of 18 /18
Sergio Yansen Núñez Sergio Yansen Núñez Aplicaciones de Integrales dobles y triples Actividad 1 Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es de su " % distancia al eje y su volumen está encerrado por las superficies: D B bC b ÐD c "!Ñ œ "! # # # # con 9 B bC œD # # # con B bC œ "!D D ! # # # Dœ*ßDœ! En coordenadas cilíndricas en orden , .D.<. .<.D. ) ) Actividad 2 Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa del cuerpo limitado por: B bC bD œ* # # # DœBbC # # D œB bC # # # D œ $ÐB b C Ñ # # # con . C ! Sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia del T œ ÐBß Cß DÑ punto al origen. T Use coordenadas esféricas. Actividad 3 Plantee en coordenadas cilíndricas, la(s) integral(es) para calcular la masa de la región V encerrada por las superficies , ; si la densidad en cada punto es Dœ+cC D œ #B b C # # # # proporcional a la distancia al eje . D

Aplicaciones de Integrales dobles y triples · PDF fileSergio Yansen Núñez Sergio Yansen Núñez Aplicaciones de Integrales dobles y triples Actividad 1 Plantee la(s) integral(es)

  • Author
    hanhu

  • View
    223

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Aplicaciones de Integrales dobles y triples · PDF fileSergio Yansen Núñez...

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    Aplicaciones de Integrales dobles y triples

    Actividad 1

    Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es de su"%distancia al eje y su volumen est encerrado por las superficies:D

    B C D "! "!# # # #

    con 9B C D D # # #

    con B C "!D D !# # #

    D * D !

    En coordenadas cilndricas en orden , .D.

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    Actividad 4

    Calcule el momento polar de inercia de la regin del plano limitada por ,BC B C "# #B C * BC # BC %# # , , suponiendo la densidad unitaria.

    Actividad 5

    Determine el centro de masa de la regin limitada por la superficie , y losV D % B#planos , , , , suponiendo que la densidad es constante igual a .B ! C ! C ' D ! 5

    Actividad 6

    a) Determine el centro de masa de la regin homognea limitada por dosVsuperficies dadas en coordenadas esfricas: superiormente por e3 +inferiormente por , donde y son constantes. Suponga que la densidad es9 ! ! +5.

    b) Mediante coordenadas esfricas, plantee la(s) integrale(s) que permita(n) calcularla masa de suponiendo que la densidad del casquete esfrico, que correponde aVla parte superior de , es , y en la parte limitada por el cono, que corresponde aV 5"la parte inferior de , es con . Considere 2 y .V 5 5 5 + # " # 9 1%

    Actividad 7

    Consideremos el slido de densidad uniforme acotado por y los planos5 B C '# #D ! D * y . Calcule el momento de inercia respecto del eje .B

    Actividad 8

    Determine el centroide de un slido de densidad constante igual a , el cual est limitado5por , , y .B C B D D ! B "#

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    Actividad 9

    Una bola unitaria consiste en dos semibolas pegadas. Una semibola tiene la densidadconstante y la otra bola tiene una densidad constante $ $" #

    a) Determine las coordenadas del centro de masa.

    b) Escriba la integral que permite calcular el momento de inercia de la bola unitaria,cuando rota en torno al eje .^

    c) Sea , paralelo al eje , el eje de rotacin perpendicular al plano de unin de lasP ^dos semibolas, tal que .P F96+ F

    De acuerdo a la expresin obtenida en (b), qu distancia de al eje ,P ^corresponde al momento de inercia minimal y qu distancia de al eje ,P ^corresponde al momento de inercia maximal?

    Actividad 10

    Consideremos un slido que contiene un cubo de arista igual a 1 y de densidad igual a 1,y un cilindro de radio , de longitud 2 y de densidad 2, que atraviesaV "#perpendicularmente el cubo y cuyo eje pasa por dos caras opuestas y por su centro. Este sistema gira alrededor del eje del cilindro con velocidad angular .A Si la Eerga Cintica est dada por la frmula , donde es la velocidad angularI AMA

    #

    #

    e es el momento de Inercia, se pide:M Plantear la(s) integral(es) que permitan calcular la Energa Cintica del sistema. Debeusar coordenadas cilndricas en el orden ..D.

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    Resolucin

    1.

    $B C D B C

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    2.

