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Lecci on 5. INTEGRALES · PDF fileLecci on 5. INTEGRALES MULTIPLES 1. INTEGRALES DOBLES Las integrales dobles y triples —integrales de funciones de dos o tres variables— son una

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  • Matemáticas III (GITI, 2016–2017)

    Lección 5. INTEGRALES MÚLTIPLES

    1. INTEGRALES DOBLES

    Las integrales dobles y triples — integrales de funciones de dos o tres variables— son una generali- zación natural de las integrales de funciones de una variable. La idea subyacente es la misma: dada una función definida sobre un cierto conjunto, primero partimos este conjunto en trozos pequeños; luego tomamos un valor representativo de la función en cada uno de los trozos y hallamos la suma ponderada de dichos valores, o sea, la suma de dichos valores multiplicados por la medida del trozo correspondiente (su longitud en el caso de una variable, su área en el caso de dos y su volumen en el caso de tres); finalmente, hallamos el valor ĺımite de esas sumas ponderadas cuando los trozos de la partición se hacen arbitrariamente pequeños. Un ejemplo es el cálculo de un volumen mediante un proceso de paso al ĺımite en el que en cada etapa se calculan volúmenes de figuras elementales. En esta lección definiremos las integrales múltiples y estudiaremos las técnicas para calcularlas: su reducción al cálculo de varias integrales de una variable y los cambios de variables.

    Integral doble. Sea R = [a, b]× [c, d] un rectángulo en R2 y sea f :R → R una función continua. Dividiendo el intervalo [a, b] enm subintervalos iguales y el intervalo [c, d] en n subintervalos iguales, generamos una partición P de R en m · n subrectángulos Rij (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n).

    Sólido limitado por z = f(x, y) sobre R y suma de Riemann (m = 5, n = 9).

    Ahora elegimos en cada subrectángulo Rij un punto representativo (xi, yj) y, denotando por área(Rij) el área de Rij , formamos la suma de Riemann de f con respecto a P dada por

    m∑ i=1

    n∑ j=1

    f(xi, yj)área(Rij).

    Si f es positiva, el sumando f(xi, yj)área(Rij) es el volumen de un paraleleṕıpedo de base Rij y altura zij = f(xi, yj), que corresponde a un punto de la superficie de ecuación z = f(x, y). Aśı que la suma de Riemann es una aproximación al volumen limitado por dicha superficie sobre R y la idea es que cuanto más afinemos la partición más nos acercaremos a dicho volumen.

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  • 72 Matemáticas III (GITI, 2016–2017)

    Usando la continuidad se prueba que existe un valor al que tienden las sumas de Riemann cuando el tamaño de los subrectángulos tiende a cero. Este valor es la integral doble de f sobre R y se denota por ∫∫

    R

    f(x, y) dA = ĺım m,n→∞

    m∑ i=1

    n∑ j=1

    f(xi, yi)área(Rij).

    (“dA” se lee “diferencial de área”.)

    Sumas de Riemann para diferentes particiones.

    Cuando f es positiva, la integral doble de f sobre R es, como nos indica la intuición geométrica, el volumen del sólido limitado por la superficie de ecuación z = f(x, y) sobre el rectángulo R.

    Integrales iteradas. Al igual que con las integrales de una variable, aplicar la definición para calcular una integral doble suele ser imposible. Alĺı se usa la regla de Barrow, vamos a ver que el procedimiento aqúı es reducir una integral doble a dos integrales de una variable, o sea, dos aplicaciones de la regla de Barrow.

    Sea f :R → R una función continua en el rectángulo R = [a, b]× [c, d]. Para cada x ∈ [a, b] podemos considerar la función de la variable y que se obtiene manteniendo la x constante e integrar dicha

    función en [c, d], es decir, calcular ∫ d c f(x, y) dy que se llama integral parcial con respecto a y.

    Integrales parciales.

    La integral ∫ d c f(x, y) dy depende del valor de x fijado, lo que define una función g(x) =

    ∫ d c f(x, y) dy

    con x ∈ [a, b]. Observemos también que si f es positiva entonces este valor g(x) es, precisamente, el área de la sección que se obtiene al cortar el sólido limitado por la superficie de ecuación z = f(x, y) sobre el rectángulo R por el plano paralelo al plano Y Z a la altura x del eje OX.

    Puede probarse que g es continua, lo que nos permite considerar su integral

    ∫ b a

    g(x) dx =

    ∫ b a

    [∫ d c

    f(x, y) dy

    ] dx,

    llamada integral iterada, primero con respecto a y, después con respecto a x, de f en R.

  • 5. Integrales múltiples 73

    Análogamente, si integramos con respecto a x manteniendo y constante, tenemos ∫ b a f(x, y) dx,

    la integral parcial con respecto a x. Esto define una función continua h(y) = ∫ b a f(x, y) dx para

    y ∈ [c, d] que nos da, si f es positiva, el área de la sección que se obtiene al cortar el sólido limitado por la superficie de ecuación z = f(x, y) sobre el rectángulo R por el plano paralelo al plano XZ a la altura y del eje OY . Ahora, integramos h(y) con respecto a y para obtener la integral iterada, primero con respecto a x, después con respecto a y:∫ d

    c

    h(y) dy =

    ∫ d c

    [∫ b a

    f(x, y) dx

    ] dy.

