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INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES, DE LINEAS Y DE SUPERFICIE

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  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

    FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

    INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES, DE LINEAS Y DE SUPERFICIE

    026814

    Bernardo Acevedo Fras Profesor Asociado

    Manizales, Junio 1993

  • I.S.B.N. 958 - 9322 -04 - 2

    Autor Bernardo Acevedo Fras Matemtico Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales.

    Revisado por Profesor Ornar Evelio Ospina A., Matemtico, Ms. Se. Profesor Luis Alvaro Salazar S., Lic. en Matemticas, Ms. Se.

    Impreso por Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales.

    Junio de 1993 Primera Edicin

  • PRESENTACION

    Nos complace hacer entrega a nuestra Comunidad Universitaria del txto del profesor BERNARDO ACVEDO FRIAS, "Integrales dobles, triples, de lnea y de superficie", donde las calidades acadmicas y pedaggicas de su autor se ven acentradas por el manejo riguroso, y a la vez descomplicado en formalismos, de temas reconocidamente difciles del Clculo; estas bondades del texto lo hacen especialmente apto para las carreras de Ingeniera y sin duda tendr la acogida que se merece, junto con otros de la misma autora que acrecientan la produccin de textos en el Departamento.

    NELSON PUERTA GARCIA Director Departamento de Ciencias

  • TABLA DE CONTENIDO

    INTEGRALES MULTIPLES

    1. INTEGRALES DOBLES 1.1 DEFINICION 1 1.2 ALGUNAS PROPIEDADES 7 1.3 TEOREMA DE FUBINE 10 1. 4 INVERSION DEL ORDEN DE INTEGRACION 20 1 .5 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE 24 1.6 EJERCICIOS 29

    2. INTEGRAI.ES TRIPLES 2.1 DEFINICION 33 2.2 APLICACIONES 50 2.3 EJERCICIOS 62 2.4 CAMBIO DE VARIABLE 63

    2.4.1 MATRIZ JACOBIANA 63 2.5 RELACION ENTRE J

  • 4.2 PARAMETRJZACION DE ALGUNAS CURVAS 145 4.3 INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO ESCALAR 149

    4.3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA 151 4.3.2 LONGITUD DE UNA CURVA 152

    4.4 INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO VECTORIAL 162 4.4.1 TRABAJO 162 4.4.2 PROPIEDADES 167 4.4.3 EJERCICIOS 175

    4.5 SENTIDO DE ORIENTACION DE UNA CURVA SIMPLE CERRADA 177

    4.6 TEOREMA DE GREEN 178 4. 7 TEOREMA GENERALIZADO DE GREEN 187 4.8 CONJUNTOS CONEXOS Y CONVEXOS 191 4.9 INVARIANCIA DE UNA INTEGRAL DE LINEA AL

    DEFORMAR EL CAMINO 192 4.10 MATRIZ JACOBIANA 193 4.11 DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE CAMPOS VECTORIALES 194

    4.11.1 DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN GRADIENTE 194 4.12 TEOREMA DE STOKES EN EL PLANO 195 4.13 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO 197 4.14 SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO PARA

    INTEGRALES DE LINEA 199 4.15 PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO PARA

    INTEGRALES DE LINEA 202 4.16 EJERCICIOS 214

    5. INTEGRALES DE SUPERFICIE

    218 218 219 221 235 237 238 239 264 279

    5.1 AREA DE UNA SUPERFICIE 5.2 DEFINICION DE SUPERFICIE 5.3 PARAMETRJZA CION DE ALGUNAS SUPERFICIES 5.4 CALCULO DE ALGUNAS INTEGRALES DE SUPERFICIE 5.5 EJERCICIOS 5.6 ORIENTACION DE UNA SUPERFICIE 5. 7 INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES 5.8 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 5.9 TEOREMA DE STOKES 5.10 EJERCICIOS

  • IaUfrilti y trlfUs, 4 lia y
  • 2

    Sea f ( x , y ) una funcin definida y acotada en una regin del plano XV

    0=[a,b]x[c,d], entonces la integral doble de f(x,y) sobre o, notada por J* ( x , y ) dxdty

    se define por:

    Si este lmite existe. (a,b) es un punto cualguiera en el subrectngu 1 OQ^ y f(a,b) el valor de la funcin en este punto. Ejemplo 1.

