Sergio Yansen Nez
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Aplicaciones de Integrales dobles y triples
Actividad 1
Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es de su"%distancia al eje y su volumen est encerrado por las superficies:D
B C D "! "!# # # #
con 9B C D D # # #
con B C "!D D !# # #
D * D !
En coordenadas cilndricas en orden , .D.
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Actividad 4
Calcule el momento polar de inercia de la regin del plano limitada por ,BC B C "# #B C * BC # BC %# # , , suponiendo la densidad unitaria.
Actividad 5
Determine el centro de masa de la regin limitada por la superficie , y losV D % B#planos , , , , suponiendo que la densidad es constante igual a .B ! C ! C ' D ! 5
Actividad 6
a) Determine el centro de masa de la regin homognea limitada por dosVsuperficies dadas en coordenadas esfricas: superiormente por e3 +inferiormente por , donde y son constantes. Suponga que la densidad es9 ! ! +5.
b) Mediante coordenadas esfricas, plantee la(s) integrale(s) que permita(n) calcularla masa de suponiendo que la densidad del casquete esfrico, que correponde aVla parte superior de , es , y en la parte limitada por el cono, que corresponde aV 5"la parte inferior de , es con . Considere 2 y .V 5 5 5 + # " # 9 1%
Actividad 7
Consideremos el slido de densidad uniforme acotado por y los planos5 B C '# #D ! D * y . Calcule el momento de inercia respecto del eje .B
Actividad 8
Determine el centroide de un slido de densidad constante igual a , el cual est limitado5por , , y .B C B D D ! B "#
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Actividad 9
Una bola unitaria consiste en dos semibolas pegadas. Una semibola tiene la densidadconstante y la otra bola tiene una densidad constante $ $" #
a) Determine las coordenadas del centro de masa.
b) Escriba la integral que permite calcular el momento de inercia de la bola unitaria,cuando rota en torno al eje .^
c) Sea , paralelo al eje , el eje de rotacin perpendicular al plano de unin de lasP ^dos semibolas, tal que .P F96+ F
De acuerdo a la expresin obtenida en (b), qu distancia de al eje ,P ^corresponde al momento de inercia minimal y qu distancia de al eje ,P ^corresponde al momento de inercia maximal?
Actividad 10
Consideremos un slido que contiene un cubo de arista igual a 1 y de densidad igual a 1,y un cilindro de radio , de longitud 2 y de densidad 2, que atraviesaV "#perpendicularmente el cubo y cuyo eje pasa por dos caras opuestas y por su centro. Este sistema gira alrededor del eje del cilindro con velocidad angular .A Si la Eerga Cintica est dada por la frmula , donde es la velocidad angularI AMA
#
#
e es el momento de Inercia, se pide:M Plantear la(s) integral(es) que permitan calcular la Energa Cintica del sistema. Debeusar coordenadas cilndricas en el orden ..D.
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Resolucin
1.
$B C D B C
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2.
, donde es una constante.$ 3B C D 5 B C D 5 5 # # # Intersecciones:
B C D * D D $B C
# # #
# # #
#(#
B C D * D D B C
# # #
# # #
$
#
D B C D ! D "D B C# #
# # #
D B C D ! D $D $B C # #
# # #
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B C D * D D B C
# # #
# #
" $(#
D $B C # # # 9 1'
con 9# - +
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3.
, donde es una constante.$B C D 5 B C 5< 5 # # D + C + < =/8 # # # # # )
D #B C #< -9= < =/8 < -9= "# # # # # # # #) ) )
Sea la masa del slido.7
Mediante simetra:
7 % 5< .D.
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4. M B C .E9 V# #' '
Considerando la siguiente transformacin:
? B C# # @ BC
`[email protected]`BC #B C #B #CC B # #
`BC `BC`[email protected] #B C `[email protected] #" " B C # # # # M B C .E [email protected]? )9 V
# #' ' ' '" # #* % "
El momento polar es .)
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5.
Sea la masa total.Q
Q 5.D.C.B $#5' ' '! ! !
# ' %B#
B ' ' '! ! !
# ' %B#
5B.D.C.B $%Q
C $' ' '! ! !
# ' %B#
5C.D.C.BQ
D ' ' '! ! !
# ' %B#
5D.D.C.B )&Q
Las coordenadas del centro de masa son: $ )% & $
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6. a)
Sea la masa de .Q V
Q 5 =/8 . . . " -9= ' ' '! ! ! $# + # + 51 ! 1
3 9 3 9 ) !#$
Por simetra, B C !
+D +" -9= ' ' '! ! !# + $ #1 ! 5 -9= =/8 . . . =/8
"-9=
3 9 9 3 9 ) !
!Q
1
1
+ 5%
%
# + 5$
$
$) !
Las coordenadas del centro de masa son: + ! ! +" -9= $) ! b) Interseccin: B C D % D #D B C
# # #
# #
D # -9= # 3 9 3 #-9= 9 Q 5 =/8 . . . 5 =/8 . . .' ' ' ' ' '! !
# #! ! !
1 11 1
9
9% %#
-9=
#-9=
2
" ## #3 9 3 9 ) 3 9 3 9 )
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7.
M C D .ZB V# #' ' ' 5
. < =/8 D
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8.
Sea la masa del slido7
7 5.D.B.C ' ' '" C ! &" " B %5
#
Por simetra, C !
B ' ' '" C !" " B
# 5B.D.B.C
7&(
B ' ' '" C !" " B
# 5D.D.B.C
7&"%
Por tanto, el centroide es & &( "% !
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9. a)
Sea la masa del cuerpo , Q Q #$1
$ $" #
Por simetra, se tiene que el centro de masa es B C D ! ! QQBC Q D .Z D .ZBC "V V' ' ' ' ' '" # #$ $ Q D .ZBC "V' ' ' " #$ $ Q -9= =/8 . . . BC " "! !
# "
!$$ $ 3 9 9 3 9 ) $ $
# #' ' '1 1# 1
%
D QQ ) $ BC " #
" #
$ $
$ $
Por tanto, B C D ! ! $ ) $ $$ $" #" #b) M < .
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El momento de inercia minimal se obtiene para (ver figura)2 !
El momento de inercia maximal se obtiene para (ver figura)2 "
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10.
Sea la parte que queda del cubo al ser extraido el cilindro (ver figura)V"
Sea la regin determinada por el cilindro.V#
M B C .Z # B C .Z M #MD #V V# # # #' ' ' ' ' 'a b a b
" #1
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Sea la regin del plano como muestra la figura sombreada:V$
M B C .B.C ) B C .B.C" V V# # # #' ' ' 'a b a b
$ %
donde es la regin del plano como muestra la figura sombreada:V%
M ) < .
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M # < .
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11.
dzdrdrkrrIa b
rabz =
20 0
2
dzdrdrkIa b
rabz =
20 0
4
drdr
abbrkI
az
= 542
0 0
drr
abbrkI
az
= 0542
15
5 bkaI z =
