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Problemas resueltos ypropuestos de calculo en varias
variables.
Integrales multiples
0
ex2dx =
2
Primera Edicion11 de Mayo de 2011
Francisco Felipe Vilches Medinafrvilche@ing.uchile.cl
Prefacio
La presente coleccion de problemas resueltos y propuestos tiene como ob-jetivo exponer problemas tipo de integracion multiple (materia desarrolladaen el curso de Calculo 3 en la mayor parte de las universidades del mundo),como tambien mostrar tecnicas de resolucion que faciliten la comprension yel calculo del tema a desarrollar, el actual documento esta destinado tantopara estudiantes como para personas que deseen interiorizarse en el tema,no obstante puede tener mayor utilidad a alumnos del curso de Calculo envarias variables, asignatura del tercer semestre de plan comun de la carrerade ingeniera civil de la Universidad de Chile, debido a que los problemasposeen un nivel de dificultad acorde a lo que se espera de un alumno delcurso, ademas de estar compuesto por ejercicios tanto de controles como deguas de anos anteriores, el escrito consta de dos partes fundamentales, laprimera constara de treinta problemas resueltos donde se exhibe el metodoy la solucion del problema, en esta primera etapa partiremos con diecisie-te para posteriormenre llegar a los treinta, la segunda parte incluye treintaproblemas propuestos muchos de ellos con su respectiva solucion donde ellector puede comprobar sus conocimientos en la materia, la reciente edicionde Problemas resueltos y propuestos de calculo en varias variablespuedeser ampliada en futuros anos, cualquier duda o sugerencia como tambin siencuentra errores en el documento favor de enviar un mail a la direccionfrvilche@ing.uchile.cl .
Francisco Vilches MedinaSantiago, 11 de mayo del 2011
Parte I
Problemas resueltos
PROBLEMAS RESUELTOS 3
P1 Sean f : [a, b] R y g : [c, d] R continuas. Mostrar que:R
[f(x)g(y)]dxdy =
[ ba
f(x)dx
] [ dc
g(y)dy
]donde R = [a, b] [c, d].
Solucion:
Consideremos la particion de [a, b]:
a = x1 < x2 < ... < xn = b, tal que xi+1 xi =b an
Luego la suma de Riemann de f sera:
Sn =n1i=0
n1j=o
f(Cij)(xi+1 xi)(yj+1 yj)
Como y esta definida en el mismo intervalo que x, usaremos la misma parti-cion para y, esto es:
yj+1 yj =b an
Luego:
Sn =n1i=0
n1j=0
f(Cij)
(b an
)2Ahora bien, Cij [a, b] [a, b] Cij = (xi, yi).
Sn =n1i=0
n1j=0
f(xi, yi)
(b an
)2
=n1i=0
n1j=0
f(xi)g(yi)
(b an
)2
=n1i=0
n1j=0
f(xi)
(b an
)g(yi)
(b an
)
=
(n1i=0
f(xi)
(b an
))(n1j=0
g(yj)
(b an
))
4 PROBLEMAS RESUELTOS
Luego, como tanto g y f son integrables en [a, b].
S1 = lmn
n1i=0
f(xi)
(b an
)y S2 = lm
n
n1j=0
g(yj)
(b an
)
convergen y sus lmites no dependen de los xi e yj elegidos. Por lo tanto setendra:
lmn
Sn = lmn
(n1i=0
f(xi)
(b an
))(n1j=0
g(yj)
(b an
))= S1 S2
existe, y no depende de los Cij = (xi, yj). As (escogiendo los (xi, yj) querealizan el maximo y mnimo en cada rectangulo), hemos encontrado unasucesion de reticulados Sn para los cuales:
lmn
SSn(f) ISn(f) = 0
Luego f es integrable.
PROBLEMAS RESUELTOS 5
P2 Sean f, g : R2 R, funciones acotadas e integrables en A R2rectangulo.
Demuestre utilizando las propiedades basicas de integrabilidad que:
1
2
[a,b][a,b]
(f(x)g(y)f(y)g(x))2 = ba
f 2(x)dx ba
g2(x)dx( b
a
f(x)g(x)dx
)2
Solucion:
I =1
2
[a,b][a,b]
(f(x)g(y) f(y)g(x))2
=1
2
ba
ba
(f 2(x)g2(y) 2f(x)f(y)g(x)g(y) + f 2(y)g2(x)
)dydx
=1
2
ba
ba
f 2(x)g2(y)dydx ba
ba
f(x)g(x)f(y)g(y)dydx+1
2
ba
ba
f 2(y)g2(x)dydx
=1
2
ba
f 2(x)dx ba
g2(y)dy ba
f(x)g(x)dx ba
f(y)g(y)dy +1
2
ba
f 2(y)dy ba
g2(x)dx
=1
2
ba
f 2(x)dx ba
g2(x)dx ba
f(x)g(x)dx ba
f(x)g(x)dx+1
2
ba
f 2(x)dx ba
g2(x)dx
=
ba
f 2(x)dx ba
g2(x)dx( b
a
f(x)g(x)dx
)2
Concluyendo lo pedido. (Notese que para pasar de la tercera a la cuartalnea se uso el resultado obtenido en el P1, ademas se utilizo el hecho deque la variable es muda, por lo que se reemplazaron x e y como variables deintegracion segun conveniese)
6 PROBLEMAS RESUELTOS
P3 Sea f : R2 R de clase C2, pruebe que:
2f
xy=
2f
yx
utilizando el Teorema de Fubini.
