Integrales impropias

Ejercicios resueltos

c° 2000 CRESLINE, S.L.

Integrales impropias

Ejercicio 1: Estudiar la convergencia de la integral impropiaZ +∞

0

cos 2x dx

y en caso de convergencia, calcular su valor.Solución: Para b > 0, se tieneZ b

0

cos 2xdx =1

2[sin 2x]

b0 =

1

2sin 2b

En consecuencia, Z +∞

0

cos 2x dx = limb→+∞

1

2sin 2b,

límite que no existe, ya que el seno oscila entre −1 y 1, al tender b hacia +∞.

Ejercicio 2:Estudiar la convergencia de la integral impropiaZ +∞

−∞

1

1 + x2dx

y en caso de convergencia, calcular su valor.Solución:Z ∞

−∞

1

1 + x2dx =

Z 0

−∞

1

1 + x2dx+

Z ∞0

1

1 + x2dx =

= limc→−∞

Z 0

c

1

1 + x2dx+ lim

c→∞

Z c

0

1

1 + x2dx =

= − limc→−∞(arctan c) + lim

c→∞(arctan c) =

= −³−π2

´+

π

2= π.

1

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Ejercicio 3: Estudiar la convergencia de la integralZ 2

1

dx

(x− 1)1/3 ,

y en caso de convergencia, calcular su valor.Solución: Tomando c tal que 1 < c < 2, se tieneZ 2

c

dx

(x− 1)1/3 =Z 2

c

(x− 1)−1/3dx = 3

2

h(x− 1)2/3

i2c=3

2

h1− (c− 1)2/3

iAl ser

limc→ 1+

(c− 1)2/3 = 0tenemosZ 2

1

dx

(x− 1)1/3 = limc→ 1+

Z 2

c

dx

(x− 1)1/3 = lim → 1+

3

2

h1− (c− 1)2/3

i=3

2

Por t anto, la integral impropia es c onvergente y su valor esZ 2

1

dx

(x− 1)1/3 =3

2.

Ejercicio 4: Estudiar si es convergente la integralZ +∞

−∞

dx

1 + ex.

Solución: Primero descomponemos la integral en suma de dos integrales,que estudiaremos separadamente:Z +∞

−∞

dx

1 + ex=

Z 0

−∞

dx

1 + ex+

Z +∞

0

dx

1 + ex= I1 + I2.

Para estudiar si I1 converge, aplicaremos el criterio del cociente con la fun-ción g(x) = 1:

limx→−∞

11+ex

1= lim

x→−∞1

1 + ex= 1

Por el criterio del cociente, I1 converge si y sólo siR 0−∞ 1 dx converge. PeroR 0

−∞ 1 dx es divergente. Por tanto, I1 también es divergente.Así pues, ya podemos concluir queZ +∞

−∞

dx

1 + ex

2

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es divergente.

Ejercicio 5: Estudiar si es convergente de la integral

I =

Z3

x · lnx dx.

Solución: Podemos calcular el valor de la integral usando la definición deintegral de primera especie:

I =

Z ∞3

x · lnxdx = limM→∞

Z M

3

x · lnxdx = limM→∞

·x2

2· lnx− x2

4

¸M3

=

= limM→∞

·x2

2· (lnx− 1

2)

¸M3

= limM→∞

·M2

2· (lnM − 1

2)− 9

2· (ln 3− 1

2)

¸=∞

Por tanto, la integral es divergente.También podríamos estudiar si la integral del enunciado es convergente me-

diante el criterio del cociente, comparando con la función g(x) = x:

limx→∞

x · lnxx

= limx→∞ lnx =∞.

ComoR∞3

g(x) dx =R∞3

x dx es divergente, por el criterio del cociente sabe-mos que la integral Z ∞

3

x · lnx dx

también diverge.

Ejercicio 6: Estudiar si es convergente la integralZ 1

0

dx4√x3 + x2 + x

.

Solución: El polinomio del denominador, x3+x2+x, se anula sólo cuandox = 0, luego se trata de una integral impropia de segunda especie. Observamosque

14√x3 + x2 + x

≤ 1

x3/4para 0 < x ≤ 1.

Sabemos que la integral Z 1

0

dx

x3/4

es convergente. Por el teorema de mayoración y minoración, concluimos que laintegral Z 1

0

dx4√x3 + x2 + x

es también convergente.

3

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Funciones de Euler: Gamma y Beta

Ejercicio 7: Demostrar que la función Γ, definida por Γ(p) =R∞0

xp−1e−x dx,es convergente si p > 0.Solución: La integral Γ(p) =

R∞0

xp−1 · e−x dx es una integral impropia detercera especie, ya que el intervalo de integración es de amplitud infinita, y lafunción que se integra no está acotada en x = 0. Por tanto, descomponemos laintegral en suma de dos:

Γ(p) =

Z ∞0

xp−1 · e−x dx =Z a

0

xp−1 · e−x dx+Z ∞a

xp−1 · e−x dx = I1 + I2,

d o nde a es un punto cu alqu iera del i nt ervalo (0,∞).

I1 es una integral impropia de segunda especie, con un solo punto de im-propiedad en x = 0. Aplicaremos el criterio del cociente con g(x) = 1

x1−p :

limx→ 0+

xp−1 · e−x1

x1−p= lim

x→ 0+xp−1·e−x·x1−p = lim

x→ 0+xp−1+1−p·e−x = lim

x→ 0+e−x = 1.

