )0 (r, j) y usar la propiedad0 (r, j)0 (n, ) = _0 (n, )0 (r, j)_1.En efecto0 (n, )0 (r, j) = 2r 2j1 1 = 2 (r + j) = 2==0 (r, j)0 (n, ) =12El teorema del cambio variables arma que:(1) = __1 drdj = __1

0 (r, j)0 (n, )dnd= _91_6413ddn=12_91 [ln]64 dn=12_ln 64__91 dn=12 ln 32 [n]91 = 4 ln 324.3 ProblemaCalcular 1 = __1r3+ j3rjdrdj, donde 1es la regin del primer cuadranteacotada por:j = r2, j = 4r2r = j2, r = 4j2(1)Solucin.El clculo de 1 sera bastante complejo si usamos coordenadas cartesianaspor la simetra que tiene el dominio.Sin embargo, una cambio de variables14simplica la regin 1 y la transforma en 1

.Sean n = r2j , = j2rLuego 1

esta acotada por la rectas verticales;j = r2se transforma en n = 1.j = 4r2se transforma en n = 14.y las rectas horizontalesr = j2se transforma en = 1.r = 4j2se transforma en = 14.Es decir, 1

= _(n, ) ,1 _ n _ 14, 1 _ _ 14_Para calcular0 (r, j)0 (n, ) tenemos dos posibilidades, la primera es despejar re j en trminos de n y a partir de (1) .La segunda, es calcular0 (n, )0 (r, j)y usar la propiedad0 (r, j)0 (n, ) = _0 (n, )0 (r, j)_1.En efecto0 (n, )0 (r, j) =2rjr2j2j2r22jr = 4 1 = 3 ==0 (r, j)0 (n, ) = 13Calculemos ahora la integral1 = __1r3+ j3rjdrdj = __1_r2j+ j2r_drdj= _11/4_11/4 (n + ) 13ddn=13_11/4_n + 22_11/4dn=13_11/4_34n + 1532_dn=13_38n2+ 1532n_11/4= 13_38 1516 + 1532 34_=15644.4 ProblemaEvaluar la integral 1 = __1 [r + j]2drdj, donde 1es la regin del plano xyacotado por las curvasr + j = 2, r + j = 4,j = r, r2j2= 4,(1)15Solucin.Observese que las ecuaciones de la curvas de la frontera de D slo incluyena r e j en las combinaciones de r j,y el integrando incluye solamentenlasmismas combinaciones. Aprovechando estas simetras, sean las coordenadasn = r + j, = r jLuego, la imagen 1

de la regin D est acotada por las curvas;r + j = 2 se transforma en n = 2.r + j = 4 se transforma en n = 4.A su vezr j = 0 se transforma en = 0.r2j2= (r + j) (r j) = 4 se transforma en n = 4.Es decir, 1

= _(n, ) ,2 _ n _ 4, 0 _ _ 4n_El jacobiano de la transformacin es0 (r, j)0 (n, ) = _0 (n, )0 (r, j)_1.En efecto0 (n, )0 (r, j) = 1 111 = 2 ==0 (r, j)0 (n, ) = 12Entonces:__1 [r + j]2drdj =12__1

