Embed Size (px)
Citation preview
INTEGRALES IMPROPIAS
Integrales Impropias
Las integrales que conocemos son integrales en el sentido de Riemann. Damos por hecho que el intervalo en el que se calculan es cerrado y el valor de la variable es acotado a lo largo de todo este intervalo, pero, cuando esto no es así...
... estamos hablando de
Integrales impropias
Integrales Impropias
Las integrales impropias de primer orden se dan cuando el intervalo de integración es abierto, es decir, vamos a integrar una función:
A-1: Desde un punto cualquiera hasta el infinito.
El intervalo de integración [a,∞) es abierto por la derecha.
Integrales Impropias
Las integrales impropias de primer orden se dan cuando el intervalo de integración es abierto, es decir, vamos a integrar una función:
A-2: Desde menos infinito hasta un punto cualquiera.
El intervalo de integración (-∞,a] es abierto por la izquierda.
4 3 2 1 0 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Integrales Impropias
Las integrales impropias de primer orden se dan cuando el intervalo de integración es abierto, es decir, vamos a integrar una función:
A-3: Desde menos infinito hasta más infinito.
El intervalo de integración (-∞, ∞) es abierto tanto por la izquierda como por la derecha.
2 1 0 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Integrales Impropias
En todos los casos volveremos a los primeros conceptos que nos guiaron sobre las integrales: los límites, aproximando los extremos (infinitos) a valores finitos.
Integrales Impropias
Con las integrales impropias de primera especie, para determinar su convergencia o divergencia, usaremos la función estándar:
La función estándar será convergente para valores de n mayores de 1. Para n menor o igual a 1, será divergente.
Integrales Impropias
Las integrales impropias de segundo orden se dan cuando la función, dentro del intervalo de integración, toma valores no acotables (más/menos infinito), es decir, no es continua.
B-1: Desde un punto de discontinuidad.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
1
2
3
4
5
El valor de la función se hace (+-) infinito en el punto inicial del intervalo de integración.
Integrales Impropias
Las integrales impropias de segundo orden se dan cuando la función, dentro del intervalo de integración, toma valores no acotables (más/menos infinito), es decir, no es continua.
B-2: Hasta un punto de discontinuidad.
El valor de la función se hace (+-) infinito en el punto final del intervalo de integración.
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0
1
2
3
4
5
Integrales Impropias
Las integrales impropias de segundo orden se dan cuando la función, dentro del intervalo de integración, toma valores no acotables (más/menos infinito), es decir, no es continua.
B-3: A través de un punto de discontinuidad.
El valor de la función se hace (+-) infinito en el interior del intervalo de integración.
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
1
2
3
4
5
Integrales Impropias
Volvemos a los primeros conceptos que vimos al abordar las integrales: los límites, aproximando los extremos (valor infinito) a otros que devuelvan valores finitos.
Integrales Impropias
Con las integrales impropias de segunda especie, para determinar su convergencia o divergencia, usaremos esta otra función estándar, para c igual al valor de x donde la función es discontinua:
La nueva función estándar será también convergente para valores de n mayores de 1. Para n menor o igual a 1, será divergente.
Integrales Impropias
Las integrales impropias de tercer orden se dan cuando el intervalo de integración es abierto y la función, dentro del intervalo, toma valores no acotables (más/menos infinito).
C: Intervalo abierto, con discontinuidad.
El valor de la función se hace (+-) infinito en un punto interior del intervalo de integración.
4 2 0 2 4 6 8 10
5
10
15
20
Integrales Impropias
Partimos el intervalo de integración en subdominios, de forma que cada uno de ellos se pueda abordar como tipo A-1, A-2 (intervalos abiertos), B-1 o B-2 (discontinuidades).
La suma de los resultados será divergente si alguno de ellos lo es, mientras que, si todos son convergentes, el resultado final será la suma de todos ellos.
Integrales Impropias
Muchas gracias por su atención.
