Cálculo II - unex.esmatematicas.unex.es/~fsanchez/calculoII/05.pdfFernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - Fernando

Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx -



















































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·2018

Cálculo II5 El espacio Rn

El espacio Rn. Distancia y norma

En este capítulo se va a estudiar el espacio

Rn = R× (n. . . ×R ={x = (x1, . . . ,xn) : xi ∈ R (1 ≤ i ≤ n)

}con las operaciones usuales

x + y = (x1, . . . ,xn) + (y1, . . . ,yn) = (x1 + y1, . . . ,xn + yn),

λx = λ(x1, . . . ,xn) = (λx1, . . . , λxn),

donde x, y ∈ Rn y λ ∈ R. El elemento neutro de la suma se escribe como 0 = (0, (n. . . , 0).

Se trata de un espacio vectorial de dimensión n. Una base de este espacio, que se conocecomo base canónica, es {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)}. En el caso n = 1 se trataademás de un cuerpo.

Por ejemplo, en R2 se tiene (3, 5) + 4(2,−1) = (3, 5) + (8,−4) = (11, 1). La base canónica estáformada por los vectores (1, 0) y (0, 1).

A diferencia de lo que ocurre en R, los espacios R2,R3, . . . no tienen un orden compatible conlas operaciones. No hay supremo ni ín�mo de un conjunto acotado. Hay que revisar entoncestodas las propiedades que tiene R en las que aparece el orden; y todas las propiedades que sedemuestran utilizando el supremo o el ín�mo de algún conjunto.

De�nición. Se llama norma o módulo de x = (x1, . . . ,xn) ∈ Rn al número

‖x‖ = ‖(x1, . . . ,xn)‖ =√x2

1 + . . . + x2n .

Para el caso n = 1 se tiene ‖x ‖ =√x2 = |x |, es decir, el valor absoluto de x ∈ R. Para el

elemento (2, 5) ∈ R2 la norma es ‖(2, 5)‖ =√

22 + 52 =√

29 .

Esta norma veri�ca las mismas propiedades que el valor absoluto en R.

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La aplicación | | : R −→ R veri�ca

1) |x | ≥ 0, y |x | = 0⇔ x = 02) |x + y | ≤ |x | + |y |3) |x · y | = |x | · |y |

para x ,y ∈ R.

La aplicación ‖ ‖ : Rn −→ R veri�ca

1) ‖x‖ ≥ 0, y ‖x‖ = 0⇔ x = 02) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖3) ‖λx‖ = |λ | · ‖x‖

para x, y ∈ Rn y λ ∈ R.

La demostración de las propiedades 1) y 3) es muy simple. Para probar 2) se hace

‖x + y‖2 =n∑i=1(xi + yi)2 =

n∑i=1

x2i +

n∑i=1

y2i + 2

n∑i=1

xiyi

≤n∑i=1

x2i +

n∑i=1

y2i + 2

( n∑i=1

x2i

)1/2 ( n∑i=1

y2i

)1/2

=

( ( n∑i=1

x2i

)1/2+

( n∑i=1

y2i

)1/2)2=

(‖x‖ + ‖y‖

)2.

Se ha utilizado la desigualdad

n∑i=1

xiyi ≤( n∑i=1

x2i

)1/2 ( n∑i=1

y2i

)1/2, (†)

que se suele escribir como x · y ≤ ‖x‖ · ‖y‖, donde x · y se conoce como producto escalar. Lademostración es sencilla sin más que elevar ambos miembros al cuadrado y simpli�car. Unaprueba alternativa, más corta y elegante, consiste en escribir

0 ≤n∑i=1(xi + tyi)2 =

n∑i=1

x2i + t2

n∑i=1

y2i + 2t

n∑i=1

xiyi ,

(es una suma de cuadrados y por tanto es positiva). Se trata de un polinomio de grado 2 en t quees siempre positivo. Por tanto su discriminante debe ser menor o igual que cero. Esa condicióndel discriminante es justamente la desigualdad (†) anterior, conocida como desigualdad deCauchy-Schwarz1. Así termina la prueba de 2), que se conoce como desigualdad triangular o deMinkowskiPor ejemplo, para vectores con dos coordenadas (x ,y) y (a,b),utilizando el teorema de Pitágoras y el hecho de que cada ladode un triángulo es menor que la suma de los otros dos√

(x + a)2 + (y + b)2 ≤√x2 + y2 +

√a2 + b2

‖(x ,y) + (a,b)‖ ≤ ‖(x ,y)‖ + ‖(a,b)‖.

De ahí viene el nombre de desigualdad triangular. x a

y

b

El valor absoluto en R y la norma en Rn de�nen la distancia entre sus elementos, que se llamadistancia inducida por la norma (por el valor absoluto en el caso de R).