n2dnd=12_42_4/u0n2ddn=12_42n2[4/u0dn=12_424ndn=42 n2242= 125 Clculo de integrales triples en coordenadasrectngulares cartesianas5.1 ProblemaSea R la regin en IR3acotada por: . = 0, . = 12j, r = 0; r = 1, j = 0, j = 2Calcular ___1 (r + j .) drdjd..Solucin.Del grco de la regin , tenemos que 0 _ . _ 12j.Proyectando la regin Rsobre el plano rj. As 1 = _(r, j) 112,0 _ r _ 1, 0 _ j _ 2_.16Por lo tanto;___1 (r + j .) drdjd. = __1(_ 120(r + j .) d.)drdj_10_20(_ 120(r + j .) d.)djdr = _10_20_r. + j. .22_120djdr_10_20_12(r + j)j j28_djdr = _10_20_12rj + 38j2_djdr_10_14rj2+ 18j3_20dr = _10 [(r + 1)] dr = _12r2+ r_10=32Tambin es posible resolver el problema anterior proyectando la regin Rsobre el plano r..En tal caso, 2. _ j _ 2y1 = _(r, .) 112,0 _ r _ 1, 0 _ . _ 1____1 (r + j .) drdjd. = _10_10(_22: (r + j .) dj)d.dr_10_10_rj + j22 .j_22:d.dr = 2_10_10 [r + 1 . r.] d.dr2_10_r. + . .22 r.22_10dr = 2_10_r + 1 12 r2_dr_10 [(r + 1)] dr = _12r2+ r_10= 32Una tercera posibilidad de solucin consiste en proyectar la regin Rsobre el plano yz.Esta se deja como ejercicio.5.2 ProblemaCalcular ___1 r2drdjd. si D es la regin acotada por j2+ .2= 4ar,j2= ar, r = 3aSolucin.La supercie j2+ .2= 4arcorresponde a un paraboloide de revolucincomo el bosquejado en la gura.En dos variables el grco de j2= ar es una parbola, pero es tresvariables es la supercie de un manto parablico.17Finalmente, el grco r = 3 es un plano paralelo al plano r. a la distancia3a.Luego el grco de la regin esLa proyeccin de la region sobre el plano xy es:1 = _(r, j, .) 113,11' 12 , _4ar j2 _ . __4ar j2_Por simetra se tiene:1 = ___1 r2drdjd. = 2__11_ _4or2

_4or2r2d.drdj= 2_3o0_2porpor_ _4or2

_4or2r2d.djdr= 2_3o0_2porpor_r2.__4or2

_4or2djdr= 4_3o0_2porporr2_4ar j2djdrDe una tabla de integrales obtenemos_ _a2n2dn = 12(n_a2n2 + a2arc:c:na)As al integrar la expresin:_2porpor_4ar j2dj = _12_j_4ar j2 + 4ar arc:c:j2_ar__2porpor= 2ar arc:c:(1) 12__ar_3ar + 4ar arc:c:12_= 2ar 2 + 12ar_3 2ar6=23 ar +_32 arPor lo tanto al sustituir en la integral anterior, queda4_3o0_23+_32_ar3dr =__23+_32_ar4_3o0= 27a5_2 + 3_32_185.3 ProblemaCalcular el volumen del slidoacotado por la supercie j = r2y los planosj + . = 4; . = 0.Solucin.Consideremos que la reginest acotada inferiormente por la frontera. = 0 y superiomente por . = 4 j.Si Proyectamos la reginsobre el plano xy, se tiene: = _(r, j, .) 113,(r, j) 1, 0 _ . _ 4 j_1 = _(r, j) 112, 2 _ r _ 2, r2_ j _ 4_Luego el volumen de la regin es\ () = ___

