MA1002 C alculo II Tema 01: Integrales Impropias · 2020. 5. 16. · Integrales impropias de primera especie Criterio p-integrales o Criterios de convergencia para integrales impropias

MA1002 Calculo IITema 01: Integrales Impropias

Parte 02: Criterios de convergencia y funciones hiperbolicas

Profesor Jesus Sanchez Guevara

Universidad de Costa Rica

I Semestre 2020

Jesus Sanchez Guevara (U.C.R) MA1002: T01P01 I Semestre 2020 1 / 22

En esta clase

1 Criterios de convergencia para integralesde primera especie.

2 Criterios de convergencia para integralesde segunda especie.

3 Funciones hiperbolicas.

Introduccion

¿Cual es la utilidad de los criterios deconvergencia?

o El estudio del comportamiento deintegrales sin tener que integral la funcion.


Integrales impropias de primera especie Criterio p-integrales

o Criterios de convergencia paraintegrales impropias de primera especie

Una familia de integrales impropias muyusada es:

ż `8

1x´αdx

donde α P R es un parametro. Tambien sepuede escribir:

ż `8

1

1

xαdx

Veamos el comportamiento de esta integral:

Recuerde que

Si α ‰ 1, entonces

ż

x´αdx “x´α`1

´α` 1` C

ż `8

1x´αdx “ lım

hÑ`8

ż h

1x´αdx

“ lımhÑ`8

x´α`1

´α` 1

ˇ

ˇ

ˇ

h

1x´α

“ lımhÑ`8

ˆ

h´α`1

´α` 1´

1

´α` 1

˙

Observe el exponente de h:

y Si p´α` 1q ą 0 (o tambien α ă 1), el lımite

da `8, entoncesş`8

1 x´αdx diverge.

y Si p´α` 1q ă 0 (o tambien α ą 1):

lımhÑ`8

ˆ

h´α`1

´α` 1´

1

´α` 1

˙

“ 0´1

´α` 1“

1

α´ 1

por lo queş`8

1 x´αdx converge.


Integrales impropias de primera especie Criterio p-integrales

¿Que sucede si α “ 1?

ż `8

1x´αdx “

ż `8

1

1

xdx

“ lımhÑ`8

ż h

1

1

xdx

“ lımhÑ`8

lnpxqˇ

ˇ

ˇ

h

1

“ lımhÑ`8

ln |x| ´ lnp1q

“ lımhÑ`8

lnpxq “ `8

Por lo tanto, tambien diverge. Resumiendo:

Criterio p-integrales

ż `8

1x´αdx “

#

1α´1

, si α ą 1 (Convergente)

`8, si α ď 1 (Divergente)

Ejemplo:

Estudiar la convergencia o divergencia de

ż `8

3x´3dx

Solucion:Para aplicar el criterio con α “ 3, observe:

ż `8

1x´3dx “

ż 3

1x´3dx`

ż `8

3x´3dx

ñ

ż `8

3x´3dx “

ż `8

1x´3dx´

ż 3

1x´3dx

“1

3´ 1´

ż 3

1x´3dx

“1

2´

ˆ

x´2

´2

˙

ˇ

ˇ

ˇ

3

1

“1

2`

1

18´

1

2“

1

18

Ası, esta integral es convergente y se dice queconverge a 1

18.


Integrales impropias de primera especie Criterio de constante M

Criterio de acotacion por una constante M

Suponga que la integral propia

ż b

afpxqdx

existe para todo b ě a y que fpxq ě 0, paratodo x ě a, entonces:

ż `8

afpxqdx converge

ô existe una constante M ą 0 tal que

ż b

afpxqdx ďM

para todo valor de b ě a.

Observacion: M debe ser independiente delos lımites de integracion.

Ejemplo:


ż `8

0e´xdx

Solucion:Sea b ą 0 y se calcula:

ż b

0e´xdx “pé´xq

ˇ

ˇ

ˇ

b

0

“´ e´b ` 1 ď 1 “M

Ya que para cualquier b ą 0 se tiene que0 ď e´b ñ é´b ď 0 ñ é´b ` 1 ď 1.

