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Matem´ aticas III (GITI, 2016–2017) Lecci´ on 5. INTEGRALES M ´ ULTIPLES 1. INTEGRALES DOBLES Las integrales dobles y triples — integrales de funciones de dos o tres variables — son una generali- zaci´ on natural de las integrales de funciones de una variable. La idea subyacente es la misma: dada una funci´on definida sobre un cierto conjunto, primero partimos este conjunto en trozos peque˜ nos; luego tomamos un valor representativo de la funci´on en cada uno de los trozos y hallamos la suma ponderada de dichos valores, o sea, la suma de dichos valores multiplicados por la medida del trozo correspondiente (su longitud en el caso de una variable, su ´area en el caso de dos y su volumen en el caso de tres); finalmente, hallamos el valor l´ ımite de esas sumas ponderadas cuando los trozos de la partici´on se hacen arbitrariamente peque˜ nos. Un ejemplo es el c´alculo de un volumen mediante un proceso de paso al l´ ımite en el que en cada etapa se calculan vol´ umenes de figuras elementales. En esta lecci´on definiremos las integrales m´ ultiples y estudiaremos las t´ ecnicas para calcularlas: su reducci´ on al c´alculo de varias integrales de una variable y los cambios de variables. Integral doble. Sea R =[a, b] × [c, d] un rect´angulo en R 2 y sea f : R R una funci´on continua. Dividiendo el intervalo [a, b] en m subintervalos iguales y el intervalo [c, d] en n subintervalos iguales, generamos una partici´on P de R en m · n subrect´ angulos R ij (i =1, 2,...,m; j =1, 2,...,n). S´olido limitado por z = f (x, y) sobre R y suma de Riemann (m =5,n = 9). Ahora elegimos en cada subrect´angulo R ij un punto representativo (x i ,y j ) y, denotando por ´ area(R ij ) el ´area de R ij , formamos la suma de Riemann de f con respecto a P dada por m i=1 n j =1 f (x i ,y j area(R ij ). Si f es positiva, el sumando f (x i ,y j )´area(R ij ) es el volumen de un paralelep´ ıpedo de base R ij y altura z ij = f (x i ,y j ), que corresponde a un punto de la superficie de ecuaci´on z = f (x, y). As´ ı que la suma de Riemann es una aproximaci´ on al volumen limitado por dicha superficie sobre R y la idea es que cuanto m´as afinemos la partici´on m´as nos acercaremos a dicho volumen. 71

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Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Leccion 5. INTEGRALES MULTIPLES

1. INTEGRALES DOBLES

Las integrales dobles y triples — integrales de funciones de dos o tres variables— son una generali-zacion natural de las integrales de funciones de una variable. La idea subyacente es la misma: dadauna funcion definida sobre un cierto conjunto, primero partimos este conjunto en trozos pequenos;luego tomamos un valor representativo de la funcion en cada uno de los trozos y hallamos la sumaponderada de dichos valores, o sea, la suma de dichos valores multiplicados por la medida del trozocorrespondiente (su longitud en el caso de una variable, su area en el caso de dos y su volumen enel caso de tres); finalmente, hallamos el valor lımite de esas sumas ponderadas cuando los trozos dela particion se hacen arbitrariamente pequenos. Un ejemplo es el calculo de un volumen medianteun proceso de paso al lımite en el que en cada etapa se calculan volumenes de figuras elementales.En esta leccion definiremos las integrales multiples y estudiaremos las tecnicas para calcularlas: sureduccion al calculo de varias integrales de una variable y los cambios de variables.

Integral doble. Sea R = [a, b]× [c, d] un rectangulo en R2 y sea f :R → R una funcion continua.Dividiendo el intervalo [a, b] enm subintervalos iguales y el intervalo [c, d] en n subintervalos iguales,generamos una particion P de R en m · n subrectangulos Rij (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n).

Solido limitado por z = f(x, y) sobre R y suma de Riemann (m = 5, n = 9).

Ahora elegimos en cada subrectangulo Rij un punto representativo (xi, yj) y, denotando porarea(Rij) el area de Rij , formamos la suma de Riemann de f con respecto a P dada por

m∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)area(Rij).

Si f es positiva, el sumando f(xi, yj)area(Rij) es el volumen de un paralelepıpedo de base Rij yaltura zij = f(xi, yj), que corresponde a un punto de la superficie de ecuacion z = f(x, y). Asıque la suma de Riemann es una aproximacion al volumen limitado por dicha superficie sobre R yla idea es que cuanto mas afinemos la particion mas nos acercaremos a dicho volumen.

71

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72 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Usando la continuidad se prueba que existe un valor al que tienden las sumas de Riemann cuandoel tamano de los subrectangulos tiende a cero. Este valor es la integral doble de f sobre R y sedenota por ∫∫

R

f(x, y) dA = lımm,n→∞

m∑i=1

n∑j=1

f(xi, yi)area(Rij).

