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ntegración múltiple capítulo se introduce el concepto ! e 5 dobles sobre regiones en el : r.:egrales triples sobre regiones --..10. r-- .¿pítulo, se aprenderá: i evaluar una integral iterada y el área de una región plana. o usar una integral doble para ontrar el volumen de una región da. (14.2) L.:mo escribir y evaluar integrales obles en coordenadas polares. (14.3) Como encontrar la masa de una lámina piaña, el centro de masa de una iirrjna plana y los momentos de inercia usando integrales dobles. (14.4) lomo usar una integral doble para encontrar el área de una superficie. (14.5) • I rrno usar una integral triple para encontrar el volumen, centro de masa nomentos de inercia de una región :!ida. (14.6) Cómo escribir y evaluar integrales triples en coordenadas cilindricas y r-féricas. (14.7) Cómo usar unjacobiano para cambiar variables en una integral doble. (14.8) Langley Pbotography/Getty Images El centro de presión de una vela es ese punto en el cual la fuerza total aerodinámica puede considerarse que actúa. Ya que la vela es representada por una región plana, ¿cómo se pueden usar las integrales dobles para encontrar el centro de presión sobre una vela? (Ver sección 14.4, sección proyecto.) Se puede aproximar el volumen de una región sólida encontrando la suma de los volúmenes de prismas rectangulares representativos. Como aumenta el número de prismas rectangulares, la aproximación tiende a ser más y más exacta. En el capítulo 14 se aprenderá a usar integrales múltiples para encontrar el volumen de una región sólida. 983

Matematica III-Integrales Dobles y Triples

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  • ntegracin mltiplecaptulo se introduce el concepto

    ! e 5 dobles sobre regiones en el: r.:egrales triples sobre regiones

    --..10.r - - .ptulo, se aprender:

    i evaluar una integral iterada y el rea de una regin plana.

    o usar una integral doble paraontrar el volumen de una reginda. (14.2)

    L.:mo escribir y evaluar integralesobles en coordenadas polares. (14.3)

    Como encontrar la masa de una lminapiaa, el centro de masa de unaiirrjna plana y los momentos deinercia usando integrales dobles. (14.4)lomo usar una integral doble paraencontrar el rea de una superficie.(14.5)

    I rrno usar una integral triple paraencontrar el volumen, centro de masa

    nomentos de inercia de una regin:!ida. (14.6)

    Cmo escribir y evaluar integralestriples en coordenadas cilindricas yr-fricas. (14.7)

    Cmo usar un jacobiano para cambiarvariables en una integral doble. (14.8)

    Langley Pbotography/Getty Images

    El centro de presin de una vela es ese punto en el cual la fuerza totalaerodinmica puede considerarse que acta. Ya que la vela es representada poruna regin plana, cmo se pueden usar las integrales dobles para encontrar elcentro de presin sobre una vela? (Ver seccin 14.4, seccin proyecto.)

    Se puede aproximar el volumen de una regin slida encontrando la suma de los volmenes de prismasrectangulares representativos. Como aumenta el nmero de prismas rectangulares, la aproximacin tiende a serms y ms exacta. En el captulo 14 se aprender a usar integrales mltiples para encontrar el volumen de unaregin slida.

    983

  • CAFIULO14 taegracin mltiple

    14.1 Integrales iteradas y rea en el planoEvaluar una integral iterada.Utilizar una integral iterada para hallar el rea de una regin plana.

    Ec os captulos 14 y 15 sei varias aplicaciones de la

    i de funciones de varias >;e captulo es muy similar

    . _ : : _ : ~ ya que ilustra el uso de laji:;r;;:n para hallar reas planas,-.ctmenes. reas de superficies,momentos v centros de masa.

    Integrales iteradasEn el captulo 13 se vio cmo derivar funciones de varias variables con respesvariable manteniendo constantes las dems variables. Empleando un procedimialar se pueden integrar funciones de varias variables. Por ejemplo, dada la derivad

    fx(x, y) = 2xyentonces, considerando y constante, se puede integrar con respecto a x para obten

    Integrar con respecto a x.

    Mantener y constante.

    Sacar y como factor constante.

    Una primitiva (o antiderivada) de Zx es x2.C(y) es una funcin de y.

    f(x, y) = fx(x, y) dx

    = 2xy dx

    = v 2x dx

    = y(x2} + C(y)C(y).= x2y

    La "constante" de integracin, C(y), es una funcin de y. En otras palabras, al intejsrespecto a x, se puede recobrar f(x, y) slo parcialmente. Cmo recobrar totalmenacfuncin de x y y a partir de sus derivadas parciales es un tema que se estudiar en dtulo 15. Por ahora, lo que interesa es extender las integrales definidas a funciones de'variables. Por ejemplo, al considerar y constante, se puede aplicar el teorema fundadel clculo para evaluar

    2xy(dx^ x2y = (2y)2y - (l)2y = 4y3 - y.i x-' Ji

    x es la variablede integraciny y es fija.

    Sustituir x por El resultadolos lmites es una funcinde integracin. de y.