1Es un caso particular (si el exponente es 2) de una más general, conocida como desigualdad de Hölder.

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Para x ,y ∈ R se de�ne

d(x ,y) = |x − y |

y veri�ca1) d(x ,y) ≥ 0, d(x ,y) = 0⇔ x = y2) d(x ,y) ≤ d(x , z) + d(z,y) (z ∈ R)3) d(x ,y) = d(y,x)

Para x, y ∈ Rn se de�ne

d(x, y) = ‖x − y‖ =√(x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)2

y veri�ca1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0⇔ x = y2) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) (z ∈ Rn)3) d(x, y) = d(y, x)

El concepto de intervalo en R, por ejemplo un intervalo centrado en un punto a ∈ R como(a − r , a + r ), se puede extender para el caso R sin más que notar que

(a − r , a + r ) = {x ∈ R : |x − a | < r } = {x ∈ R : d(x − a) < r }.

La generalización del concepto de intervalo se llama bola.

De�nición. La bola (abierta y cerrada) de centro a = (a1, . . . ,an) ∈ Rn y radio r > 0 es elconjunto

B(a, r ) = {x ∈ Rn : ‖x − a‖ < r }

B[a, r ] = {x ∈ Rn : ‖x − a‖ ≤ r }

Ejemplo: en R2 la bola abierta de centro (4, 3) y radio 5 es elconjunto

B((4, 3), 5

)= {(x ,y) ∈ R2 : ‖(x ,y) − (4, 3)‖ < 5}= {(x ,y) ∈ R2 :

√(x − 4)2 + (y − 3)2 < 5}

La ecuación (x − 4)2 + (y − 3)2 < 52 representa todos los puntos,sin el borde, del círculo de radio 5 centrado en (4, 3).

(4, 3)

r = 5

Con la distancia usual que se ha de�nido en R2,R3, . . . las bolas son círculos, esferas,. . . Son lasgeneralizaciones del concepto de intervalo en R.

Ejemplos de otras normas. Se pueden de�nir otras normas, y por tanto otras distancias, enR2 (extensible a Rn), como

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2|x | + |y | < 1

‖(x ,y)‖1 = |x | + |y |, cuya distancia asociada o inducidaes d

((x ,y), (a,b)

)= |x − a | + |y − b |. Esta distancia

entre dos puntos ya no es la línea recta que los une; setrata de medir el movimiento horizontal más el verticalpara llegar de un punto a otro (por este motivo se llamatambién Manhattan norm o Taxicab norm). Por ejemplod((1,−2), (2, 2)

)= |1 − 2| + | − 2 − 2| = 5.

Para esta norma, la bola B((0, 0), 1) está formada por lospuntos (x ,y) que veri�can |x | + |y | < 1, que es el cuadradosombreado en el dibujo.

El borde del cuadrado lo forman los puntos que cumplen |x | + |y | = 1. La ecuación |x | + |y | ≤ 1representa al interior más el borde.

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También se de�nen para 1 ≤ p < +∞

‖(x ,y)‖p =(|x |p + |y |p

)1/p

‖(x ,y)‖∞ = max{|x |, |y |}

que de�nen las distancias correspondientes, cuyas bolasB((0, 0), 1) se han representado (una sombreada y otra no) enel dibujo con los nombres Bp y B∞. Se trata de los conjuntosde puntos (x ,y) que cumplen |x |p + |y |p < 1 para la primeranorma, y que cumplen max{|x |, |y |} < 1 para la segunda.

1−1

1

−1

Bp

B∞

Las bolas Bp comienzan siendo un cuadrado para p = 1. A medida que p crece se vanexpandiendo, para p = 2 es un círculo, y siguen curvándose, hasta parecerse cada vez más aB∞, que es otro cuadrado.

Propiedades topológicas de Rn

En todo este capítulo utilizaremos siempre la norma ‖ ‖2, que se conoce como norma usual. Laspropiedades topológicas en Rn son las mismas si se utiliza una u otra. La diferencia es utilizarbolas redondas en lugar de bolas cuadradas o de otras formas.

−1 1

−1

1

B(0, 1) con ‖ ‖1

−1 1

−1

1

B(0, 1) con ‖ ‖2

−1 1

−1

1

B(0, 1) con ‖ ‖∞

De�nición. Sean a ∈ Rn y A ⊂ Rn. Se dice que

• a es un punto interior de A, y se escribe a ∈ A, si existe algunabola B(a, r ) contenida en A. Por tanto

∃ r > 0 : B(a, r ) ⊂ A.

En ese caso, a ∈ B(a, r ) ⊂ A, y entonces a ∈ A. Es decir, los puntosinteriores de A hay que buscarlos dentro de A. Esta propiedad puedeexpresarse como A ⊂ A.

