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Transparencias sobre integrales impropias e integrales dobles

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  • INTEGRALES IMPROPIAS

    Hasta ahora hemos estudiado la integral de Riemann de una funcin f acotada y definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b], con ,a b . Ahora generalizamos este concepto.

    1. Integral de una funcin acotada, definida en un intervalo no acotado (Integral impropia de 1 especie). Ejemplo:

    1( ) en [1, )f xx

    =

    2. Integral de una funcin no acotada, definida en un

    intervalo acotado (Integral impropia de 2 especie). Ejemplo:

    1( ) en (0,1]f xx

    =

    3. Integral de una funcin no acotada, definida en un

    intervalo no acotado (Integral impropia de 1 y 2 especie). Ejemplo:

    1

    0 0 1

    1 especie 2 especie

    1 1 1 1( ) en (0, )f x dx dx dxx x x x

    = = +

  • Definicin: Sea f una funcin acotada definida en el intervalo [ , ),a a . Si para todo b>a la funcin es integrable en [a, b] y adems es finito el lmite lim ( )

    b

    abf x dx

    < , se dice que existe la integral

    impropia de f en [ , )a y es convergente. Ejemplo:

    [ )2

    12 2 11 1

    1( ) en 1, ;

    1 1 1lim lim lim 1 1b b

    b b b

    f xx

    dx dx xx x b

    =

    = = = + =

    Definicin: Sea f una funcin acotada definida en el intervalo ( , ],b b . Si para todo a

  • Condiciones para la existencia de la integral impropia de 1 especie:

    a) Condicin necesaria: Si existe (converge)

    0( )f x dx

    , entonces lim ( ) 0x f x = . b) Condicin necesaria y suficiente: si f es una

    funcin acotada definida en [ , ),a a e integrable en [a, b] b a , con funcin primitiva F tal que lim ( )

    bF b k

    = < , entonces

    ( )a

    f x dx

    es convergente y ( ) ( )

    af x dx k F a

    =

    Criterios de Comparacin: Si f es integrable en el

    intervalo [a, b] b a , g en una funcin tal que 0 ( ) ( ) [ , )f x g x x a , y la integral de g en [ , )a es convergente, entonces la integral f en [ , )a

    es convergente y ( ) ( )a a

    f x dx g x dx

    . Adems si la integral f en [ , )a es no convergente, entonces la integral de g en [ , )a no es convergente.

  • Ejemplo:

    22

    12 2 2 2 22 2

    1 es convergente para todo 2 ya que(1 )

    1 1 1 1 10 y lim lim .(1 ) 2

    x

    b b

    x b b

    dx xx e

    dx dx xx e x x x

    +

    = = = +

    Ejemplo:

    5 / 31

    2 / 3 2 / 3 1/ 35 / 3 5 / 3 11

    2 es divergente para todo 1 ya que22 1 1 1 y lim 3 .

    2 2 2 2 2b

    b

    x dx xx

    x x x x dx xx x

    +

    + > = = =

    Ejercicio: Estudie para qu valores de es

    convergente la integral de la funcin 1( )f xx

    = en el

    intervalo [ , ), con 0.a a >

  • Integrales impropias de 2 especie Definicin: Sea f una funcin definida en (a, b] y supngase que f es integrable en [ , ] 0a b + > . Si

    existe y es finito el lmite 0

    lim ( )b

    af x dx

    + +< , se dice

    que existe la integral impropia de f en (a, b] y es convergente. Anlogamente:

    - La integral de una funcin f no acotada en el intervalo [a, b) se define como el lmite (cuando existe y es finito):

    0lim ( )

    b

    af x dx

    +

    . - Si la funcin f no est acotada en c [a, b], entonces

    se define

    0 0( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

    b c b c b

    a a c a cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

    + +

    + = + = +

    Teorema: Sea f una funcin definida en (a, b] que tiene funcin primitiva F. Entonces si

    0lim ( )F a k

    +

    + = se

    verifica que ( )b

    af x dx es convergente y adems

    ( ) ( )b

    af x dx F b k=

    Ejercicio: Estudie la convergencia de:

    y de:2

    ( ) ln( ), (0,1]1( ) , [ 2,3]

    f x x x

    g x xx

    =

    =

  • Criterios de comparacin: Si la funcin f es integrable en [ , ] 0,a b a b + > + < y g es una funcin tal que 0 ( ) ( ) ( , ],f x g x x a b se tiene que:

    a) Si la integral de g es convergente entonces la integral de f es convergente y

    ( ) ( )

    b b

    a af x dx g x dx

    b) Si la integral de f es no convergente entonces la

    integral de g es no convergente.

  • INTEGRALES EULERIANAS

    Definicin: Se define la funcin Gamma de parmetro

    p como la integral: 1

    0( ) p xp x e dx

    = Proposicin: ExistenciaSi p>0, la integral ( )p es

    convergente. Demostracin:

    ( )1

    1 1

    1

    Sea el intervalo 0, (0,1) [1, ).

    1) Sea ( ) , definida en (0,1); 1 1entonces como 0 , basta con demostrar

    1que es convergente la integral en (0,1) de la funcin

    para 0, para co

    x p

    x p p

    p

    f x e x

    e x x

    xp

    =

    =

    >

    [ ]

    1

    1

    1 0 010

    1

    0 0

    ncluir que tambin ser convergente 1la integral en (0,1) de la funcin para 0 :

    1 , si 01 1 1lim lim1, si 0

    lim ln lim ln , si 0

    x p

    p p

    p

    pe x

    ppx

    p p pdx pxx p

    + +

    + +

    >

    > = = = 0 ser convergente 1 1

    0

    x pe x dx .

  • 11

    2 2

    12 2 11 1

    1

    1

    1

    0

    1 12) Sabemos que [1, ) : 0

    1 1 Como lim lim 1,

    entonces 0< 1, .

    En definitiva, de 1) y de 2) se tiene que es

    convergen

    pp x

    x

    b b

    b b

    p x

    p x

    xx x e pe x x

    dx dx xx x

    x e dx p

    x e dx

    +

    =

    = = =

    <

    te para 0.p >

    Propiedades:

    1) (1) 12) ( ) ( 1) ( 1), 13) Si y 2 ( ) ( 1)!

    4) (1/ 2)

    p p p pp p p p

    = = >

    =

    =

  • Definicin: Se define la funcin beta de parmetros p

    y q como:

    1 1 1

    0( , ) (1 )p qp q x x dx = ,

    y es convergente para 0, 0p q> >

    Propiedades:

    [ ] [ ]

    1 1 1

    0

    / 2 2 1 2 1

    0

    1) ( , ) ( , )2) (1, ) 1/

    -13) ( , ) (1 ) = ( 1, 1), 0, 1

    ( ) ( )4) ( , )( )

    5) ( , ) 2 sin( ) cos( ) , , 0

    p q

    p q

    p q q pq q

    qp q x x dx p q p qq

    p qp qp q

    p q d p q

    ==

    = + > >

    = +

    = >

  • INTEGRALES DOBLES (apuntes extrados de Moiss Villena)

    Definicin

  • De aqu surge la definicin de integral doble:

  • Aqu pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a y igualmente. Hgalo como ejercicio.

  • Integrales dobles sobre regiones generales:

  • 1) Haciendo un barrido vertical:

  • 2) Haciendo un barrido horizontal:

  • Ejemplo 4