Integrales Impropias - matevbv.files.wordpress.com · Integrales Impropias de Primera Especie Deﬁnicion´ Integrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma: 1 Sea f

Integrales Impropias

Integrales Impropias

Veronica Briceno V.

noviembre 2013

Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 1 / 26

En esta Presentacion...

Estudiaremos: ∫ b

af (x)dx

en los casos:

Intervalo no acotado

Asintota en x = a y/o x = b


En esta Presentacion...

Estudiaremos: ∫ b

af (x)dx

en los casos:

Intervalo no acotadoAsintota en x = a y/o x = b


Integrales Impropias de Primera Especie

DefinicionIntegrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:

1 Sea f : [a,+∞[→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞

af (x)dx = lım

b→∞

∫ b

af (x)dx

2 Sea f :]−∞,b]→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ b

−∞f (x)dx = lım

a→−∞

∫ b

af (x)dx

3 Sea f : R→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞

−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞

cf (x)dx ,∀c ∈ R





af (x)dx = lım

b→∞

∫ b

af (x)dx



a→−∞

∫ b

af (x)dx


−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞






af (x)dx = lım

b→∞

∫ b

af (x)dx



a→−∞

∫ b

af (x)dx


−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞






af (x)dx = lım

b→∞

∫ b

af (x)dx



a→−∞

∫ b

af (x)dx


−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞



Convergencia

DefinicionEn los casos (1) y (2), se dice que la INTEGRAL CONVERGE, siexiste ese lımite.En caso contrario se dice que DIVERGE.En el caso (3), la integral converge si

∫ c−∞ y

∫ +∞c convergen en forma

independiente.


Ejemplos

Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx

∫ +∞0 e−xdx∫ +∞0

dxx2+1∫ +∞

−∞arc tg(x)

1+x2 dx∫ +∞0

dx√x(1+x)∫ +∞

1x−1

x3−3x2+x+5dx


Ejemplos

Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx∫ +∞0 e−xdx

∫ +∞0

dxx2+1∫ +∞

−∞arc tg(x)

1+x2 dx∫ +∞0

dx√x(1+x)∫ +∞

1x−1

x3−3x2+x+5dx


Ejemplos

Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx∫ +∞0 e−xdx∫ +∞0

dxx2+1

∫ +∞−∞

arc tg(x)1+x2 dx∫ +∞

0dx√

x(1+x)∫ +∞1

x−1x3−3x2+x+5dx


Ejemplos


dxx2+1∫ +∞

−∞arc tg(x)

1+x2 dx

∫ +∞0

dx√x(1+x)∫ +∞

1x−1

x3−3x2+x+5dx


Ejemplos


dxx2+1∫ +∞

−∞arc tg(x)

1+x2 dx∫ +∞0

dx√x(1+x)

∫ +∞1

x−1x3−3x2+x+5dx


Ejemplos


dxx2+1∫ +∞

−∞arc tg(x)

1+x2 dx∫ +∞0

dx√x(1+x)∫ +∞

1x−1

x3−3x2+x+5dx


Integrales p

Son de la forma:

∫ +∞

1

dxxp

Proposicion ∫ +∞

1

dxxp converge ssi p > 1

Demostrar!!!


Integrales p

Son de la forma:

∫ +∞

1

dxxp


1


Demostrar!!!


Integrales p

Son de la forma: ∫ +∞

1

dxxp


1


Demostrar!!!


Integrales p


1

dxxp

Proposicion

∫ +∞

1


Demostrar!!!


Integrales p


1

dxxp

Proposicion

∫ +∞

1


Demostrar!!!


Integrales p


1

dxxp


1


Demostrar!!!


Demostracion:

p 6= 1

∫ b

1

dxxp =

b1−p

1− p+

1p − 1

Cuando b −→∞∫ +∞1

dxxp = 1

p−1 solo si p > 1

p = 1 ∫ b

1

dxxp = ln(b)

Si b −→∞ entonces la integral diverge.