(“dA” se lee “diferencial de area”.)

Sumas de Riemann para diferentes particiones.

Cuando f es positiva, la integral doble de f sobre R es, como nos indica la intuicion geometrica,el volumen del solido limitado por la superficie de ecuacion z = f(x, y) sobre el rectangulo R.

Integrales iteradas. Al igual que con las integrales de una variable, aplicar la definicion paracalcular una integral doble suele ser imposible. Allı se usa la regla de Barrow, vamos a ver queel procedimiento aquı es reducir una integral doble a dos integrales de una variable, o sea, dosaplicaciones de la regla de Barrow.

Sea f :R → R una funcion continua en el rectangulo R = [a, b]× [c, d]. Para cada x ∈ [a, b] podemosconsiderar la funcion de la variable y que se obtiene manteniendo la x constante e integrar dicha

funcion en [c, d], es decir, calcular∫ d

cf(x, y) dy que se llama integral parcial con respecto a y.

Integrales parciales.

La integral∫ d

cf(x, y) dy depende del valor de x fijado, lo que define una funcion g(x) =

∫ d

cf(x, y) dy

con x ∈ [a, b]. Observemos tambien que si f es positiva entonces este valor g(x) es, precisamente, elarea de la seccion que se obtiene al cortar el solido limitado por la superficie de ecuacion z = f(x, y)sobre el rectangulo R por el plano paralelo al plano Y Z a la altura x del eje OX.

Puede probarse que g es continua, lo que nos permite considerar su integral

∫ b

a

g(x) dx =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y) dy

]dx,

llamada integral iterada, primero con respecto a y, despues con respecto a x, de f en R.

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5. Integrales multiples 73

Analogamente, si integramos con respecto a x manteniendo y constante, tenemos∫ b

af(x, y) dx,

la integral parcial con respecto a x. Esto define una funcion continua h(y) =∫ b

af(x, y) dx para

y ∈ [c, d] que nos da, si f es positiva, el area de la seccion que se obtiene al cortar el solido limitadopor la superficie de ecuacion z = f(x, y) sobre el rectangulo R por el plano paralelo al plano XZa la altura y del eje OY . Ahora, integramos h(y) con respecto a y para obtener la integral iterada,primero con respecto a x, despues con respecto a y:∫ d

c

h(y) dy =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y) dx

]dy.

Ambas integrales iteradas coinciden con la formula de calculo de un volumen por secciones paralelasque vimos en ”Matematicas II”, luego ambas deben ser iguales al volumen.

Teorema de Fubini para regiones rectangulares. Sea f :R → R una funcion continua en elrectangulo R = [a, b]× [c, d]. Entonces las dos integrales iteradas de f en R coinciden y son igualesa la integral doble de f en R, es decir,∫∫

R

f(x, y) dA =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y) dx

]dy =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y) dy

]dx.

Debido a esto, la integral doble∫∫

Rf(x, y) dA se representa tambien como

∫∫Rf(x, y) dx dy.

Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Supongamos que tenemos una superficiede ecuacion z = f(x, y) donde f :D → R es una funcion continua y positiva cuyo dominio D es unconjunto acotado del plano que no es un rectangulo. Sea V el solido limitado entre el plano delsuelo y la superficie z = f(x, y) sobre D, es decir, V esta formado por todos los puntos (x, y, z)tales que (x, y) ∈ D y 0 ≤ z ≤ f(x, y).

El solido V .

¿Como calculamos el volumen del solido V ? Una idea serıa construir un rectangulo R de maneraque D este contenido en R, extender la funcion f definiendo f(x, y) igual a cero en los puntosde R que no estan en D y calcular la integral doble de f en R. El problema es que f no tienepor que ser continua en R; pudiera tener un salto a lo largo de la pared del solido V , sobre lafrontera del dominio D. Existe una teorıa que permite construir la integral general en este caso,pero es demasiado compeja para esta asignatura. Lo que haremos es presentar un procedimientomas restringido, basado en la conclusion del teorema de Fubini sobre la igualdad de las integralesiteradas, que nos permitira definir la integral doble al menos en los dominios no rectangulares mastıpicos que aparecen en la practica (triangulos, cırculos, elipses, etc.).

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74 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Regiones proyectables. Dado un intervalo [a, b], sean c: [a, b] → R y d: [a, b] → R dos funcionescontinuas tales que c(x) ≤ d(x) para todo x ∈ [a, b]. Sea D la region plana limitada entre lasgraficas de estas funciones: D = {(x, y) : x ∈ [a, b], c(x) ≤ y ≤ d(x)}. Diremos que este conjuntoD es una region X-proyectable.

Region que es, a la vez, X-proyectable e Y -proyectable.