Ası, por el criterio de la constante M , laintegral

ş`8

0 e´xdx es convergente.


Integrales impropias de primera especie Criterio de comparacion directa

Criterio de comparacion directa

Suponga que las integrales propias

ż b

afpxqdx y

ż b

agpxqdx

existe para todo b ě a, y para todo x ě a,0 ď fpxq ď gpxq, entonces:

Siş`8

a gpxqdx converge entoncesş`8

a fpxqdx converge y

ż `8

afpxqdx ď

ż `8

agpxqdx

.

Siş`8

a fpxqdx diverge entoncesş`8

a gpxqdx tambien diverge.

Observacion: A menudo se dice que laintegral

ş`8

a gpxqdx domina a la integralş`8

a fpxqdx.

Ejemplo:


ż `8

1

1` sinpxq

x2dx

Solucion:Para todo x ě 1, sinpxq ď 1, entonces @x ě 1

fpxq “1` sinpxq

x2ď

2

x2“ gpxq

Por p-integralesş`8

1 gpxqdx converge, y ası,por el criterio

de comparacionş`8

11`sinpxq

x2 dx covergetambien.


Integrales impropias de primera especie Criterio de comparacion al lımite

Criterio de comparacion al lımite

Suponga que las integrales propias

ż b

afpxqdx y

ż b

agpxqdx

existe para todo b ě a, y que fpxq ě 0 paratodo x ě a, y gpxq ą 0 para todo x ě a.

Si lımxÑ`8

fpxq

gpxq“ L, con L ‰ 0 y finito,

se tiene que

ż `8

afpxqdx,

ż `8

agpxqdx,

o ambas convergen o ambas divergen.

Observacion: En el caso de que L “ 0, loque se puede decir es que la convergencia deş`8

a gpxqdx implica la convergenciaş`8

a fpxqdx.

Ejemplo:


ż `8

1

1` x` 3x2

4´ x` x4dx

Solucion:Observe que:

lımxÑ`8

1` x` 3x2

4´ x` x4“ lımxÑ`8

x2p1{x2 ` 1{x` 3q

x4p4{x4 ´ 1{x3 ` 1q

“ lımxÑ`8

p1{x2 ` 1{x` 3q

x2p4{x4 ´ 1{x3 ` 1q

“ lımxÑ`8

3

x2

Por lo tanto si fpxq “ 1`x`3x2

4´x`x4 y gpxq “ 3x2 ,

entonces lımxÑ`8fpxqgpxq

“ 1 “ L ‰ 0.

Por p-integralesş`8

13x2 dx converge, y ası,

por el criterio de comparacion al lımiteş`8

11`x`3x2

4´x`x4 dx coverge tambien.


Integrales impropias de primera especie Criterio de Abel-Dirichlet

Criterio de Abel-Dirichlet

Sean f, g continuas @x ě a tal que :

fpxq decrece cuando xÑ `8.şba gpxqdx es acotada @b ě a, es decir,

existe constante M ą 0 tal queşba gpxqdx ďM , @b ě a.

Entonces,

ż `8

afpxqgpxqdx

es convergente.

Ejemplo:


ż `8

1

sinpxq

xdx

Solucion:Sean fpxq “ 1

xy gpxq “ sinpxq. Veamos que

cumplen las condiciones.

Claramente fpxq es decreciente cuandoxÑ `8, pues f 1pxq “ ´1{x2 que esnegativo.

ş`8

1 sinpxqdx “ ´ cospxqˇ

ˇ

ˇ

b

1“

´ cospbq ` cosp1q ď 2 “M . Pues ningunade las dos expresiones es mayo a 1.

Finalmente, el criterio garantiza que

ż `8

1fpxqgpxqdx “

ż `8

1

sinpxq

xdx

es convergente.Nota: Si se cambia “sin”por la funcion “cos”,sucede lo mismo.