    Ambas integrales iteradas coinciden con la fórmula de cálculo de un volumen por secciones paralelas que vimos en ”Matemáticas II”, luego ambas deben ser iguales al volumen.

    Teorema de Fubini para regiones rectangulares. Sea f :R → R una función continua en el rectángulo R = [a, b]× [c, d]. Entonces las dos integrales iteradas de f en R coinciden y son iguales a la integral doble de f en R, es decir,∫∫

    R

    f(x, y) dA =

    ∫ d c

    [∫ b a

    f(x, y) dx

    ] dy =

    ∫ b a

    [∫ d c

    f(x, y) dy

    ] dx.

    Debido a esto, la integral doble ∫∫

    R f(x, y) dA se representa también como

    ∫∫ R f(x, y) dx dy.

    Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Supongamos que tenemos una superficie de ecuación z = f(x, y) donde f :D → R es una función continua y positiva cuyo dominio D es un conjunto acotado del plano que no es un rectángulo. Sea V el sólido limitado entre el plano del suelo y la superficie z = f(x, y) sobre D, es decir, V está formado por todos los puntos (x, y, z) tales que (x, y) ∈ D y 0 ≤ z ≤ f(x, y).

    El sólido V .

    ¿Cómo calculamos el volumen del sólido V ? Una idea seŕıa construir un rectángulo R de manera que D esté contenido en R, extender la función f definiendo f(x, y) igual a cero en los puntos de R que no están en D y calcular la integral doble de f en R. El problema es que f no tiene por qué ser continua en R; pudiera tener un salto a lo largo de la pared del sólido V , sobre la frontera del dominio D. Existe una teoŕıa que permite construir la integral general en este caso, pero es demasiado compeja para esta asignatura. Lo que haremos es presentar un procedimiento más restringido, basado en la conclusión del teorema de Fubini sobre la igualdad de las integrales iteradas, que nos permitirá definir la integral doble al menos en los dominios no rectangulares más t́ıpicos que aparecen en la práctica (triángulos, ćırculos, elipses, etc.).

  • 74 Matemáticas III (GITI, 2016–2017)

    Regiones proyectables. Dado un intervalo [a, b], sean c: [a, b] → R y d: [a, b] → R dos funciones continuas tales que c(x) ≤ d(x) para todo x ∈ [a, b]. Sea D la región plana limitada entre las gráficas de estas funciones: D = {(x, y) : x ∈ [a, b], c(x) ≤ y ≤ d(x)}. Diremos que este conjunto D es una región X-proyectable.

    Región que es, a la vez, X-proyectable e Y -proyectable.

    Para reconocer si una región dada D es X-proyectable hacemos lo siguiente: Proyectamos la región perpendicularmente sobre el eje OX y el resultado debe ser un intervalo [a, b] cuyo extremo a es la abscisa del punto de D que esté más a la izquierda, es decir, la menor de todas las abscisas de los puntos de D, y cuyo extremo b es la abscisa del punto de D que esté más a la derecha, es decir, la mayor de todas las abscisas de los puntos de D. Ahora, para cada x tal que a < x < b, trazamos la recta vertical que pasa por (x, 0). Esta recta debe cortar la frontera de D únicamente en dos puntos cuyas ordenadas, naturalmente, dependen del valor de x que hayamos fijado. En ese caso, las funciones c(x) y d(x) vienen dadas de la siguiente manera: c(x) es la ordenada del punto de corte inferior y d(x) es la ordenada del punto de corte superior.

    Análogamente, se dice que una región plana D es una región Y -proyectable cuando puede escribirse comoD = {(x, y) : y ∈ [c, d], a(y) ≤ x ≤ b(y)} para dos funciones continuas a, b: [c, d] → R tales que a(y) ≤ b(y) en [c, d]. El procedimiento para reconocer si una región D es Y -proyectable es análogo al descrito para reconocer si es X-proyectable: fijamos y en el interior del intervalo [c, d] que es la proyección perpendicular de D sobre el eje OY , entonces la recta horizontal que pasa por (0, y) debe cortar la frontera de D únicamente en dos puntos (a(y), y) y (b(y), y).

    Integral doble sobre una región proyectable. SeaD una regiónX-proyectable y sea f :D → R una función continua. La integral doble de f sobre D se define como∫∫

    D

    f(x, y) dA =

    ∫ b a

    [∫ d(x) c(x)

    f(x, y) dy

    ] dx.

    Si D es Y -proyectable, entonces la integral doble de f sobre D se define como∫∫ D

    f(x, y) dA =

    ∫ d c

    [∫ b(y) a(y)

    f(x, y) dx

    ] dy.

    Teorema de Fubini para regiones proyectables. Si D es X-proyectable e Y -proyectable al mismo tiempo, entonces las integrales previamente definidas coinciden.

  • 5. Integrales múltiples 75

    Int

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