    De manera similar se puede integrar con respecto a y, manteniendo x fija. Ambos promientos se resumen como sigue.

    h,(y)fx(x, y)dx = f(x, y) = f(H2(y), y) - /(h^y), y) Con respecto a x.

    f(x, y) dy - f(x, y) = f(x, g2(x)) - f(x,"

    Con respecto a y.

    Ntese que la variable de integracin no puede aparecer en ninguno de los lmites degracin. Por ejemplo, no tiene ningn sentido escribir

    f y dx.

  • SECCIN 14.1 Integrales iteradas y rea en el plano 985

    EJEMPLO I Integrar con respecto a y

    rEvaluar (2x2y~2 + 2y) dy.

    Solucin Se considera x constante y se integra con respecto a y. con lo que se obtiener _ n 2 TT

    (2x2y~2 + 2y) dy = -- h y2 Integrar con respecto a y.L y Ji

    En el ejemplo 1 ntese que la integral define una funcin de x que puede ser integrada ellamisma, como se muestra en el ejemplo siguiente.

    EJEMPLO 2 La integral de una integral

    Ix2y~2 + 2y) dyEvaluar dx.

    Solucin Utilizando el resultado del ejemplo 1 , se tiene

    (2x2y-2 + 2y) dy dx = (3x2 - 2x - 1) dx

    Integrar con respecto a .r.

    = 3.

    Li rgin de integracin para

    f(x,y)dydxFera 14.1

    La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejem-plo 2 normalmente no se escriben. Las integrales iteradas se escriben normalmente como

    f d rh2(y), f ( x , y ) d y d x y j f ( x , y ) d x d y .

    'a Jg(x) Je JA,(y)

    Los lmites interiores de integracin pueden ser variables con respecto a la variable exte-rior de integracin. Sin embargo, los lmites exteriores de integracin deben ser cons-tantes con respecto a ambas variables de integracin. Despus de realizar la integracininterior, se obtiene una integral definida "ordinaria" y la segunda integracin produce unnmero real. Los lmites de integracin de una integral iterada definen dos intervalos paralas variables. As, en el ejemplo 2, los lmites exteriores indican que .v est en el intervalo1 < x < 2 y los lmites interiores indican que y est en el intervalo 1 < y < .v. Juntos, estosdos intervalos determinan la regin de integracin R de la integral iterada, como se mues-tra en la figura 14.1.

    Como una integral iterada es simplemente un tipo especial de integral definida, en elque el integrando es tambin una integral, se pueden utilizar las propiedades de las inte-grales definidas para evaluar integrales iteradas.

  • 986 Mfie

    J I 2W ' ~-dydx]a }g,(x)Regin verticalmente simpleFigura 14.2

    La regin est limitadao acotada porc

  • SECCIN 14.1 Integrales iteradas y rea en el plano 98"

    Regin rectangular

    b-a

    fcra 14.4

    eos x < y < sen JE

    rea =

    fisura 14.5

    Si los cuatro lmites de integracin son constantes, la regin de integracin es rectan-gular, como ocurre en el ejemplo 3.

    EJEMPLO 3 rea de una regin rectangularUtilizar una integral iterada para representar el rea del rectngulo que se muestra en lafigura 14.4.

    Solucin La regin de la figura 14.4 es verticalmente simple y horizontalmente simple.por tanto se puede emplear cualquier orden de integracin. Eligiendo el orden dy dx, seobtiene lo siguiente.

    fb -iddy dx = y\

    Ja Je Ja JcIntegrar con respecto a y.

    i*= (d -

    Jac) dx

    Integrar con respecto a x.

    = (d - c}(b - a)Ntese que esta respuesta es consistente con los conocimientos de la geometra.

    EJEMPLO 4 Hallar el rea por medio de una integral iterada

    Utilizar una integral iterada para hallar el rea de la regin limitada o acotada por las gr-ficas de

    f(x) = sen*g(x) = eos x

    X = 7T/4y X = 5TT/4.

    La curva seno constituye el lmite o cota superior.

    La curva coseno constituye el lmite o cota inferior.

    Solucin Como / y g se dan como funciones de x, es conveniente un rectngulo repre-sentativo vertical, y se puede elegir dy dx como orden de integracin, como se muestra enla figura 14.5. Los lmites exteriores de integracin son Tr/4 s * < 5iT/4. Dado que el rec-tngulo est limitado o acotado, superiormente por f(x) = sen x e inferiormente porg(x) = eos x, se tiene

    rSir/4 Tsenxrea de R = | dy dx

    JTT/4 JCOSX

    5TT/4 -isenxy\r/4 Jcosx Integrar con respecto a y.'5-7T/4

    (sen x eos x) dxTT/4

    = eos x sen x5-I7-/4

    77/4Integrar con respecto a .v.

    = 272.

    JHife La regin de integracin en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada porrectas. Por ejemplo, la regin de integracin que se muestra en la figura 14.5 es verticalmente sim-ple aun cuando no tiene rectas verticales como fronteras izquierda y derecha. Lo que hace que laregin sea verticalmente simple es que est limitada o acotada superiormente e inferiormente porgrficas defunciones de x.

