INTEGRALES IMPROPIAS
Hasta ahora hemos estudiado la integral de Riemann de una funcin f acotada y definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b], con ,a b . Ahora generalizamos este concepto.
1. Integral de una funcin acotada, definida en un intervalo no acotado (Integral impropia de 1 especie). Ejemplo:
1( ) en [1, )f xx
=
2. Integral de una funcin no acotada, definida en un
intervalo acotado (Integral impropia de 2 especie). Ejemplo:
1( ) en (0,1]f xx
=
3. Integral de una funcin no acotada, definida en un
intervalo no acotado (Integral impropia de 1 y 2 especie). Ejemplo:
1
0 0 1
1 especie 2 especie
1 1 1 1( ) en (0, )f x dx dx dxx x x x
= = +
Definicin: Sea f una funcin acotada definida en el intervalo [ , ),a a . Si para todo b>a la funcin es integrable en [a, b] y adems es finito el lmite lim ( )
b
abf x dx
< , se dice que existe la integral
impropia de f en [ , )a y es convergente. Ejemplo:
[ )2
12 2 11 1
1( ) en 1, ;
1 1 1lim lim lim 1 1b b
b b b
f xx
dx dx xx x b
=
= = = + =
Definicin: Sea f una funcin acotada definida en el intervalo ( , ],b b . Si para todo a
Condiciones para la existencia de la integral impropia de 1 especie:
a) Condicin necesaria: Si existe (converge)
0( )f x dx
, entonces lim ( ) 0x f x = . b) Condicin necesaria y suficiente: si f es una
funcin acotada definida en [ , ),a a e integrable en [a, b] b a , con funcin primitiva F tal que lim ( )
bF b k
= < , entonces
( )a
f x dx
es convergente y ( ) ( )
af x dx k F a
=
Criterios de Comparacin: Si f es integrable en el
intervalo [a, b] b a , g en una funcin tal que 0 ( ) ( ) [ , )f x g x x a , y la integral de g en [ , )a es convergente, entonces la integral f en [ , )a
es convergente y ( ) ( )a a
f x dx g x dx
. Adems si la integral f en [ , )a es no convergente, entonces la integral de g en [ , )a no es convergente.
Ejemplo:
22
12 2 2 2 22 2
1 es convergente para todo 2 ya que(1 )
1 1 1 1 10 y lim lim .(1 ) 2
x
b b
x b b
dx xx e
dx dx xx e x x x
+
= = = +
Ejemplo:
5 / 31
2 / 3 2 / 3 1/ 35 / 3 5 / 3 11
2 es divergente para todo 1 ya que22 1 1 1 y lim 3 .
2 2 2 2 2b
b
x dx xx
x x x x dx xx x
+
+ > = = =
Ejercicio: Estudie para qu valores de es
convergente la integral de la funcin 1( )f xx
= en el
intervalo [ , ), con 0.a a >
Integrales impropias de 2 especie Definicin: Sea f una funcin definida en (a, b] y supngase que f es integrable en [ , ] 0a b + > . Si
existe y es finito el lmite 0
lim ( )b
af x dx
+ +< , se dice
que existe la integral impropia de f en (a, b] y es convergente. Anlogamente:
- La integral de una funcin f no acotada en el intervalo [a, b) se define como el lmite (cuando existe y es finito):
0lim ( )
b
af x dx
+
. - Si la funcin f no est acotada en c [a, b], entonces
se define
0 0( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
b c b c b
a a c a cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
+ +
+ = + = +
Teorema: Sea f una funcin definida en (a, b] que tiene funcin primitiva F. Entonces si
0lim ( )F a k
+
+ = se
verifica que ( )b
af x dx es convergente y adems
( ) ( )b
af x dx F b k=
Ejercicio: Estudie la convergencia de:
y de:2
( ) ln( ), (0,1]1( ) , [ 2,3]
f x x x
g x xx
=
=
Criterios de comparacin: Si la funcin f es integrable en [ , ] 0,a b a b + > + < y g es una funcin tal que 0 ( ) ( ) ( , ],f x g x x a b se tiene que:
a) Si la integral de g es convergente entonces la integral de f es convergente y
( ) ( )
b b
a af x dx g x dx
b) Si la integral de f es no convergente entonces la
integral de g es no convergente.
INTEGRALES EULERIANAS
Definicin: Se define la funcin Gamma de parmetro
p como la integral: 1
0( ) p xp x e dx
= Proposicin: ExistenciaSi p>0, la integral ( )p es
convergente. Demostracin:
( )1
1 1
1
Sea el intervalo 0, (0,1) [1, ).
1) Sea ( ) , definida en (0,1); 1 1entonces como 0 , basta con demostrar
1que es convergente la integral en (0,1) de la funcin
para 0, para co
x p
x p p
p
f x e x
e x x
xp
=
=
>
[ ]
1
1
1 0 010
1
0 0
ncluir que tambin ser convergente 1la integral en (0,1) de la funcin para 0 :
1 , si 01 1 1lim lim1, si 0
lim ln lim ln , si 0
x p
p p
p
pe x
ppx
p p pdx pxx p
+ +
+ +
>
> = = = 0 ser convergente 1 1
0
x pe x dx .
11
2 2
12 2 11 1
1
1
1
0
1 12) Sabemos que [1, ) : 0
1 1 Como lim lim 1,
entonces 0< 1, .
En definitiva, de 1) y de 2) se tiene que es
convergen
pp x
x
b b
b b
p x
p x
xx x e pe x x
dx dx xx x
x e dx p
x e dx
+
=
= = =
<
te para 0.p >
Propiedades:
1) (1) 12) ( ) ( 1) ( 1), 13) Si y 2 ( ) ( 1)!
4) (1/ 2)
p p p pp p p p
= = >
=
=
Definicin: Se define la funcin beta de parmetros p
y q como:
1 1 1
0( , ) (1 )p qp q x x dx = ,
y es convergente para 0, 0p q> >
Propiedades:
[ ] [ ]
1 1 1
0
/ 2 2 1 2 1
0
1) ( , ) ( , )2) (1, ) 1/
-13) ( , ) (1 ) = ( 1, 1), 0, 1
( ) ( )4) ( , )( )
5) ( , ) 2 sin( ) cos( ) , , 0
p q
p q
p q q pq q
qp q x x dx p q p qq
p qp qp q
p q d p q
==
= + > >
= +
= >
INTEGRALES DOBLES (apuntes extrados de Moiss Villena)
Definicin
De aqu surge la definicin de integral doble:
Aqu pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a y igualmente. Hgalo como ejercicio.
Integrales dobles sobre regiones generales:
1) Haciendo un barrido vertical:
2) Haciendo un barrido horizontal:
Ejemplo 4