Para reconocer si una region dada D es X-proyectable hacemos lo siguiente: Proyectamos la regionperpendicularmente sobre el eje OX y el resultado debe ser un intervalo [a, b] cuyo extremo a es laabscisa del punto de D que este mas a la izquierda, es decir, la menor de todas las abscisas de lospuntos de D, y cuyo extremo b es la abscisa del punto de D que este mas a la derecha, es decir, lamayor de todas las abscisas de los puntos de D. Ahora, para cada x tal que a < x < b, trazamosla recta vertical que pasa por (x, 0). Esta recta debe cortar la frontera de D unicamente en dospuntos cuyas ordenadas, naturalmente, dependen del valor de x que hayamos fijado. En ese caso,las funciones c(x) y d(x) vienen dadas de la siguiente manera: c(x) es la ordenada del punto decorte inferior y d(x) es la ordenada del punto de corte superior.

Analogamente, se dice que una region plana D es una region Y -proyectable cuando puede escribirsecomoD = {(x, y) : y ∈ [c, d], a(y) ≤ x ≤ b(y)} para dos funciones continuas a, b: [c, d] → R tales quea(y) ≤ b(y) en [c, d]. El procedimiento para reconocer si una region D es Y -proyectable es analogoal descrito para reconocer si es X-proyectable: fijamos y en el interior del intervalo [c, d] que es laproyeccion perpendicular de D sobre el eje OY , entonces la recta horizontal que pasa por (0, y)debe cortar la frontera de D unicamente en dos puntos (a(y), y) y (b(y), y).

Integral doble sobre una region proyectable. SeaD una regionX-proyectable y sea f :D → Runa funcion continua. La integral doble de f sobre D se define como∫∫

D

f(x, y) dA =

∫ b

a

[∫ d(x)

c(x)

f(x, y) dy

]dx.

Si D es Y -proyectable, entonces la integral doble de f sobre D se define como∫∫D

f(x, y) dA =

∫ d

c

[∫ b(y)

a(y)

f(x, y) dx

]dy.

Teorema de Fubini para regiones proyectables. Si D es X-proyectable e Y -proyectable almismo tiempo, entonces las integrales previamente definidas coinciden.

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5. Integrales multiples 75

Integrales dobles sobre recintos generales. Si D es un recinto que se puede descomponer enun numero finito de recintos X-proyectables o Y -proyectables, la integral doble de f sobre D sedefine como la suma de las integrales dobles de f sobre cada uno de los trozos.

Descomposicion en recintos proyectables.

En todo lo que sigue asumiremos que las regiones en las que se integra se pueden descomponer enun numero finito de recintos proyectables; de hecho, esto es lo que ocurre en las aplicaciones.

Aplicaciones geometricas. La construccion hecha nos dice que si f es una funcion positiva,entonces el volumen del solido V limitado entre la region D del plano XY y la superficie deecuacion z = f(x, y) viene dado por la integral doble de f sobre D,

vol(V ) =

∫∫D

f(x, y) dA.

En este caso, la aplicacion del teorema de Fubini es, como puedes comprobar, la formula del calculode volumenes por secciones paralelas que vimos en Matematicas II.

En particular, si f es la funcion constante e igual a 1, el volumen de V coincide (como numeroadimensional) con el area de D, ası que podemos expresar el area de un recinto plano medianteuna integral doble:

area(D) =

∫∫D

1 dA.

Las propiedades conocidas de la integracion de funciones de una variable pasan a las integralesdobles practicamente sin cambios.

Propiedades de la integral doble. Sean f y g dos funciones continuas en un conjunto acotadoD ⊂ R2. La integracion verifica las siguientes propiedades:

(1) Linealidad: Dados α, β ∈ R se tiene∫∫D

(αf(x, y) + βg(x, y)) dA = α

∫∫D

f(x, y) dA+ β

∫∫D

g(x, y) dA.

(2) Aditividad con respecto al recinto de integracion: Si descomponemos D en dosrecintos D1 y D2 que no se solapan, entonces∫∫

D

f(x, y) dA =

∫∫D1

f(x, y) dA+

∫∫D2

f(x, y) dA.

(3) Monotonıa: Si f(x, y) ≤ g(x, y) en D, entonces

∫∫D

f(x, y) dA ≤∫∫

D

g(x, y) dA.

(4) Desigualdad del valor absoluto:

∣∣∣∣∫∫D

f(x, y) dA

∣∣∣∣ ≤ ∫∫D

|f(x, y)| dA.

(5) Invariancia por cambios de area cero: El valor de la integral no cambia si se modificaf en un conjunto de area cero (como un punto, un segmento o una curva regular).

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76 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Calcula las integrales dobles de las siguientes funciones sobre los rectangulos dados.

(1) f(x, y) = xy + x en R = [1, 2]× [0, 3].(2) f(x, y) = cos(x+ y) en R = [0, π/4]× [0, π/4].(3) f(x, y) = x2y + xey en R = [1, 3]× [0, 1].(4) f(x, y) = x2 + y2 + xy + 2x+ 1 en R = [0, 1]× [0, 1].