    Hallar el valor de J J Kdxdy, 0= C a , b ] x[ c , d ] .

    Solucin n m a m

    I I Kdxdy = lim lim Y) Y) f {a,b) A ^ A y , = lim lim T T kLx^y, J 0J JZi JTi n-** fZ\ JZ\

    Lm t K A x > A y j = ^ % = lim n-*

    = jalim ixn-x0) lim (yrt-y0)\ = tflim ( b - a ) * lira (d-c)\ \ a /-

  • d dy

    Figura 16

    a dx b

    El rea del subrectngu 1 o que aparece en la figura 3 subrayado es dxdy. Esta rea se multiplica por el valor de la funcin en el punto (x,y)

    del subrectngu 1 o, f(x,y), entonces la integral j j f { x , y ) d x d y es 1 a

    suma de todos estos productos cuando dx y dy tienden a cero, es decir, n y m tendiendo a infinito y constituye el volumen del slido limitado por las superficies x=a, x=b, y=d, y=c; z=0, y z=f(x,y). En conclusin

    f f f ( x , y ) dxdy=V(s)

    Siendo s el slido limitado por las superficies anteriores y z=f(x,y)>0. Para calcular integrales dobles no se utilizar la definicin ya que ella es muy engorrosa, se buscaran tcnicas que faciliten los clculos de el las En integrales unidimensionales el segundo teorema fundamental del clculo proporciona un mtodo para calcular integrales sin exigir la definicin en cada caso y aqui existe el siguiente teorema que logra el mismo objetivo en dos dimensiones y nos permite calcular ciertas integrales dobles mediante dos integraciones unidimensionales sucesivas. Teorema 1 Sea f una funcin definida y acotada en un rectngulo p[a,b]i[c,d] y supongamos que f(x,y) es integrable en q. Supongamos que para cada y

    b

    /

    b f { x , y) dX existe y su val

    / d

    A (y) dy en ton c f*A(y) dy=f f f ( x , y ) dxdy, es d

    or

    ices

    )eci r:

  • 4 Itratrria Actv*4t.

    Si se invierte el orden de integracin se obtiene una frmula parecida a saber:

    f f ( x , y ) = f * f * f ( x , y ) dydx

    a en /

    cf f ( x , y ) dy existe para cada x fij< c

    [a,b] y que es integrable en [a,b].

    Este teorema proporciona una evaluacin de la integra i f f f ( x , y ) dxdy

    mediante integracin reiterada. El proceso consiste en integrar f(x,y) respecto a x entre a y b (dejando a y fija) y luego se integra el resultado respecto a y entre c y d integrar f(x,y) respecto a y entre c y d (dejando a x fija), y luego se integra el resultado respecto a x entre a y b. Ejemplo

    Ha llar el valor de j J C O S (x+y) dxdy; 0 = CO,n]x[0,n] (Figura 4)

    Figura 4 [,n)

    Solucin

    i )

    i i )

    jjCos (x+y) dxdy = jf*Cos (x+y) dxdy = f*Sen(x+y\^dy

    = (Sen(y+n) -Seny) dy = -Cos(y+n)

    = -CO82n+COBTt-(-CO3n+CO80) =. - 1 - 1 - 1 - 1 = - 4

    J feos (x+y) dxdy = j* f*Cos (x+y) dydx = *[sen (x+y) dx

  • = f* [Sen(x+K) -Senx] dx = [-Cos(x+w) +Coexf

    - (-Cos2n) + Cosni) ( C o s n + C o s O ) -4 Ejemplo 2

    Hallar el valor de j J e dxdy 0= [0,2] x [1,3] (Figu ra 5)

    x > (0,3)

    (0.1 J

    Solucin

    Figura 5

    (2.3)

    (2.1]

    U e dxdy

    = ( e ' - D ^ M Z d y (u.L^y)

    C - l ) < . ' - ! > - ^ f f . i s .