Por el criterio del co ciente, I1 converge si lo hace R a0

1x1−p dx. Sabemos que la

integralR a0

1x1−p dx es convergente si 1− p < 1. Por tanto, I1 es convergente

si 1− p < 1, es decir, si p > 0.

Por otro lado, I2 es una integral impropia de primera especie. Aplicaremosel criterio de cociente con g(x) = 1

x2 :

limx→∞

xp−1 · e−x1x2

= limx→∞xp−1 · e−x · x2 = lim

x→∞xp+1

ex= 0 para todo p.

Sabemos que la integralR∞a

1x dx es convergent e. Por el criterio del co ciente,

deducimos que la integral I2 es convergente para toda p.

I1 e I2 convergen simultáneamente si p > 0. Por consiguiente,

Γ(p) =

Z ∞0

xp−1 · e−x dx

es convergente si p > 0.

Ejercicio 8: Calcular la integralZ 1

0

xn(lnx)m dx.

Solución: Aplicamos el cambio de variable

x = e−t ⇒ dx = −e−t dt.

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Calculamos los extremos del nuevo intervalo de integración:

x = 0 ⇒ t =∞, x = 1 ⇒ t = 0.

Sustituyendo, obtenemos:

I =

Z 0

∞(e−t)n · (ln(e−t))m · (−e−t) dt =

Z ∞0

e−tn · (−t)m · e−t dt =

=

Z ∞0

(−1)m · e−t(n+1) · tm dt

Aplicamos un nuevo cambio de variable:

t(n+ 1) = z ⇒ dt =1

n+ 1dz

Los extremos del intervalo de integración no varían. Sustituyendo, obtenemos:

I =

Z ∞0

(−1)m · e−z · ( z

n+ 1)m · 1

n+ 1dz =

(−1)m(n+ 1)m+1

·Z ∞0

zm · e−z dz =

=(−1)m

(n + 1)m+1 · Γ(m + 1) = (−1)

m m !

(n+ 1)m+1

Por tanto,

I =

Z 1

0

xn · (lnx)m dx =(−1)m m !(n+ 1)m+1

.

Eje rcicio 9 : Demostrar que la f unción β, de fini da p o r β (p, q ) =R 10xp−1(1−

x)q−1 dx, es convergente si p > 0 y q > 0.Solución: La integral

β(p, q) =

Z 1

0

xp−1 · (1− x)q−1 dx

es una integral de segunda especie, ya que la función que se integra no estáacotada en x = 0 (si p < 1) ni en x = 1 (si q < 1). Por tanto, descomponemosla integral en suma de dos:

β(p, q) =

Z 1

0

xp−1·(1−x)q−1 dx =Z a

0

xp−1·(1−x)q−1 dx+Z 1

a

xp−1·(1−x)q−1 dx = I1+I2,

donde a es un punto cualquiera de (0, 1).

I1 es una integral impropia de segunda especie con un solo punto de im-propiedad, en x = 0. Aplicamos el criterio del cociente con g(x) = 1

x1−p :

limx→ 0+

xp−1 · (1− x)q−11

x1−p= lim

x→ 0+xp−1 · (1− x)q−1 · x1−p = lim

x→ 0+(1− x)q−1 = 1.

5

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Por el criterio del cociente, I1 es convergente sólo s i lo es R a0

1x1−p dx lo es.

Sabemos queR a0

1x1−p dx es convergente si 1 − p < 1, es decir, si p > 0. Por

tanto, I1 es convergente si p > 0 (para cualquier valor de q).

I2 es una integral impropia de segunda especie con un solo punto de im-propiedad, en x = 1. Aplicamos el criterio del cociente con h(x) = 1

(1−x)1−q :

limx→ 1

xp−1 · (1− x)q−11

(1−x)1−q= lim

x→ 1xp−1 · (1−x)q−1 · (1−x)1−q = lim

x→ lxp−1 = 1.

Por el criterio del cociente, I2 es convergent e sólo si lo esR 1a

1(1−x)1−q dx lo es.

Sabemos queR 1a

1(1−x)1−q dx es convergente si 1 − q < 1, es decir, si q > 0.

Por tanto, I2 es convergente si q > 0 (para cualquier valor de p).

I1 e I2 convergen simultáneamente si p > 0 y q > 0. Por consiguiente, laintegral

β(p, q) =

Z 1

0

xp−1 · (1− x)q−1 dx

es convergente si p > 0 y q > 0.

Ejercicio 10: Calcular la integral

I =

Z π/2

0

(sinx)4 · (cosx)5 dx.

Solución:

I =

Z π/2

0

(sinx)4 · (cosx)5 dx = 1

2· β(p, q),

donde p y q cumplen:

2p− 1 = 4 ⇒ p =5

2

2q − 1 = 5 ⇒ q = 3.

Por tanto,

I =1

2· β(5

2, 3) =

1

2· Γ(

52) · Γ(3)Γ( 112 )

=1

2·

32 · 12 · Γ(12) · 2!

92 · 72 · 52 · 32 · 12 · Γ( 12)

=24

945.

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