Como ejemplo, es fácil probar que todos los puntos de una bolaabierta B(a, r ) son puntos interiores.

a

A

B(a, r )

a

A

a

• a es un punto adherente aA, y se escribe a ∈ A, si toda bola B(a, r )contiene puntos de A. Se puede escribir como

B(a, r ) ∩A , � ∀r > 0.

En particular, si a ∈ A entonces a ∈ A, es decir, A ⊂ A.

Como ejemplo, puede probarse que B(a, r ) = B[a, r ].

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• a es un punto frontera de A, y se escribe a ∈ ∂A, si toda bolaB(a, r ) contiene puntos de A y puntos de Ac . Se puede escribir como

B(a, r ) ∩A , �, B(a, r ) ∩Ac , � ∀r > 0.

En resumen, ∂A = A ∩Ac .

a

A

a

a

A

a

• a es un punto de acumulación de A, y se escribe a ∈ A′, si todabola B(a, r ) contiene puntos de A distintos de a. Se puede escribircomo (

B(a, r ) \ {a})∩A , � ∀r > 0.

En particular, si a ∈ A′ entonces a ∈ A, es decir, A′ ⊂ A.

• a es un punto aislado de A, y se escribe a ∈ As , si existe algunabola B(a, r ) cuya intersección con A es sólo el punto a. Se puedeescribir como

∃r > 0 : B(a, r ) ∩A = {a}.En particular, cada punto de A es aislado o es de acumulación:As ⊂ A ⊂ A′ ∪As .

aA

a

En el caso de R todas las de�niciones son idénticas, sólo que se cambia la bola B(a, r ) centradaen a por el intervalo (a − r , a + r ) centrado en a.

Ejemplos. a) En R2 se considera el conjunto

A = {(x ,y) ∈ R2 : y > x2}∪{(x ,y) ∈ R2 : y < −x2}∪{(2, 0)}

tal y como se muestra a la derecha. Todos los puntos, salvo el(2, 0) que es aislado, son interiores. La frontera del conjuntoestá formada por (2, 0) y los puntos de las grá�cas de lasfunciones y = x2 y y = −x2. La adherencia de A es la uniónde A y su frontera.

y = x2

y = −x2

(2, 0)x

y

A

b) En R2 los puntos de la recta x + y = 1 forman un conjunto de interior vacío. Es un conjuntoen el que todos los puntos son frontera.

c) En R2, el conjunto

A = {(x ,y) : x > 0} ∪ {(x ,y) : y = 0}

veri�caa) A = {(x ,y) : x > 0},b) A = {(x ,y) : x ≥ 0} ∪ {(x ,y) : y = 0},c) ∂A = {(x ,y) : x = 0} ∪ {(x ,y) : y = 0,x < 0},d) A′ = A,e) As = �.

x

y

A

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Proposición. Para A ⊂ Rn se tiene

a) A = A ∪ ∂A = A ∪A′ = As ∪A′

b) Hay casos en los que A ⊂ A′ y casos en los que A′ ⊂ A. Por ejemplo, cada conjunto A�nito veri�ca A′ = � ⊂ A. Para otros conjuntos sin puntos aislados, como A = B(a, r ), setiene A ⊂ A′ = B[a, r ].

c) ∂A = A ∩Ac = ∂Ac

d) A ⊂ A ⊂ A (todos distintos, en general)

e) A ∪Ac = Rn, A ∩Ac = �

f) A = A⇔ [A = Rn o A = �] (más adelante, al estudiar conjuntos conexos se verá que siA = A entonces Rn = A∪(A)c = A∪(A)c , una unión disjunta de abiertos, que es imposiblesalvo que alguno sea vacío)

De�nición. Se dice que A ⊂ Rn es abierto si veri�ca alguna de las condiciones equivalentes:

a) A = A

b) Ac es cerrado, es decir, Ac = Ac

c) A es unión de bolas abiertas

La familia de conjuntos abiertos en Rn se llama topología (o topología usual, para distinguirlade otras topologías). Esta familia de subconjuntos de Rn veri�ca

a) Rn y � son abiertos,

b) la unión de conjuntos abiertos es abierta, y

c) la intersección �nita de conjuntos abiertos es abierta.

En general, la intersección de abiertos no tiene porqué ser un conjunto abierto, como muestrael ejemplo

∩n∈N

B(a,

1n

)= {a},

una familia de abiertos cuya intersección no lo es.

De�nición. Se dice que A ⊂ Rn es cerrado si veri�ca alguna de las condiciones equivalentes:

a) A = A

b) Ac es abierto, es decir, Ac = Ac

La familia de subconjuntos cerrados de Rn veri�ca

a) Rn y � son cerrados,

b) la intersección de conjuntos cerrados es cerrada, y

c) la unión �nita de conjuntos cerrados es cerrada.

