Matematica III-Integrales Dobles y Triples

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  • ntegracin mltiplecaptulo se introduce el concepto

    ! e 5 dobles sobre regiones en el: r.:egrales triples sobre regiones

    --..10.r - - .ptulo, se aprender:

    i evaluar una integral iterada y el rea de una regin plana.

    o usar una integral doble paraontrar el volumen de una reginda. (14.2)

    L.:mo escribir y evaluar integralesobles en coordenadas polares. (14.3)

    Como encontrar la masa de una lminapiaa, el centro de masa de unaiirrjna plana y los momentos deinercia usando integrales dobles. (14.4)lomo usar una integral doble paraencontrar el rea de una superficie.(14.5)

    I rrno usar una integral triple paraencontrar el volumen, centro de masa

    nomentos de inercia de una regin:!ida. (14.6)

    Cmo escribir y evaluar integralestriples en coordenadas cilindricas yr-fricas. (14.7)

    Cmo usar un jacobiano para cambiarvariables en una integral doble. (14.8)

    Langley Pbotography/Getty Images

    El centro de presin de una vela es ese punto en el cual la fuerza totalaerodinmica puede considerarse que acta. Ya que la vela es representada poruna regin plana, cmo se pueden usar las integrales dobles para encontrar elcentro de presin sobre una vela? (Ver seccin 14.4, seccin proyecto.)

    Se puede aproximar el volumen de una regin slida encontrando la suma de los volmenes de prismasrectangulares representativos. Como aumenta el nmero de prismas rectangulares, la aproximacin tiende a serms y ms exacta. En el captulo 14 se aprender a usar integrales mltiples para encontrar el volumen de unaregin slida.

    983

  • CAFIULO14 taegracin mltiple

    14.1 Integrales iteradas y rea en el planoEvaluar una integral iterada.Utilizar una integral iterada para hallar el rea de una regin plana.

    Ec os captulos 14 y 15 sei varias aplicaciones de la

    i de funciones de varias >;e captulo es muy similar

    . _ : : _ : ~ ya que ilustra el uso de laji:;r;;:n para hallar reas planas,-.ctmenes. reas de superficies,momentos v centros de masa.

    Integrales iteradasEn el captulo 13 se vio cmo derivar funciones de varias variables con respesvariable manteniendo constantes las dems variables. Empleando un procedimialar se pueden integrar funciones de varias variables. Por ejemplo, dada la derivad

    fx(x, y) = 2xyentonces, considerando y constante, se puede integrar con respecto a x para obten

    Integrar con respecto a x.

    Mantener y constante.

    Sacar y como factor constante.

    Una primitiva (o antiderivada) de Zx es x2.C(y) es una funcin de y.

    f(x, y) = fx(x, y) dx

    = 2xy dx

    = v 2x dx

    = y(x2} + C(y)C(y).= x2y

    La "constante" de integracin, C(y), es una funcin de y. En otras palabras, al intejsrespecto a x, se puede recobrar f(x, y) slo parcialmente. Cmo recobrar totalmenacfuncin de x y y a partir de sus derivadas parciales es un tema que se estudiar en dtulo 15. Por ahora, lo que interesa es extender las integrales definidas a funciones de'variables. Por ejemplo, al considerar y constante, se puede aplicar el teorema fundadel clculo para evaluar

    2xy(dx^ x2y = (2y)2y - (l)2y = 4y3 - y.i x-' Ji

    x es la variablede integraciny y es fija.

    Sustituir x por El resultadolos lmites es una funcinde integracin. de y.

    De manera similar se puede integrar con respecto a y, manteniendo x fija. Ambos promientos se resumen como sigue.

    h,(y)fx(x, y)dx = f(x, y) = f(H2(y), y) - /(h^y), y) Con respecto a x.

    f(x, y) dy - f(x, y) = f(x, g2(x)) - f(x,"

    Con respecto a y.

    Ntese que la variable de integracin no puede aparecer en ninguno de los lmites degracin. Por ejemplo, no tiene ningn sentido escribir

    f y dx.

  • SECCIN 14.1 Integrales iteradas y rea en el plano 985

    EJEMPLO I Integrar con respecto a y

    rEvaluar (2x2y~2 + 2y) dy.

    Solucin Se considera x constante y se integra con respecto a y. con lo que se obtiener _ n 2 TT

    (2x2y~2 + 2y) dy = -- h y2 Integrar con respecto a y.L y Ji

    En el ejemplo 1 ntese que la integral define una funcin de x que puede ser integrada ellamisma, como se muestra en el ejemplo siguiente.

    EJEMPLO 2 La integral de una integral

    Ix2y~2 + 2y) dyEvaluar dx.

    Solucin Utilizando el resultado del ejemplo 1 , se tiene

    (2x2y-2 + 2y) dy dx = (3x2 - 2x - 1) dx

    Integrar con respecto a .r.

    = 3.

    Li rgin de integracin para

    f(x,y)dydxFera 14.1

    La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejem-plo 2 normalmente no se escriben. Las integrales iteradas se escriben normalmente como

    f d rh2(y), f ( x , y ) d y d x y j f ( x , y ) d x d y .