Usa alguna de las paginas web que se recomiendan al final del guion para dibujar en cada caso elsolido V cuyo volumen viene dado por la integral doble correspondiente.

Ejercicio 2. Usa una integral doble para calcular el volumen de los siguientes solidos.

(1) El solido limitado entre el plano z = 4− x− y y el rectangulo R = [0, 1]× [0, 2].(2) El solido limitado entre el paraboloide x2 + y2 + z = 9 y el cuadrado R = [−1, 1]× [−1, 1].

Ejercicio 3. Calcula las integrales dobles de las siguientes funciones sobre las regiones dadas.

(1) f(x, y) = y + x en el triangulo limitado por las rectas y = 0, y = 2x y x = 1.(2) f(x, y) = y en la region limitada por las curvas y =

√x, y = 0 e y = 2− x.

(3) f(x, y) = 2xy en la region limitada por las curvas y = x2 e y = x3.(4) f(x, y) = x− y en el triangulo de vertices (0, 0), (1, 1) y (2, 0).

Ejercicio 4. Utiliza una integral doble para hallar el area de la region comprendida entre las dosramas de la hiperbola x2 − y2 = 1, el eje OX y la recta horizontal y = a > 0.

Ejercicio 5. En los siguientes casos, dibuja la regon sobre la que se integra y aplica el teoremade Fubini para escribir las integrales intercambiando el orden en el que se integran las variables.La funcion f es cualquier funcion continua, en este ejercicio no se trata de calcular las integrales,sino de entender como pasar de X-proyectable a Y -proyectable y viceversa usando la geometrıa.

∫ 1

0

[∫ 1

x

f(x, y) dy

]dx,

∫ 1

−1

[∫ 3+2x−x2

2x+2

f(x, y) dy

]dx,

∫ 2

0

[∫ 2√2x

x2

f(x, y) dy

]dx,

∫ 0

−2

[∫ y+2

0

f(x, y) dx

]dy,

∫ 4

1

[∫ 4

√y

f(x, y) dx

]dy,

∫ 2

1

[∫ log(y)

0

f(x, y) dx

]dy.

Ejercicio 6. Dibuja la region del plano en la que se esta integrando y aplica el Teorema de Fubinipara, intercambiando el orden de integracion, calcular las siguientes integrales:

∫ 1

0

[∫ 1

x

ey2

dy

]dx,

∫ 1

0

[∫ πx/2

arc sen(x)

y dy

]dx,

∫ 1

0

[∫ 1

y2

√x sen(x) dx

]dy,

∫ π

0

[∫ π2

y2

y cos(x2) dx

]dy.

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5. Integrales multiples 77

2. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES

Para calcular integrales dobles existe, ademas del teorema de Fubini, otra herramienta fundamentalque es la tecnica del cambio de variables. Recordemos que para funciones de una variable, sitenemos una funcion continua f : [a, b] → R y hacemos un cambio de variable mediante una funcionx = x(t) con derivada no nula, entonces se verifica la siguiente formula∫ b

a

f(x) dx =

∫ β

α

f(x(t)) |x′(t)| dt

siendo [α, β] el intervalo donde se mueve la t. La condicion de derivada no nula garantiza que x(t)transforma [α, β] de manera inyectiva en [a, b], el intervalo en el que se mueve la x; es decir, paracada valor de x ∈ [a, b] hay un unico valor t ∈ [α, β] tal que x(t) = x. En dos variables, la formulade cambio de variables establece una igualdad similar donde el papel de x′(t) lo desempena eldeterminante jacobiano del cambio de variables.

Interpretacion geometrica del determinante jacobiano. Hemos visto que si x = x(u, v) ey = y(u, v) es un cambio de variables de clase C1, entonces el determinante de la matriz jacobiana

det

(∂(x, y)

∂(u, v)

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

actua como factor de dilatacion de las areas a pequena escala, en el sentido de que si R es la imagenen el plano de las variables (x, y) de un rectangulo S del plano de las variables (u, v) que tiene

lados ∆u y ∆v muy pequenos, entonces area(R) ≈∣∣∣det(∂(x,y)

∂(u,v)

)∣∣∣ area(S).

Para S muy pequeno, area(R) ≈∣∣∣det( ∂(x,y)

∂(u,v)

)∣∣∣ · area(S) .

Teorema del cambio de variable para integrales dobles. Sea x = x(u, v) e y = y(u, v) uncambio de variables que transforma una region S del plano de las variables (u, v) en la region R delplano de las variables (x, y) de manera inyectiva (o sea, para cada punto (x, y) ∈ R hay un unicopunto (u, v) ∈ S que se transforma en el salvo, quizas, un conjunto de area cero). Supongamos que

el cambio de variables es de clase C1 y que su determinante jacobiano det(

∂(x,y)∂(u,v)

)solo se anula

en un conjunto de area cero. Si f es una funcion continua en R, entonces∫∫R

f(x, y) dx dy =

∫∫S

f(x(u, v), y(u, v)

)·∣∣∣∣det(∂(x, y)

∂(u, v)

)∣∣∣∣ du dv,donde hemos escrito “dx dy” y “du dv” en vez de “dA” para hacer enfasis en cuales son las variablesde integracion en cada integral.

