Tema 7 - Series Numericas e Integrales Impropias

Tema 7. Series numéricas y de potencias. Integrales impropias.

I. SERIES NUMÉRICAS.

1. Introducción.

Dado un número infinito de números reales 1, 2, , , , trataremos

en este tema de formalizar el concepto de su suma, dando sentido al símbolo∞P=1

, o bien 1 + 2 + + + . Como era de esperar, el concepto de serie

numérica nuevamente involucra al de límite de una sucesión, introducido en el

tema 3. Así, de un modo natural, plantearemos que

lim→+∞

X=1

=

∞X=1

= 1 + 2 + + + ,

estudiaremos en qué condiciones existe dicho límite y, en los casos en que exista

(diremos que la serie es convergente), trataremos de sumar 1+2+ ++

La primera parte de este tema se dedica a la introducción del concepto

de serie de números reales y sus primeras propiedades. A continuación, se

plantean criterios para estudiar la convergencia de algunos tipos notables de

series (de términos positivos, alternadas, etc.). La última parte del tema se

dedica a introducir algunas técnicas para sumar series convergentes, a estudiar

el concepto de integral impropia, analizando sus propiedades y, finalmente, a

una breve introducción a las series de potencias.

2. Series: Término general. Sucesión de sumas parciales. Series

convergentes, divergentes y oscilantes.

Llamaremos serie de números reales a un par ordenado (() ()) tal que,

∀ ∈ N, es = 1 + 2 + + .

La primera sucesión, (), se denomina sucesión de los términos de la serie

y, concretamente, el término -ésimo de dicha primera sucesión, , recibe el

nombre de término -ésimo de la serie. La segunda sucesión, (), se denomina

sucesión de sumas parciales de la serie y, concretamente, el término -ésimo de

la segunda sucesión, , recibe el nombre de suma parcial -ésima de la serie.

En la práctica, se acostumbra representar dicho par (() ()) mediante el

símbolo∞P=1

.

Equivalentemente, podemos también definir una serie de números reales∞P=1

mediante el anterior par ordenado (() ()) tal que, ∀ ∈ N, es

= − −1

1

con el convenio de que 0 = 0.

Se dice que la serie∞P=1

es convergente si la correspondiente sucesión ()

de sumas parciales es convergente, es decir, si el límite siguiente existe (en la

recta real R)

lim = lim→+∞

X=1

.

En tal caso, si () converge a , es decir, si lim = , diremos que es la

suma de la serie∞P=1

, y pondremos

=

∞X=1

.

Si una serie no es convergente, diremos que es divergente. Concretamente,

si es lim = +∞, diremos que la serie diverge a +∞, y si es lim = −∞,diremos que la serie diverge a −∞. Si la sucesión de sumas parciales es oscilante,diremos que la serie es oscilante.

En estas condiciones, se verifica la siguiente condición necesaria de conver-

gencia: Si la serie∞P=1

es convergente, entonces lim = 0.

En efecto, la serie∞P=1

es convergente sii la correspondiente sucesión ()

de sumas parciales es convergente, es decir, sii lim = ∈ R, de donde sesigue que

lim = lim( − −1) = lim − lim−1 = − = 0.

La condición anterior tan solo es necesaria. El ejemplo 3.3., correspondiente

a la serie∞P=1

1, que es divergente, pero lim 1

= 0, muestra que dicha condición

no es suficiente.

De la proposición contrarecíproca de la anterior, se sigue que si lim 6= 0,entonces la serie

∞P=1

es divergente (en particular, si lim no existe, entonces

la serie∞P=1

es divergente).

De las definiciones dadas, y de las propiedades de las sucesiones, se deduce

que el carácter de una serie no se ve alterado si se prescinde de un número finito

de sumandos, o se añade un número finito de sumandos. No obstante, si la serie

es convergente, dicho proceso podría alterar su suma.

En el tema 3 (sucesiones de números reales) vimos algunas sucesiones nota-

bles que, en el caso de las series, dan lugar a los siguientes primeros ejemplos.

2

3. Primeros ejemplos de series de números reales.

3.1. Sea ∈ R, y consideremos la serie∞P=1

tal que ∀ ∈ N, es +1 = y

1 = . Esta es la llamada serie geométrica. Se puede poner en la forma∞P=0

, y es bien sabido que su sucesión de sumas parciales es

=( − 1) − 1 ∀ 6= 1,

siendo = cuando = 1. Excluyendo el caso trivial = 0, es bien

sabido que:

a) Si || 1, la serie geométrica∞P=0

es convergente, y su suma es

= lim =

1− .

b) Si ≥ 1, la serie geométrica∞P=0

es divergente, a +∞ si 0, y a

−∞ si 0.

c) Si = −1, la serie geométrica∞P=0

es divergente. Más concreta-

mente, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales están acotadas.

d) Si −1, la serie geométrica∞P=0

es divergente.

3.2. Veremos más adelante que la serie exponencial, cuya sucesión de sumas

parciales está definida por

= 1 +

X=1

1

!= 1 +

1

1!+1

2!+ +

1

!,

es convergente, y su suma es el número , es decir,

∞X=0

1

!= .

De un modo más general, veremos que la serie cuya sucesión de sumas

parciales está definida por

= 1 +

X=1

1

! = 1 +

1

1!+

1

2!2 + +

1

!,

es convergente, y su suma es ∀ ∈ R, es decir,∞X=0

1

! = ∀ ∈ R.

3

3.3. La serie armónica,∞P=1

1, es divergente. En efecto, su sucesión de sumas

parciales (), definida mediante

= 1 +1

2+1

3+ +

1

,

fue estudiada en el tema 3 (ejemplo 6.1.7.), probando que lim = +∞.

Esta serie tiene algunas variantes importantes. Por ejemplo, veamos que

la serie∞P=1

12es convergente. En efecto, dado que la correspondiente

sucesión de sumas parciales

= 1 +1

22+1

32+ +

1

2,

es monótona creciente, y que, al cumplirse que

≤ 1 + 1

1 · 2 +1

2 · 3 + +1

(− 1) =

= 1 +

µ1

1− 12

¶+

µ1

2− 13

¶+ +

µ1

− 1 −1

¶= 2− 1

2,

() está acotada, resulta que () es convergente, por lo que la serie∞P=1

12es convergente (Euler probó en 1735 que su suma es 2

6).

Como consecuencia de los dos anteriores casos, resulta que la serie∞P=1

1,

con ∈ R, es convergente cuando ≥ 2, y divergente cuando ≤ 1. Enefecto, ∀ ∈ N, de

0 1

≤ 1

, para ≤ 1, y de

0 1

≤ 1

2, para ≥ 2,

se sigue que la sucesión de sumas parcialesP

=1

1, con ∈ R, es conver-

gente cuando ≥ 2, y divergente cuando ≤ 1, por lo que la serie∞P=1

1,

con ∈ R, es convergente cuando ≥ 2, y divergente cuando ≤ 1.

Adicionalmente, veamos que la serie∞P=1

1, con ∈ R, es convergente

para 1. En efecto, la correspondiente sucesión de sumas parciales

= 1 +1

2+1

3+ +

1

,

4

es monótona creciente. Además, se cumple que

2+1 = 1 +

µ1

2+1

4+ +

1

(2)

¶+

µ1

3+1

5+ +

1

(2+ 1)

¶

1 + 2

µ1

2+1

4+ +

1

(2)

¶= 1 +

2

2

µ1 +

1

2+ +

1

¶=

= 1 + 21− · 1 + 21− · 2+1.En estas condiciones, cuando 1, es 21− 1, y se verifica ∀ ∈ N que

2+1 1

1− 21− ,

por lo que () está acotada, resultando finalmente que () es conver-

gente.

En definitiva, la serie∞P=1

1, con ∈ R, es convergente cuando 1

y divergente cuando ≤ 1.3.4. Series telescópicas. Si es () una sucesión de números reales, la serie

∞P=1

( − +1) se denomina telescópica. Un resultado importante rela-

tivo a la convergencia de estas series, es el siguiente:

La serie telescópica∞P=1

( − +1) es convergente si y solamente si la

sucesión () es convergente y, en tal caso, se verifica que

∞X=1

( − +1) = 1 − lim .