    , donde es una constante.$ 3B C D 5 B C D 5 5 # # # Intersecciones:

    B C D * D D $B C

    # # #

    # # #

    #(#

    B C D * D D B C

    # # #

    # # #

    $

    #

    D B C D ! D "D B C# #

    # # #

    D B C D ! D $D $B C # #

    # # #

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    B C D * D D B C

    # # #

    # #

    " $(#

    D $B C # # # 9 1'

    con 9# - +

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    3.

    , donde es una constante.$B C D 5 B C 5< 5 # # D + C + < =/8 # # # # # )

    D #B C #< -9= < =/8 < -9= "# # # # # # # #) ) )

    Sea la masa del slido.7

    Mediante simetra:

    7 % 5< .D.

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    4. M B C .E9 V# #' '

    Considerando la siguiente transformacin:

    ? B C# # @ BC

    `[email protected]`BC #B C #B #CC B # #

    `BC `BC`[email protected] #B C `[email protected] #" " B C # # # # M B C .E [email protected]? )9 V

    # #' ' ' '" # #* % "

    El momento polar es .)

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    5.

    Sea la masa total.Q

    Q 5.D.C.B $#5' ' '! ! !

    # ' %B#

    B ' ' '! ! !

    # ' %B#

    5B.D.C.B $%Q

    C $' ' '! ! !

    # ' %B#

    5C.D.C.BQ

    D ' ' '! ! !

    # ' %B#

    5D.D.C.B )&Q

    Las coordenadas del centro de masa son: $ )% & $

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    6. a)

    Sea la masa de .Q V

    Q 5 =/8 . . . " -9= ' ' '! ! ! $# + # + 51 ! 1

    3 9 3 9 ) !#$

    Por simetra, B C !

    +D +" -9= ' ' '! ! !# + $ #1 ! 5 -9= =/8 . . . =/8

    "-9=

    3 9 9 3 9 ) !

    !Q

    1

    1

    + 5%

    %

    # + 5$

    $

    $) !

    Las coordenadas del centro de masa son: + ! ! +" -9= $) ! b) Interseccin: B C D % D #D B C

    # # #

    # #

    D # -9= # 3 9 3 #-9= 9 Q 5 =/8 . . . 5 =/8 . . .' ' ' ' ' '! !

    # #! ! !

    1 11 1

    9

    9% %#

    -9=

    #-9=

    2

    " ## #3 9 3 9 ) 3 9 3 9 )

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    7.

    M C D .ZB V# #' ' ' 5

    . < =/8 D

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    8.

    Sea la masa del slido7

    7 5.D.B.C ' ' '" C ! &" " B %5

    #

    Por simetra, C !

    B ' ' '" C !" " B

    # 5B.D.B.C

    7&(

    B ' ' '" C !" " B

    # 5D.D.B.C

    7&"%

    Por tanto, el centroide es & &( "% !

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    9. a)

    Sea la masa del cuerpo , Q Q #$1

    $ $" #

    Por simetra, se tiene que el centro de masa es B C D ! ! QQBC Q D .Z D .ZBC "V V' ' ' ' ' '" # #$ $ Q D .ZBC "V' ' ' " #$ $ Q -9= =/8 . . . BC " "! !

    # "

    !$$ $ 3 9 9 3 9 ) $ $

    # #' ' '1 1# 1

    %

    D QQ ) $ BC " #

    " #

    $ $

    $ $

    Por tanto, B C D ! ! $ ) $ $$ $" #" #b) M < .

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    El momento de inercia minimal se obtiene para (ver figura)2 !

    El momento de inercia maximal se obtiene para (ver figura)2 "

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    10.

    Sea la parte que queda del cubo al ser extraido el cilindro (ver figura)V"

    Sea la regin determinada por el cilindro.V#

    M B C .Z # B C .Z M #MD #V V# # # #' ' ' ' ' 'a b a b

    " #1

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    Sea la regin del plano como muestra la figura sombreada:V$

    M B C .B.C ) B C .B.C" V V# # # #' ' ' 'a b a b

    $ %

    donde es la regin del plano como muestra la figura sombreada:V%

    M ) < .

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    M # < .

  • Sergio Yansen Nez

    Sergio Yansen Nez

    11.

    dzdrdrkrrIa b

    rabz =

    20 0

    2

    dzdrdrkIa b

    rabz =

    20 0

    4

    drdr

    abbrkI

    az

    = 542

    0 0

    drr

    abbrkI

    az

    = 0542

    15

    5 bkaI z =