UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO - TRUJILLOFACULTAD DE INGENIERAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

TEMA: integrales dobles y triplesNOMBRE DEL CURSO:matematica iiPROFESOR:ING. javier ramrez muozseccion: secion -2FEcHA:Trujillo, 01 DE julio del 2013

INTEGRANTESCDIGO

OBSERVACIONES:

1.-

2.-

NOTA:.............................................................................

EN NUMEROEN LETRAFIRMA DEL PROFESOR

1.-introduccion:

En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una funcin real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este captulo con integrales de funciones de dos variables. La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecnicas como geomtricas, pero su significado intrnseco es el volumen, as como el significado de una integral de una funcin de variable real es el rea.

Bien, veamos ahora su significado geomtrico. Observe la grfica siguiente:

El punto (xi,yj) representa cualquier punto del ij-simo rectngulo.

El volumen del ij-simo paraleleppedo, denotmoslo como Vij, estara dado por:

Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendramos que hacer una suma de volmenes de una cantidad infinita de paralelepdedos, es decir:

De aqu surge la definicin de Integral doble

Por el momento no vamos a seguir con la interpretacin geomtrica de la Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cmo evaluarla.

En la definicin se dice que si el lmite existe la funcin es integrable, pero surge la interrogante cundo ser que el lmite exista?. Esto lo veremos en el siguiente teorema.

1. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable, si la funcin es continua ser integrable.Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral doble.

2. TEOREMA FUBINI

Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales Iteradas.

Ejemplo

Calcular:

Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir:

Hasta el momento hemos trabajado con regiones de integracin rectangulares, pero en las mayoras de las ocasiones se presentarn otros tipos de regiones.

3. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES

El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales.

En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una regin plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera:

Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:

Cuya rea, denotada como dA, est dada por:

Entonces, igual como lo habamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la regin plana R tiene la forma:

Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras:

PRIMERO: haciendo un barrido vertical

SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal

Si f (x, y) = 1, la integral doble representa el rea de la regin R, es decir:

La regin anterior es llamada una regin simple-xy , sin embargo pueden existir regiones simple- x , slo se puede empezar haciendo primero un barrido vertical.

Como tambin pueden existir regiones simples-y, slo se puede empezar haciendo primero un barrido horizontal.

}En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los lmites de integracin, por tanto no haba ms que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la regin de integracin porque los lmites no estn definidos.

4. PROPIEDADES

5. CLCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS LMITES DE INTEGRACIN

Algunas Integrales Iteradas pueden ser calculadas de las dos formas, pero tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales.

6. VOLUMENES CON INTEGRALES DOBLES

Ahora consideremos un slido limitado por superficies. Por ejemplo:

En el grfico, el volumen del slido limitado por las superficies est dado por:

R, es la regin plana que tiene por proyeccin la superficie en el plano xy

I. INTEGRALES TRIPLES

1. DEFINICIN

Para definir una integral para una funcin de tres variables, anlogamente a integrales dobles, deberamos pensar que nuestra regin de integracin se extendera a la forma x x , es decir, ahora se tendra un paraleleppedo, una regin de R3, la cual se la denota como Q:

Si hacemos particiones de Q, la ijk-sima particin tendra la forma:

Y su volumen sera:

Una funcin de tres variables definida en Q, para esta particin sera de la forma

Donde representa un punto cualquiera de la ijk-sima particin.Para todo Q, habra que considerar una cantidad infinita de particiones, es decir:

De aqu surge la definicin de integrales triples

Si f (x,y,z) =1, sera el volumen de la regin Q.

En esta seccin nos ocuparemos de calcular volmenes con integrales triples para familiarizarnos con su planteo y con su evaluacin; en otra seccin calcularemos otras integrales triples y adems con alternativas de evaluacin.

El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales tambin, porque al igual que integrales dobles, estas pueden ser observadas como integrales iteradas.

Y es ms, si tuvisemos regiones generales tambin el teorema de Fubini es aplicable.

CONCLUCIONES