    Ejemplo 3

    f1 f1 X1/2 -alcul ar / / dydx. Jo Jo 1 3 / 4

    Solucin

    L

    [ i i JO I

    1 y 1 / 2

    0 1+X 3 / 4

    1 2 2 * 4 Z 3

    dx (si x =z4 - dx=4z3 cz)

    cte cfcr

  • 4 l n ( z 3 + l ) 3 3 C = ~ (l-ln2)

    Ejemplo 4

    Calcular f jex+yC0Sxdxdy; [0,2] [0,n] (Figura 6)

    X

    Solucin

    f f e x+yCosx dx dy f 3 f e ye xCosxdydx = (e*-l) f2 @xCosxdx Jo j0 *o

    e xSenx+e xCosx\

    1 ) [ (e2Sen2+e2Cos2) - {eSenO+ecCosO} ] 2

    = [e2 (sen2+Cos2) -1] 2

    Nota

    p2 La integral I exCOSX(X (se calcul por partes).

    JO

    Teorema 2.

    Sea f ( x , y ) una funcin continua en Q- [a,b] * [ c>d ] (Se llamar regin de tipo I) entonces f(x,y) es integrable en o y

    f f f ( x , y ) dxdy = f b f d f ( x , y ) dydx - f d f b f ( x , y ) dxdy. J QJ J a J c J c J a

    Demostracin (Ejercicio). Ejemplo 1 Calcular f { XBY dxdy. Q = [0,1] x[0,2] (Figura 7)

  • Y Figura 7

    M M i 1 - 2 )

    (0,0) Solucin

    M

    ) !oSxeydxdy - / : / > ' < * < * - f b f ^ - i.*n)xdx

    = ( e 2 - i ) 2 ' l

    1 i ' f i z l * J0 l 2 ,

    ii) / x e y dxdy - Jfcxe'dxdy = / J f e ^ d , -

    2 e 2-l 1 . 2 ALGUNAS PROPIEDADES Sean f(x,y ) , g(x ,y ) f funciones integrables en una re Sn o, entonces i) f(x,y)g(x,y) es integrable en o y

    J 9ix,y) ] dxdy = f j f ( x , y ) dxdy f j . g ( x , y ) dxdy.

    ii) Si a es una constante entonces f(x,y) es integrable en p y

    S Q S a f { x ' y ) ^ d y = f j f ( X r y ) dxdy

    L i i ) U f U ' y ) dxdy = dxdy*. . . + f J f ( X , y ) dxdy siendo

    ie O que no se traslapan y Q = |J Q, -1

    Oi,0i,...,0a subregiones de

    Ejemplos

    fjxdxdy=3 y Jydxdy=l y que [dxdy =8 entonces:

    f j (2x+4y) dxdy = f j 2 x d x d y + f f i y d x d y

    Suponga que

    i)

  • 8 Nraartf Acavatfo.

    i i )

    iii )

    iv )

    = 2J Jxdxdy + 4 j j y d x d y = 2 *3 +4 *7 =34

    j* J (x-y) dxdy = j J xdxdy - jjydxdy=3-7 =-4

    f j 10 dxdy = l0jJdxdy=10*e=S()

    J ^ 2~(4+4y+y 2) ] d x d y = JJ" (-4-4y) d x d y

    = - 4 j j d x d y - 4 j j y d x d y = -4*8-4#7=-32-28

    Teorema Sea f(x , y ) una funcin continua para (x,y) en una regin rectangular p, donde alxlb y c

  • 9

    Figura 9 z

    /d r b

    f ( x , y ) dxdy es la sumatoria de los volmenes de las

    tajadas desde y = c hasta y = d cuando dy -> 0 (m -> co) . j Evidentemente, el resultado para f(x,y)>0, es el volumen de la regin bajo la superficie z=f(x,y) y sotare el rectngulo 0, que es precisamente fa interpretacin geomtrica de f j f ( x , y ) d x d y , si f(x,y)>0

    (anlogamente f * f * f ( x , y ) dydX tiene la misma interpretacin).

    Ejemplo 1

    Calcular j J (x 2+y 2) dxdy o = [0,4] * [0,4].

    Solucin

    i)

    )

    f j W*y>) dx

  • O

    - L 4 ( 4 x 2 + ) d x = o 3

    4x 3 6AJtT* _ 256 256 _ 512

    3 3 JO 3 3 3

    A/ota A la regin 0 = [a,b]i[c,d] se llamar regin de tipo I. 1 - 3 Teorema de FUBINE Sea f(x,y) una funcin continua en una regin plana Q. 1). Si se define o mediante a

  • J f U . y ) dxdy - J c d Q ' f ( x , y ) dxdy.

    A la regin

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