Este resultado se sigue de la expresión de la sucesión de sumas parciales

de∞P=1

( − +1), que esP

=1

( − +1) = 1 − +1.

Por ejemplo, la serie∞P=1

1(+1)

que, descomponiendo 1(+1)

en fracciones

simples mediante1

(+ 1)=1

− 1

+ 1,

se puede poner en la forma

∞X=1

1

(+ 1)=

∞X=1

µ1

− 1

+ 1

¶,

resulta ser telescópica, con =1. Por tanto, dado que se cumple que

∞X=1

µ1

− 1

+ 1

¶= 1 − lim = 1− lim 1

= 1,

5

resulta que la serie∞P=1

1(+1)

es convergente y que su suma es 1.

4. Primeras propiedades de las series numéricas.

Dado que la convergencia de una serie numérica se ha definido en términos

de la convergencia de su sucesión de sumas parciales, es fácil probar que se

cumplen las siguientes propiedades:

4.1. Si () es la sucesión de sumas parciales de una serie convergente, entonces

() está acotada.

4.2. Sean∞P=1

y∞P=1

dos series convergentes, de sumas∞P=1

= y

∞P=1

= . Entonces, ∀ ∈ R la serie∞P=1

( + ) es convergente,

y su suma es∞P=1

( + ) = + .

4.3. Sean (), () y () sucesiones de números reales tales que, ≤ ≤∀ ∈ N, y tales que las series

∞P=1

y∞P=1

son convergentes y de

suma∞P=1

=∞P=1

= . Entonces, se verifica que la serie∞P=1

es

convergente, y∞P=1

= .

4.4. Criterio de convergencia de Cauchy: La serie∞P=1

es convergente si y

solamente si ∀ 0∃0 ∈ N tal que¯̄̄̄¯

X=+1

¯̄̄̄¯

para cualquiera que sean ∈ N tales que ≥ ≥ 0.

5. Criterios de convergencia para las series de términos no nega-

tivos.

5.1. Convergencia en el caso de que la sucesión de sumas parciales

esté acotada.

Sea () una sucesión de números reales tal que ≥ 0∀ ∈ N. Entonces,la serie

∞P=1

es convergente si y solamente si su sucesión de sumas parciales

() está acotada superiormente y, en tal caso, se verifica que

∞X=1

= sup { : ∈ N} .

6

Además, si dicha sucesión de sumas parciales () no está acotada superi-

ormente, la serie es divergente.

En efecto, dado que

+1 = + +1 ≥ ,

la sucesión de sumas parciales () es monótona creciente. Si está acotada

superiormente, aplicando la propiedad vista en el apartado 6.9.a. del tema 3

(sucesiones), resulta que es convergente. Y si no está acotada superiormente, es

evidente que lim = +∞, por lo que la serie es divergente.

5.2. Criterios de comparación

5.2.1. Comparación por mayoración o minoración.

Sean∞P=1

y∞P=1

dos series de números reales tales que existe un 0 ∈ Ntal que ∀ ∈ N con ≥ 0, es 0 ≤ ≤ . Se verifican las siguientes

propiedades:

5.2.1.1. Si la serie∞P=1

es convergente, entonces la serie∞P=1

también es con-

vergente.

5.2.1.2. Si la serie∞P=1

es divergente, entonces la serie∞P=1

también es diver-

gente.

En efecto: Es evidente que el carácter de una serie no cambia si se prescinde

de un número finito de sumandos (aunque sí puede cambiar el valor de su suma).

Por tanto, la serie∞P

=0

tiene el mismo carácter que la serie∞P=1

, y la

serie∞P

=0


. Sea () la sucesión

de sumas parciales de la serie∞P

=0

y (0) la sucesión de sumas parciales de

la serie∞P

=0

. Entonces, es evidente que 0 ≤ ≤ 0, por lo que si (0) está

acotada (cosa que sucede cuando la serie∞P=1

es convergente), () también

está acotada, y (aplicando la propiedad 5.1.) se obtiene el resultado 5.2.1.1. Y si

() no está acotada (cosa que sucede cuando la serie∞P=1

es divergente), (0)

tampoco está acotada, y (aplicando la propiedad 5.1.) se obtiene el resultado

5.2.1.2.

7

5.2.2. Comparación por paso al límite.

Sean∞P=1

y∞P=1

dos series de números reales tales que existe un 0 ∈ Nverificando que ∀ ∈ N con ≥ 0, es 0 y 0. Se cumplen las

siguientes propiedades:

5.2.2.1. Si lim = ∈ R, con 0, entonces las dos series tienen el mismo

carácter, es decir,∞P=1

converge si y solamente si∞P=1

converge, y

∞P=1

diverge si y solamente si∞P=1

diverge.

5.2.2.2. Si lim = 0 y la serie

∞P=1

converge, entonces la serie∞P=1

también

converge.

5.2.2.3. Si lim = +∞ y la serie

∞P=1

diverge, entonces la serie∞P=1

también

diverge.

En efecto: Sean ∈ R, con 0 y 0, tales que ≤ ≤ . Si

lim = ∈ R, con 0, entonces existe un 1 ∈ N, con 1 0, tal que

∀ ≥ 1 se verifica que

≤

≤ ,

de donde se sigue que

≤ ≤.

Aplicando ahora el criterio 5.2.1., se obtiene el resultado buscado.

Los resultados 5.2.2.2. y 5.2.2.3. se siguen directamente de las definiciones

de lim = 0, lim

= +∞, y del criterio 5.2.1., teniendo en cuenta el carácter

de la serie∞P=1

.

5.2.3. Ejemplos.

5.2.3.1. Podemos estudiar el carácter de la serie∞P=1

sen 1comparándola, mediante

el criterio 5.2.2.1., con la serie∞P=1

1, de la cual sabemos que es divergente

(ver ejemplo 3.3.). En efecto, dado que ∀ ∈ N, con 0, es sen 1 0 y

1 0, y que

limsen 1

1

= 1,

8

las dos series tienen el mismo carácter. Al ser la serie∞P=1

1divergente,


sen 1es también divergente.


52+3+5

492++1

comparándola, me-

diante el criterio 5.2.2.1., con la serie∞P=1

12, de la cual sabemos que es

convergente (ver ejemplo 3.3.). En efecto, dado que ∀ ∈ N, con 0, es

52+3+5

492++1

0 y 12

0, y que

lim

52+3+5

492++1

12

=1

4,


12convergente,


52+3+5

492++1

es también convergente.

5.2.3.3. Sea ∈ R. Podemos estudiar el carácter de la serie∞P=1

log

comparándola,

mediante los criterios 5.2.2.2. y 5.2.2.3., con la serie∞P=1

1, de la cual

sabemos que es convergente para 1 y divergente para ≤ 1 (ver

ejemplo 3.3.). En efecto, dado que ∀ ∈ N, con 1, es log

0 y1

0, y que, para 1, tomando de tal modo que 1 , y

aplicando la Regla de L’Hôpital, se cumple que

lim

log

1

= limlog

−= 0,

resulta que, al ser la serie∞P=1

1(con 1 ) convergente, la serie

∞P=1

log

también es convergente. Por otra parte, para ≤ 1, tomando

= , se verifica que

lim

log

1

= lim log = +∞,

y resulta que, al ser la serie∞P=1

1(con ≤ 1) divergente, la serie

∞P=1

log

también es divergente.

En definitiva, la serie∞P=1

log

converge para 1 y diverge para ≤ 1.

9

5.2.3.4. Sea ∈ R, con 0. Podemos estudiar el carácter de la serie∞P=2

1(log)

comparándola, mediante el criterio 5.2.2.3., con la serie∞P=2

1, de la cual

sabemos que es divergente (ver ejemplo 3.3.). En efecto, dado que ∀ ∈ N,con 1, es 1

(log) 0 y 1

0, y que, aplicando reiteradamente la

Regla de L’Hôpital, se cumple que

lim

1(log)

1

= lim

(log) = +∞,

resulta que, al ser la serie∞P=2

1divergente, la serie

∞P=2

1(log)

también es

divergente.