En general, la unión de cerrados no tiene porqué ser un conjunto cerrado, como muestra elejemplo

∪n∈N

B[a,

n − 1n

]= B(a, 1),

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una familia de cerrados cuya unión no lo es.

En Rn, al igual que en R, se cumplen las leyes de De Morgan(∪i∈I

Ai

)c= ∩

i∈IAci ,

(∩i∈I

Ai

)c= ∪

i∈IAci .

Ejemplos (de conjuntos abiertos y conjuntos cerrados):

a) {(x ,y) ∈ R2 : xy = 0} es un conjunto cerrado (se trata del conjunto formado por los dosejes X e Y )

b) {(x ,y) ∈ R2 : x + y = 1} es un conjunto cerrado. Es una recta.

c) {(x ,y) ∈ R2 : x + y > 1} es un conjunto abierto. Es uno de los semiplanos abiertos quede�ne la recta x + y = 1.

d) {(x ,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} es un conjunto cerrado. Su interior está formado por los puntosque cumplen x2 + y2 < 1; su adherencia por los puntos que cumplen x2 + y2 = 1.

e) {(x ,y, z) ∈ R3 : z = x2 + y} es un conjunto cerrado. También lo es si se cambia el signo =por ≤ o ≥. Y es abierto si se cambia el signo = por < o >.

x + y = 1

x

y

{(x ,y) ∈ R2 : x + y < 1}

{(x ,y) ∈ R2 : x + y > 1}

x

y

{(x ,y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

{(x ,y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}

(borde)

(interior)

Ejercicios. Sean A ⊂ Rn, a ∈ Rn y r > 0. Entonces

a) Toda bola B(a, r ) es un conjunto abierto. Toda bola B[a, r ] es un conjunto cerrado.

b) A es abierto y A es cerrado. Por tanto, no tiene sentido hacer “el interior del interior” o “laadhrencia de la adherencia”, ya que ˚

A = A y A = A.

c) A es el mayor abierto contenido en A. En otras palabras, si F es abierto y F ⊂ A, entoncesF ⊂ A.

d) A es el menor cerrado que contiene a A. Si F es cerrado y A ⊂ F , entonces A ⊂ F .

e) Si x ∈ A \ A, entonces x ∈ ∂A. En otros términos, A = A ∪ ∂A (unión disjunta).

La mayoría de propiedades en Rn son idénticas a las que ya se conocían de R. Hay que hacercambios evidentes (intervalos por bolas,. . . ) pero todas estas de�niciones y resultados sobreconjuntos abiertos y cerrados son similares.

Sin embargo, en Rn ya no hay orden. No hay supremo de un conjunto, ni ín�mo, salvo en elcaso de R, ni por tanto teoremas relacionados con él, como el teorema fundamental del orden.

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Hay otros resultados que sí se conservan cuyas demostraciones deben adaptarse para esta faltadel orden, supremo,. . .

En el espacio vectorial Rn no hay ningún orden compatible con las operaciones: una relaciónde orden total que veri�que

x < y ⇒ x + z < y + z,λ > 0, x < y ⇒ λx < λy .

Igual que se probó en C, se trata de un cuerpo no ordenable. No hay resultados como el teoremafundamental del orden en Rn pero sí otros teoremas que en R son equivalentes a aquél.

Lema. Si a,b ∈ R, entonces

max{|a |, |b |} ≤√a2 + b2 ≤

√2 max{|a |, |b |}.

Demostración. Es evidente que |a | =√a2 ≤

√a2 + b2 , y lo mismo para |b |. Por otra parte, si

m = max{|a |, |b |}, entonces√a2 + b2 ≤

√m2 +m2 =

√2 m. �

Este resultado se puede expresar así: la norma de un vector (a,b) ∈ R2 es grande o pequeñasegún indiquen sus coordenadas,

max{|a |, |b |} ≤ ‖(a,b)‖ ≤√

2 max{|a |, |b |}.

Coordenadas pequeñas dan como resultado vectores con norma pequeña. En particular, parahacer pequeña la cantidad ‖(a,b)‖ es necesario y su�ciente hacerlo en cada coordenada. Lamisma idea puede aplicarse para vectores de R3,R4, . . . Por ejemplo, en R3 se tiene

max{|a |, |b |, |c |} ≤ ‖(a,b, c)‖ ≤√

3 max{|a |, |b |, |c |}.

Para recordar este resultado se puede escribir

(x ,y) → (0, 0) ⇔{x → 0y → 0

y similar para tres, cuatro,... coordenadas.

Teorema (de Bolzano). Todo conjunto in�nito y acotado A ⊂ Rn tiene algún punto de acumula-ción. Como enunciado alternativo:

si A ⊂ Rn es in�nito y acotado ⇒ A′ , �.