Hint: Defina la funcion g(x, y) = 2f
xy(x, y) 2f
yx(x, y), e integre sobre un
rectangulo arbitrario R R2. Luego justifique el hecho de que una funcioncontinua es nula ssi su integral calculada sobre cualquier rectangulo es nula.
Solucion:
Sea g(x, y) = 2f
xy(x, y) 2f
yx(x, y) y R = [a, b] [c, d] el rectangulo de
vertices (a, c), (a, d), (b, c), (b, d) con a, b, c, d arbitrarios, entonces:
R
g(x, y)dA =
ba
dc
(2f
xy(x, y)
2f
yx(x, y)
)dydx
=
ba
dc
2f
xy(x, y)dydx
ba
dc
2f
yx(x, y)dydx
=
dc
ba
2f
xy(x, y)dxdy
ba
dc
2f
yx(x, y)dydx (Aplicando Fubini)
=
dc
f
y(x, y)
ba
dy ba
f
x(x, y)
dc
dx
=
dc
(f
y(b, y) f
y(a, y)
)dy
ba
(f
x(x, d) f
x(x, c)
)dx
=
dc
f
y(b, y)dy
dc
f
y(a, y)dy
ba
f
x(x, d)dx+
ba
f
x(x, c)dx
= f(b, y)
dc
f(a, y)dc
f(x, d)ba
+ f(x, c)
ba
= f(b, d) f(b, c) f(a, d) + f(a, c) f(b, d) + f(a, d) + f(b, c) f(a, c)= 0
PROBLEMAS RESUELTOS 7
P4 Calcular: 20
1y2
yex3
dxdy
Solucion:
Dado que la funcion f(x) = ex3
no posee primitiva elemental, la integral ite-rada no puede calcularse tal como esta por lo que necesitamos invertir el ordende integracion, la region de integracion son los
{(x, y)/0 y 2, y
2 x 1
},
de ambas desigualdades deducimos que 0 x 1 (ver nota al pie de la pagi-na)1, de la primera desigualdad se obtiene que 0 y y de la segunda y 2xluego 0 y 2x, entonces revirtiendo el orden de integracion tenemos: 2
0
1y2
yex3
dxdy =
10
2x0
yex3
dydx
=
10
(y2
2ex
3
) 2x0
dx
= 2
10
x2ex3
dx Usando el c.v u = x3 du = 3x2dx dx = du3x2
y el T.F.C
=2
3
10
eudu
=2
3(e 1)
1Para determinar el dominio maximal de x basta ver cual valor de y maximiza elintervalo en que se mueve la variable x, en este caso para y = 0 se obtiene 0 x 1 quees el rango mas grande para x, por ejemplo para y = 32 obtenemos que
34 x 1 que es
un subconjunto de 0 x 1
8 PROBLEMAS RESUELTOS
P5a) Sea g : [0, 1] R integrable. Pruebe que: 1
0
( 1x
g(t)dt
)dx =
10
tg(t)dt
b) Calcular: 10
( 1y
eyx dx
)dy
Solucion:
a) La region de integracion son los {(x, y)/ 0 x 1, x t 1}, de ambasdesigualdades se tiene que 0 t 1, de la segunda desigualdad se tiene quex t y de la primera 0 x, entonces 0 x t, entonces: 1
0
( 1x
g(t)dt
)dx =
10
( t0
g(t)dx
)dt
=
10
tg(t)dt
b) Invirtiendo el orden de integracion se tiene que: 10
( 1y
eyx dx
)dy =
10
( x0
eyx dy
)dx
=
10
(xe
yx
x0
)dx
=
(1 1
e
) 10
xdx
=
(1 1
e
)x2
2
10
=e 1
2e
PROBLEMAS RESUELTOS 9
P6 Calcular:
0
e5x e10x
xdx
Hint: Escriba el integrando de la integral pedida como una integral definidapara convertirla en una integral doble.
Solucion:
Usando el Hint entregado notemos que f(x) =e5x e10x
x=
105
eyxdy,
entonces: 0
e5x e10x
xdx =
0
105
eyxdydx
Invirtiendo el orden de integracion en la ultima integral tenemos que:
0
e5x e10x
xdx =
0
105
eyxdydx
=
105
0
eyxdxdy
=
105
(eyx
y
) 0
dy
=
105
dy
y
= ln(y)
105
= ln(10) ln(5)= ln(2)
10 PROBLEMAS RESUELTOS
P7 2 Pruebe que: 0
ex2
dx =
2
Solucion:
Consideremos la funcion de dos variables f(x, y) = ex2y2 = ex
2 ey2 y lossubconjuntos de R2 B(0, R), B(0, 2R) y CR = [R,R] [R,R], notemosque B(0, R) CR B(0, 2R) por lo que:
B(0,R)
ex2y2dxdy
CR
ex2y2dxdy
B(0,2R)
ex2y2dxdy (1)
Esto ultimo se debe a que (x, y) R2, f(x, y) = ex2y2 > 0 por lo queen la suma de definicion de la integral existen solo terminos positivos, estoultimo implica que si A B entonces
Aex
2y2dxdy
Bex
2y2dxdy.Pasando a coordenadas polares las integrales de la desigualdad (1) se tieneque:
B(0,R)
ex2y2dxdy =
R0
20
e2
dd = (1 eR2)
Analogamente:B(0,2R)
ex2y2dxdy =
2R0