  • 988 CAPITULO 14 Integracin mltiple

    Con frecuencia, uno de los rdenes de integracin hace que un problema de integMcin resulte ms sencillo de como resulta con el otro orden de integracin. Por ejempiJhacer de nuevo el ejemplo 4 con el orden dx dy; sorprender ver que la tarea es formidtalble. Sin embargo, si se llega al resultado, se ver que la respuesta es la misma. En coapalabras, el orden de integracin afecta la complejidad de la integracin, pero no el \?Mde la integral.

    a)

    2--

    R: 0 < y < 2\- < x < 4

    (4,2)

    b)Figura 14.6

    (4,2)

    1 2 t 3

    nVF >-s^ltc,) '

    EJEMPLO S Comparacin de diferentes rdenes de integracin

    Dibujar la regin cuya rea est representada por la integralC2 C4

    dxdy. ' "\. .' : :

    Despus hallar otra integral iterada que utilice el orden dy dx para representar la misma T.y mostrar que ambas integrales dan el mismo valor.

    Solucin De acuerdo con los lmites de integracin dados, se sabe que

    y S X 5S 4 Lmites interiores de integracin.

    lo cual significa que la regin R est limitada o acotada a la izquierda por la parbj-x = y2 y a la derecha por la recta x = 4. Adems, como

    O 2= y 2 Lmites exteriores de integracin.

    se sabe que R est limitada o acotada inferiormente por el eje x, como se muestra en -figura 14.6a. El valor de esta integral es

    r2 -14= | X \y Integrar con respecto a x.

    3 2 Integrar con respecto a y.

    Para cambiar el orden de integracin a dy dx, se coloca un rectngulo vertical en la regicn.como se muestra en la figura I4.6b. Con esto se puede ver que los lmites o cotas con*-1tantes O ^ x < 4 sirven como lmites exteriores de integracin. Despejando y de la ecna-|cin x = y2, se concluye que los lmites interiores son O < y < ^/x. Por tanto, el readJla regin tambin se puede representar por

    dy dx.o Jo

    Evaluando esta integral, se ve que tiene el mismo valor que la integral original.

    dy dx = I y \Jo Jo Jo Jo

    f4

    Integrar con respecto a y.

    fJo163 Integrar con respecto a x.

  • SECCIN 14.1 Integrales iteradas y rea en el plano 989

    Algunas veces no es posible calcular el rea de una regin con una sola integral itera-da. En estos casos se divide la regin en subregiones de manera que el rea de cada subre-gin pueda calcularse por medio de una integral iterada. El rea total es entonces la sumade las integrales iteradas.

    i TECNOLOGA Algunos paque- EJEMPLO 6 Un rea representada por dos integrales iteradasTK de software pueden efectuar inte-r-scin simblica de integrales como Hallar el rea de la regin R que se encuentra bajo la parbola2& del ejemplo 6. Tales programas se -

    y = 4x - x2^jeden utilizar para evaluar las inte-in-les de los ejercicios y ejemplos sobre el eje x, y sobre la rectaidos en esta seccin.

    La parbola forma el lmite o cota superior.

    y = -3x + 6. La recta y el eje x forman el lmite o cota inferior.

    Solucin Para empezar se divide R en dos subregiones Rl y R2 como se muestra en la figu-ra 14.7.

    = 4x-x2

    2 [4x-x ;-. (-4 Mjr-jf >.= i dy^dx] + ' dy^dx]h J-3X + 6 h J O

    Figura 14.7

    nr. En ios ejemplos 3 a 6, hayjue observar la ventaja de dibujar laregin de integracin. Se recomienda^sarrollar el hbito de hacer dibujosa>mo ayuda para determinar los lmites;e integracin de todas las integralesjsradas de este captulo.

    En ambas regiones es conveniente usar rectngulos verticales y se tiene

    n4x-x2 r4 f4x-x2dy dx + I dy dx-3x + 6 J2 JO

    = (4x - x2i

    - 6) dx + \x - x2)dxh

    El rea de la regin es 15/2 unidades cuadradas. Tratar de comprobar el resulta-do usando el procedimiento para hallar el rea entre dos curvas, que se present en la sec-

    En este punto, uno se puede preguntar para qu se necesitan las integrales iteradas.Despus de todo, ya se sabe usar la integracin convencional para hallar el rea de unaregin en el plano. (Por ejemplo, comparar la solucin del ejemplo 4 de esta seccin conla del ejemplo 3 en la seccin 7.1.) La necesidad de las integrales iteradas ser ms claraen la seccin siguiente. En esta seccin se presta especial atencin a los procedimientospara determinar los lmites de integracin de las integrales iteradas, y el conjunto de ejer-cicios siguiente est diseado para adquirir prctica en este procedimiento importante.

  • 990 CAPTULO 14 Integracin mltiple

    14.1 EjerciciosEn los ejercicios 1 a 10. evaluar la integral.

    C* Cx'1 1 y1 1 (.T + 2v) av 2. \ dy

    JO " " J.x Xpv feosj

    3. --dx. v > 0 4. ydxJi * ' Jor JL-J: f J^

    \ 1 3

    , "Pvbijr. , n Q 1J^7 2^ 2^7 1 " Ji i' ~ f l S I f 1 -|- T. 1 17YIm 1 fl-T. \ \J . . - 1 {* ' J / WJ"

    te * ' J-vr^?

    r rtr/2-.' 1yc~y/I dy ,- 10. 3 x eos y dxJyEn los ejercicios 11 a 30, evaluar la integral iterada.