Por tanto:∫ +∞1

dxxp = 1

p−1 solo si p > 1


Demostracion:

p 6= 1

∫ b

1

dxxp =

b1−p

1− p+

1p − 1


dxxp = 1

p−1 solo si p > 1

p = 1 ∫ b

1

dxxp = ln(b)


Por tanto:∫ +∞1

dxxp = 1

p−1 solo si p > 1


Demostracion:

p 6= 1 ∫ b

1

dxxp =

b1−p

1− p+

1p − 1


dxxp = 1

p−1 solo si p > 1

p = 1 ∫ b

1

dxxp = ln(b)


Por tanto:∫ +∞1

dxxp = 1

p−1 solo si p > 1


Demostracion:

p 6= 1 ∫ b

1

dxxp =

b1−p

1− p+

1p − 1


dxxp = 1

p−1 solo si p > 1

p = 1

∫ b

1

dxxp = ln(b)


Por tanto:∫ +∞1

dxxp = 1

p−1 solo si p > 1


Demostracion:

p 6= 1 ∫ b

1

dxxp =

b1−p

1− p+

1p − 1


dxxp = 1

p−1 solo si p > 1

p = 1

∫ b

1

dxxp = ln(b)


Por tanto:∫ +∞1

dxxp = 1

p−1 solo si p > 1


Demostracion:

p 6= 1 ∫ b

1

dxxp =

b1−p

1− p+

1p − 1


dxxp = 1

p−1 solo si p > 1

p = 1 ∫ b

1

dxxp = ln(b)


Por tanto:∫ +∞1

dxxp = 1

p−1 solo si p > 1


Ejemplos

Estudiar:∫ +∞1

dxx3

∫ +∞1

dx√x∫ +∞

13

dxx3∫ +∞

1x3+1

x4 dx


Ejemplos

Estudiar:∫ +∞1

dxx3∫ +∞

1dx√

x

∫ +∞13

dxx3∫ +∞

1x3+1

x4 dx


Ejemplos

Estudiar:∫ +∞1

dxx3∫ +∞

1dx√

x∫ +∞13

dxx3

∫ +∞1

x3+1x4 dx


Ejemplos

Estudiar:∫ +∞1

dxx3∫ +∞

1dx√

x∫ +∞13

dxx3∫ +∞

1x3+1

x4 dx


Proposicion

Sean f ,g : [a,∞[−→ R funciones continuas.

α ∈ R, α 6= 0. Entonces∫ +∞a αf (x)dx converge ssi

∫ +∞a f (x)dx converge.

En este caso:∫ +∞

a αf (x)dx = α∫ +∞

a f (x)dx

Si∫ +∞

a f (x)dx y∫ +∞

a g(x)dx convergen.Entonces

∫ +∞a (f (x) + g(x))dx converge.

Mas aun,∫ +∞a (f (x) + g(x))dx =

∫ +∞a f (x)dx +

∫ +∞a g(x)dx


Proposicion





a αf (x)dx = α∫ +∞

a f (x)dx

Si∫ +∞

a f (x)dx y∫ +∞




∫ +∞a f (x)dx +

∫ +∞a g(x)dx


Proposicion





a αf (x)dx = α∫ +∞

a f (x)dx

Si∫ +∞

a f (x)dx y∫ +∞




∫ +∞a f (x)dx +

∫ +∞a g(x)dx


Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: Si F : [a,+∞[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→+∞ F (x) existe o lımx−→+∞ F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.

Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,+∞[−→ R funcionescontinuas en [a,+∞[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x),∀x ≥ a.Entonces:

1∫ +∞

a g(x)dx converge⇒∫ +∞

a f (x)dx converge.2

∫ +∞a f (x)dx diverge⇒

∫ +∞a g(x)dx diverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,+∞[−→ Rfunciones continuas en [a,+∞[ y no negativas tales que:lımx−→+∞

f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ +∞

a f (x)dx converge ssi∫ +∞

a g(x)dx converge.



Lema: Si F : [a,+∞[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→+∞ F (x) existe o lımx−→+∞ F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,+∞[−→ R funcionescontinuas en [a,+∞[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a.Entonces:

1∫ +∞








a g(x)dx converge.




1∫ +∞


a f (x)dx converge.

2∫ +∞

a f (x)dx diverge⇒∫ +∞

a g(x)dx diverge.




a g(x)dx converge.




