MA1002 C alculo II Tema 01: Integrales impropias€¦ · Tema 01: Integrales impropias Parte 01: Integrales de primera y segunda especie Profesor Jesus S anchez Guevara Universidad

MA1002 Calculo IITema 01: Integrales impropias

Parte 01: Integrales de primera y segunda especie

Profesor Jesus Sanchez Guevara

Universidad de Costa Rica

I Semestre 2020

Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 1 / 22

En esta clase

1 Integrales de primera especie.

2 Integrales de segunda especie.

3 Integrales de tercera especie.

4 Regla de L’Hopital.

Introduccion

¿Cual es la utilidad de estos nuevos tipos deintegrales?

o Completar el estudio de integrales defunciones de una variable.o Aproximar valores de regiones no acotadas.


oIntegrales propias: repaso de MA1001

Segundo teorema fundamental del calculo

Si fpxq continua y definida en ra, bs, conprimitiva F pxq, entonces:

ż b

afpxqdx “ F pxq|ba “ F pbq ´ F paq

Recuerde que el valor:

ż b

afpxqdx

se puede interpretar como el area debajo dela curva de la grafica de la funcion.

Ejemplo:

Calculeż π

´πsinpxqdx

Graficar en Geogebra(2D) y=sin(x)

y ver que da cero.

Solucion:

Como p´ cospxqq1 “ sinpxq entonces

ż π

´πsinpxqdx “ p´ cospxqq|π´π

“ ´ cospπq ` cosp´πq

“ ´p´1q ` p´1q

“ 0


o Puede suceder que la funcion fpxq tengaproblemas (no continuidad o se indefina) enalgunos puntos del intervalo ra, bs, ya sea ensus extremos o dentro de el. Se simplifica elanalisis suponiendo que los problemas se dansolo en uno de los puntos de losextremos de la integral:

I “

ż b

afpxqdx

¿Cuales son los posibles casos?

fpxq continua dentro de ra, bs pero:

No esta definida en b.lımxÑb´ fpxq exite COOLlımxÑb´ fpxq sea `8 o ´8 NOTCOOLlımxÑb´ fpxq no exite. NOT COOLat all

No esta definida en a.lımxÑa` fpxq exite COOLlımxÑa` fpxq sea `8 o ´8 NOTCOOLlımxÑa` fpxq no exite. NOT COOLat all

El intervalo no es acotado: b “ `8 oa “ ´8 MMM...

La teorıa de MA1001 nos ayuda para loscasos COOL solo hay que hacer una pequenamodificacion a la hora de calcular lasintegrales:

Si lımxÑb´ fpxq exite, entonces I esconvergente y:

ż b

afpxqdx “ lım

hÑb´

ż h

afpxqdx

“ lımhÑb´

F pxq|ha

“ lımhÑb´

F phq ´ F paq

Si lımxÑa` fpxq exite, entonces I esconvergente y:

ż b

afpxqdx “ lım

hÑa`

ż b

hfpxqdx

“ lımhÑa`

F pxq|bh

“ lımhÑa`

F pbq ´ F phq


Ejemplo:

Calcule la integral

I “

ż 2

1

x2 ´ 1

x´ 1dx

.

Solucion:La funcion se indefine en x “ 1, pero

lımxÑ1`

x2 ´ 1

x´ 1“ lımxÑ1`

x` 1 “ 2

Por lo que I es convergente y podemos usarla teorıa normal con la adaptacion:

ż 2

1

x2 ´ 1

x´ 1dx “ lım

hÑ1`

ż 2

h

x2 ´ 1

x´ 1dx

“ lımhÑ1`

ż 2

hpx` 1qdx

“ lımhÑ1`

px2 ` xq|2h “ lımhÑ1`

p4` 2q ´ ph2 ` hq

“ lımhÑ1`

6´ h2 ´ h “ 4

Graficar en Geogebra y=(x^2-1)/(x-1)

¿Que sucede cuando se esta en los otroscasos?