Obviamente, para ≤ 0 la serie es divergente, dado que para = 0, es

lim 1(log)

= 1, y para 0, es lim 1(log)

= +∞.


2+3+

comparándola, medi-

ante el criterio 5.2.2.1., con la serie∞P=1

¡23

¢, de la cual sabemos que es

convergente (ver ejemplo 3.1.). En efecto, dado que ∀ ∈ N, con 0, es2+3+

0 y¡23

¢ 0, y que

lim

2+3+¡23

¢ = lim 1 + 2

1 + 3

= 1,


¡23

¢convergente,


2+3+


5.3. Criterio de la razón, o de D’Alembert (años 1717 a 1783).

Sea∞P=1

una serie de números reales tal que 0, para todo ∈ N, ysupongamos que

lim+1

= .

Entonces:

(a) Si 1, la serie∞P=1

es convergente.

(b) Si 1 o = +∞, la serie∞P=1

es divergente.

(c) Si = 1, nada se puede decir (aplicando este criterio) respecto al carácter

de la serie∞P=1

.

10

Dado que más adelante veremos una versión más general de este criterio (que

está basado en la comparación de la serie∞P=1

con una serie geométrica) para

series de términos cualesquiera, posponemos la prueba para entonces.

5.3.1. Ejemplos.

5.3.1.1. Sea ∈ R. Para estudiar el carácter de la serie∞P=1

2aplicando el anterior

criterio, calculamos

lim

(+1)

2+1

2

=1

2lim

µ+ 1

¶=1

2 1.

Por tanto, la serie∞P=1

2es convergente ∀ ∈ R.

5.3.1.2. Sea ∈ R, con 0. Para estudiar el carácter de la serie∞P=1

!aplicando

el anterior criterio, calculamos

lim

(+1)!

+1

!

=1

lim(+ 1) = +∞.


!, con 0, es divergente.

5.3.1.3. Para estudiar el carácter de la serie∞P=1

!aplicando el anterior criterio,

calculamos

lim

(+1)!

(+1)+1

!

= lim

µ

+ 1

¶= −1 1.


!, es convergente. De este resultado, aplicando la

condición necesaria de convergencia vista en el apartado 2, se sigue que

lim != 0.


(!)2

(2)!

aplicando el anterior criterio, calculamos

lim

+1(+1)!(+1)!

(2(+1))!

(!)2

(2)!

=

4lim

2+ 2

2+ 1=

4.

Por tanto, para 0 4 la serie∞P=1

(!)2

(2)!es convergente, para 4 la

serie∞P=1

(!)2

(2)!es divergente, y para = 4 nada se puede decir (aplicando

11

el criterio de la razón) respecto al carácter de dicha serie. Sin embargo,

dado que para = 4 se cumple que la razón+1

entre dos términos

consecutivos es+1

=2+ 2

2+ 1 1,

resulta que la sucesión4(!)2

(2)!es monótona creciente. Dado que 1 = 2, la

serie∞P=1

4(!)2

(2)!admite como minorante a la serie

∞P=1

2, que es claramente

divergente. Por tanto, para = 4 la serie∞P=1

(!)2

(2)!es divergente.

5.4. Criterio de la raíz, o de Cauchy (años 1789 a 1857).

Sea∞P=1

una serie de números reales tal que existe un 0 ∈ N verificandoque ∀ ∈ N con ≥ 0, es ≥ 0, y supongamos que

lim √ = .

Entonces:


es convergente.


es divergente.


de la serie∞P=1

.

Más adelante veremos una versión más general de este criterio para series de

términos cualesquiera, por lo que posponemos la prueba para entonces.

Según vimos en el tema de sucesiones, si existe lim+1

= ∈ R, entoncesel límite lim

√ también existe, y se verifica que

lim √ = .

Por ello, en los casos en que el criterio de la razón decida sobre el carácter de

una serie, por ser lim+1

1 o 1, el criterio de la raíz también va a decidir

sobre el mismo, ya que, en dicho caso, es lim √ = lim

+1. Sin embargo,

se pueden construir ejemplos de series para las cuales uno de los dos anteriores

criterios no decide sobre su carácter (por no existir el correspondiente límite) y

el otro criterio si decide.

12

5.4.1. Ejemplos.

5.4.1.1. Sean ∈ R, con 0 4y 0

4. Para estudiar el carácter

de la serie∞P=1

cos¡+

¢, observamos que, para 0

4y 0

4, es cos

¡+

¢ 0∀ ∈ N, luego la serie es de términos positivos.

Aplicando el anterior criterio, dado que

lim

scos

µ+

¶= lim cos

µ+

¶= cos .

Dado que√22

cos 1, dicha serie es convergente.


³23+

3√29+32

3+4√1612+5+1

óbservamos

que Ã23 +

3√29 + 32

3 +4√1612 + 5+ 1

!

0∀ ∈ N

luego la serie es de términos positivos. Aplicando el anterior criterio, dado

que

lim √ = lim

23 +3√29 + 32

3 +4√1612 + 5+ 1

=2 + 3√2

3 1,

dicha serie es divergente.


¡1− 1

¢,

observamos que, para 1, esµ1− 1

¶ 0∀ ∈ N


que

lim

sµ1− 1

¶= lim

µ1− 1

¶= 1,

nada se puede decir (aplicando el criterio de la raíz) respecto al carácter

de dicha serie. Sin embargo, dado que

lim

µ1− 1

¶= −

1 6= 0,

resulta (aplicando la condición necesaria de convergencia vista en el apartado

2) que dicha serie es divergente.

13

En algunos casos en los que el criterio de la razón no decide sobre el carác-

ter de una serie, puede ser útil aplicar el criterio de Raabe-Duhamel, del que

presentamos una versión simplificada.

5.5. Criterio de Raabe-Duhamel (Raabe, 1801-1859; Duhamel

1797-1872).

Sea∞P=1

una serie de números reales tal que existe un 0 ∈ N verificandoque ∀ ∈ N con ≥ 0, es 0, y supongamos que

lim

µ1− +1

¶= .

Entonces:

(a) Si 1 o = +∞, la serie∞P=1

es convergente.

(b) Si 1, la serie∞P=1

es divergente.


de la serie∞P=1

.

5.5.1. Ejemplos.


12, observamos que 1

2 0∀ ∈

N, luego la serie es de términos positivos. Aplicando el anterior criterio,dado que

lim

Ã1−

1(+1)2

12

!= lim

2+ 1

2 + 2+ 1= 2 1,

resulta que dicha serie es convergente.

Sin embargo, el criterio de la razón no decide sobre el carácter de esta

serie, por ser lim+1

= 1.

5.5.1.2. Consideremos la serie∞P=1

, en la que () está definida por la ley de

recurrencia +1 =−1+1

, siendo 1 = 1. Entonces, dicha serie es de

términos positivos. Aplicando el anterior criterio, dado que

lim

µ1− +1

¶= lim

2

+ 1= 2 1,

resulta que dicha serie es convergente.



= 1.

14

5.5.1.3. Consideremos la serie∞P=1

, en la que () está definida por la ley de

recurrencia +1 =2−12

, siendo 1 = 1. Entonces, dicha serie es de

términos positivos. Aplicando el anterior criterio, dado que

lim

µ1− +1

¶= lim

1

2=1

2 1,

resulta que dicha serie es divergente.



= 1.

5.6. Criterio logarítmico.

Sea∞P=1

una serie de números reales tal que existe un 0 ∈ N verificandoque ∀ ∈ N con ≥ 0, es 0, y supongamos que

limlog 1

log= .

Entonces:

(a) Si 1 o = +∞, la serie∞P=1

es convergente.

(b) Si 1, la serie∞P=1

es divergente.


de la serie∞P=1

.

La parte (a) se prueba fácilmente comparando la serie∞P=1

(mediante el

criterio 5.2.1.) con la serie la serie∞P=1

1, donde ≥ 1, y la parte (b) aplicando

la condición necesaria de convergencia.