1∫ +∞








a g(x)dx converge.




1∫ +∞








a g(x)dx converge.


Ejemplos

Son convergente o divergentes???∫ +∞1

dx(x4+2)2

∫ +∞1

x3+3x2+1x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞

0 e−x2dx∫ +∞

11+ex

1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2

dxx2(1+ex )∫ +∞

2x+2

2 3√x5dx


Ejemplos


dx(x4+2)2∫ +∞

1x3+3x2+1

x6+4x4+2 sen x dx

∫ +∞0 e−x2

dx∫ +∞1

1+ex

1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2

dxx2(1+ex )∫ +∞

2x+2

2 3√x5dx


Ejemplos


dx(x4+2)2∫ +∞

1x3+3x2+1

x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2

dx

∫ +∞1

1+ex

1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2

dxx2(1+ex )∫ +∞

2x+2

2 3√x5dx


Ejemplos


dx(x4+2)2∫ +∞

1x3+3x2+1

x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2

dx∫ +∞1

1+ex

1+ex+e2x dx

∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2

dxx2(1+ex )∫ +∞

2x+2

2 3√x5dx


Ejemplos


dx(x4+2)2∫ +∞

1x3+3x2+1

x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2

dx∫ +∞1

1+ex

1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx

∫ +∞2

dxx2(1+ex )∫ +∞

2x+2

2 3√x5dx


Ejemplos


dx(x4+2)2∫ +∞

1x3+3x2+1

x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2

dx∫ +∞1

1+ex

1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2

dxx2(1+ex )

∫ +∞2

x+22 3√x5

dx


Ejemplos


dx(x4+2)2∫ +∞

1x3+3x2+1

x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2

dx∫ +∞1

1+ex

1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2

dxx2(1+ex )∫ +∞

2x+2

2 3√x5dx


Otro Teorema de Convergencia

TeoremaSean f ,g,h funciones continuas en [a,+∞[ tales queg(x) ≤ f (x) ≤ h(x),∀x ≥ a. Entonces:Si

∫ +∞a g(x)dx y

∫ +∞a h(x)dx convergen entonces

∫ +∞a f (x)dx

converge.

Observacion:

Este criterio se aplica si las funciones no son positivas.Ejemplo: ∫ +∞

1

sen xx3 dx


Otro Teorema de Convergencia

TeoremaSean f ,g,h funciones continuas en [a,+∞[ tales queg(x) ≤ f (x) ≤ h(x),∀x ≥ a. Entonces:Si

∫ +∞a g(x)dx y

∫ +∞a h(x)dx convergen entonces

∫ +∞a f (x)dx

converge.

Observacion:Este criterio se aplica si las funciones no son positivas.Ejemplo: ∫ +∞

1

sen xx3 dx


Ejercicio:

Para que valores de β > 0, es convergente la integral impropia.∫ +∞

1

x1 + xβ + x2β dx


Integrales Impropias de Segunda Especie

Integrales sobre funciones no acotadas, esto es funciones que tienenuna asintota en x = a y/o x = b.

DefinicionSea f : [a,b[→ R una funcion no acotada, diremos que f es integrableen [a,b[, si:

1 ∀x ∈ [a,b[, f es integrable en [a, x ]2 ∃ lımx→b−

∫ xa f (x)dx





1 ∀x ∈ [a,b[, f es integrable en [a, x ]

2 ∃ lımx→b−∫ x

a f (x)dx





1 ∀x ∈ [a,b[, f es integrable en [a, x ]2 ∃ lımx→b−

∫ xa f (x)dx


Convergencia

Se tiene...

1 Cuando ∃ lımx→b−∫ x

a f (x)dx se dice que la INTEGRALCONVERGE.En caso contrario se dice que DIVERGE.

2 Notacion:∫ b−

a f (x)dx = lımx→b−∫ x

a f (x)dx3 Analogamente, se define:∫ b

a+ f (x)dx = lımx→a+

∫ bx f (x)dx

y∫ b−a+ f (x)dx =

∫ ca+ f (x)dx +

∫ b−

c f (x)dx , para c ∈]a,b[.Esta ultima converge ssi las dos integrales de la derechaconvergen por separado.