    : : f1 f2 , , 11. U + >) dy dx 12. (x2 - y2) dy dxJo Jo J - i J - 2,-: r4

    13. (x2 - 2y2) dx dy 14. (x + y2) dx dyJ i Jo J - i J i

    1 fin 4 fin 3

    15. y eos x dydx 16. e*+y dy dxJo Jo Jo Jofir pen.i

    17. (1 + eos x) dy dx ,. -J O J O . . . . . . .:

    nv ; ' : ' . " ' : ' . . ; . '2ye-*dydxn -4 p2v/i - x2 dy dx 20. V64 - x3 dy dx1 J-4jo

    r5 ry/ i \1 3 + x2 + 7>-2 dx dyJ-Jo v 4-" ; J . . . : - . , - :.-n2y - -(W + 2x2 + 2y2)dxdy \ {

    23. * ' (x + y) dx dy 24. 3y dx dyJo Jo Jo J3y2-6y

    (2{^^ 2 3P 425. 1 1 , dx dy ZO. I I 2 i 2 ^ yJo Jo v 4 y Ji Jo ^ yr-ir/2 nms e r-rr/4 rVscose

    27. -t/rdtf 28. rdrdOJo Jo Jo JV5p/2 r

    29. SrdrdeJfl J O / . : , , . - . .

    (TT/4 reos 9 . , - . - - . . .30. 3r2 sen 6 dr M

    Jo Jo

    En los ejercicios 31 a 34, evaluar la integral iterada impropia.^ TA ra r=c 2

    11 I I -7-i- -/-i- T? 1 1 -A- -7i-jl. y ay ax - jz. ay axl i In n In 1 + VJ 1 JO r JO JO ^

    f f 1 f f

    33. dxdy 34. xye^ +> 'dxdy

    En los ejercicios 35 a 38, utilizar una integral iterada para ha-llar el rea de la regin.3 5 . > ' ' . ; ' , . / . 3 6 . y

    8 - - t ( l , 3 ) (2,3)- - . - . - . . . . . 1 -

    oo ^_

    4-7" v > -V

    2 i J j L. , , 1 , ( 1 , 1 ) (2,D

    f- '+ H \-*~* __4 -+-+ --+-- A-1 2 4 6 8 1 J 3

    37. > 38. >' j^ t y = 4-.v2 , 5| y~^\, \ +

    T \t 1 2

  • 992 CAPTULO 14 Integracin mltiple I14.2! Integrales dobles y volumen

    Superficie:

    Figura 14.8

    Utilizar una integral doble para representar el volumen de una regin slida.* Utilizar las propiedades de las integrales dobles.* Evaluar una integral doble como una integral iterada.* Hallar el valor promedio de una funcin sobre una regin.

    Integrales dobles y volumen de una regin slidaSe sabe que una integral definida sobre un intervalo utiliza un proceso de lmite para asig-nar una medida a cantidades como el rea, el volumen, la longitud de arco y la masa. Enesta seccin, se usar un proceso similar para definir la integral doble de una funcin dedos variables sobre una regin en el plano.

    Considrese una funcin continua / tal que f ( x , y) > O para todo (x, y) en una reginR del plano xy. El objetivo es hallar el volumen de la regin slida comprendida entre ksuperficie dada por

    Z = f(x, y) Superficie sobre el plano xy. - - ''y el plano xy, como se muestra en la figura 14.8. Para empezar se sobrepone una red :cuadricula rectangular sobre la regin, como se muestra en la figura 14.9. Los rectngulaque se encuentran completamente dentro de R forman una particin interior A, cu>norma ||A|| est definida como la longitud de la diagonal ms larga de los n rectngulo';.Despus, se elige un punto (x, y) en cada rectngulo y se forma el prisma rectangular cuyaltura es f(x, y;), como se muestra en la figura 14.10. Como el rea del /-simo rectngu-lo es

    AA;. rea del rectngulo '-simo.se sigue que el volumen del prisma /-simo es

    f (x, y) AA Volumen del prisma '-simo.y el volumen de la regin slida se puede aproximar por la suma de Riemann de kvolmenes de todos los n prismas,

    Suma de Riemann.

    como se muestra en la figura 14.11. Esta aproximacin se puede mejorar tomando redes rcuadriculas con rectngulos ms y ms pequeos, como se muestra en el ejemplo 1.

    Superficie: =f(x, y)

    f(xt,yt)

    Los rectngulos que se encuentran dentro de Rforman una particin interior de RFigura 14.9

    Prisma rectangular cuya base tiene un rea deA/4,, y cuya altura es f(x, y)Figura 14.10

    Volumen aproximado por prismasrectangularesFigura 14.11

  • SECCIN 14.2 Integrales dobles y volumen

    EJEMPLO / Aproximar el volumen de un slido

    Aproximar el volumen del slido comprendido entre el paraboloide

    Superficie:-

    y la regin cuadrada R dada por 0 < J t < l , 0 < ; y < l . Utilizar una particin for-mada por los cuadrados cuyos lados tengan una longitud de j.