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78 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Los cambios de variables permitiran, en general, simplificar o bien la funcion integrando o bienel recinto de integracion. ¡Atencion!: un error muy comun es olvidarse de incluir el jacobiano alaplicar el cambio de variables.

Recordemos ahora los cambios de variables mas importantes en el plano, indicando a que tipo derecintos de integracion estan asociados.

(1) Cambios lineales: Dada una matriz A invertible, el cambio de variables(xy

)= A

(uv

)tiene

determinante jacobiano igual a det(A). Los cambios lineales de variables son apropiadospara pasar de integrar en un paralelogramo (o en un triangulo) a integrar en un rectangulocon lados paralelos a los ejes coordenados (o en un triangulo rectangulo con catetos paralelosa los ejes coordenados).

(2) Coordenadas polares: El cambio a polares, x = r cos(θ), y = r sen(θ), tiene jacobianoigual a r. Es apropiado para pasar de integrar en un cırculo, un anillo o un sector circular,a integrar en un rectangulo. Si el cırculo sobre el que hay que integrar tiene centro (a, b),se usan las coordenadas polares que tienen como polo dicho punto, o sea, x = a+ r cos(θ),y = b+ r sen(θ).

Usando el teorema del cambio de variables puede deducirse la formula del area limitada

por una curva dada en coordenadas polares, 12

∫ β

α

[r(θ)

]2dθ, vista en Matematicas II.

(3) Coordenadas elıpticas: La parametrizacion habitual de la elipse x2/a2 + y2/b2 = 1puede utilizarse para pasar de integrar en la region limitada por dicha elipse a integrar enun rectangulo sin mas que considerar el cambio de variables x = ar cos(t), y = br sen(t)con 0 ≤ t ≤ 2π y 0 ≤ r ≤ 1, que tiene determinante jacobiano igual al producto a b r.

EJERCICIOS DE LA SECCION 2

Ejercicio 1. Sea D la region limitada por las rectas y = 2x, y = 2x − 2, y = x e y = x + 1.Calcula

∫∫Dxy dx dy haciendo el cambio de variables u = 2x− y v = x− y.

Ejercicio 2. Sea D el rombo cuyos vertices son los puntos (0, 0), (1, 2), (2, 1) y (3, 3). Calcula lasecuaciones de las rectas sobre las que se apoyan los lados del rombo D y utiliza dichas ecuacionespara hacer un cambio de variables lineal adecuado que permita calcular la integral

∫∫D(y−2x) dx dy.

Ejercicio 3. Sea D el paralelogramo de vertices (0, 0), (−1, 3), (2, 1) y (1, 4). Haciendo un cambiode variables lineal adecuado halla

∫∫D(x2 − y) dx dy.

Haz los Ejercicios 4 a 10 aplicando el cambio a coordenadas polares.

Ejercicio 4. Sea D el disco unidad x2 + y2 ≤ 1. Calcula∫∫

Dx2 dx dy.

Ejercicio 5. Sea D el disco x2 + y2 ≤ 4. Calcula∫∫

D(x− y2) dx dy.

Ejercicio 6. Sea D el semicırculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0. Calcula∫∫

D(x2 + y2) dx dy.

Ejercicio 7. Sea D el cuarto del cırculo dado por x2+ y2 ≤ 9, x, y ≥ 0. Calcula∫∫

D(x+ y) dx dy.

Ejercicio 8. Sea D el cırculo de centro (0, 2) y radio 2. Calcula∫∫

D(x2 + y) dx dy.

Ejercicio 9. Calcula∫∫

D(x2 + y2) dx dy, siendo D el anillo 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.

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5. Integrales multiples 79

Ejercicio 10. Sea r : [α, β] → R, una funcion continua y no negativa. Utiliza el teorema delcambio de variables para probar que el area de la region limitada por la curva r = r(θ) y las

semirrectas de ecuaciones θ = α y θ = β viene dada por 12

∫ β

α

[r(θ)

]2dθ.

Ejercicio 11. Dibuja y halla el area de la region limitada entre las hiperbolas x2 − y2 = 1 yy2 − x2 = 1 y las rectas x+ y = 1 y x+ y = 4 usando un cambio de variables adecuado.

Ejercicio 12. Calcula∫∫

D(x− y) dx dy siendo D la region elıptica x2 + 4y2 ≤ 16 contenida en el

cuadrante positivo.