(Por de�nición, A ⊂ Rn es acotado si está contenido en unrectángulo n-dimensional, A ⊂ [a1, b1] × . . . × [an, bn].)Demostración. El dibujo y el razonamiento se hará para elcasoA ⊂ R2, para los demás es todo idéntico. Se supone queA está contenido en un rectángulo R1 = [a1, b1] × [a2, b2].Al dividir en mitades cada lado de R1, se parte el rectánguloen cuatro rectángulos. a2

b2

a1 b1

A

R1

R2

R3

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El conjunto A es in�nito, luego en alguno de esos cuatro rectángulos tiene que haber in�nitoselementos de A, por ejemplo, en el rectángulo R2 de color verde. Este rectángulo vuelve adividirse en cuatro y en algunos de esos cuatro rectángulos tiene que haber in�nitos elementosde A, ahora marcado en rojo. Se vuelve a repetir el proceso en cada rectángulo elegido. Setiene entonces una sucesión de rectángulos que veri�can R1 ⊃ R2 ⊃ R3 ⊃ . . . y además todoscontienen in�nitos elementos de A.

En cada uno de esos rectángulos se elige un elemento de A, por ejemplo, podría ser uno delos vértices o el centro del rectángulo (si es que son elementos de A). Así, se elige a1 = (x1,y1)elemento de A en R1; otro elemento distinto a2 = (x2,y2) de A en R2, etcétera.

Se forma así una sucesión (an) = (xn,yn) de elementos de A. Se trata de ver que esta sucesiónconverge, y por tanto su límite será un elemento a ∈ A′.

Para n < m se tiene ‖an − am‖ ≤ D/2n, donde D es la diagonal del primer rectángulo. Esto esasí porque ambos están en un rectángulo común: an, am ∈ Rn y la diagonal de Rn es D/2n.

Por tanto (an) es de Cauchy: ‖an − am‖ → 0. Aplicando el lema anterior, en cada coordenadaocurre lo mismo: |xn − xm | → 0 y |yn − ym | → 0. Ambas sucesiones son de Cauchy en R, y portanto convergentes. Como (xn) → x , (yn) → y , entonces |xn − x | → 0, |yn − y | → 0. Se puedeaplicar otra vez el lema anterior y se obtiene ‖(xn,yn) − (x ,y)‖ → 0, es decir, (an) converge aa = (x ,y). Este límite es un punto de acumulación de A. �

Teorema (Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weiertrass). Para A ⊂ Rn son equivalentes:

a) A es compacto, es decir, de cada recubrimiento abierto de A se puede extraer unsubrecubrimiento �nito,

b) Todo subconjunto in�nito de A tiene algún punto de acumulación en A,

c) A es cerrado y acotado.

La demostración es la misma que en R. Los mismos argumentos de aquella demostración setrasladan para un subconjunto A ⊂ Rn, haciendo cambios sencillos como intervalo por bola,etc.

Grá�camente, para un conjunto A ⊂ R2, la compacidad signi�ca:cada vez que se cubra A con bolas abiertas (un recubrimiento abiertode A), basta con una cantidad �nita de ellas para seguir cubriendo alconjunto A (se puede extraer un subrecubrimiento �nito). Despuésde este teorema la compacidad es fácil de comprobar: es equivalentea ser cerrado y acotado.

A

Ejemplos:

1) Todo subconjunto �nito, como por ejemplo un conjunto {u, v} formado por dos vectores, escompacto en Rn.

2) Todo rectángulo cerrado A = [a1, b1] × . . . × [an, bn] ⊂ Rn es compacto.

3) A = (0, 1) × (0, 1] no es compacto en R2.

4) Una recta de ecuación ax + by + c = 0 en R2 es un conjunto cerrado pero no compacto.

5) Cualquier subespacio vectorial no trivial de Rn no puede ser compacto

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Conjuntos conexosDe�nición. Se dice queA ⊂ Rn es no conexo si existenU yV abiertosdisjuntos en Rn tales que

A ∩U , �, A ∩V , �, A ⊂ U ∪V .

Se dice también que A es disconexo o inconexo, que A tiene trozosseparados, que está roto o que está formado por varias piezas. Siexisten U y V abiertos disjuntos tales que A ⊂ U ∪ V y en amboshay elementos de A, entonces A es no conexo.

A

A AU

V

En ese caso se tiene A = (A ∩U ) ∪ (A ∩V ), es decir, A está formado por trozos separados pordos conjuntos abiertos: uno se encuentra dentro de U y otro dentro de V .

Cuando no se cumple está condición de no conexo se dice que A es conexo. Es fácil comprobarque A ⊂ Rn es conexo si y sólo si veri�ca lo siguiente: dados abiertos disjuntosU ,V ⊂ Rn talesque A ⊂ U ∪V , entonces se tiene A ⊂ U o A ⊂ V .