Integrales impropias de primera especie Convergencia absoluta y condicional

Definicion convergencia absoluta

Dada la integralş`8

a fpxqdx,

si

ż `8

a|fpxq|dx converge,

entonces, se dice queş`8

a fpxqdx convergeabsolutamente.

Propiedad

Si

ż `8

a|fpxq|dx converge entonces,

ż `8

afpxqdx tambien converge.

es decir,convergencia absoluta ñ convergencia.

Definicion convergencia condicional

Dada la integralş`8

a fpxqdx,

si

ż `8

a|fpxq|dx diverge,

entonces, la integral

ż `8

afpxqdx

puede ser divergente o convergente.

En el caso de que sea convergente, se dice que

ż `8

afpxqdx

converge condicionalmente.


Integrales impropias de primera especie Convergencia absoluta y condicional

Ejemplo

Se vio que la integral

ż `8

1

sinpxq

xdx

es convergente por le criterio de Dirichlet.Pero

ż `8

1

| sinpxq|

xdx

es divergente (esto se probara mas adelanteen el curso).Por lo tanto,

ż `8

1

sinpxq

xdx

es un ejemplo de integral condicionalmenteconvergente.

Nota:ş`8

1cospxqx

dx tambien convergecondicionalmente.

Ejemplo

Se vio que la integral

ż `8

1

sinpxq

x2dx

es convergente por le criterio de Dirichlet.(Proceso similar al ejemplo pasado)Pero

ż `8

1

| sinpxq|

x2dx ď

ż `8

1

1

x2dx

Esta ultima integral es convergente por

p-convergencia, por lo tantoş`8

1| sinpxq|x2 dx

converge.Ası,

ż `8

1

sinpxq

x2dx

es un ejemplo de integral absolutamenteconvergente.


Integrales impropias de segunda especie Criterio p-integrales

o Criterios de convergencia paraintegrales impropias de segunda especie

Criterio p-integrales (asıntota en cero)

ż 1

0x´αdx “

#

11´α

, si α ă 1 (Convergente)

`8, si α ě 1 (Divergente)

Ejemplo

Estudie la convergencia o divergencia de

ż 3

0p3´ xq´6dx

Solucion: Haga el cambio de variable

u “3´ x

3

,entonces du “ ´ 1

3dx, y

si xÑ 0, entonces uÑ 1 ysi xÑ 3´, entonces uÑ 0`.

ż 3

0p3´xq´6dx “ ´

1

35

ż 0

1u´6du “

1

35

ż 1

0u´6du

Y esta ultima integral es divergente, por lotanto

ż 3

0p3´ xq´6dx

es divergente.


Integrales impropias de segunda especie Criterio de comparacion directa y al lımite

Criterio de comparacion directa

Suponga f, g son continuas en ra, bs, tales queno son acotadas en x “ a y para todox P ra, bs, 0 ď fpxq ď gpxq, entonces:

Sişba gpxqdx converge entonces

şba fpxqdx

converge.

Sişba fpxqdx diverge entonces

şba gpxqdx

tambien diverge.

Observacion: El criterio es valido si elproblema se presenta en x “ b o en cualquierpunto interior del intervalo.

Criterio de comparacion al lımite

Suponga f, g son continuas en ra, bs, tales queno son acotadas en x “ a y f, g son positivasen el intervalo ra, bs.

Si lımxÑa`

fpxq

gpxq“ L, con L ‰ 0 y finito,

se tiene que

ż b

afpxqdx,

ż b

agpxqdx,

o ambas convergen o ambas divergen.

Observacion: En el caso de que L “ 0, loque se puede decir es que la convergencia deşba gpxqdx implica la convergencia

şba fpxqdx.


Integrales impropias de segunda especie Criterio de comparacion directa y al lımite

Ejemplo

Estudie la convergencia o divergencia de

I “

ż 5

2

13a

px´ 2qpx` 4qdx

Solucion (Usando comparacion directa)

1 ď x` 4 ñ1

x` 4ď 1 ñ

13?x` 4

ď 1

ñ1

3a

px´ 2qpx` 4qď

13?x´ 2

ñ

ż 5

2

13a

px´ 2qpx` 4qdx ď

ż 5

2

13?x´ 2

dx

Esta ultima converge por p-integrales paraα “ 1{3 ă 1, y por comparacion directa Iconverge tambien.