Si el lımite en los extremos no existe (casosnot cool at all), simplemente se dice que laintegral es divergente.Los otros casos se estudian en MA1002:

Si a “ ´8 o b “ `8 se llaman integralesimpropias de primera especie.

Si a, b finitos y lımxÑb´ fpxq “ ˘8 olımxÑa` fpxq “ ˘8 se llaman integralesimpropias de segunda especie.


Integrales impropias de primera especie

Son aquellas donde el intervalo de integraciones infinito en uno de sus extremos:

ż `8

afpxqdx

tal que la integral propiaşha fpxqdx existe

para todo h ě a.

ż b

´8

fpxqdx

tal que la integral propiaşbh fpxqdx existe

para todo h ď b.

¿Como se calculan? R/ Usando lımites.

ż `8

afpxqdx “ lım

hÑ`8

ż h

afpxqdx

ż b

´8

fpxqdx “ lımhÑ´8

ż b

hfpxqdx

En ambos casos, primero se hace la integralcon h, y luego se calcula el lımite de laexpresion resultante.

1 Si el lımite existe se dice que la integrales convergente.

2 Si el lımite no existe o es ˘8, se diceque la integral es divergente.


Ejemplo:

Estudiar la convergencia o divergencia de

ż `8

0e´2xdx

Solucion:Esta es una integral de primera especie.

ż `8

0e´2xdx “ lım

hÑ`8

ż h

0e´2xdx

“ lımhÑ`8

´1

2e´2x|h0

“ lımhÑ`8

´1

2pe´2h ´ 1q

“´1

2lım

hÑ`8p

1

e2h´ 1q

“´1

2p´1q “

1

2

Ası, esta integral es convergente y se dice queconverge a 1

2.

Ejemplo:


ż 0

´8

e´2xdx

Solucion:Esta es una integral de primera especie.

ż 0

´8

e´2xdx “ lımhÑ´8

ż 0

he´2xdx

“ lımhÑ´8

´1

2e´2x|0h

“ lımhÑ´8

´1

2p1´ e´2hq

(cambio s “ ´h)

“ lımsÑ`8

´1

2p1´ e2sq

“´1

2p´8q “ `8

Ası, esta integral es divergente.


¿Que sucede si tengo una integral deltipo

I “

ż `8

´8

fpxqdx ?

Si la integral propiaşba fpxqdx existe para

todos los numeros reales a,b (tal que a ď b),entonces la integral se separa en dosintegrales de primera especie:

ż `8

´8

fpxqdx “

ż c

´8

fpxqdx`

ż `8

cfpxqdx

El real c se elige a conveniencia, dependiendode la integral que se este estudiando.

Divergencia: Si alguna de las dosintegrales en las que I se separo, esdivergente, entonces automaticamente Ies divergente.

Convergencia: esto sucede cuando dosintegrales en las que I se separo, sonconvergentes.

Ejemplo:


ż `8

´8

e´2xdx

Solucion:

ż `8

´8

e´2xdx “

ż 0

´8

e´2xdx`

ż `8

0e´2xdx

Se sabe del ejemplo anterior que la integralş0´8

e´2xdx diverge,

por lo tantoş`8

´8e´2xdx es divergente.


Ejemplo


I “

ż `8

´8

1

1` x2dx

Graficar Geogebra: y=1/(1+x*x)

Usando el hecho de que fpxq “ 11`x2 es

simetrica con respecto al eje y:

I “

ż `8

´8

1

1` x2dx “

ż 0

´8

1

1` x2dx`

ż `8

0

1

1` x2dx

“ 2

ż `8

0

1

1` x2dx

I “ 2

ż `8

0

1

1` x2dx “ 2 lım

hÑ8

ż h

0

1

1` x2dx

“ 2 lımhÑ8

arctanpxq|h0

“ 2 lımhÑ8

parctanphq ´ arctanp0qq

“ 2 lımhÑ8

arctanphq

“ 2 ¨π

2“ π

Al ser el lımite finito decimos que la integralconverge y se escribe,

I “

ż `8

´8

1

1` x2dx “ π


Integrales de Segunda Especie

Son aquellas donde el intervalo de integraciones finito y la funcion no es acotada en algunode los extremos:

Primer caso:

ż b

afpxqdx, con lım

xÑb´fpxq “ `8 o ´8

y tal que la integral propiaşha fpxqdx

existe para todo a ď h ă b.