Convergencia

Se tiene...1 Cuando ∃ lımx→b−

∫ xa f (x)dx se dice que la INTEGRAL

CONVERGE.En caso contrario se dice que DIVERGE.

2 Notacion:∫ b−




∫ bx f (x)dx


∫ ca+ f (x)dx +

∫ b−



Convergencia




2 Notacion:∫ b−


a f (x)dx

3 Analogamente, se define:∫ ba+ f (x)dx = lımx→a+

∫ bx f (x)dx


∫ ca+ f (x)dx +

∫ b−



Convergencia




2 Notacion:∫ b−




∫ bx f (x)dx


∫ ca+ f (x)dx +

∫ b−



Notar que...

Proposicion ∫ 1

0+

dxxp converge ssi p < 1


Notar que...

Proposicion

∫ 1

0+



Notar que...

Proposicion

∫ 1

0+



Notar que...

Proposicion ∫ 1

0+



Demostracion:

p 6= 1

∫ 1

a

dxxp =

11− p

− a1−p

1− p

Cuando a −→ 0+∫ 10+

dxxp = 1

1−p solo si 0 < p < 1

p = 1 ∫ 1

a

dxxp = − ln(a)

Si a −→ 0+entonces la integral diverge.

Por tanto: ∫ 1

0+

dxxp =

11− p

ssi 0 < p < 1


Demostracion:

p 6= 1

∫ 1

a

dxxp =

11− p

− a1−p

1− p

Cuando a −→ 0+∫ 10+

dxxp = 1

1−p solo si 0 < p < 1

p = 1 ∫ 1

a

dxxp = − ln(a)


Por tanto: ∫ 1

0+

dxxp =

11− p

ssi 0 < p < 1


Demostracion:

p 6= 1 ∫ 1

a

dxxp =

11− p

− a1−p

1− p

Cuando a −→ 0+∫ 10+

dxxp = 1

1−p solo si 0 < p < 1

p = 1 ∫ 1

a

dxxp = − ln(a)


Por tanto: ∫ 1

0+

dxxp =

11− p

ssi 0 < p < 1


Demostracion:

p 6= 1 ∫ 1

a

dxxp =

11− p

− a1−p

1− p

Cuando a −→ 0+∫ 10+

dxxp = 1

1−p solo si 0 < p < 1

p = 1

∫ 1

a

dxxp = − ln(a)


Por tanto: ∫ 1

0+

dxxp =

11− p

ssi 0 < p < 1


Demostracion:

p 6= 1 ∫ 1

a

dxxp =

11− p

− a1−p

1− p

Cuando a −→ 0+∫ 10+

dxxp = 1

1−p solo si 0 < p < 1

p = 1

∫ 1

a

dxxp = − ln(a)


Por tanto: ∫ 1

0+

dxxp =

11− p

ssi 0 < p < 1


Demostracion:

p 6= 1 ∫ 1

a

dxxp =

11− p

− a1−p

1− p

Cuando a −→ 0+∫ 10+

dxxp = 1

1−p solo si 0 < p < 1

p = 1 ∫ 1

a

dxxp = − ln(a)


Por tanto: ∫ 1

0+

dxxp =

11− p

ssi 0 < p < 1


Notar que...

Se utilizan criterios similares a los ya vistos...


Notar que...

Se utilizan criterios similares a los ya vistos...


Notar que...Se utilizan criterios similares a los ya vistos...



Lema: Si F : [a,b[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→b− F (x) existe o lımx−→b− F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.

Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x),∀x ∈ [a,b[.Entonces:

1∫ b−

a g(x)dx converge⇒∫ b−


∫ b−

a f (x)dx diverge⇒∫ b−

a g(x)dx diverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ y no negativas tales que:lımx−→b−

f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ b−

a f (x)dx converge ssi∫ b−

a g(x)dx converge.



Lema: Si F : [a,b[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→b− F (x) existe o lımx−→b− F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a,b[.Entonces:

1∫ b−



∫ b−


a g(x)dx diverge.




a g(x)dx converge.




1∫ b−


a f (x)dx converge.