    Solucin Para empezar se forma la particin especificada de 7?. En esta particin, es con-veniente elegir los centros de las subregiones como los puntos en los que se evala f(x, y).

    (i 1\1 3\ 5\1 7\ 8/ \8' 8/ V8' 8/ \8' 8^

    II L\3 3\3 5\3 T\' 8/ \&' 8/ \8' 8/ \8' 8/

    (' i) (~ -} (~ } i' Z)

    (2 I] (I 1\7 5\ T\o el rea de cada cuadrado es AA; = ^, el volumen se puede aproximar por la suma

    Figura 14.12

    0.672.

    Esta aproximacin se muestra grficamente en la figura 14.12. El volumen exacto del sli-do es 3 (ver el ejemplo 2). Se obtiene una mejor aproximacin si se usa una parti-cin ms fina. Por ejemplo, con una particin con cuadrados con lados de longitud Q, laaproximacin es 0.668.

    TECNOLOGA Algunas herramientas de graficacin tridimensionales pueden repre-sentar figuras como la mostrada en la figura 14.12. La grfica mostrada en la figura14.13 se dibuj con una herramienta de graficacin. En esta grfica, obsrvese que cadauno de los prismas rectangulares est dentro de la regin slida.

    En el ejemplo 1, hay que observar que, usando particiones ms finas, se obtienenmejores aproximaciones al volumen. Esta observacin sugiere que se podra obtener el

    y volumen exacto tomando un lmite. Es decir,

    n

    Volumen = lm \f(x,,y,)&At.M A M . ^ JJ ^ l *l' lEl significado exacto de este lmite es que el lmite es igual a L si para todo e > O existeun 8 > O tal que

    L- < e

    para toda particin A de la regin plana R (que satisfaga ||A|| < 8) y para toda eleccinposible de x y y en la regin /-sima.

    El uso del lmite de una suma de Riemann para definir un volumen es un caso espe-cial del uso del lmite para definir una integral doble. Sin embargo, el caso general norequiere que la funcin sea positiva o continua.

  • 994 CAPTULO 14 Integracin mltiple

    E X P L O R A C I NLas cantidades en la tabla represen-tan la profundidad O para todo (x, y) en R,entonces el volumen de la regin slida que se encuentra sobre R y bajo la grficade / se define como

    V = I \f(x,y)dA.JRJ

    Propiedades de las integrales doblesLas integrales dobles tienen muchas de las propiedades de las integrales simples.

    TEOREMA 14,1 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLESSean / y g continuas en una regin cerrada y acotada R del plano, y sea c una cons-tante.

    cf(x, y)dA = c\, y) dAJRJ JRJ

    2. f [[/(*, y) g(x, y)] dA = \ y) dA + f \g(x, y] dAJRJ JRJ JRJ

    3. f(x, y) dA > O, si f ( x , y) > O

    4. f(x, y)dA> \ y) dA, si f(x, y) > g(x, y)Dos regiones no se sobreponen si su intersec-cin es un conjunto de rea 0. En esta figura,el rea del segmento de la recta comn a R{ y

    Figura 14.14

    5- f(x, >') dA = f(x, y) dA + f(x, y) dA, donde R es la unin de ckJRJ Js,J JR2Jsubregiones Rl y R2 que no se sobreponen.

  • SECCIN 14.2 Integrales dobles y volumen 995

    Base: y =

    Botamen:

    Figura 14.

    transversaltriangular

    A(x) dxo

    15

    = 0

    Seccin transversal triangularfigura 14.16

    Evaluacin de integrales doblesNormalmente, el primer paso para evaluar una integral doble es reescribirla como una inte-gral iterada. Para mostrar cmo se hace esto, se utiliza el modelo geomtrico de una in-tegral doble: el volumen de un slido.

    Considrese la regin slida acotada por el plano z = f ( x , y) = 2 x 2y y por lostres planos coordenados, como se muestra en la figura 14.15. Cada seccin transversal ver-tical paralela al plano yz es una regin triangular cuya base tiene longitud y = (2 x)/2 ycuya altura es z 2 x. Esto implica que para un valor fijo de x, el rea de la seccintransversal triangular es

    A(x) = (base)(altura) =- x) =

    De acuerdo con la frmula para el volumen de un slido de secciones transversales cono-cidas (seccin 7.2), el volumen del slido es

    dx

    Volumen = | A(x) dx

    -r(2 - 3 i2-2

    "Jo - 3'12

    Este procedimiento funciona sin importar cmo se obtenga A(x). En particular, A(.r) sepuede hallar por integracin, como se muestra en la figura 14.16. Es decir, se considera .\, y se integra z = 2 - x - 2y desde O hasta (2 - x)/2 para obtener

    f(2-x)/2A(x) = \

    Jo

    = [(2 - x)y - /I(2 -

    Combinando estos resultados, se tiene la integral iteradar r p r(2-*)/2

    Volumen = /(*, y) dA = ' (2 - x - 2y) dy dx.JRJ Jo Jo

    Para comprender mejor este procedimiento, se puede imaginar la integracin como dosbarridos. En la integracin interior, una recta vertical barre el rea de una seccin trans-versal. En la integracin exterior, la seccin transversal triangular barre el volumen, comose muestra en la figura 14.17.

    itegrar con respecto a y para obtener el rea de la seccin transversalFigura 14.17

    Integrar con respecto a .v para obtener el volumen del slido

  • 996 CAPTULO 14 Integracin mltiple

    El teorema siguiente lo demostr el matemtico italiano Guido Fubini (1879-1943El teorema establece que si R es vertical u horizontalmente simple y / es continua en R.integral doble de / en R es igual a una integral iterada.