drdjd. = _22_4r2_40d.djdr= _22_4r2(4 j) djdr = _22_4j j22_4r2dr= _22_8 4r2+ r42_dr= _8r 43r3+ r410_22= 256156 Coordenadas esfricas6.1 ProblemaResolver 1 = ___1_r2 + j2 + .2c(r2+2+:2)drdjd. si D es la regin de IR3limitada por las supercies r2+ j2+ .2= a2r2+ j2+ .2= /2con0 < / < a anillo esfrico.SolucinPor la simetra del dominio y la forma del integrandousaremos coordenadas esfricas:r = r:c:0 cos cj = r:c:0:c:c. = r cos 0___ ==/2_ r2+ j2+ .2_ a2== / _ r _ atq0 = j. = 0 == 0 _ 0 _ tqc = jr = 0 == 0 _ c _ 2Recordando que el valor absoluto del Jacobiano a esfricas es :0 (r, j, .)0 (r, 0, c) = r2:c:0 se tiene:191 = _2t0_t0_ob rc:20 (r, j, .)0 (r, 0, c)drd0dc= _2t0_t0_ob r3c:2:c:0 drd0dc= _2t0_t0_12r2c:2c:2_ob:c:0 d0dc= _12/2cb2+ 12cb2 12a2co2co2__2t0_t0 :c:0 d0dc= _12/2cb2+ 12cb2 12a2co2co2__2t0 cos 0[t0dc= 2_12/2cb2+ 12cb2 12a2co2co2__2t0dc= 4_12/2cb2+ 12cb2 12a2co2co2_6.2 ProblemaEncontrar el volumen de la regin determinada por r2+ j2+ .2_ 16 , .2_ r2+ j2.Solucinr2+ j2+ .2= 16 es una esfera con centro en el origen y radio 4.2= r2+j2es un cono con vrtice en el origen y eje de simetra coincidentecon el eje z.Como . _ 0 , slo debemos considerar slo la regin sobre el plano xy.La interseccin de la esfera con el cono se obtiene mediante el sistema:r2+ j2+ .2= 16r2+ j2= .2_ ==. =_8r2+ j2= 8Usaremos coordenadas esfricas:r = r:c:0 cos cj = r:c:0:c:c. = r cos 0___ ==0 _ r2+ j2+ .2_ 16 == 0 _ r _ 4tq0 = j. =_8_8 = 1 == 0 _ 0 _ 4tqc = jr = 0 == 0 _ c _ 2Recordando que el valor absoluto del Jacobiano a esfricas es :0 (r, j, .)0 (r, 0, c) = r2:c:0 se tiene:20\ = ___1 drdjd. = _2t0_ 40_40 r2:c:0 drd0dc\ = _2t0_ 40r3340:c:0 d0dc\ =433_2t0 cos 0[

40dc\ =433_2t0_1 _22_ dc = 433_1 _22_2Otra opcin para resolver este problema es usar coordenadas cilndricas,ental casor = r cos 0j = r:c:0. = .___ ==r2+ j2+ .2= 16 == . = 16 r2.r2+ j2= .2== . = r2Tenamos que el Jacobiano de transformacin a cilndricas es:0 (r, j, .)0 (r, 0, .) = r luego:\ = ___1 drdjd. = _2t0_ p80_ p16:2:2rd.drd0= _2t0_ p80r.[p16:2:2 drd0= _2t0_ p80_r_16 r2r2_drd0= _2t0_13_(16 r2)3 r33_p80d0= 23_2_83_163_ = 23_64 32_2_7 Coordenadas Cilndricas7.1 ProblemaUsando integrales triples calcular el volumen de la regin acotada por . = r2+j2y. = 27 2r22j2.Solucin.Por la simetra del volumen los resolveremos usando coordenadas cilndricas.r = r cos 0j = r:c:0. = .___ ==. = r2+ j2== . = r2.. = 27 2r22j2== . = 27 2r2r2+ j2= 9 == r = 3.21Como el Jacobiano de transformacin a cilndricas es: 0 (r, j, .)0 (r, 0, .) = r se tiene:\ = ___1 drdjd. = _2t0_30_272:2:2rd.drd0= _2t0_30 r .[272:2:2 drd0= _2t0_30 r_27 3r2_drd0= _2t0_272 r2 34r4_30d0=2434_2t0d0 = 24342 = 24327.2 ProblemaCalcular el volumen de la regin acotada por la esfera r2+ j2+ .2= 13 y elcono (. 1)2= r2+ j2, . _ 1Solucin.El volumen pedido es\ = ___1 drdjd.donde la regin R est dada por1 = _(r, j, .) 113, (r, j) 1; 1 +_r2 + j2 _ . __4 r2j2_D corresponde a la proyeccin de R sobre el plano xy.1 = _(r, j, .) 112,r2+ j2_ 13_Por la simetra del volumen conviene usar coordenadas cilndricas.r = r cos 0j = r:c:0. = .___ == r2+ j2+ .2_ r2+ .2_ 13 ,Determinemos la imagen R

de R(. 1)2= r2+ j2== . _ 1 + r == 1 + r _ . __13 r2Luego1

= _(r, 0, .) 113, (r, 0) 1; 1 + r _ . __13 r2_La regin R al ser proyectada sobre el plano xy. produce. = 0== r2+ j2= 131