Solucion (Usando comparacion al lımite)

lımxÑ2´

13a

px´ 2qpx` 4q“ lımxÑ2´

13?

6px´ 2q1{3

Lo que implica que

lımxÑ2´

13?px´2qpx`4q

1px´2q1{3

“13?

6‰ 0

Por comparacion al lımite I converge si y solosi

ż 5

2

1

px´ 2q1{3dx

converge. La cual es convergente porp-integrales para α “ 1{3 ă 1.


Integrales impropias de segunda especie Convergencia absoluta y condicional

Definicion convergencia absoluta

Suponga f continua en ra, bs no acotada enx “ a.

si

ż b

a|fpxq|dx converge,

entonces, se dice queşba fpxqdx converge

absolutamente.

Propiedad

Si

ż b

a|fpxq|dx converge entonces,

ż b

afpxqdx tambien converge.

es decir,convergencia absoluta ñ convergencia.

Definicion convergencia condicional

Suponga f continua en ra, bs no acotada enx “ a.

si

ż b

a|fpxq|dx diverge,

entonces, la integral

ż b

afpxqdx

puede ser divergente o convergente.

En el caso de que sea convergente, se dice que

ż b

afpxqdx

converge condicionalmente.


Integrales impropias de segunda especie Convergencia absoluta y condicional

Ejemplo

Estudie la convergencia de

I “

ż 1

0

sinpxq

x3{2dx

lımxÑ0`

sinpxq

x3{2“ lımxÑ0`

x

x3{2“ lımxÑ0`

1

x1{2

Por comparacion al lımite I converge si y solosi

ż 1

0

x

x1{2dx

converge.Y esta ultima lo hace por p-criterio paraα “ 1{2 ă 1.Ademas, I converge absolutamente porquesin es positiva en r0, 1s.

Ejemplo

Estudie la convergencia de

I “

ż 1

0x2 sinp1{xqdx

Se hace el cambio de variable u “ 1{x:

ż 1

0x2 sinp1{xqdx “

ż `8

1

sinpuq

u4du

que es absolutamente convergente.


Funciones hiperbolicas

o Funciones hiperbolicas

Definicion

Se definen las funciones hiperbolicas de lasiguiente manera:

1 Seno hiperbolico:

sinhpxq “ex ´ e´x

2, x P R

2 Coseno hiperbolico:

coshpxq “ex ` e´x

2, x P R

3 Tangente hiperbolica:

tanhpxq “sinhpxq

coshpxq“ex ´ e´x

ex ` e´x, x P R

o Su nombre se debe a que mantienenpropiedades similares a las funcionestrigonometricas.

Propiedad

cosh2pxq ´ sinh2pxq “ 1

o Verificacion:

cosh2pxq ´ sinh2pxq

“

ˆ

ex ` e´x

2

˙2

´

ˆ

ex ´ e´x

2

˙2

“e2x ` 2` e´2x

4é2x ´ 2` e´2x

4

“ 1



o Graficando las funciones hiperbolicas

En Geogebra

1 Graficar fpxq “ 12ex y gpxq “ 1

2e´x.

(e^x)/2 , (e^(-x))/2

2 Graficar

sinhpxq “ fpxq ´ gpxq “ exé´x

2.

(e^x)/2-(e^(-x))/2

3 Graficar

coshpxq “ fpxq ` gpxq “ exè´x

2.

(e^x)/2+(e^(-x))/2

4 Graficar tanhpxq “ sinhpxqcoshpxq

tanh(x)

5 Graficar las asıntotas horizontales y “ 1y y “ ´1.

Propiedad

Las rectas y “ 1 y y “ ´1 son asıntotashorizontales de tanhpxq.

o Verificacion:

1

lımxÑ`8

tanhpxq “ lımxÑ`8

ex ´ e´x

ex ` e´x

“ lımxÑ`8

1´ e´2x

1` e´2x“

1´ 0

1` 0“ 1

ñ y “ 1 es asıntota horizontal.