Ejemplos:

1) En R, los conjuntos {−1, 7}, N, Q y {0}c son todos no conexos; pero R y {4} son conexos.

2) En R2 cualquier rectángulo es conexo, {0}c es conexo, cada recta es conexa.

3) En R3 un plano como 3x + 2y − z = 7 es conexo, y el propio espacio R3 es conexo.

El estudio de los conjuntos conexos es diferente en los casos de R y Rn (n > 1). En el primercaso la conexión es una propiedad que sólo tienen los intervalos. En el segundo hay distintostipos de conexiones, como la convexidad, conexión por arcos,. . .

A) Conjuntos conexos en R

Teorema. R es conexo.

Demostración. Se supone que existen U y V abiertos disjuntos tales que R = U ∪ V . Seana ∈ U y b ∈ V con a < b. Como U y V son abiertos, existen intervalos (a − r , a + r ) ⊂ U y(b − r ′, b + r ′) ⊂ V , como muestra la �gura( ) ( )

a b

(a − r , a + r ) ⊂ U (b − r ′, b + r ′) ⊂ V .

Sea [a,b] ∩U (los elementos de U que están entre a y b). Se trata de un conjunto no vacío, yaque a es un elemento suyo, y acotado superiormente, ya que b es cota superior. Por tanto existec = sup

([a,b] ∩U

). Por tanto, si x ∈ [a,b] ∩U entonces x ≤ c (ya que c es cota superior de

todos ellos).

Como se ha supuesto que R = U ∪V , tendrá que darse una de las dos situaciones siguientes:c ∈ U o bien c ∈ V . Se trata de probar que ambas situaciones son imposibles, llegando entoncesa una contradicción.

• Si c ∈ U entonces (c − ε, c + ε) ⊂ U para algún ε > 0. Pero esto es imposible, ya que c es cotasuperior de [a,b] ∩U y a su derecha no puede haber elementos de dicho conjunto.

El espacio Rn — 10




















































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• Si c ∈ V entonces (c − ε, c + ε) ⊂ V para algún ε > 0. En este caso, todos los valores de(c − ε, c) son cotas superiores de [a,b] ∩U , lo que niega la de�nición de c como la menor delas cotas superiores de dicho conjunto.

En cualquier caso se llega a una contradicción al suponer que R no es conexo. �

Nota. Si se supone que R no es conexo, es decir, R = U ∪V , con U y V abiertos y disjuntos,entonces la aplicación f : R −→ R de�nida como

f (x) ={−1 x ∈ U

1 x ∈ Ves continua (porque lo es en todos los puntos), alcanza valores positivos, valores negativos yno alcanza el valor 0. Se llega entonces a un absurdo: otra prueba más de que la suposición «Rno es conexo» es imposible.

La misma idea de la demostración del teorema sirve para probar que cualquier intervalo (abierto,cerrado,...) en R es conexo. Por otra parte, es evidente que si un conjunto no es un intervaloentonces no es conexo, que es justamente la implicación en sentido contrario. Recuérdese queI ⊂ R es un intervalo si veri�ca [x ,y ∈ I ⇒ [x ,y] ⊂ I ] . Por tanto, si un conjunto A ⊂ R no esun intervalo, entonces existen x < z < y tales que x ,y ∈ A pero z < A. Luego puede escribirseA ⊂ (−∞, z) ∪ (z,+∞) y resulta que A no es conexo. En resumen,

Proposición. En R un conjunto es conexo si y sólo si es un intervalo.

Esto resuelve la caracterización de los conjuntos conexos en R.

Conexión y continuidad. Los conjuntos conexos son esenciales en algunas propiedades delas funciones continuas. Por ejemplo, la función

f : x ∈ (−1, 0) ∪ (1, 5) −→ f (x) ={

3 si −1 < x < 0−2 si 1 < x < 5

es continua, alcanza valores positivos y negativos, pero no alcanza el valor cero. Esto parececontradecir algún teorema conocido sobre funciones continuas.

Sea f : A ⊂ R −→ R. Es evidente que

A = f −1(−∞, 0) ∪ f −1{0} ∪ f −1(0,+∞).

Si f es continua entonces f −1(−∞, 0) y f −1(0,+∞) son abiertos (además de disjuntos).

Si f alcanza valores positivos y negativos entonces ambos conjuntos son no vacíos.

Por tanto, si A es conexo se debe cumplir f −1{0} , �.

Este resultado se conoce como Teorema de Bolzano y es esencial en él la continuidad de lafunción involucrada y la conexión del conjunto en el que está de�nida. De la misma forma,es fácil probar que si f : A ⊂ R −→ R es continua, toma valores positivos y negativos y noalcanza el valor cero, entonces A no es conexo.