5.6.1. Ejemplos.

5.6.1.1. Sea ∈ R. Para estudiar el carácter de la serie∞P=2

1(log)

, observamos

que1

(log) 0∀ ∈ N con 1,


que

limlog ((log)

)

log= lim

log (log)

log= 0 1,

la serie∞P=2

1(log)

es divergente ∀ ∈ R.

15


1

(log)log, observamos que

1

(log)log

0∀ ∈ N con 1,


que

limlog · log(log)

log= +∞,

la serie∞P=2

1

(log)loges convergente.

5.7. Criterio de condensación de Cauchy.

Sea∞P=1

una serie de números reales tal que la sucesión () es monótona

decreciente (es decir, +1 ≤ ∀ ∈ N), de términos positivos, y verifica quelim = 0. Entonces, la serie

∞P=1

converge si y solamente si la serie∞P=1

22

converge.

En efecto: dado que ambas series son de términos positivos, sus sucesiones

de sumas parciales,

=

X=1

, =

X=1

22

son monótonas crecientes. Además, se verifica que

= 22 + 44 + 88 + + 22 =

= 22 + (24 + 24) + (28 + 28 + 28 + 28) + + (22 + 22 + + 22)| {z } ≤2−1 términos

≤ 21 + 22 + (23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + +

+(22−1 + 22−1+1 + + 22) = 22 ≤ 2∞X=1

,

de donde se sigue que, si∞P=1

es convergente, la sucesión de sumas parciales

() está acotada superiormente, luego la serie∞P=1

22 es convergente.

Recíprocamente,

= 1 + (2 + 3) + (4 + 5 + 6 + 7) + +

1 + 22 + 44 + + 22 = 1 + 1 +

∞X=1

22 ,

16

de donde se sigue que, si∞P=1

22 es convergente, la sucesión de sumas parciales

() está acotada superiormente, luego la serie∞P=1

es convergente.

5.7.1. Ejemplos.

5.7.1.1. Sean ∈ R. Para estudiar el carácter de la serie∞P=2

1(log)

, observa-

mos que1

(log) 0∀ ∈ N con 1,

luego la serie es de términos positivos. Aplicando el criterio logarítmico,

dado que

limlog ( (log)

)

log= + lim

log (log)

log= ,


1(log)

es convergente cuando 1, divergente

cuando 1, y nada se puede decir (aplicando el criterio logarítmico)

respecto al carácter de dicha serie cuando = 1.

Para = 1, la serie es∞P=2

1(log)

. Para 0, la serie anterior está

minorada por la serie∞P=2

1, que es divergente, por lo que, para 0, la

serie∞P=2

1(log)

también es divergente. Para = 0, la serie es∞P=2

1, que

también es divergente. Supongamos que 0. Dado que la sucesión de

término =1

(log)es monótona decreciente ∀ ∈ R, con 0, y es

lim = 0, aplicando el criterio de condensación de Cauchy, resulta que

la serie ∞X=2

21

2 (log 2) =

∞X=2

1

(log 2),

que tiene el mismo carácter que la serie

∞X=2

1

,

converge para 1 y diverge para ≤ 1.En definitiva, la serie

∞P=2

1(log)

converge cuando 1, diverge para

1 y, cuando = 1, dicha serie converge si 1 y diverge para ≤ 1.5.7.1.2. Aplicando el criterio de condensación de Cauchy, resulta muy sencillo pro-

bar que las series∞P=1

1,∞P=1

12y∞P=1

12+1

son divergentes. En el apartado

17

3.3. también se probó este resultado para la serie∞P=1

1, aunque no tan fá-

cilmente como ahora, y de éste se siguen los otros dos aplicando el criterio

de comparación por paso al límite.

6. Series de términos cualesquiera.

6.1. Series alternadas.

6.1.1. Introducción.

Una serie en la que sus términos son alternativamente positivos y negativos,

se denomina serie alternada. Por ejemplo, las series

∞X=1

(−1)+1 12=1

2− 14+1

8− 1

16+

∞X=1

(−1) = −1 + 2− 3 + 4− 5 + 6− 7 +

∞X=1

(−1)−1 1= 1− 1

2+1

3− 14+1

5− 16+ ,

son alternadas. La primera, por ser geométrica de razón −12, es convergente, y

su suma es =12

1+ 12

= 13. La segunda es divergente, dado que lim (−1) no

existe. En relación a la tercera, veamos un criterio, debido a Leibniz, del cuál

se deduce fácilmente que es convergente.

6.1.2. Criterio de Leibniz (años 1646 a 1716).

Supongamos que la serie alternada∞P=1

(−1)−1 verifica las tres condicionessiguientes:

(a) ≥ 0∀ ∈ N.(b) existe un 0 ∈ N tal que la sucesión () es monótona decreciente ∀ ∈ N

con ≥ 0, es decir, +1 ≤ , ∀ ∈ N, con ≥ 0.

(c) lim = 0.

Entonces, dicha serie∞P=1

(−1)−1 es convergente.

En efecto:

Si es un número natural par, es decir, = 2, con ∈ N, entonces lasuma de los primeros términos es

2 = (1 − 2) + (3 − 4) + + (2−1 − 2) =

= 1 − (2 − 3)− (4 − 5)− − (2−2 − 2−1)− 2.

18

La primera de las dos anteriores igualdades representa la suma de términos

no negativos, dado que +1 ≤ ∀ ∈ N, con ≥ 0. Por tanto, 2+1 ≥ 2,

y la sucesión (2) resulta monótona creciente. Del mismo modo, la segunda

igualdad muestra que 2 ≤ 1, es decir, que la sucesión (2) está acotada

superiormente. De ambas, se sigue que (2) es convergente, es decir

lim2 = ∈ R.

Si es un número natural impar, es decir, = 2+1, con ∈ N, entoncesla suma de los primeros términos es 2+1 = 2+2+1, por lo que, pasando

al límite y teniendo en cuenta que lim 2+1 = 0, se llega a que

lim2+1 = lim2 = .

Veamos, combinando los resultados lim2 = y lim2+1 = , que lim =

∈ R, en cuyo caso quedaría probado que la serie∞P=1

(−1)−1 es convergente.En efecto, consideremos las sucesiones () e (), ambas convergentes a ,

es decir, lim = y lim = . Entonces, se trata de probar que la sucesión

(), definida mediante 2 = y 2−1 = también converge a . Para ello,

sabemos que

∀ 0∃1 ∈ N : ∀ 1 es | − |

∀ 0∃2 ∈ N : ∀ 2 es | − | .

Entonces, si es 1 + 2max{1 2}, se verifica que | − | , de donde se

sigue que lim = .

6.1.3. Ejemplos.

6.1.3.1. Sea ∈ R, con 0, y consideremos la serie alternada∞P=1

(−1)−1 1.

Dado que la sucesión¡1

¢es de números reales positivos, es monótona

decreciente, y verifica que lim 1= 0, resulta que dicha serie es conver-

gente.

6.1.3.2. Sea ∈ R, con 0, y consideremos la serie alternada∞P=2

(−1)−1 1(log)

.

Dado que, para ≥ 2, la sucesión³

1(log)

és de números reales positivos,

monótona decreciente, y verifica que lim 1(log)

= 0, resulta que dicha serie

es convergente.

6.1.3.3. Consideremos la serie alternada∞P=1

(−1)+1

32+1

. La sucesión

µ

32+1

¶es de números reales positivos. Veamos que es monótona decreciente.

19

En efecto, considerando la función () =

32+1

, definida en el inter-

valo [1+∞), vemos que 0() = 1− 1232

1+32

2 0∀ ∈ ¡ 3√4+∞¢, por lo

que, para ≥ 2, la sucesiónµ

32+1

¶es monótona decreciente. Además,

lim

32+1

= 0, y resulta finalmente que dicha serie es convergente.

6.1.3.4. Consideremos la serie alternada

1

2− 13+1

22− 14+1

23− 15+1

24− 16+

Es evidente que la sucesión (), cuyos términos son

1

21

31

221

41

231

51

241

6

es de números reales positivos, y verifica que lim = 0. Sin embargo, no

es monótona decreciente, por lo que no podemos asegurar la convergencia

de dicha serie. Veamos que dicha serie es divergente. En efecto, dado que

la sucesión de sumas parciales de la serie∞P=1

12es convergente, y que la

sucesión de sumas parciales de la serie∞P=3

1no es convergente, resulta

que dicha serie no es convergente, sino divergente a −∞.