    TEOREMA 14.2 TEOREMA DE FUBINI

    Sea / continua en una regin plana R.

    1. Si R est definida por a < x < byg{(x) < y < g2(x), donde g1 y g2 son continuasen [a, b], entonces

    f(x, y)dA =2M

    f(x,y)dydx.

    2. Si R est definida por c < y < d y h^y) < x < h2(y), donde hl y h2 son conti-nuas en [c, d], entonces

    cd rh2(y)f(x,y)dA= \

    Rj Je Jhfy)

    R:0

  • SECCIN 14.2 Integrales dobles y volumen 99"

    X P LO R A C I O N ..... 11

    El volumen de un sectorde paraboloideEl slido del ejemplo 3 tiene unabase elptica (no circular). Consi-derar la regin limitada o acotadapor el paraboloide circular ; S ^^

    z = a xr y , na >

    y el plano xy. Cuntas maneras dehallar el volumen de este slido seconocen ahora? Por ejemplo, sepodra usar el mtodo del disco paraencontrar el volumen como un sli-do de revolucin. Todos los mto-dos emplean integracin?

    La dificultad para evaluar una integral simple Ja f(x) dx depende normalmente de lafuncin /, y no del intervalo [a, b]. Esta es una diferencia importante entre las integralessimples y las integrales dobles. En el ejemplo siguiente se integra una funcin similar a lade los ejemplos 1 y 2. Ntese que una variacin en la regin R lleva a un problema de inte-gracin mucho ms difcil.

    EJEMPLO 3 Hallar el volumen por medio de una integral doble

    Hallar el volumen de la regin slida acotada por el paraboloide z = 4 - x2 - 2y2 y elplano xy.

    Solucin Haciendo z = O, se ve que la base de la regin, en el plano xy, es la elipsex2 + 2y2 = 4, como se muestra en la figura 14.19a. Esta regin plana es vertical y hori-zontalmente simple, por tanto el orden dy dx es apropiado.

    Lmites o cotas variables para y:

    Lmites o cotas constantes para x: 2 < x < 2El volumen est dado por

    V = (4 - x2 - 2y2} dy dx Ver figura 14.19b.

    ~ 3V2U6= 4V277.

    Frmula de Wallis.

    En el ejemplo 3, observar laiclidad de la frmula de Wallis paraevaluar J^/2 eos" 6 d8. Esta frmula seacede consultar en la seccin 8.3.

    Superficie:

    a)Figura 14.19

    b)

  • 998 CAPTULO 14 Integracin mltiple

    En los ejemplos 2 y 3, los problemas se podran haber resuelto empleando cualquierade los rdenes de integracin porque las regiones eran vertical y horizontalmente simpfci-En caso de haber usado el orden dx dy se habran obtenido integrales con dificultad naparecida. Sin embargo, hay algunas ocasiones en las que uno de los rdenes de integracwBJes mucho ms conveniente que otro. El ejemplo 4 muestra uno de estos casos.

    Superficie:

    z = 0::

    x= 1

    La base est acotada por y = O, y = x y.v = 1Figura 14.20

    EJEMPLO 4 Comparacin de diferentes rdenes de integracin

    Hallar el volumen de la regin slida R acotada por la superficie

    f(x, y) = e~x Superficie.y los planos z = O, y = O, y = xy x = 1, como se muestra en la figura 14.20.

    Solucin La base de R en el plano xy est acotada por las rectas y = O, xy = x. Los dos posibles rdenes de integracin se muestran en la figura 14.21.

    = 1

    ! R:0

  • SECCIN 14.2 Integrales dobles y

    Paraboloide:-=\-x2-y2

    Plano:

    i

    T T-' : Bflhh,-.

    R: 0 2y - 1 = sen 0.

    JT/2

    IV) = 6/V16/ ~ 32" Frmula de Wallis.

    Valor promedio de una funcinRecordar de la seccin 4.4 que para una funcin/en una variable, el valor promedio de/sobre [a, b] es

    U-aja f(x) dx.

    Dada una funcin de/en dos variables, se puede encontrar el valor de/sobre la regin Rcomo se muestra en la siguiente definicin.

    DEFINICIN DEL VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIN SOBRE UNA REGINSi /es integrable sobre la regin plana R, entonces el valor promedio de /sobre Res

    donde A es el rea de R.

  • SECCIN 14.6 Integrales triples y aplicaciones 1027

    14.6 Integrales triples y aplicaciones

    jtegin slida Q

    ^friumen de Q~Figura 14.52

    " Utilizar una integral triple para calcular el volumen de una regin slida. Hallar el centro de masa y los momentos de inercia de una regin slida.