1 = _(r, 0) 113, _ r _ 2; 2 _ 0 _ 2_Como el Jacobiano de transformacin a cilndricas es: 0 (r, j, .)0 (r, 0, .) = r se tiene:22\ = ___1 drdjd. = _20_2t0_ p13:21+:rd.d0dr= _20_2t0r.p13:21+:d0dr= _20_2t0r__13 r2(1 + r)_d0dr= 2_20_r_13 r2_r + r2__dr= 2_13_13 r2_3/2_r22 + r33__20= 2_13_133/273/2__42 + 83__7.3 ProblemaCalcular utilizando coordenadas cilndricas el volumen de la regin R , donde Res el interior a la esfera r2+j2+.2= 4, . _ 0,y exterior al cilindro (r1)2+j2=1.SolucinLa regin R se describe en coordenadas cartesianas mediante1 = _(r, j, .) 113, (r, j) 1; 0 _ . __4 r2j2_donde D es la proyeccin de R sobre el plano xy.1 = _(r, j) 113,r2+ j2_ 4; (r 1)2+ j2_ 1_Transformemos la regin R a coordenadas cilindricas denidas porr = r cos 0j = r:c:0. = .___ == r2+ j2+ .2= r2(cos20 + :c:20) + .2_ 4== 0 _ . __4 r2La regin R al ser proyectada sobre el plano xy da origen a dos subregionesr2+ j2_ r2_ 4 == 0 _ r _ 2 si 2 _ 0 _ 32(r 1)2+ j2_ 1 == r _ 2 cos 0 yr _ 2 si -2 _ 0 _ 2Entonces, la regin 1

puede describirse mediante1

= _(r, 0, .) , (r, 0) 1

= 1

1 ' 1

1; 0 _ . __4 r2_1

1 = _(r, 0) 113,2 cos 0 _ r _ 2; 2 _ 0 _ 2_1

2 = _(r, 0) 113,0 _ r _ 2; 2 _ 0 _ 32_23Ademas, el Jacobiano de la transformacin a cilndricas es:0 (r, j, .)0 (r, 0, .) = rEn consecuencia la integral puede describirse por1 = ___1(r) drd0d.= _t/2t/2_22 cos 0_ p4:20rd.drd0 +_3t/2t/2_20_ p4:20rd.drd0= _t/2t/2_22 cos 0 r_ ._p4:20drd0 +_3t/2t/2_20r_ ._p4:20drd0= _t/2t/2_22 cos 0 r_4 r2drd0 +_3t/2t/2_20r_4 r2drd0= _t/2t/2_13_4 r2_3/2_22 cos 0d0 +_3t/2t/2_13_4 r2_3/2_20d0=83_t/2t/2_1 cos20_3/2d0 + 83_3t/2t/2d0=83_t/2t/2 :c:30d0 + 83_3t/2t/2d0=83_cos 0 + cos303_t/2t/2+ 83 = 837.4 ProblemaCalcular 1 = ___1_r2a2 + j2/2 + .2c2_drdjd..En la regin 1 = _(r, j, .) 113,r2a2 + j2/2 + .2c2 _ 1_a0, /0, c0Solucin.La regin de integracin es un elipsoide de semieejes a,b,c.Efectuemos un primer cambio de variables:r = an, j = /, . = cn.Con ello, 1 se transforma en la bola.1