6.1.4. Estimación de la suma de una serie alternada. Cota del

error.

Supongamos que la serie alternada∞P=1

(−1)−1 verifica las tres condicionessiguientes:

(a) ≥ 0∀ ∈ N.(b) existe un 0 ∈ N tal que la sucesión () es monótona decreciente ∀ ∈ N

con ≥ 0, es decir, +1 ≤ , ∀ ∈ N, con ≥ 0.

(c) lim = 0.

Entonces, ∀ ≥ 0, el término de orden de la sucesión () de sumas

parciales de dicha serie, que es

= 1 − 2 + 3 − 4 + + (−1)−1,

es una aproximación numérica al valor de la suma de dicha serie, con un error

= − que, en valor absoluto, es menor o igual que +1, que es el valor

absoluto del primer término despreciado. Además, el resto tiene el mismo

signo que el primer término despreciado (−1)+1.

20

En efecto: En la prueba del criterio de Leibniz, vimos que se halla entre

dos términos consecutivos de . Por tanto, | − | ≤ |+1 − | = +1.

En cuanto al signo del resto, dado que

=

∞X=+1

(−1)−1 = (−1)(+1 − +2) + (−1)+2(+3 − +4) + =

= (−1)µ(+1 − +2)| {z }+(+3 − +4)| {z }+

¶ 0 0

resulta que el signo del resto es igual al signo de (−1), que es el signo del primertérmino despreciado (−1)+1.

6.1.4.1. Ejemplo.

6.1.4.1.1. Aplicando el criterio de Leibniz, vemos fácilmente que la serie∞P=1

(−1)+1−2 ,es convergente. Para obtener una aproximación a su suma, con un error

menor que 10−3, de

−2 ≤ 10−3 ⇒ ≥

p3 log 10 ' 2628261.

se deduce que,

∞X=1

(−1)+1−2 ' −1 − −4 = 0349564

con un error menor que 10−3. Además, dado que el primer término des-preciado es positivo, dicho error es por defecto.

6.1.4.1.2. Aplicando el criterio de Leibniz, vemos fácilmente que la serie∞P=1

(−1)+1 1,

es convergente. Para obtener una aproximación a su suma, con un error

menor que 10−3, de1

≤ 10−3 ⇒ ≥ 103,

se deduce que,

∞X=1

(−1)+1 1' 1− 1

2+1

3− 14+ +

1

999= 0693647

con un error menor que 10−3. Además, dado que el primer término des-preciado es negativo, dicho error es por exceso. Más adelante veremos que

el valor exacto de la suma de esta serie es log 2 = 0693147

21

6.2. Convergencia absoluta y convergencia condicional.


es absolutamente convergente cuando la serie

∞P=1

|| es convergente. Si una serie es convergente, pero no absolutamenteconvergente, se dice que es condicionalmente convergente. Por ejemplo, la serie∞P=1

(−1)+1 1es condicionalmente convergente (pero no absolutamente conver-

gente), y la serie∞P=1

(−1)+1 12es absolutamente convergente. Una importante

propiedad, en relación a la convergencia absoluta, es la siguiente:

Si la serie∞P=1

es absolutamente convergente, entonces es convergente.

Además, una serie es absolutamente convergente si y solamente si la serie cor-

respondiente a sus términos positivos y la serie correspondiente a sus términos

negativos son ambas convergentes.

En efecto:

∀ ∈ N, de− || ≤ ≤ ||

se sigue que

0 ≤ + || ≤ 2 || .

Por tanto, dado que la serie∞P=1

|| es convergente, aplicando el criterio de

comparación (apartado 5.2.1.), resulta que la serie∞P=1

( + ||) también esconvergente. Por otra parte, dado que

= ( + ||)− || ,

la serie∞P=1

se puede expresar como

∞X=1

=

∞X=1

( + ||)−∞X=1

|| ,

es decir, como la diferencia de dos series convergentes, por lo que∞P=1

es

también convergente.

Para probar el segundo resultado, definamos

+ =

½ ≥ 00 ≤ 0

22

− =½

≤ 00 ≥ 0

de manera que∞P=1

+ sea la serie correspondiente a los términos positivos de

∞P=1

y∞P=1

− sea la serie correspondiente a los términos negativos de∞P=1

.

Si∞P=1

+ y∞P=1

− convergen ambas, entonces

∞X=1

|| =∞X=1

¡+ − −

¢=

∞X=1

+ −∞X=1

−

también converge, por lo que la serie∞P=1

es absolutamente convergente. Por

otra parte, si la serie∞P=1

|| es convergente, entonces acabamos de ver que la

serie∞P=1

es también convergente, de donde se sigue que las series

∞X=1

+ =1

2

Ã ∞X=1

+

∞X=1

||!

∞X=1

− =1

2

Ã ∞X=1

−∞X=1

||!

son ambas convergentes.

Si en una suma finita de números reales se cambia el orden de los sumandos,

es evidente que el valor de dicha suma no cambia. Pero esto no siempre sucede

en el caso de las series infinitas. Por ejemplo, en la serie armónica alternada

1− 12+1

3− 14+ =

∞X=1

(−1)+1 1,

de la cual sabemos que es convergente (con suma igual a log 2), la serie∞P=1

12−1 ,

correspondiente a sus términos positivos, es divergente a +∞, y la serie∞P=1

− 12,

correspondiente a sus términos negativos, es divergente a −∞. En esta serie∞P=1

(−1)+1 1, y en todas las condicionalmente convergentes, siempre podremos

reordenar adecuadamente sus términos de manera que la serie reordenada resulte

divergente a +∞ o a −∞, o convergente a cualquier número real previamentefijado.

Sin embargo, en el caso de las series absolutamente convergentes, se cumple

la siguiente propiedad:

23

Si la serie∞P=1

es absolutamente convergente, y 1 2 es una

reordenación cualquiera de sus términos, entonces la serie∞P=1

también es

absolutamente convergente, y se verifica que

∞X=1

=

∞X=1

.

6.3. Criterio de la razón para series de términos cualesquiera.

Sea∞P=1

una serie de números reales tal que existe un 0 ∈ N verificandoque ∀ ≥ 0 es 6= 0. Si

lim

¯̄̄̄+1

¯̄̄̄= ,

entonces:


es absolutamente convergente (y por tanto

convergente).


es divergente.


de la serie∞P=1

.

En efecto:

(a) En el supuesto de que sea 1, si ponemos = 1+2, entonces es

0 ≤ 1 y se verifica, ∀ ≥ 0, que

|+1||| ⇒ |+1| · || .

Por tanto, se verifica, ∀ ≥ 0, que

|| ≤ |−1| ≤ 2 |−2| ≤ ≤ −0 |0 | =¡|0 | −0¢.

Dado que la serie∞P=1

es convergente, aplicando el criterio de comparación

(apartado 5.2.1.), resulta que la serie∞P=1

|| es convergente, y se obtiene elresultado (a).

(b) En el supuesto de que sea 1 o = +∞, existe un 1 ∈ N, con1 ≥ 0, tal que ∀ ≥ 1 es

|+1||| 1.

24

Por tanto, dado que ∀ ≥ 1 es

|+1| ≥ || ,se verifica que

lim 6= 0,

por lo que la serie∞P=1

es divergente.

6.3.1. Ejemplos.


(−1)−1 22aplicando el anterior

criterio, observamos que ∀ ∈ N, es (−1)−1 226= 0. Dado que

lim

¯̄̄̄¯(−1) (+1)

2

2+1

(−1)−1 22

¯̄̄̄¯ = 1

2 1,

resulta que dicha serie es absolutamente convergente (y por tanto conver-

gente).


(−1)+1 !aplicando el anterior

criterio, observamos que ∀ ∈ N, es (−1)+1 !6= 0. Dado que

lim

¯̄̄̄¯̄(−1)+2 (+1)

+1

(+1)!

(−1)+1 !