Segundo caso:

ż b

afpxqdx, con lım

xÑa`fpxq “ `8 o ´8

y tal que la integral propiaşbh fpxqdx

existe para todo a ă h ď b.

¿Como se calculan? R/ Usando lımites.

Primer caso:

ż b

afpxqdx “ lım

hÑb´

ż h

afpxqdx

Segundo caso:

ż b

afpxqdx “ lım

hÑa`

ż b

hfpxqdx

En ambos casos, primero se hace la integralcon h, y luego se calcula el lımite de laexpresion resultante.o Si el lımite existe se dice que la integral esconvergente.o Si el lımite no existe o es ˘8, se dice quela integral es divergente.


Ejemplo:


ż 0

´1

1

x2dx

Solucion:Esta es una integral de segunda especie, puesno es acotada en 0.

ż 0

´1

1

x2dx “ lım

hÑ0´

ż h

´1

1

x2dx

“ lımhÑ0´

´1

x

ˇ

ˇ

ˇ

h

´1

“ lımhÑ0´

ˆ

´1

h` 1

˙

“`8` 1 “ `8


Ejemplo:


ż 1

0

1

x2dx

Solucion:Esta es una integral de segunda especie, puesno es acotada en 0.

ż 1

0

1

x2dx “ lım

hÑ0`

ż 1

h

1

x2dx

“ lımhÑ0`

´1

x

ˇ

ˇ

ˇ

1

h

“ lımhÑ0`

ˆ

´1`1

h

˙

“´ 1`8 “ `8




I “

ż b

afpxqdx

donde la funcion no es acotada en soloun punto p dentro del intervalo?

Si las integrales propiasşca fpxqdx y

şbd fpxqdx

existe para todos los numeros reales c,d (talque a ď c ă p y p ă d ď b), entonces laintegral se separa en dos integrales desegunda especie:

ż b

afpxqdx “

ż p

afpxqdx`

ż b

pfpxqdx



Ejemplo:


J “

ż 1

´1

1

x2dx

Geogebra y=1/(x*x)

Solucion:La funcion no es acotada en 0, que esta en elinterior del intervalor r´1, 1s, por lo que sedivide en dos integrales impropias de segundaespecie.

ż 1

´1

1

x2dx “

ż 0

´1

1

x2dx`

ż 1

0

1

x2dx

Por los ejemplos anteriores sabes que ambasintegrales divergen a `8, por lo que laintegral J es divergente.



I “

ż b

afpxqdx

donde en ambos extremos la funcion noes acotada?Si la integral propia

şdc fpxqdx existe para

todos los numeros reales c,d (tal quea ă c ď d ă b), entonces la integral se separaen dos integrales de segunda especie:

ż b

afpxqdx “

ż r

afpxqdx`

ż b

rfpxqdx

El real r se elige a conveniencia, dependiendode la integral que se este estudiando.



Ejemplo:


L “

ż 1

0

1

x lnpxqdx

Solucion:La funcion no es acotada en los ambosextremos del intervalo:

1 lımxÑ0`1

x lnpxq“ lımxÑ0`

1{xlnpxq

“ lımxÑ0`´1{x2

1{x“ lımxÑ0`

´1x“ ´8

2 lımxÑ1´1

x lnpxq“ lımxÑ1´

1lnpxq

“

10´“ ´8

Graficar en Geogebra: 1/(x*ln(x))


Ası, esta integral se divide en dos integralesimpropias de segunda especie:

ż 1

0

1

x lnpxqdx “

ż 1{2

0

1

x lnpxqdx`

ż 1

1{2

1

x lnpxqdx

ż 1{2

0

1

x lnpxqdx

“ lımhÑ0`

ż 1{2

h

1

x lnpxqdx

“ lımhÑ0`

lnplnpxqq|1{2h “ lım

hÑ0`lnp

lnp1{2q

lnphqq

“ lımhÑ0`

lnplnp2q

´ lnphqq “ lnp

lnp2q

`8q “ lnp0`q “ ´8

Por lo que esta integral es divergente.