    Integrales triplesEl procedimiento utilizado para definir una integral triple es anlogo al utilizarlo paraintegrales dobles. Considerar una funcin / en tres variables que es continua sobre unaregin slida acotada Q. Entonces, se encierra Q en una red de cubos y se forma una par-ticin interna que consta de todos los cubos que quedan completamente dentro de Q,como se muestra en la figura 14.52. El volumen del /-simo cubo es

    AV- = Volumen del '-simo cubo.

    La norma |JA|| de la particin es la longitud de la diagonal ms larga en los n cubos de lay particin. En cada cubo se elige un punto (x, y, z) y se forma la suma de Riemann

    Tomando el lmite cuando - O se llega a la siguiente definicin.

    DEFINICIN DE INTEGRAL TRIPLESi / es continua sobre una regin slida acotada Q, entonces la integral triple de/

    / sobre Q se define como /

    siempre que el lmite exista. El volumen de la regin slida Q est dado por

    Volumen de Q = I I dV.Q

    Algunas de las propiedades de las integrales dobles expuestas en el teorema 14.1pueden replantearse en trminos de integrales triples.

    f f fcf(x,y,)dV=c\

    Q Qf f f f f f2. I [/(*, v, z) g(x, y, z)] dV = I f(x, y, z) dV

    J J J J J J JQ Q Q

    3. f ( x , y , z ) d V = J \f(x,y,z)dV+ i /(*,?, z)

  • 1028 CAPTULO 14 Integracin mltiple

    E X P L O R A C I O N

    Volumen de un sector paraboloideEn las pginas 997 y 1006. se pidiresumir las diferentes formas estu-diadas hasta ahora para hallar elvolumen del slido limitado o aco-tado por el paraboloide

    Z = af r y2, a > O

    y el plano x\. Ahora se conoce unmtodo ms. Utilizarse para hallarel volumen del slido.

    jf

    I

    La versin siguiente del teorema de Fubini describe una regin que es considerad!simple con respecto al orden dz dy dx. Para los otros cinco rdenes pueden formularsedescripciones similares.

    TEOREMA 14,4 EVALUACIN MEDIANTE INTEGRALES ITERADASSea/continua en una regin slida definida por Q

    a

  • SECCIN 14.6 Integrales triples y aplicaciones 1029

    z = g2(x, y)

    Proyeccin sobre el plano xy

    _a regin slida Q se encuentra entre dos:perficiesFigura 14.53

    Elipsoide: 4x2 + 4y2 + z2 = 16

    ara 14.54

    0

  • 1030 CAPTULO 14 Integracin mltiple

    El ejemplo 2 es poco usual en el sentido de que con los seis posibles rdenes de inte-gracin se obtienen integrales de dificultad comparable. Tratar de emplear algn otro delos posibles rdenes de integracin para hallar el volumen del elipsoide. Por ejemplo, coael orden dx dy dz se obtiene la integral

    V =o Jo

    dx dy dz.

    Si se resuelve esta integral, se obtiene el mismo volumen que en el ejemplo 2. Esto ^'siempre as; el orden de integracin no afecta el valor de la integral. Sin embargo, el orde:de integracin a menudo afecta la complejidad de la integral. En el ejemplo 3, el orden integracin propuesto no es conveniente, por lo que se puede cambiar el orden para sim-plificar e l problema, i . - , ! ' - . - .

    EJEMPLO 3 Cambiar el orden de integracin

    Evaluar sen (y2) dz dy dx.

    Solucin Obsrvese que despus de una integracin en el orden dado, se encontrara Uintegral 2 / sen (y2) dy, que no es una funcin elemental. Para evitar este problema, se cam-bia el orden de integracin a dz dx dy, de manera que y sea la variable exterior. Como semuestra en la figura 14.56, la regin slida Q est dada por

    O < x * 1 ' _ _forma cilindrica es

    f(x,y,z)dV =e Jgi(8) J hircos 9, rsm

    f(rcos6,rsend,z)rdzdrdO.

    !: Este es slo uno de los seis posibles rdenes de integracin. Los otros cinco son dz Adr dz dd, dr de dz, dO dz dr y dQdrdz.

  • SECCIN 14.7 Integrales triples en coordenadas cilindricas y esfricas 1039

    |=ofcegrar con respecto a r

    - = jiitegrar con respecto a

    Para visualizar un orden de integracin determinado ayuda contemplar la integral ite-rada en trminos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega una dimen-sin al slido. Por ejemplo, en el orden dr dB dz, la primera integracin ocurre en la direccinr, aqu un punto barre (recorre) un rayo. Despus, a medida que 6 aumenta, la recta barre(recorre) un sector. Por ltimo a medida que z aumenta, el sector barre (recorre) una cuaslida como se muestra en la figura 14.64.

    IIB:sa::::Sk'::!gfsr;a=Sai ; i E X P L O R A C I NVolumen de un sector paraboloide En laspginas 997, 1006 y 1028, se pidi resumir rftC las formas, conocidas para hallarel volumen del slido acotado porel paraboloide

    ,z = a2-x2-y2, a>Qy el plano xy. Ahora ya se conoce un mtodoms. Utilcese para hallar el volumen del slido.Comparar los diferentes mtodos. Culesson las ventajas y desventajas de cada uno?