¯̄̄̄¯̄ = 1,



(−1) !

aplicando el anterior criterio, observamos que ∀ ∈ N, es (−1) !6= 0.

Dado que

lim

¯̄̄̄¯(−1)

+1 (+1)!

+1

(−1) !

¯̄̄̄¯ = +∞,


6.4. Criterio de la raíz para series de términos cualesquiera.

Sea∞P=1

una serie de números reales tal que

lim p|| = .

25

Entonces:


es absolutamente convergente (y por tanto

convergente).


es divergente.


de la serie∞P=1

.

En efecto:

(a) En el supuesto de que sea 1, si ponemos = 1+2, entonces es

0 ≤ 1 y existe un 0 ∈ N tal que ∀ ≥ 0, se verifica que

p|| ⇒ || .

Dado que la serie∞P=1

es convergente, aplicando el criterio de comparación

(apartado 5.2.1.), resulta que la serie∞P=1

|| es convergente, y se obtiene elresultado (a).

(b) En el supuesto de que sea 1 o = +∞, existe un 1 ∈ N, tal que∀ ≥ 1 es

p|| 1.

Por tanto, dado que ∀ ≥ 1 es

|| ≥ 1,

se verifica que

lim 6= 0,

por lo que la serie∞P=1

es divergente.

6.4.1. Ejemplos.


(−1)−1 sen

aplicando el anterior

criterio, dado que

lim

s¯̄̄̄(−1)−1 sen

¯̄̄̄= lim

|sen|

= 0 1,

resulta que dicha serie es absolutamente convergente (y por tanto conver-

gente).

26


(−1)+1³3+22+3

áplicando el

anterior criterio, dado que

lim

s¯̄̄̄(−1)+1

µ3+ 2

2+ 3

¶ ¯̄̄̄= lim

3+ 2

2+ 3=3

2 1,


7. Algunas técnicas para sumar series convergentes.

Ya hemos visto anteriormente técnicas para obtener la suma de las series ge-

ométricas convergentes (apartado 3.1.), las series exponenciales (apartado 3.2.)

y las series telescópicas convergentes (apartado 3.4.). Más adelante, cuando

estudiemos las series de potencias, obtendremos un amplio repertorio de se-

ries para las cuales se conoce su suma, bien directamente o bien mediante las

propiedades de derivación e integración término a término. Veremos en este

apartado dos casos más en los que es fácil obtener la suma de una serie conver-

gente.

7.1. Series hipergeométricas.


es hipergeométrica si+1

es una función racional

de . Aquí solo introduciremos el caso

+1

=

+

+ ,

con ∈ R y 0. Aplicando el criterio de Raabe-Duhamel, resulta que

esta serie hipergeométrica converge si y solamente si

+ ,

y diverge en caso contrario. En el caso de que la serie sea convergente, se puede

probar fácilmente que su suma es

∞X=1

=1

− − .

Por ejemplo, la serie∞X=0

1 · 3 · · (2+ 1)4 · 6 · · (2+ 4) ,

es hipergeométrica, ya que+1

=2+ 3

2+ 6.

27

Dado que = 2 = 3 = 6, se verifica que + , por lo que la serie es

convergente. Su suma es

= 0 +1

− − = 1.

7.2. Series aritmético-geométricas.


es aritmético-geométrica si se expresa en la forma

∞X=0

(+ ),

con ∈ R, con 6= 0 y 6= 1. Aplicando el criterio de la razón, resulta

que la serie aritmético-geométrica converge si y solamente si || 1. En el casode que la serie sea convergente, se puede obtener su suma teniendo en cuenta

que

= + (+ ) + (2+ )2 + + (+ ) +

= + (+ )2 + (2+ )3 + + ((− 1)+ ) +


− = + + 2 + + +

y sumando la serie geométrica del segundo miembro, se llega finalmente a

=(1− ) +

(1− )2.

En las series convergentes del tipo∞P=0

(), donde es un polinomio de grado

, la suma se obtiene de modo similar, reiterando el proceso anteriormente

explicado veces.

Por ejemplo, la serie∞P=1

( + 1), con ∈ R y 6= 1, es aritmético-

geométrica. Aplicando el criterio de la razón, resulta que la serie converge si y

solamente si || 1. En tal caso, podemos obtener su suma mediante = 2+ 62 + 123 + + (+ 1) +

= 22 + 63 + 124 + + (− 1) +

(1− ) = 2+ 42 + 63 + + 2 +

(1− ) = 22 + 43 + 64 + + 2(− 1) +

(1− ) − (1− ) = 2+ 22 + 23 + + 2 +


=2

(1− )3.

28

II. INTEGRALES IMPROPIAS.

1. Introducción.

En el tema anterior estudiamos la integral de Riemann de una función aco-

tada definida sobre un intervalo cerrado y acotado. En este apartado, prolon-

garemos dicho proceso de integración a las funciones definidas sobre un intervalo

semiinfinito (es decir, del tipo [+∞) o (−∞ ], con ∈ R) o un intervalodoblemente infinito (del tipo (−∞+∞)), y también a las funciones no acotadasdefinidas sobre intervalos acotados o sobre intervalos no acotados, dando lugar

a las llamadas integrales impropias.

Comenzaremos estudiando las integrales impropias de Tipo I, correspondi-

entes a los casos en los que el dominio de integración no está acotado.

2. Integrales impropias de Tipo I.

2.1. Definiciones.

2.1.1. Sean ∈ R y : [+∞) → R una función integrable en [ ]∀ ∈ R,con ≥ . Se defineZ +∞

() = lim→+∞

Z

().

Si dicho límite existe y es finito, se dice que la integralR +∞

() es

convergente. En caso contrario, se dice que dicha integral es divergente.

2.1.2. Sean ∈ R y : (−∞ ]→ R una función integrable en [ ]∀ ∈ R, con ≤ . Se define Z

−∞() = lim

→−∞

Z

().

Si dicho límite existe y es finito, se dice que la integralR −∞ () es

convergente. En caso contrario, se dice que dicha integral es divergente.

2.1.3. Sea : (−∞+∞) → R una función integrable en [ ]∀ ∈ R, con ≤ . Se defineZ +∞

−∞() =

Z

−∞()+

Z +∞

() = lim→−∞

Z

()+ lim→+∞

Z

(),

donde ∈ R. Por tanto, si ambos límite existen y son finitos, se dice quela integral

R +∞−∞ () es convergente. En caso contrario, se dice que dicha

integral es divergente.

29

2.2. Primeros ejemplos.

2.2.1. Sean ∈ R, con 0, y consideremos la integral impropiaR +∞

1.

Dado que

lim→+∞

Z

1

=

⎧⎨⎩ lim→+∞

1−−1−1− si 6= 1

lim→+∞

log − log si = 1,

se sigue que la integral impropiaR +∞

1 es convergente cuando 1

y divergente cuando ≤ 1 (este resultado nos recuerda el ya visto para laserie armónica, en el apartado 3.3.). Además, en los casos de convergencia

el valor de la integral esZ +∞

1

=

1−

− 1 ∀ 1.

2.2.2. Sean ∈ R, con 0, y consideremos la integral impropiaR −∞

1.

Dado que

lim→−∞

Z

1

=

⎧⎨⎩ lim→−∞

1−−1−1− si 6= 1

lim→−∞

log ||− log si = 1,

se sigue que la integral impropiaR −∞

1 es convergente cuando 1

y divergente cuando ≤ 1. Además, en los casos de convergencia el valorde la integral es Z

−∞

1

=

1−

1− ∀ 1.

2.2.3. Sean ∈ R, con 0, y consideremos la integral impropiaR +∞

.

Dado que

lim→+∞

Z

=

⎧⎨⎩ lim→+∞

−log

si 6= 1lim

→+∞− si = 1,

se sigue que la integral impropiaR +∞

es convergente cuando 1

y divergente cuando ≥ 1. Además, en los casos de convergencia el valorde la integral esZ +∞

=−log

∀ ∈ R, con 0 1.

2.2.4. Análogamente, es fácil probar que la integral impropiaR +∞

−2

,

donde ∈ R, converge a 12−

2

.