2∫ b−


a g(x)dx diverge.




a g(x)dx converge.




1∫ b−



∫ b−


a g(x)dx diverge.




a g(x)dx converge.




1∫ b−



∫ b−


a g(x)dx diverge.




a g(x)dx converge.


Observacion

Notar que...

Estos criterios son validos para∫ b

a+ y∫ b−

a g(x)dx , esto es , para losotros tipos de integrales impropias de segunda especie.


Observacion

Notar que...


a+ y∫ b−



Observacion

Notar que...


a+ y∫ b−



Observacion

Notar que...


a+ y∫ b−



Ejemplos

Son convergente o divergentes???∫ 10

dx√x+x4

∫ 1/20

dx(1−x)x2∫ 2

02√

x+3x3dx∫ 1

0sen 1

x√x dx∫ 1

0 ln(x)dx∫ 10

dx3√x∫ 1

04√6−x

dx∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)∫ π

0x

sen x dx


Ejemplos


dx√x+x4∫ 1/2

0dx

(1−x)x2

∫ 20

2√x+3x3

dx∫ 10

sen 1x√

x dx∫ 10 ln(x)dx∫ 10

dx3√x∫ 1

04√6−x

dx∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)∫ π

0x

sen x dx


Ejemplos


dx√x+x4∫ 1/2

0dx

(1−x)x2∫ 20

2√x+3x3

dx

∫ 10

sen 1x√


dx3√x∫ 1

04√6−x

dx∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)∫ π

0x

sen x dx


Ejemplos


dx√x+x4∫ 1/2

0dx

(1−x)x2∫ 20

2√x+3x3

dx∫ 10

sen 1x√

x dx

∫ 10 ln(x)dx∫ 10

dx3√x∫ 1

04√6−x

dx∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)∫ π

0x

sen x dx


Ejemplos


dx√x+x4∫ 1/2

0dx

(1−x)x2∫ 20

2√x+3x3

dx∫ 10

sen 1x√

x dx∫ 10 ln(x)dx

∫ 10

dx3√x∫ 1

04√6−x

dx∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)∫ π

0x

sen x dx


Ejemplos


dx√x+x4∫ 1/2

0dx

(1−x)x2∫ 20

2√x+3x3

dx∫ 10

sen 1x√


dx3√x

∫ 10

4√6−x

dx∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)∫ π

0x

sen x dx


Ejemplos


dx√x+x4∫ 1/2

0dx

(1−x)x2∫ 20

2√x+3x3

dx∫ 10

sen 1x√


dx3√x∫ 1

04√6−x

dx

∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)∫ π

0x

sen x dx


Ejemplos


dx√x+x4∫ 1/2

0dx

(1−x)x2∫ 20

2√x+3x3

dx∫ 10

sen 1x√


dx3√x∫ 1

04√6−x

dx∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)

∫ π0

xsen x dx


Ejemplos


dx√x+x4∫ 1/2

0dx

(1−x)x2∫ 20

2√x+3x3

dx∫ 10

sen 1x√


dx3√x∫ 1

04√6−x

dx∫ 21

dx√−(x−2)(x−1)∫ π

0x

sen x dx


Ejercicio:

Para que valores de α ∈ R, es convergente la integral impropia.∫ 1

0

xα√x5(1− x)

dx


Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas

Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie.Ejemplo: ∫ ∞

0

1√x + x4 dx

ObservacionLa convergencia de las integrales impropias de tercera especiedependera de la convergencia de las integrales impropias de primeray segunda especie, que de ella se desprende.En el ejemplo: ∫ 1

0+

1√x + x4 dx y

∫ ∞1

1√x + x4 dx

se utilizan estos mismos criterios para los otros tipos de integralesimpropias de segunda especie.