B) Conjuntos conexos en Rn. Convexidad y conexión por poligonales y por arcos

La caracterización conseguida en R, un conjunto es conexo si y sólo si es un intervalo, no puedeextenderse a Rn para n > 1. Hay una gran variedad de conjuntos conexos en Rn, variedad queno hay en R.





















































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Si x, y ∈ Rn, al conjunto L[x, y] = {tx + (1 − t)y : t ∈ [0, 1]} se le llama segmento que une ax e y. Por ejemplo, en R2, el segmento que a (1, 4) y (3, 2) es el conjunto

L[(1, 4), (3, 2)] = {t(1, 4) + (1 − t)(3, 2) : t ∈ [0, 1]}= {(3 − 2t , 2 + 2t) : t ∈ [0, 1]}

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

(1, 4)

(3, 2)

L[(1, 4), (3, 2)]

Los elementos del segmentoL[(1, 4), (3, 2)] = {t(1, 4) + (1 − t)(3, 2) : t ∈ [0, 1]}

se consiguen al ir dando valores a t ∈ [0, 1]. Para t = 0, el puntodel segmento es (3, 2). Para t = 1/2 se obtiene el punto medioentre (1, 4) y (3, 2), es decir

((1, 4) + (3, 2)

)/2. A medida que

t crece se obtienen puntos más cercanos a (1, 4). Finalmente,para t = 1 se obtiene (1, 4).

Un subconjunto A ⊂ Rn es convexo si L[x, y] ⊂ A para todo x, y ∈ A, es decir, si cada segmentoque une puntos de A está contenido en A. Se puede expresar también como A es convexo sitA + (1 − t)A ⊂ A para todo t ∈ [0, 1].

x

y

A convexo

L[x, y]

x

y

A no convexo

Por ejemplo, toda bola B(x, r ) o todo subespacio vectorial son conjuntos convexos. No esconvexo {0}c .Se dice que A es conexo por poligonales si dados x, y ∈ A existenz1, ..., zn ∈ A tales que

L[x, z1] ∪ L[z1, z2] ∪ . . . ∪ L[zn, y] ⊂ A.

La diferencia con la convexidad es que los puntos x e y ahorase pueden unir con varios segmentos, no sólo con uno. Ambaspropiedades son algebraicas.

xz1

z2

y

A conexo por poligonales

En R2, una circunferencia o la grá�ca de la función f (x) = senx son conjuntos no conexos porpoligonales. En cambio, {0}c sí lo es.

x

y

A conexo por arcos

Se dice que A es conexo por arcos si para cada x, y ∈ A existe unacurva continua f : [a,b] ⊂ R −→ Rn que veri�ca

a) f (a) = x, f (b) = y,b) f (t) ∈ A para todo t ∈ [a,b].

(Se trata de una curva continua contenida en A que comienza enx y termina en y.)

Por ejemplo, son conjuntos conexos por arcos en R2 unacircunferencia o la grá�ca de una función continua.





















































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Teorema. Se tienen las implicaciones

convexo ⇒a)

conexo por poligonales ⇒b)

conexo por arcos ⇒c)

conexo

y además todas son estrictas.

En la demostración se irán viendo ejemplos que muestran que ninguna de esas implicacioneses una equivalencia.

Demostración. a) Es evidente que si A es convexo entonces A es conexo por poligonales. Porotra parte, hay muchos conjuntos conexos por poligonales que no son convexos: por ejemploen R2 los conjuntos {0}c o el conjunto formado por los dos ejes X e Y .

La implicación b) es trivial: cada poligonal es una curva continua (un arco). Una circunferenciacentrada en el origen y de radio 1 se puede recorrer con la curva continua

f (t) = (cos t , sen t), (t ∈ [0, 1])

pero no mediante poligonales. Luego la implicación b) no es cierta a la inversa.

La implicación c) se prueba por reducción al absurdo. Si A no es conexo entonces existenU yVabiertos de A disjuntos (U ∩V = �) tales que A = U ∪V .

Dados x ∈ U ∩ A e y ∈ V ∩ A, si existe f : [a, b] −→ A ⊂ Rn continua que veri�ca f (a) = xy f (b) = y, entonces se tiene que f [a, b] = (U ∩ f [a, b]) ∪ (V ∩ f [a, b]) es no conexo. Sinembargo, ya se verá más adelante en el capítulo de funciones continuas, que la imagen por unafunción continua de un conjunto conexo es un conjunto conexo.

Hay conjuntos conexos que no son conexos por arcos. Por ejemplo, la grá�ca de la funciónf (x) = sen 1/x para x > 0, a la que se le añade el origen, forma un conjunto conexo pero noconexo por arcos. Este conjunto es

A = {(x , sen 1/x) : x > 0} ∪ {(0, 0)}.