30

2.2.5. También es fácil probar que la integral impropiaR +∞−∞

11+2

, que se puede

expresar comoZ +∞

−∞

1

1 + 2 =

Z 0

−∞

1

1 + 2+

Z +∞

0

1

1 + 2

converge a 2+

2= , ya que las dos integrales del segundo miembro

convergen ambas a 2.

2.2.6. Sea ∈ R. La integral impropia R +∞

cos, es divergente, dado que el

límite lim→+∞

(sen − sen ) no existe.

2.2.7. Sean ∈ R. Consideremos la integral impropiaR +∞0

(2 + +

)−. Dado que

lim→+∞

Z

0

(2 + + )− =

= lim→+∞

£2+ + − (2+ + )− − (2+ )− − 2−

¤= 2+ + ,

se sigue que la integral impropiaR +∞0

(2 + + )− converge a2+ + .

3. Integrales impropias de Tipo II.

3.1. Definiciones.

3.1.1. Sean ∈ R, con , y : ( ] → R una función integrable en

[ ]∀ ∈ ( ] pero no acotada (la gráfica de tiene una asíntota verticalen = ). Se define Z

() = lim→+

Z

().

Si el límite existe y es finito, se dice que la integralR () es convergente,

y su valor es dicho límite. En caso contrario, se dice que la integral es

divergente.

Mediante sencillos cambios de variable, estas integrales impropias de Tipo

II se pueden transformar en las de Tipo I. De esta manera, las propiedades

que se prueben para uno de los dos tipos, pueden ser trasladadas al otro

tipo.

3.1.2. Sean ∈ R, con , y : [ ) → R una función integrable en

[ ]∀ ∈ [ ) pero no acotada (la gráfica de tiene una asíntota verticalen = ). Se define Z

() = lim→−

Z

().

31

Si el límite existe y es finito, se dice que la integralR () es convergente,

y su valor es dicho límite. En caso contrario, se dice que la integral es

divergente.

3.1.3. Sean ∈ R, con , y : [ ) ∪ ( ] → R una función

integrable en [ ]∀ ∈ [ ), e integrable en [ ]∀ ∈ ( ] pero noacotada (la gráfica de tiene una asíntota vertical en = ). Se defineZ

() =

Z

()+

Z

().

Si ambas integrales impropias son convergentes, es decir, si los dos límites

siguientes

lim→−

Z

()

lim→+

Z

()

existen y son finitos, se dice que la integralR () es convergente, y

su valor es la suma de dichos límites. En caso contrario, se dice que la

integral es divergente.

3.2. Primeros ejemplos.

3.2.1. Sean ∈ R, con 0, y ∈ (0+∞), y consideremos la integral impropiade Tipo II

R 0

1. Dado que

lim→0+

Z

1

=

⎧⎨⎩ lim→0+

1−−1−1− si 6= 1

lim→0+

(log − log ) si = 1,

se sigue que la integral impropiaR 0

1 es convergente cuando 1 y

divergente cuando ≥ 1. Además, en los casos de convergencia el valorde la integral esZ

0

1

=

1−

1− ∀ ∈ R, con 0 1.

Por otra parte, es evidente que para ≤ 0 la integral no es impropia.3.2.2. Sea ∈ R, con 0, y consideremos la integral impropia de Tipo IIR

0log . Dado que

lim→0+

Z

log = lim→0+

(− log + + log − ) = (log − 1),

se sigue que la integral impropiaR 0log es convergente a (log − 1).

32

3.2.3. Sean ∈ R, con , y 0, y consideremos la integral

impropia de Tipo IIR

1(−) . Dado queZ

1

(− ) =

Z

1

(− )+

Z

1

(− ),

lim→+

Z

1

(− ) =

⎧⎨⎩ lim→+

(−)1−−(−)1−1− si 6= 1

lim→+

(log(− )− log(− )) si = 1,

lim→−

Z

1

(− ) =

⎧⎨⎩ lim→−

(−)1−−(−)1−1− si 6= 1

lim→−

(log |− |− log(− )) si = 1,

se sigue que la integral impropiaR

1(−) es convergente cuando 1

y divergente cuando ≥ 1. Además, en los casos de convergencia el valorde la integral esZ

1

(− ) =

(− )1− − (− )1−

1− ∀ ∈ R, con 0 1.

Por otra parte, es evidente que para ≤ 0 la integral no es impropia.

3.2.4. Consideremos la integral impropia de Tipo IIR

2

0sen

. Dado que

lim→0+

Z 2

sen= lim

→0+(log(cos + 1)− log(sen )) = +∞,

resulta que la integral es divergente.

4. Observaciones.

4.1. En las integrales impropias de Tipo II, si no se observa que el integrando

no está acotado en el intervalo de integración, pueden producirse nota-

bles errores. Por ejemplo, en el caso de la integral impropia de Tipo IIR 20

1−1, del tipo visto en el apartado 3.2.3., si no se advierte que la fun-

ción () = 1−1 no está acotada en [0 2], se podría plantear como valor

de la integral [log |− 1|]20 = 0, cuando en 3.2.3. se ha probado que dichaintegral impropia es divergente.

4.2. También se pueden dar casos en los que se combine la no acotación del

intervalo de integración con la no acotación del integrando (sobre el in-

tervalo de integración). En tales casos, se expresa la integral como una

suma de integrales impropias de Tipo I y de Tipo II, y cada uno de los

casos se discute aplicando la teoría que le corresponde. Consideremos, por

33

ejemplo, la integral impropiaR +∞1

√2−1 , en la cual el intervalo de inte-

gración no está acotado y la función : (1+∞) → R definida mediante() = 1

√2−1 no está acotada en el intervalo de integración. Dado que

=

Z +∞

1

√2 − 1 = lim

→1+

Z 2

√2 − 1 + lim

→+∞

Z

2

√2 − 1 = 1 + 2

1 = lim→1+

Z 3

arccos 1

=

3

2 = lim→+∞

Z arccos 1

3

=

2−

3,

donde las integrales se han resuelto fácilmente mediante el cambio de vari-

able = 1cos

, resulta que la integralR +∞1

√2−1 es convergente, y su

valor es 2.

5. Algunos criterios para estudiar la convergencia de las integrales

impropias.

Si bien plantearemos los siguientes criterios, que se siguen de las definiciones

dadas y de las propiedades de los límites, para integrales impropias de Tipo I,

se pueden trasladar fácilmente al caso de las impropias de Tipo II.

5.1. Comparación por mayoración o minoración.

Sean ∈ R y : [+∞) → R funciones integrables en [ ]∀ ∈ R,con ≥ , tales que 0 ≤ () ≤ ()∀ ∈ [+∞). Se verifican las siguientespropiedades:

• Si la integral R +∞

() es convergente, entonces la integralR +∞

()

también es convergente.

• Si la integral R +∞

() es divergente, entonces la integralR +∞

()

también es divergente.

5.1.1. Ejemplos.

5.1.1.1. Consideremos la integral impropiaR +∞0

1+sen1+2

. Dado que, ∀ ∈ [0+∞),es

0 ≤ 1 + sen1 + 2

≤ 2

1 + 2,

y que la integralR +∞0

21+2

es convergente (y su valor es ), resulta que

la integralR +∞0

1+sen1+2


34


2+cos

. Dado que, ∀ ∈ [1+∞),es

2 + cos

≥ 1

≥ 0,


1 es divergente, resulta que la integral

R +∞1

2+cos

es también divergente.

5.1.1.3. Para estudiar la convergencia de la integral impropiaR +∞0

−2

, ponemosZ +∞

0

−2

=

Z 1

0

−2

+

Z +∞

1

−2

.

La primera integralR 10−

2

no es impropia, y la segundaR +∞1

−2

,

dado que ∀ ∈ [1+∞),0 ≤ −

2 ≤ −,


− es convergente (siendo su valor −1), re-sulta que la integral

R +∞1

−2

es convergente, por lo que la integralR +∞0

−2

es también convergente (se puede probar que su valor es√

2).