Ejercicio 13. Sea D la porcion del anillo elıptico 4 ≤ 4x2+y2 ≤ 36 que se encuentra en el primer

cuadrante. Dibuja la region D y calcula

∫∫D

xy dx dy.

Ejercicio 14. Sea D la region limitada por la elipse 9(x−1)2+(y−4)2 ≤ 16. Calcula∫∫

Dx dx dy.

Ejercicio 15. Sea D la region limitada en el primer cuadrante por las circunferencias x2+ y2 = 2y x2 + y2 = 4 y las hiperbolas x2 − y2 = 1 y x2 − y2 = 2. Dibuja D y, haciendo un cambio devariables adecuado, calcula

∫∫Dxy(x2 + y2) dx dy.

Ejercicio 16. Dibuja la region D ={(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x+ y ≤ 2, y ≤ x, x2 − y2 ≤ 1

}y calcula su

area haciendo el cambio de variables u = x2 − y2, v = x+ y.

Ejercicio 17. Tomamos un vaso cilındrico de radio r y altura h lleno de agua y empezamos abeber hasta que vemos que la lınea del fondo coincide con el diametro del cırculo, ¿A que alturadel vaso quedara el agua restante cuando lo pongamos vertical? (No, no es la cuarta parte).

Ejercicio 18. Veamos dos formas de probar que I =∫∞0

e−x2

dx =√π/2. En primer lugar,

aplica el teorema de Fubini para probar la igualdad I2 =∫∞0

[∫∞0

e−(x2+y2) dx]dy. Ahora se

puede proceder de dos maneras:

(1) Utilizando el cambio a coordenadas polares en la integral doble.(2) Usando el cambio de variables x = u, y = uv en la integral doble.

Usa el valor calculado de I, aplicando el cambio de variable x =√2σt+ µ, para probar que

1

σ√2π

∫ ∞

−∞e−

12 (

x−µσ )

2

dt = 1.

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80 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

3. INTEGRALES TRIPLES

Integrales triples sobre paralelepıpedos. Para definir las integrales triples en el espaciotridimensional, lo analogo a un rectangulo de lados paralelos a los ejes es un paralelepıpedo rectoU cuyas caras son paralelas a los planos coordenados y que viene dado, a partir de tres intervalos[x1, x2], [y1, y2] y [z1, z2], por los puntos (x, y, z) tales que x1 ≤ x ≤ x2, y1 ≤ y ≤ y2 y z1 ≤ z ≤ z2,lo que se escribe U = [x1, x2]× [y1, y2]× [z1, z2].

Paralelepıpedo recto.

Ahora, si f es una funcion continua en U , la integral triple de f en U , que se denota por∫∫∫U

f(x, y, z) dx dy dz o bien

∫∫∫U

f(x, y, z) dV

(donde “dV ” se lee “diferencial de volumen”), se define de manera analoga a las integrales doblessobre rectangulos: Dividiendo cada intervalo [x1, x2], [y1, y2], [z1, z2] en subintervalos generamosuna particion de U formada por sub-paralelepıpedos Uk. En cada uno de los Uk tomamos un punto(xk, yk, zk) y formamos la suma de Riemann de f correspondiente a esta particion∑

k

f(xk, yk, zk)vol(Uk).

La integral triple∫∫∫

Uf(x, y, z) dV es, entonces, el lımite de las sumas de Riemann cuando el

tamano de estos sub-paralelepıpedos tiende a cero.

La manera practica de calcular la integral triple de f en U es ir calculando integrales parcialescon respecto a una variable cada vez. Segun el orden en el que vayamos realizando las integralesparciales podemos obtener seis integrales iteradas distintas. Por ejemplo, lo habitual suele serintegrar parcialmente primero con respecto a z, despues con respecto a y y, finalmente, con respectoa x, lo que nos darıa ∫ x2

x1

[∫ y2

y1

[∫ z2

z1

f(x, y, z) dz

]dy

]dx.

El resultado crucial es que, como en el caso de las integrales dobles, cualquiera que sea el orden enque se hagan las integrales parciales, el valor que se obtiene coincide con la integral triple de f enU definida como lımite de las sumas de Riemann.

Teorema de Fubini para un paralelepıpedo. Si U es un paralelepıpedo en R3 entonces todaslas integrales iteradas de una funcion f continua en U coinciden con el valor de la integral triplede f en U . En particular, por ejemplo,∫∫∫

U

f(x, y, z) dV =

∫ x2

x1

[∫ y2

y1

[∫ z2

z1

f(x, y, z) dz

]dy

]dx.

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5. Integrales multiples 81

Integrales triples sobre regiones proyectables. De forma analoga a lo hecho para integralesdobles, diremos que un solido U es XY -proyectable cuando puede describirse como

U ={(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)

}para cierta region D del plano XY y ciertas funciones continuas z1, z2:D → R.En terminos geometricos, un solido XY -proyectable es el comprendido entre las graficas, ambasconstruidas sobre una misma region D del plano XY , de dos funciones: la cara inferior del solidoes la superficie z = z1(x, y) y la cara superior es la superficie z = z2(x, y). Tambien puede apareceruna cara lateral cuya proyeccion es la frontera de D.