0

1√x + x4 dx

Observacion

La convergencia de las integrales impropias de tercera especiedependera de la convergencia de las integrales impropias de primeray segunda especie, que de ella se desprende.En el ejemplo: ∫ 1

0+

1√x + x4 dx y

∫ ∞1

1√x + x4 dx





0

1√x + x4 dx

Observacion

La convergencia de las integrales impropias de tercera especiedependera de la convergencia de las integrales impropias de primeray segunda especie, que de ella se desprende.En el ejemplo: ∫ 1

0+

1√x + x4 dx y

∫ ∞1

1√x + x4 dx





0

1√x + x4 dx

ObservacionLa convergencia de las integrales impropias de tercera especiedependera de la convergencia de las integrales impropias de primeray segunda especie, que de ella se desprende.En el ejemplo: ∫ 1

0+

1√x + x4 dx y

∫ ∞1

1√x + x4 dx



Ejemplos


x+5x3+x dx

∫ +∞0

sen xx4 dx∫ +∞

0ln xx2 dx∫ +∞

0 e−x ln(1 + ex)dx


Ejemplos


x+5x3+x dx∫ +∞

0sen x

x4 dx

∫ +∞0

ln xx2 dx∫ +∞



Ejemplos


x+5x3+x dx∫ +∞

0sen x

x4 dx∫ +∞0

ln xx2 dx

∫ +∞0 e−x ln(1 + ex)dx


Ejemplos


x+5x3+x dx∫ +∞

0sen x

x4 dx∫ +∞0

ln xx2 dx∫ +∞



Ejercicios Propuestos:

Para que valores de α y β son convergentes:a)

∫ +∞1 xαeβxdx

b)∫ +∞

0dx

xα(1+xβ)

c)∫ 1

0 xα(1− x)βdx

Convergen o divergen???

1∫ 2−1

dxx3

2∫ 1

0dx√

x3

∫∞0

1−cos xx2 dx

4∫∞

0x

(x2+4)2 dx




∫ +∞1 xαeβxdx

b)∫ +∞

0dx

xα(1+xβ)

c)∫ 1

0 xα(1− x)βdxConvergen o divergen???

1∫ 2−1

dxx3

2∫ 1

0dx√

x3

∫∞0

1−cos xx2 dx

4∫∞

0x

(x2+4)2 dx




∫ +∞1 xαeβxdx

b)∫ +∞

0dx

xα(1+xβ)

c)∫ 1


1∫ 2−1

dxx3

2∫ 1

0dx√

x3

∫∞0

1−cos xx2 dx

4∫∞

0x

(x2+4)2 dx




∫ +∞1 xαeβxdx

b)∫ +∞

0dx

xα(1+xβ)

c)∫ 1


1∫ 2−1

dxx3

2∫ 1

0dx√

x

3∫∞

01−cos x

x2 dx4

∫∞0

x(x2+4)2 dx




∫ +∞1 xαeβxdx

b)∫ +∞

0dx

xα(1+xβ)

c)∫ 1


1∫ 2−1

dxx3

2∫ 1

0dx√

x3

∫∞0

1−cos xx2 dx

4∫∞

0x

(x2+4)2 dx




∫ +∞1 xαeβxdx

b)∫ +∞

0dx

xα(1+xβ)

c)∫ 1


1∫ 2−1

dxx3

2∫ 1

0dx√

x3

∫∞0

1−cos xx2 dx

4∫∞

0x

(x2+4)2 dx



Muestre que si α > 1 entonces la integral impropia∫ ∞0

1√x + xα

dx

es convergente.

Sea f [0,∞[−→ R una funcion continua.Determine la validez de la siguiente afrmacion (en caso de serverdad, dar una argumentacion; y en caso de ser falso, dar uncontra-ejemplo).Si la integral impropia

∫∞0 f (x)dx converge, entonce la integral

impropia∫∞

0 (1 + f (x))dxconverge.



Muestre que si α > 1 entonces la integral impropia∫ ∞0

1√x + xα

dx

es convergente.Sea f [0,∞[−→ R una funcion continua.Determine la validez de la siguiente afrmacion (en caso de serverdad, dar una argumentacion; y en caso de ser falso, dar uncontra-ejemplo).Si la integral impropia

∫∞0 f (x)dx converge, entonce la integral

impropia∫∞

0 (1 + f (x))dxconverge.


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Integrales Impropias - matevbv.files.wordpress.com · Integrales Impropias de Primera Especie Deﬁnicion´ Integrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma: 1 Sea f