    Integrar con respecto a zFigura 14.64

    Esfera:"* 2 2 _ A

    Figura 14.65

    Cilindro:r = 2 sen

    EJEMPLO I Hallar el volumen empleando coordenadas cilindricas

    Hallar el volumen de la regin slida Q que corta en la esfera x1 + y2 + z2 = 4 el cilin-dro r = 2 sen O, como se muestra en la figura 14.65.

    Solucin Como x2 + y2 + z2 = r2 + z2 = 4, los lmites o cotas de z son

    Sea R la proyeccin circular del slido sobre el plano rO. Entonces los lmites o cotas deR son 0 < r < 2 s e n 0 y O < 9 < 77. Por tanto, el volumen de Q es

    'TT C2 sen 9

    "fJo Jofir/2 rtsene /V4-r2

    = 2 I I _rdJo Jo J-V?^

    /7T/2 "2 sen O

    = 2 2rV4 - r2Jo Jo

    r dz dr dB

    drdQ

    Irdd

    = 2- ( 4 - r *

    ' Jo

    = \\'J Jo -8 eos3 e) de""/232 r

    = i [1 - (eos 0)(1 - sen2 9)] d8J Jo

    sen3 6= I 6 - sen O +

    r -4 )9.644.

  • SECCIN 14.7 Integrales triples en coordenadas cilindricas y esfricas 1041

    que esfrico:^p/sen

    lira 14.68

    Integrales triples en coordenadas esfricasLas integrales triples que involucran esferas o conos son a menudo ms fciles decalcular mediante la conversin a coordenadas esfricas. Recordar que en la seccin 11.7se vieron las ecuaciones rectangulares para conversin a coordenadas esfricas

    x = p sen 0 eos 9y = p sen sen 9z = p eos .

    En este sistema de coordenadas, la regin ms simple es un bloque esfrico determinadopor

    {(p, 9, (p)'. PJ < p < p2, QI 9 < 62, 'i 4* 4*2}donde pl > O, 92 91 < 2 7 r y O < ^> < 2 TT, como se muestra en la figura 14.68. Si(p, 9, (j)) es un punto en el interior de uno de estos bloques, entonces el volumen del bloquepuede ser aproximado por AV ~ p2 sene/ Ap A A0 (ver ejercicio 18 en los ejercicios desolucin de problemas de este captulo).

    Utilizando el proceso habitual que comprende una particin interior, una suma y unlmite, se desarrolla la versin siguiente de una integral triple en coordenadas esfricaspara una funcin continua / en la regin slida Q.

    f f f P2 P2 P21 I /fe y> ) dV = I j /(p sen eos 9, p sen sen 9, p eos t^p2 sen 4> dp d dB.J J J Je Jtf Jpi

    Esta frmula puede modificarse para emplear diferentes rdenes de integracin y se puedegeneralizar a regiones con lmites o cotas variables.

    Como las integrales triples en coordenadas cilindricas, las integrales triples en coor-denadas esfricas se evalan empleando integrales iteradas. Como sucede con las coorde-nadas cilindricas, se puede visualizar un orden determinado de integracin contemplandola integral iterada en trminos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agre-ga una dimensin al slido. Por ejemplo, la integral iterada

    T7T/4

    (que se us en el ejemplo 4) se ilustra en la figura 14.69.

    p vara desde O hasta 3 mientras (f> y 6 4> vara desde O hasta - 4 Q varia desde O hasta 2 77se mantienen constantes mientras 9 se mantiene cons-Figura 14.69 tante

    ?""- Cuando la letra griega p se emplea en coordenadas esfricas no est relacionada con la den-sidad. Es la anloga tridimensional de la r que se utiliza en coordenadas polares. En este texto, enlos problemas en los que se empleen coordenadas esfricas y una funcin de densidad, se usar unsmbolo diferente para denotar la densidad.

  • 1042 CAPTULO 14 Integracin mltiple

    Hoja superiordel cono:

    Figura 14.70

    Esfera:2 2 2jr + y + z = 9

    EJEMPLO 4 Hallar un volumen en coordenadas esfricas

    Hallar el volumen de la regin slida Q limitada o acotada interiormente por la hoja supe-rior del cono z2 = x2 + y2 y superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 9, como semuestra en la figura 14.70.

    Solucin En coordenadas esfricas, la ecuacin de la esfera es

    p2 = x2 + y2 + z2 = 9 O* p = 3.

    La esfera y el cono se cortan cuando

    (x2 + y2) + z2 = (z2) + z2 = 9 ~ z = ~| - y, como z = p eos 4>, se tiene que

    * = 4'

    Por consiguiente, se puede utilizar el orden de integracin dp d d9, donde O < p< 3, O < $ < TT/4 y O < 0 < 27T. El volumen es

    r2ir -ir/4 T3

    dV= \2sen(f)dpd4>d9Q2-rr fTr/4

    'o Jo Jo

    O JO9sen