5.2. Comparación por paso al límite.

Sean ∈ R y : [+∞) → R funciones integrables en [ ]∀ ∈ R,con ≥ , verificando que ∃0 ∈ R tal que () 0 y () 0∀ ≥ 0. Se

verifican las siguientes propiedades:

• Silim

→+∞()

()= ∈ R, con 6= 0,

entonces las integralesR +∞

() yR +∞

() tienen el mismo carácter

(es decir,R +∞

() converge si y solamente siR +∞

() converge, yR +∞

() diverge si y solamente siR +∞

() diverge).

• Silim

→+∞()

()= 0

y la integralR +∞

() converge, entonces la integralR +∞

() tam-

bién converge.

• Silim

→+∞()

()= +∞

y la integralR +∞

() diverge, entonces la integralR +∞

() también

diverge.

35

5.2.1. Ejemplos.

5.2.1.1. Sea ∈ R, y consideremos la integral impropia R +∞1

log

. Dado que,

∀ ∈ (1+∞), eslog

0

1

0

y que

lim→+∞

log

1

= +∞,

resulta queR +∞1

log

diverge cuando ≤ 1 (ya que R +∞1

1 diverge

cuando ≤ 1).Supongamos que 1, y sea = 1+

2. Entonces, se verifica que 1 ,

y de

lim→+∞

log

1

= lim→+∞

log

−= 0,

se sigue queR +∞1

log

converge cuando 1 (ya queR +∞1

1 con-

verge cuando 1).


sen 1. Dado que, ∀ ∈ [1+∞),

es

sen1

0

1

0

y que

lim→+∞

sen 1

1

= 1,

resulta que la integral impropiaR +∞1

sen 1 es divergente (ya que

R +∞1

1

diverge).

5.2.1.3. Sea ∈ R, con 0, y consideremos la integral impropiaR +∞2

1(log )

.

Dado que, ∀ ∈ [2+∞), es1

(log ) 0

1

0

y que

lim→+∞

1(log )

1

= +∞,

36

resulta queR +∞2

1(log )

es divergente. Obviamente, para ≤ 0 la

integral también es divergente.

5.2.1.4. Para estudiar la convergencia de la integral impropiaR +∞0

√(+1)

, ponemosZ +∞

0

√(+ 1)

=

Z 1

0

√(+ 1)

+

Z +∞

1

√(+ 1)

.

La integralR 10

√(+1)

es impropia de Tipo II, y se verifica ∀ ∈ (0 1]

1√(+ 1)

0

1

12

0.

Dado que

lim→0+

1√(+1)

1

12

= 1

y que la integralR 10

12

es convergente, resulta que la integralR 10

√(+1)

también es convergente.

La integralR +∞1

√(+1)

es impropia de Tipo I, y se verifica ∀ ∈ [1+∞)

1√(+ 1)

0

1

32

0.

Dado que

lim→+∞

1√(+1)

1

32

= 1


32

es convergente, resulta que la integralR +∞1

√(+1)

también es convergente. En definitiva, la integralR +∞0

√(+1)

es conver-

gente.

5.3. Convergencia absoluta y condicional.

Sea ∈ R y : [+∞) → R una función integrable en [ ]∀ ∈ R, con ≥ . Se dice que la integral

R +∞

() es absolutamente convergente si la

integralR +∞

|()| es convergente. Una integral impropia convergente, perono absolutamente, se dice que es condicionalmente convergente. Al igual que en

el caso de las series numéricas, se verifica la siguiente propiedad:

37

Cualquier integral impropia absolutamente convergente, es convergente.

5.3.1. Ejemplo.

Veamos que la integral impropiaR +∞1

sen2

es absolutamente convergente.

En efecto, dado que, ∀ ∈ [1+∞)

0 ≤¯̄̄sen

2

¯̄̄≤ 1

2,

y queR +∞1

12 es convergente, resulta que

R +∞1

¯̄sen2

¯̄ también es conver-

gente. Como consecuencia, la integralR +∞1

sen2

es convergente.

5.4. Criterio de la integral.

Sea : [1+∞) → R una función no negativa y monótona decreciente.

Entonces, la integral impropiaR +∞1

() es convergente si y solamente si la

serie∞P=1

() es convergente y, en tal caso, se verifica que

∞X=2

() ≤Z +∞

1

() ≤∞X=1

(),

o, alternativamente, queZ +∞

1

() ≤∞X=1

() ≤ (1) +

Z +∞

1

().

Del mismo modo, la integral impropiaR +∞1

() es divergente si y solamente

si la serie∞P=1

() es divergente.

El resultado, en cuanto a la convergencia o divergencia, es igualmente válido

si es no negativa y monótona decreciente en un subintervalo de la forma

[+∞), con 1, pero las acotaciones han de ser recalculadas.

En efecto:

Teniendo en cuenta las propiedades de las sumas superiores e inferiores vistas

en el tema de Integrales (ver la Figura 1) se verifica queZ +1

1

() ≤X

=1

() ≤ (1) +

Z

1

()

38

de donde, pasando al límite y aplicando el teorema del sandwich, se siguen los

resultados buscados.

Figura 1

5.4.1. Ejemplos.

5.4.1.1. Para estudiar la convergencia absoluta de la serie∞P=1

(−1) arctan1+2

apli-

cando el anterior criterio, comenzamos obteniendo

∞X=1

¯̄̄̄(−1) arctan

1 + 2

¯̄̄̄=

∞X=1

arctan

1 + 2,

y observando que la función : [1+∞)→ R definida mediante

() =arctan

1 + 2

es estrictamente positiva (en el intervalo [1+∞)) y monótona decreciente.Para probar esto último, vemos que

0() = −2 arctan− 1(1 + 2)

2

y que el numerador de 0, que está definido por la función : [1+∞)→ Rdada por

() = 2 arctan− 1

39

verifica que () 0∀ ∈ [1+∞). Esto último se puede probar teniendoen cuenta que ∀ ∈ [1+∞)

0() = 2 arctan+2

1 + 2 0

y que (1) = 24− 1 0.

En definitiva, al ser 0() 0∀ ∈ [1+∞), es monótona decrecienteen [1+∞).Veamos que

R +∞1

arctan1+2

es convergente. En efecto,

lim→+∞

Z

1

arctan

1 + 2 = lim

→+∞

∙1

2(arctan)2

¸1

=32

32.

Como consecuencia, la serie∞P=1

arctan1+2

es convergente, y resulta que la

serie∞P=1

(−1) arctan1+2

es absolutamente convergente, y por tanto conver-

gente.

También es posible resolver este problema aplicando el criterio de Leibniz

para series alternadas.

5.4.1.2. Sean ∈ R, con 0. Para estudiar la convergencia de la integralR +∞2

(log )

, recordamos del ejemplo 5.7.1.1. (de series numéricas) que

la serie∞P=2

1(log)

converge si 1, diverge si 1 y, si = 1,

dicha serie converge si 1 y diverge si ≤ 1. Definiendo la función

: [2+∞)→ R mediante

() =1

(log ),

observamos que

0() = − log +

+1(log )+1,

por lo que, cuando 0,

0() ≤ 0 para − = .

Por tanto, cuando 0, es monótona decreciente en [+∞). Además, es estrictamente positiva en el intervalo [2+∞). Cuando 0, apli-

cando el criterio de la integral resulta que la integralR +∞2

(log )

con-

verge si 1, diverge si 0 1 y, cuando = 1, la integral converge

si 1 y diverge si ≤ 1.Para 0 es evidente que lim

→+∞1

(log )= +∞, por lo que dicha inte-

gral es divergente. Finalmente, veamos que para = 0, la integral también

es divergente. En efecto, para = 0 se obtiene la integralR +∞2

(log )

que

40

diverge claramente cuando ≤ 0. Para 0 (y = 0), dado que

la función : [2+∞) → R definida mediante () = 1(log )

es monó-

tona decreciente, aplicando el criterio de la integral resulta que la integralR +∞2

(log )


1(log)

, de la cual

sabemos (ver ejemplo 5.2.3.4. de series numéricas) que es siempre diver-

gente.

En definitiva, si son ∈ R, la integral R +∞2

(log )

converge cuando

1, diverge cuando 1 y, cuando = 1, la integral converge si 1

y diverge si ≤ 1.

41

Documents

Tema 7 - Series Numericas e Integrales Impropias