Solidos XY -proyectables; el segundo tiene cara lateral.

La manera practica de reconocer si un solido dado U es XY -proyectable es hallar su proyeccion Dsobre el plano XY y levantar sobre cada punto (x, y) interior de la proyeccion D una recta vertical.Dicha recta debe cortar la frontera del solido unicamente en dos puntos, la altura del corte en lacara inferior sera z1(x, y) y la del corte en la cara superior sera z2(x, y).

Si U es un solido XY -proyectable y f :U → R es continua, se define la integral de f sobre U como∫∫∫U

f(x, y, z) dV :=

∫∫D

[∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz

]dA.

Si, ademas, D es X-proyectable en el plano, entonces podemos calcular esta integral triple comotres integrales iteradas aplicando el teorema de Fubini a la integral doble sobre la proyeccion D:∫∫∫

U

f(x, y, z) dV =

∫ x2

x1

[∫ y2(x)

y1(x)

[∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz

]dy

]dx,

y obtendrıamos una formula similar si D fuera Y -proyectable.

Esta definicion se traslada de forma totalmente analoga a solidos Y Z-proyectables o XZ-proyecta-bles. El teorema de Fubini nos dice que para un solido U que sea de los tres tipos a la vez, las seisposibles integrales iteradas son todas iguales a la integral triple de f en U . En particular, al igualque un area plana puede obtenerse como una integral doble, un volumen puede obtenerse comouna integral triple. Si tenemos un solido U en R3, su volumen es la integral vol(U) =

∫∫∫U1 dV.

Las propiedades vistas para integrales dobles— linealidad, monotonıa, aditividad, valor absoluto einvariancia por cambios de volumen cero— tambien son validas para integrales triples.

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82 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Teorema del cambio de variable para integrales triples. Supongamos que el cambio devariables (x, y, z) =

(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)transforma una region U del espacio de las

variables (u, v, w) en la region V del espacio de las variables (x, y, z) de manera inyectiva. Supon-

gamos, ademas, que el cambio de variables es de clase C1 y su determinante jacobiano det(

∂(x,y,z)∂(u,v,w)

)solo se anula en un conjunto de volumen cero. Si f :V → R es una funcion continua, entonces∫∫∫

V

f(x, y, z) dx dy dz =

∫∫∫U

f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)·∣∣∣∣det( ∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

)∣∣∣∣ du dv dw.Recordemos los cambios de tres variables mas habituales, ya vistos en la Leccion 4.

(1) Cambios lineales: Dada una matriz invertible A de orden 3, el cambio de variables(x

y

z

)= A

(u

v

w

)tiene determinante jacobiano igual a det(A). Los cambios lineales son

apropiados en recintos limitados por planos paralelos dos a dos.

(2) Coordenadas cilındricas: El cambio a coordenadas cilındricas (r, θ, z)

x = r cos(θ), y = r sen(θ), z = z,

tiene determinante jacobiano igual a r y es util para integrar en solidos de revolucion.

(3) Coordenadas esfericas: El cambio a coordenadas esfericas (ρ, θ, ϕ)

x = ρ cos(θ) sen(ϕ), y = ρ sen(θ) sen(ϕ), z = ρ cos(ϕ),

tiene determinante jacobiano igual a −ρ2 sen(ϕ) y resulta apropiado cuando integramos ensolidos que tienen simetrıa esferica o en conos con vertice en el origen.

EJERCICIOS DE LA SECCION 3

Ejercicio 1. Calcula las integrales triples de estas funciones sobre los paralelepıpedos dados:

(1) f(x, y, z) = x+ y + z en U = [−1, 2]× [0, 2]× [1, 2].(2) f(x, y, z) = xy + 2z en U = [0, 1]× [1, 3]× [−1, 2].(3) f(x, y, z) = x2z en U = [1, 4]× [−2, 2]× [0, 3].(4) f(x, y, z) = z − 2y + 3x3 en U = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1].(5) f(x, y, z) = x cos(zx)− y sen(zy) en U = [0, π/2]× [0, π/4]× [0, 1].

Ejercicio 2. Utiliza una integral triple para hallar el volumen del tetraedro limitado por los planoscoordenados y el plano x+ 2y + 3z = 6.

Ejercicio 3. Halla el volumen del solido del octante positivo interior a z = x2 + y2 con z ≤ 2.

Ejercicio 4. Sea V la peonza limitada inferiormente por el cono z2 = x2 + y2 y superiormentepor la esfera x2 + y2 + z2 = 9 (como en la figura de la p. 81). Calcula su volumen.