1 2

1

−1

y = sen 1x

1

1

−1

Otro ejemplo se conoce como el peine del topólogo: se trata del conjunto A ∪ B ∪C donde

A = {(0, 1)}, B = (0, 1] × {0}, C ={

1n

: n ∈ N}× [0, 1].

Es un conjunto conexo pero no conexo por arcos. �

Teorema. Si A ⊂ Rn es abierto y conexo entonces A es conexo por poligonales.

Demostración. Sea A un conjunto abierto no conexo por poligonales. La demostración consisteen probar que en ese caso A no es conexo. Como A no es conexo por poligonales, existenx, y ∈ A que no pueden unirse mediante una poligonal contenida en A. Se de�ne

U = {z ∈ A : z se puede unir con x mediante una poligonal contenida en A}.





















































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Este conjunto es no vacío, ya que x ∈ U . Además es abierto: siz ∈ U entonces existe B(z, r ) ⊂ A, ya que A es abierto. Cadapunto de B(z, r ) puede unirse mediante un segmento (el radio)con z, que a su vez, puede unirse con x mediante una poligonalcontenida en A. Por tanto, B(z, r ) ⊂ U y U es abierto.Por el mismo motivo, el conjunto

x

yz

A

V = {z ∈ A : z no se puede unir con x mediante una poligonal contenida en A}

es no vacío y abierto. Además, U ∩V = � y A = U ∪V , y así A no es conexo. �

En este teorema es esencial que A sea abierto. Hay conjuntos conexos y no abiertos que no sonconexos por poligonales.

Ejemplo: los puntos de la parábola y = x2 forman en R2 un conjunto conexo (y tambiénconexo por arcos) que no es conexo por poligonales. Lo mismo ocurre con los puntos dela circunferencia x2 + y2 = 1 en el plano: forman un conjunto conexo pero no conexo porpoligonales (al ser un conjunto no abierto esto es posible).

Sucesiones y series en Rn

Una sucesión (x1, x2, x3, . . .) = (xk)k = (x1k , . . . ,xnk)k en Rn esté formada por n sucesionescoordenadas. Por ejemplo, en R2, una sucesión como

(xk) =(k2, k + 1

)está formada por dos sucesiones de números reales, una en cada componente, que se escribencomo

x1k = k2, x2k = k + 1.

La distancia en Rn veri�ca para u = (u1, . . . ,un), v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn

|ui − vi | ≤√(u1 − v1)2 + . . . + (un − vn)2 ≤ |u1 − v1 | + . . . + |un − vn |.

Por tanto, una sucesión de vectores (xk) converge a un vector a ∈ Rn si y sólo si d(xk , a) =‖xk − a‖ −→ 0, que es equivalente a que ocurra en cada coordenada, es decir,

(xk) −→ a ⇔

(x1k) −→ a1(x2k) −→ a2· · ·

(xnk) −→ an

En resumen, (xk) es convergente a un elemento a ∈ Rn si para todo ε > 0 existe ν ∈ N tal que‖xk − a‖ < ε para k > ν . Equivalentemente, si cada sucesión coordenada (xik) converge a lacoordenada aik de a.

Por ejemplo, la sucesión de R2 (6n2 − 1

3n2 + 15n ,1n

)El espacio Rn — 14




















































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converge a (2, 0) .

De la misma forma, una sucesión en Rn es de Cauchy si y sólo si cada componente lo es: (xk) esde Cauchy si para cada ε > 0 existe ν ∈ N tal que ‖xp −xq ‖ < ε para p,q > ν . Equivalentemente,si cada sucesión coordenada (xik) es de Cauchy en R.

La de�nición de valor de adherencia es la misma que en R. La diferencia es que ya no se puedehablar de límite superior e inferior, ya que no hay orden y por tanto no cabe hablar del mayory menor valor de adherencia de una sucesión.

Similarmente a como ocurre en R, se puede hablar de una serie

∞∑k=1

xk =∞∑k=1(x1k , . . . ,xnk)

como la sucesión de sumas parciales(x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, . . .

)y por tanto se puede hablar

de su convergencia (sumabilidad) o carácter de Cauchy de dicha sucesión.

Evidentemente, una serie∑∞

k=1 xk es sumable, con suma a = (a1, . . . ,an) ∈ Rn si y sólo si essumable cada serie

∑∞k=1 xik con suma ai .

Por ejemplo, en R2,

• la serie∑∞

n=1

( 1n,

12n

)no es sumable,

• la serie∑∞

n=1

( 12n ,

1n2

)sí lo es; su suma es

∑∞n=1

( 12n ,

1n2

)=

(1, π

2

6

).

Como consecuencia de todo lo dicho, el estudio de sucesiones y series en Rn se reduce (se haceen cada coordenada) al estudio de sucesiones y series en R.


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Cálculo II - unex.esmatematicas.unex.es/~fsanchez/calculoII/05.pdfFernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - Fernando