    'a Jg(x) Je JA,(y)

    Los lmites interiores de integracin pueden ser variables con respecto a la variable exte-rior de integracin. Sin embargo, los lmites exteriores de integracin deben ser cons-tantes con respecto a ambas variables de integracin. Despus de realizar la integracininterior, se obtiene una integral definida "ordinaria" y la segunda integracin produce unnmero real. Los lmites de integracin de una integral iterada definen dos intervalos paralas variables. As, en el ejemplo 2, los lmites exteriores indican que .v est en el intervalo1 < x < 2 y los lmites interiores indican que y est en el intervalo 1 < y < .v. Juntos, estosdos intervalos determinan la regin de integracin R de la integral iterada, como se mues-tra en la figura 14.1.

    Como una integral iterada es simplemente un tipo especial de integral definida, en elque el integrando es tambin una integral, se pueden utilizar las propiedades de las inte-grales definidas para evaluar integrales iteradas.

  • 986 Mfie

    J I 2W ' ~-dydx]a }g,(x)Regin verticalmente simpleFigura 14.2

    La regin est limitadao acotada porc

  • SECCIN 14.1 Integrales iteradas y rea en el plano 98"

    Regin rectangular

    b-a

    fcra 14.4

    eos x < y < sen JE

    rea =

    fisura 14.5

    Si los cuatro lmites de integracin son constantes, la regin de integracin es rectan-gular, como ocurre en el ejemplo 3.

    EJEMPLO 3 rea de una regin rectangularUtilizar una integral iterada para representar el rea del rectngulo que se muestra en lafigura 14.4.

    Solucin La regin de la figura 14.4 es verticalmente simple y horizontalmente simple.por tanto se puede emplear cualquier orden de integracin. Eligiendo el orden dy dx, seobtiene lo siguiente.

    fb -iddy dx = y\

    Ja Je Ja JcIntegrar con respecto a y.

    i*= (d -

    Jac) dx

    Integrar con respecto a x.

    = (d - c}(b - a)Ntese que esta respuesta es consistente con los conocimientos de la geometra.

    EJEMPLO 4 Hallar el rea por medio de una integral iterada

    Utilizar una integral iterada para hallar el rea de la regin limitada o acotada por las gr-ficas de

    f(x) = sen*g(x) = eos x

    X = 7T/4y X = 5TT/4.

    La curva seno constituye el lmite o cota superior.

    La curva coseno constituye el lmite o cota inferior.

    Solucin Como / y g se dan como funciones de x, es conveniente un rectngulo repre-sentativo vertical, y se puede elegir dy dx como orden de integracin, como se muestra enla figura 14.5. Los lmites exteriores de integracin son Tr/4 s * < 5iT/4. Dado que el rec-tngulo est limitado o acotado, superiormente por f(x) = sen x e inferiormente porg(x) = eos x, se tiene

    rSir/4 Tsenxrea de R = | dy dx

    JTT/4 JCOSX

    5TT/4 -isenxy\r/4 Jcosx Integrar con respecto a y.'5-7T/4

    (sen x eos x) dxTT/4

    = eos x sen x5-I7-/4

    77/4Integrar con respecto a .v.

    = 272.

    JHife La regin de integracin en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada porrectas. Por ejemplo, la regin de integracin que se muestra en la figura 14.5 es verticalmente sim-ple aun cuando no tiene rectas verticales como fronteras izquierda y derecha. Lo que hace que laregin sea verticalmente simple es que est limitada o acotada superiormente e inferiormente porgrficas defunciones de x.

  • 988 CAPITULO 14 Integracin mltiple

    Con frecuencia, uno de los rdenes de integracin hace que un problema de integMcin resulte ms sencillo de como resulta con el otro orden de integracin. Por ejempiJhacer de nuevo el ejemplo 4 con el orden dx dy; sorprender ver que la tarea es formidtalble. Sin embargo, si se llega al resultado, se ver que la respuesta es la misma. En coapalabras, el orden de integracin afecta la complejidad de la integracin, pero no el \?Mde la integral.

    a)

    2--

    R: 0 < y < 2\- < x < 4

    (4,2)

    b)Figura 14.6

    (4,2)

    1 2 t 3

    nVF >-s^ltc,) '

    EJEMPLO S Comparacin de diferentes rdenes de integracin

    Dibujar la regin cuya rea est representada por la integralC2 C4

    dxdy. ' "\. .' : :

    Despus hallar otra integral iterada que utilice el orden dy dx para representar la misma T.y mostrar que ambas integrales dan el mismo valor.

    Solucin De acuerdo con los lmites de integracin dados, se sabe que

    y S X 5S 4 Lmites interiores de integracin.

    lo cual significa que la regin R est limitada o acotada a la izquierda por la parbj-x = y2 y a la derecha por la recta x = 4. Adems, como

    O 2= y 2 Lmites exteriores de integracin.

    se sabe que R est limitada o acotada inferiormente por el eje x, como se muestra en -figura 14.6a. El valor de esta integral es

    r2 -14= | X \y Integrar con respecto a x.

    3 2 Integrar con respecto a y.

    Para cambiar el orden de integracin a dy dx, se coloca un rectngulo vertical en la regicn.como se muestra en la figura I4.6b. Con esto se puede ver que los lmites o cotas con*-1tantes O ^ x < 4 sirven como lmites exteriores de integracin. Despejando y de la ecna-|cin x = y2, se concluye que los lmites interiores son O < y < ^/x. Por tanto, el readJla regin tambin se puede representar por

    dy dx.o Jo

    Evaluando es