Ejercicio 5. Sea V el solido limitado superiormente por el elipsoide x2 + 4y2 + z2 = 9 e inferior-

mente por el paraboloide z = x2 + 4y2 − 3. Calcula

∫∫∫V

z dx dy dz.

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5. Integrales multiples 83

Ejercicio 6. Sea V el solido limitado superiormente por el paraboloide z = 4−x2−y2, lateralmente

por el cilindro x2 + y2 = 1 e inferiormente por el plano z = 0. Calcula

∫∫∫V

x2 dx dy dz.

Ejercicio 7. Sea V el solido dado por V ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 ≤ 1, z ≥ |y|

}(se

parece a la punta de un destornillador). Calcula el volumen de V .

Ejercicio 8. Utiliza las propiedades de las integrales triples para deducir las formulas de losvolumenes de cuerpos de revolucion vistas en Matematicas II.

Ejercicio 9. Sea U el solido limitado de la siguiente manera: por debajo, por el cono 4x2+4y2 = z2

(z ≥ 0) y, por encima, por la esfera x2 + y2 + z2 = 2z. Calcula la integral

∫∫∫U

(1 + x) dx dy dz.

Ejercicio 10. Sea V el solido definido por las desigualdades 1 ≤ x + y + z ≤ 2, 0 ≤ x + y ≤ 2,

0 ≤ x ≤ 1. Calcula

∫∫∫V

(x+ y + z) dx dy dz.

Ejercicio 11. Halla el volumen del solido limitado lateralmente por el cilindro 2x2 + y2 = 25 ysuperior e inferiormente por la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 25.

Ejercicio 12. Calcula el volumen del solido U interior a la semiesfera x2 + y2 + z2 = 4 con z ≥ 0e interior al cono de ecuacion z2 = 4x2 + 4y2.

Ejercicio 13. Halla el volumen del solido U limitado en el octante positivo por el cilindro deecuacion z2 + y2 = 1 entre los planos x = 0 e y = x.

Ejercicio 14. Sea U el trozo de la esfera unidad interior al cono de ecuacion z2 = (x − 1)2 + y2

en el octante positivo. Calcula

∫∫∫U

z√x2 + y2 dx dy dz.

Ejercicio 15. Halla el volumen del solido V limitado superiormente por el paraboloide de ecuacionz = 5− x2 − y2, lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1 e inferiormente por el plano z = y.

Ejercicio 16. Halla el volumen del solido U limitado superiormente por el paraboloide de ecuacionz = 3− 4x2 − y2 e inferiormente por el plano z = 2y.

Ejercicio 17. Sea U la cuna del cilindro solido x2 + y2 ≤ 1 con 0 ≤ z ≤ 2 dada en el cuadrante

positivo por x ≤ y. Calcula

∫∫∫U

xz dx dy dz.

ALGUNAS NOTAS HISTORICAS.

Aunque el procedimiento de integrales iteradas ya fue usado por Gottfried W. Leibniz, fue Leonhard Euler quien dioen 1769 la primera definicion de integral doble y su calculo mediante integrales iteradas, ası como el primer teoremadel cambio de variables. Las integrales sobre regiones no rectangulares se emplearon desde los comienzos del calculo

pero su formalizacion inicial se debio a Gustav Dirichlet en 1839. El desarrollo posterior de la teorıa de integralesmultiples descansa, esencialmente, en los trabajos de Joseph Louis Lagrange, Carl F. Gauss, Mijaıl Ostrogradski,Carl G. Jacobi y Henri Cartan en el siglo xix.

A comienzos del siglo xx se planteo el problema general de saber cuanto mide una region cualquiera en el plano,un solido en el espacio tridimensional o, mas generalmente, un cuerpo en un espacio de dimension mayor. Lascontribuciones esenciales del matematico frances Henri Lebesgue a esta cuestion en 1902 dieron lugar a la potente

teorıa de integracion de Lebesgue que hoy se usa en matematica avanzada. El teorema de Fubini se llama ası enhonor del matematico italiano Guido Fubini que lo probo en 1907 en el marco de esta teorıa.

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84 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

La integracion de Lebesgue se ha empleado para dar fundamentacion matematica rigurosa a la teorıa de la proba-bilidad y la estadıstica matematica, logro del matematico ruso Andrei Kolmogorov en 1933, a la mecanica cuantica,

sistematizada por el matematico hungaro Janos von Neumann en 1932, y a los metodos de calculo aplicados a losproblemas de transmisiones electricas por el ingeniero ingles Oliver Heaviside a finales del siglo xix, que fueron justi-ficados, independientemente, por el matematico ruso Serguei Sobolev, con su teorıa de las funciones generalizadasde 1936, y por el matematico frances Laurent Schwartz con su teorıa de las distribuciones de 1950.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Capıtulo 13.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Capıtulo 13.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Capıtulo 15.

Paginas web de interes:

http://www.wolframalpha.com

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm