INTEGRACI“N DE SUPERFICIE - .Clculo y propiedades de integrales dobles y triples. ... apuntes,

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  • INTEGRACINDESUPERFICIE

    Tema3 GradoenIngenieraMecnica

    CONOCIMIENTOSPREVIOS

    Parapoderseguiradecuadamenteestetema,serequierequeelalumnorepaseypongaaldasusconocimientosenlossiguientescontenidos:

    Derivacindefuncionesdevariasvariables.

    Clculoypropiedadesdeintegralesdoblesytriples.

    Manejodeecuacionesparamtricasdecurvas.

    Manejodelossistemasdecoordenadascilndricasyesfricas.

    DibujodecurvasysuperficiesconMatlabyDpgraph.

    OBJETIVOSESPECFICOS

    AcontinuacinsepresentanlosobjetivosespecficosdelTema3,indicandoencadaunodeelloslabibliografaque lecorresponde, losejerciciospropuestosy losejerciciosresueltosenestosapuntes,ascomolosejerciciosresueltosenelproyectoGiematicconcontenidosdeltema.Lasabreviaturasqueencabezancadalneahacenreferenciaalossiguienteslibros,documentosobloquesdeenunciadosytambinactividadesdelawebdelproyectoGiematic:

    A)Tomo3de laColeccinFUNDAMENTOSMATEMTICOS,delvarez,HerreroyRuiz.

    B)CLCULOdevariasvariables,deBradleyySmith;editorialPrenticeHall. G)CLCULO II.TeorayProblemasde funcionesdevariasvariables,deGarcay

    otros;editorialGLAGSA. M)CLCULOVECTORIAL,deMarsdenyTromba;editorialAddisonWesleyIb. P)CLCULOVECTORIAL.PROBLEMASRESUELTOS1,deMarsdenyTromba,porPao

    ySoon;editorialAddisonWesleyIb. S)CALCULUSdeunayvariasvariables.VolumenI,deSalas,HilleyEtgen;editorial

    Revert. EP)Enunciadosdelosejerciciospropuestosdeestetema. ER)Ejerciciosresueltosdeestetema. EG)EjerciciosyactividadesenlapginadelproyectoGiematic,cuyadireccines:http://www.giematic.unican.es/integracionmultiple/materialinteractivo

    Losobjetivosespecficosdeestetemason:

    1. Entender laconstruccindelelementodiferencialdesuperficieysusignificadogeomtrico;sabercalcularloparasuperficiesexpresadasenparamtricas,parasuperficiesdadasporunaecuacinexplcitayparasuperficiesdadasporunaecuacinimplcita.

    EP 1,2;

    1Losenunciadosdeestosproblemasresueltosestnen[M]

  • T3 INTEGRACINDESUPERFICIE

    2

    EG Preliminares.Ejerciciosinmediatos.Ejercicios1,3y4.Clculodelreadeporcionesdesuperficies.Ejercicios1a4.Integraldeuncampoescalarsobreunasuperficie.Ejercicios5y6.

    2. Entenderladefinicindeintegraldeuncampoescalarsobreunasuperficieysabercalcularladadalasuperficieyelcampo.Hacerusodesuspropiedades.

    A Cap.5,Sec.3:Ejemplos5.18a5.20;

    B Cap.14,Sec.5:Ejemplo14.25;

    P Cap.15:Problemaresuelto3;

    G Cap.7,Sec.5:Ejemplos1a4

    M Cap.7,Sec.5:Ejercicios3,7,8,11;Cap.7,Sec.Repaso:Ejercicio12b,15;

    EP 3,4y5;

    ER 1a4;

    EG Integraldeuncampoescalarsobreunasuperficie.Ejercicios5y6.Integraldeuncampovectorial.Ejercicio12.

    3. Saberutilizarestaintegralparacalcularelreadeunasuperficie.

    A Cap.4,Sec.1:Ejemplos4.11,4.12;Cap.4,Sec.3:Ejercicios4.7a4.9;

    B Cap.13,Sec.4:Ejemplos13.16a13.19;

    G Cap.15:Problemasresueltos1,2;

    M Cap.7,Sec.4:Ejemplo2;

    P Cap.7,Sec.4:Ejercicios2,5,13,17,20;

    S Cap.17,Sec.6:Ejemplos8a13;EP 3y9;

    ER 1a4;

    EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Ejercicio 2. Clculo del rea de porciones de superficies.Ejercicios 1 a 4.DemosMatlab: rea superficial de reas de porciones de planos tangentes.Integraldeuncampoescalarsobreunasuperficie.Ejercicio7.

    4. Conocer sus interpretaciones fsicas bsicas: temperaturamedia,masa. Saber utilizar estaintegralparacalcularpromedios.

    B Cap.14,Sec.5:Ejemplo14.26;

    M Cap.7,Sec.5:Ejemplo5;

    EP 6,7y8;

    EG Integraldeuncampoescalarsobreunasuperficie.Ejercicio7.

    5. Entenderladefinicindeintegraldeuncampovectorialsobreunasuperficieorientadaysabercalcularladadalasuperficieyelcampo.Conocerlarelacinentreestaintegralyladecamposescalares.Manejarelefectodelcambiodeorientacinde lasuperficiesobreelsignode laintegral.

    B Cap.14,Sec.5:Ejemplos14.27a14.29;

    M Cap.7,Sec.6:Ejemplos1a3,6;

  • CLCULOIIGRADOENINGENIERAMECNICA

    3

    P Cap.7,Sec.6:Ejercicios6,142;

    EP 10,11y12;

    ER 5,6;

    EG Preliminares.Ejerciciosinmediatos.Ejercicio10.Integraldeuncampovectorial.Ejercicio8.DemosMatlab:Aproximacindel flujodeuncampovectoriala travsdeunasuperficie.Encuentraelerror.Flujonegativoconcampovectorialhaciaabajoenunasuperficie.

    6. Sabercalcular,medianteintegracin,elflujodeuncampovectorialatravsdeunasuperficie.

    A Cap.5,Sec.3:Ejemplos5.21,5.22;Cap.5,Sec.4:Ejercicio5.10;

    G Cap.15:Problemaresuelto8;

    M Cap.7,Sec.6:Ejemplo4;

    P Cap.7,Sec.6:Ejercicios1,16;

    S Cap.17,Sec.7:Ejemplos6a8;EP 10,11y12;

    ER 5,6;

    EG Integraldeuncampovectorial.Ejercicio8.

    7. PoderexplicarelteoremadeladivergenciadeGaussysaberusarloparacalcularunaintegraldesuperficiesobreunasuperficiecerrada.

    A Cap.5,Sec.3:Ejemplo5.23;Cap.5,Sec.4:Ejercicio5.11;

    B Cap.14,Sec.7:Ejemplos14.35a14.37;

    G Cap.15:Problemasresueltos9,10;

    M Cap.8,Sec.4:Ejemplos3a6;

    P Cap.8,Sec.4:Ejercicios4a,6b,10,18;Cap.8,Sec.Repaso:Ejercicio9;

    EP 13y14;

    ER 7;

    EG Preliminares.Ejerciciosinmediatos.Ejercicios12y13.Integraldeuncampovectorial.Ejercicios10y11.Encuentraelerror.FallaelteoremadeGauss.

    8. PoderexplicarelteoremadeStokesysaberusarloparacalcularunaintegraldelneaalolargodeunacurvacerrada.

    A Cap.5,Sec.3:Ejemplos5.24,5.25;Cap.5,Sec.4:Ejercicio5.9;

    B Cap.14,Sec.6:Ejemplos14.30,14.31,14.33,14.34;

    G Cap.15:Problemasresueltos6,7;

    M Cap.8,Sec.2:Ejemplos1a4;

    P Cap.8,Sec.2:Ejercicios1,4,5,9,12,25;

    S Cap.17,Sec.10:Ejemplos1,2;

    EP 15,16y17.;

    ER 8,9;

    EG Preliminares.Ejerciciosinmediatos.Ejercicios14y15.Integraldeuncampovectorial.Ejercicio9.Encuentraelerror.FallaelteoremadeStokes.

    2Enalgunasedicionesloencabezacomo15.

  • T3 INTEGRACINDESUPERFICIE

    4

    SUPERFICIES

    1 Integraldoblesobrerectngulos

    UnasuperficieSen 3 puedevenirdadade3formas:

    a) Comolagrficadeunafuncin ( ),z f x y= donde ( ),x y D siendoDunconjuntodelplano ( )( ) ( ){ }, , , / ,S x y f x y x y D= .

    b) Pormediodeecuacionesparamtricas,esdecir

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,u v x u v y u v z u v u v D= + + r i j k

    c) Deformaimplcitacomoelconjuntodepuntosqueverifican ( ), , 0F x y z = siendoFunafuncinescalarde3variables. ( ) ( ){ }, , / , , 0S x y z F x y z= =

    Nota:Alfinaldeltemasedanlasecuacionesylasgrficasdealgunassuperficies.

    2 Planotangenteenunpuntoaunasuperficie

    UnvectorestangenteaunasuperficieSenunpunto ( ), ,P a b c deSsieselvectortangenteaunacurvacontenidaenSyquepasaporP.UnvectoresortogonalaunasuperficieSenunpunto ( ), ,P a b c deSsiesortogonalatodovectortangenteaSenelpuntoP.Elplano tangenteauna superficieenelpunto ( ), ,P a b c contienea todos losvectorestangentesalasuperficieendichopunto.Elclculodelplanotangentedependedelaformadedefinirlafuncin.

    Caso1.Silasuperficievienedadaporlaecuacin ( , )z f x y= ,con( , )x y D ,siendo f declase1C enD ,elplanotangenteyunvectornormalenunpuntocualquiera ( )0 0 0, ,P x y z con( )0 0,x y

    enD ser:

    PlanotangenteenP: ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0( , ) , ( ) , ( )x yz f x y f x y x x f x y y y - = - + - UnvectornormalenP:

    0 0 0 0= ( ( , ), ( , ), 1)

    x yf x y f x y - -N

    Caso2.Silasuperficievienedadaporunafuncinimplcita ( , , ) 0F x y z = ,con F declase 1C elplanotangenteyunvectornormalenunpuntocualquieraP 0 0 0, ,x y z con ( )0 0 0, , 0zF x y z ser

    PlanotangenteenPes:

  • CLCULOIIGRADOENINGENIERAMECNICA

    5

    ( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z - + - + - =

    UnvectornormalenPes: ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , , ,x y zF x y z F x y z F x y z =N

    Caso3.Suponiendoquelasecuacionesparamtricassondeclase 1C en D ,esposibledefinirlossiguienteselementosdelasuperficie:

    Vectorestangentesalasuperficieenunpunto0 0 0 0 0 0

    ( ( , ), ( , ), ( , ))P x u v y u v z u v

    0 0 0( ( , ), ( , ), ( , ))

    u u u ux u v y u v z u v =r y

    0 0 0( ( , ), ( , ), ( , ))

    v v v vx u v y u v z u v =r

    Estos vectores son tangentes, respectivamente, a las curvas de la superficie

    0 0,v v u u= = ,quesecortanen

    0 0( , )u v .

    Vectornormalen P : ( ) ( )0 0 0 0, ,u vu v u v r r .

    READEUNASUPERFICIE

    3 Diferencialdesuperficie

    Definicin (Diferencial de superficie). Se define el elemento dS como un parcheinfinitesimaldesuperficie,cuyaproyeccinsobrelosplanoscoordenadosencadapuntoes,

    cos cos cos

    dxdy dydz dxdzdS

    g a b= = =

    siendo ( )cos , cos , cosa b g los cosenosdirectoresdelvectornormala la superficieendichopunto.

    En el siguiente apartado se muestra el proceso de clculo de la diferencial de superficiedependiendodelasecuacionesconlasqueestdefinidadichasuperficie.

  • T3 INTEGRACINDESUPERFICIE

    6

    4 ClculodelaDiferencialdeunaSuperficie

    SUPERFICIE DADA POR LA ECUACIN CARTESIANA EXPLCITA: ( , )z f x y

    Silasuperficievienedadaporlaecuacin ( , )z f x y= ,con( , )x y D ,siendo f declase 1C enD ,sepuedendefinir

    Unvectornormalunitarioalasuperficie

    enP ( )( )0 0 0 0, , ,x y f x y :0 0 0 0

    2 20 0 0 0

    ( ( , ), ( , ), 1)=

    ( , ) ( , ) 1

    x y

    x y

    f x y f x y

    f x y f x y

    - -=

    + +

    NnN

    Vectornormalalplano 0z enP:

    (0, 0,1)=k

    nguloqueformann yk enP:

    Enlafigurasemuestran,unparchedesuperficiederea SD ,unaporcindeplanotangenteasteparchederea TD ylaproyeccincomndeambos,elrectnguloderea RD .

    Elobjetivoesencontrarunaaproximacindelreade S queseproyectasobreunrectngulodadodelplano 0z = ,derea R x yD = D D .

    Puesto que la superficie quemejor aproxima a S en el entorno de un punto es su planotangente,eslaqueutilizaremosenestaaproximacin.Tomaremoselplanotangentequepasaporunpunto

    0 0 0 0 0( , , ( , ))P x y f x y ydelrecortaremos laporcin TD queseproyectasobre

    RD ,verificndose

    1=cos

    T Rg

    D D