2

lımxÑ´8

tanhpxq “ lımxÑ´8

e2x´1

e2x ` 1

“0´ 1

0` 1“ ´1

ñ y “ ´1 es asıntota horizontal.



Definicion

Tambien se definen:

1 Secante hiperbolica:

sechpxq “1

coshpxq

2 Cosecante hiperbolica:

cschpxq “1

sinhpxq

3 Cotangente hiperbolica:

cotanhpxq “coshpxq

sinhpxq

o Ejercicio: determine el dominio maximode estas funciones.

Propiedades y derivadas

1ddxpsinhpxqq “ coshpxq

2ddxpcoshpxqq “ sinhpxq

3ddxptanhpxqq “ sech2pxq

4ddxparcsinhpxqq “ 1?

x2`1

5ddxparcCoshpxqq “ 1?

x2´1

6ddxparctanhpxqq “ 1

1´x2

Verificacion:

1ddxpsinhpxqq “ d

dx

´

exé´x

2

¯

“

exè´x

2“ coshpxq

2

d

dxptanhpxqq “

d

dx

ˆ

sinhpxq

coshpxq

˙

“cosh2pxq ´ sinh2pxq

cosh2pxq“

1

cosh2pxq“ sech2pxq



Arcoseno hiperbolico

La funcion fpxq “ sinhpxq es biyectiva y suinversa esta dada por:

arcsinhpxq “ lnpxà

x2 ` 1q

con x P R.

Verificacion:

y “ex ´ e´x

2(despejamos x)

ñ2yex “ e2x ´ 1

ñpexq2 ´ 2ypexq ´ 1 “ 0

ñex “2y ˘

a

4y2 ` 4

2“ y ˘

a

y2 ` 1

la exponencial siempre es positiva

ñex “ y à

y2 ` 1

ñx “ lnpy à

y2 ` 1q

Propiedad

ż

dx?x2 ` 1

“ arcsinhpxq ` C

Verificacion:

d

dxarcsinhpxq “

d

dxlnpx`

a

x2 ` 1q

“1

x`?x2 ` 1

ˆ

1`2x

2?x2 ` 1

˙

“1

?x2 ` 1

Ejercicio

ż

dx?x2 ` a2

“ arcsinhpx

aq ` C

donde a constante.

Se hace con la sustitucion u “ x{a y laformula anterior.



o De manera similar se obtienen losiguiente:

ArcoCoseno hiperbolico

La funcion fpxq “ coshpxq es biyectivacuando x P r0,`8s y su inversa esta dadapor:

arcCoshpxq “ lnpxà

x2 ´ 1q

con x P r1,`8s. Ademas:

ż

dx?x2 ´ 1

“ arcCoshpxq ` C

Ejercicio: Verificar estas formulas.

Arcotangente hiperbolica

La funcion fpxq “ tanhpxq es biyectiva y suinversa esta dada por:

arctanhpxq “1

2ln

ˆ

1` x

1´ x

˙

con x P p´1, 1q. Ademas:

ż

dx

1´ x2“ arctanhpxq ` C

Ejercicio: Verificar estas formulas.



Ejemplo

Estudie la convergencia o divergencia de:

ż `8

1

dx?x2 ´ 1

Solucion directa:

ż `8

1

dx?x2 ´ 1

“ lımhÑ`8

ż h

1

dx?x2 ´ 1

“ lımhÑ`8

arcCoshpxq|h1

“ lımhÑ`8

parcCoshphq ´ arc cosp1qq

“ lımhÑ`8

arcCoshphq

“ lımhÑ`8

lnpxà

x2 ´ 1q

“ lımhÑ`8

lnp2xq “ `8

Por lo tanto es divergente.

Solucion indirecta:

lımxÑ`8

1?x2 ´ 1

“ lımxÑ`8

1

x

ñ

ż `8

1

dx?x2 ´ 1

„

ż `8

1

dx

x

Y esta ultima es divergente por criterio dep-integral.



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