ż 1

1{2

1

x lnpxqdx

“ lımhÑ1´

ż h

1{2

1

x lnpxqdx

“ lımhÑ1´

lnplnpxqq|h1{2 “ lımhÑ1´

lnplnphq

lnp1{2qq

“ lımhÑ1´

lnp´ lnphq

lnp2qq “ lnp

0`

lnp2qq “ lnp0`q “ ´8

Por lo que esta integral tambien es divergente.Finalmente,

ż 1

0

1

x lnpxqdx

es divergente.


Integrales impropias de tercera especie

Una integral impropia se dice de terceraespecie si el intevalo I de integracion esinfinito y posee asıntotas verticales dentro oen un extremo de dicho intervalo, o sea que Ies de primera y de segunda especie a la vez.

oLas integrales de tercera especie se trabajandiviendolas en integrales de primera ysegunda especie. Luego, cada una se analizapor aparte.

Ejemplo

Analice la convergencia o divergencia de laintegral de tercera especie:

ż `8

1

dx

x?x2 ´ 1

o Se deja de ejercicio. Ver pagina 12 PDF deresumen de la catedra en mediacion virtualpor los detalles.


Regla de L’Hopital

o Es una tecnica para resolver cierto tipo delımites, donde el numerador y el denominadortienden a cero.

Ejemplo

lımxÑ1

x3 ´ 1

x´ 1“ lımxÑ1

3x2 ´ 0

1´ 0“ lımxÑ1

3x2 “ 3

o Se derivan numerador y denominador.

Ejemplo

lımxÑ0

arctanpxq ´ sinpxq

x“ lımxÑ0

11`x2 ´ cospxq

1

“1´ 1 “ 0

Observacion: Ambos ejemplos son de laforma 0

0

Ejemplo

lımxÑ0

ax ´ bx

x“ lımxÑ0

ax lnpaq ´ bx lnpbq

1

“ lnpaq ´ lnpbq

Ejemplo

lımxÑ0

xx

Es de la forma 00. Se usa identidad z “ elnpzq.

lımxÑ0

xx “ lımxÑ0

elnpxxq “ lım

xÑ0ex lnpxq “ elımxÑ0 x lnpxq

“ elımxÑ0

lnpxq1{x “H e

lımxÑ01{x

´1{x2“ elımxÑ0p´xq

“ e0 “ 1

Note que este lımite es en realidad xÑ 0`.


Idea general

Si fpaq “ gpaq “ 0 y f 1paq, gpaq existen yg1paq ‰ 0, entonces:

lımxÑa

fpxq

gpxq“ lımxÑa

f 1pxq

g1pxq“f 1paq

g1paq

o Una posible justificacion:

lımxÑa

fpxq

gpxq“ lımxÑa

fpxq ´ fpaq

gpxq ´ gpaq

“ lımxÑa

fpxq´fpaqxá

gpxq´gpaqxá

“f 1paq

g1paq

Formalmente:

Teorema, lımites por la derecha

Sean f, g derivables en pa, bq tales quefpaq “ gpaq “ 0. Si g1pxq ‰ 0 en pa, bq y si

lımxÑa`f 1pxqg1pxq

existe y es igual a L, entonces

se tiene que lımxÑa`fpxqgpxq

existe y es igual a

L, es decir:

lımxÑa`

fpxq

gpxq“ lımxÑa`

f 1pxq

g1pxq“ L

Ejemplo

lımxÑ0`

?x

1´ e?x“ lımxÑ0`

12x´1{2

é?x 1

2x´1{2

“ lımxÑ0`

1

é?x“ ´1


Teorema, lımites por la izquierda

Sean f, g derivables en pa, bq tales quefpbq “ gpbq “ 0. Si g1pxq ‰ 0 en pa, bq y si

lımxÑb´f 1pxqg1pxq

existe y es igual a L, entonces

se tiene que lımxÑb´fpxqgpxq

existe y es igual a

L, es decir:

lımxÑb´

fpxq

gpxq“ lımxÑb´

f 1pxq

g1pxq“ L

Ejemplo

lımxÑ0´

?´x

1´ e?´x

“ lımxÑ0´

´12p´xq´1{2

é?´x ´1

2p´xq´1{2

“ lımxÑ0´

1

é?´x

“ ´1

Teorema, version general

Sean f, g derivables en pa, bq tales quefpcq “ gpcq “ 0 para algun c P pa, bq. Si

g1pxq ‰ 0 en pa, bq y si lımxÑcf 1pxqg1pxq

existe y

es igual a L, entonces se tiene que

lımxÑcfpxqgpxq

existe y es igual a L, es decir:

lımxÑc

fpxq

gpxq“ lımxÑc

f 1pxq

g1pxq“ L

Ejemplo

lımxÑ0

3?x

1´ e3?x

“ lımxÑ0

13x´2{3

é3?x 1

3x´2{3

“ lımxÑ0

1

é3?x

“ ´1


Ejemplo, aplicar 2 veces L’Hopital

lımxÑ0

x´ tanpxq

x´ sinpxq(forma

0

0)

“H lımxÑ0

1´ sec2pxq

1´ cospxq(forma

0

0)

“H lımxÑ0

´2 sec2pxq tanpxq

sinpxq

“ lımxÑ0

´2

cos3pxq“ ´2

Ejemplo, muchas derivadas

lımxÑ0`

e´1{x

x(forma

0

0)

“H lımxÑ0`

e´1{x 1x2

1“ lımxÑ0`

e´1{x

x2(forma

0

0)

“H lımxÑ0`

e´1{x 1x2

2x“ lımxÑ0`

e´1{x

2x3(forma

0

0)

Teorema, lımite al infinito

Sean f, g derivables en pM,`8q tales quelımxÑ8 fpxq “ lımxÑ8 gpxq “ 8. Si

g1pxq ‰ 0 en pM,`8q y si lımxÑ8f 1pxqg1pxq

existe y es igual a L, entonces se tiene que

lımxÑ8fpxqgpxq

existe y es igual a L, es decir:

lımxÑ8

fpxq

gpxq“ lımxÑ8

f 1pxq

g1pxq“ L

Ejemplo

En el lımite lımxÑ0è´1{x

xse hace t “ 1{x:

lımxÑ0`

e´1{x

x“ lımtÑ8

e´t

1{t

“ lımtÑ8

t

et(forma

8

8)

“H lımtÑ8

1

et“ 0


Algunos lımites importantes

1

lımxÑ`8

ex “ `8

2

lımxÑ´8

ex “ 0

3

lımxÑ`8

e´x “ 0

4

lımxÑ`8

xα “ `8 (α ą 0)

5

lımxÑ`8

1

xα“ 0 (α ą 0)

6

lımxÑ`8

lnpxq “ `8

7

lımxÑ0`

lnpxq “ ´8

Propiedad

fpxqgpxq “ egpxq lnpfpxqq

Teorema

Si a, b ą 0, entonces:

1

lımxÑ`8

plnpxqqb

xa“ 0

2

lımxÑ`8

xb

eax“ 0

o Nota: Estas propiedades nos sirven paraextender la regla de L’Hopital a otras formasindeterminadas como 0 ¨ 8.


Ejemplo

lımxÑ0`

xα lnpxq “ lımxÑ0`

lnpxq

1{xα

“H lımxÑ0`

1{x

´α{xα´1“ lımxÑ0`

xα´2

´α“ 0

Ejemplo

lımxÑ`8

x1

lnpxq

Forma p80q

lımxÑ`8

x1

lnpxq “ lımxÑ`8

e1

lnpxqlnpxq

“ lımxÑ`8

e “ e


F I N


Documents

MA1002 C alculo II Tema 01: Integrales impropias€¦ · Tema 01: Integrales impropias Parte 01: Integrales de primera y segunda especie Profesor Jesus S anchez Guevara Universidad