= _(n, , n) ,n2+ 2+ n2_ 1_ yel valor absoluto del Jacobiano queda:0 (r, j, .)0 (n, , n) =a 0 00 / 00 0 c = a/cLuego, aplicando el teorema del cambio de variables y obtenemos la integral241 = ___1_r2a2 + j2/2 + .2c2_drdjd..= ___1

_n2+ 2+ n2_0 (r, j, .)0 (n, , n)dnddn= ___1

_n2+ 2+ n2_0 (r, j, .)0 (n, , n)dnddn= ___1

(n2+ 2+ n2) (a/c) dnddnAhora, transformamos a coordenadas esfricas.n = r:c:0 cos c = r:c:0:c:cn = r cos 0___ ==0 _ n2+ 2+ n2_ 1 == 0 _ r _ 1tq0 = n== 0 _ 0 _ tqc = n== 0 _ c _ 2Quedando, la region 1

= (r, 0, c) ,0 _ r _ 1, 0 _ 0 _ , 0 _ c _ 2a/c___1

(n2+ 2+ n2)dnddn = a/c_2t0_t0_10_r2_r2:c:0 drd0dc= a/c_2t0_t0r5510:c:0 d0dc=a/c5_2t0 cos 0[t0dc=2a/c5_2t0dc = 4a/c5ObservacinEs claro que la integracin se podra haber efectuado usando directamentela trasformacin compuesta.r = ar:c:0 cos cj = /r:c:0:c:c. = cr cos 0___ ==0 (r, j, .)0 (r, 0, c) = a/cr2:c:07.5 ProblemaCalcular 1 = ___1drdjd.._(r a)2+ (j /)2+ (. c)2,en la regin 1 = _(r, j, .) 113,r2+ j2+ .2_ 12_, (a, /, c) es un puntojono peteneciente a la esfera r2+ j2+ .2_ 12.Solucin.25Si usamos coordenadas cartesianas los lmites de integracin sondicultosos, pues en tal caso tendramos.1 = ___1drdjd.._(r a)2+ (j /)2+ (. c)21 = _::_ p:2r2

p:2r2_ _:2r22

_:2r22d.djdr._(r a)2+ (j /)2+ (. c)2Es claro que si usamos este camino las cosas no sern fciles.Sin embargo , dada la simetria esfrica del dominio y observando que elintegrando no es nada ms que el reciproco de la distancia desde (a, /, c) , 1hasta (r, j, .) 1,nos damos cuenta que el resultado no puede depender msque de la distancia d entre dichos puntos.Por ello, el resultado no puede variarsi ubicamos el eje z pasando por el punto (a, /, c). Si (0, 0, d) son las nuevascoordenadas del punto jo tenemos.1 = ___1drdjd.._r2 + j2 + (. d)2ObservacinEl razonamiento anterior es muy usado el clculo de integrales que aparecenaplicaciones a la Fsica pues en dicha Ciencia son comunes las leyes en queaparece una distacia o el cuadrado de una distancia en el denominador delintegrando.Para calcular 1 en (*) usamos coordenadas esfricas. Obtenemos:1 = _10_t0_2t0r2:c:0 dcd0dr_r2 + d22dr cos 0= 2_10_t0r2:c:0 d0dr_r2 + d22dr cos 0Para calcularJ = _t0r2:c:0 d0dr_r2 + d22dr cos 0podemos hacer: = r2+ d22dr cos 0d: = 2dr:c:0d0Adems, 0 = 0 == : = r2+ d22dr = (d r)20 = == : = r2+ d2+ 2dr = (d + r)2Reemplazando en la integral anterior produce26J =r2d_(J+:)2(J:)2 :1/2d: =r2d 2:1/2(J+:)2(J:)2=r2d [2 (d + r) 2 (d r)]=r2d [4r] = 2r2dPor lo tanto1 = 2_102r2d dr1 =4dr33101 =43d1327