CLCULO VECTORIAL

TUTOR:

Ing. Edison Guamn

Campus Sangolqui

INTEGRALES DOBLES

Sea f, continua en una regin R del plano xy . Usando lneas paralelas a los ejes para aproximar R

por medio de n rectngulos de rea A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectngulo, entonces la

integral doble de f sobre R es:

INTEPRETACION GRAFICA

La integral doble de una funcin no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo

la superficie z = f(x,y) y sobre la regin R del plano xy.

CALCULO DE INTEGRALES DOBLES

La integral doble de f sobre la regin R, est dada por el valor comn de las dos integrales iteradas

Donde a, b, c y d son los lmites de integracin de la regin R.

Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra

variable.

PROPIEDADES

b

a

d

c

d

c

b

aR

y)dydxf(x,y)dxdyf(x,y)dAf(x,

RR

y)dAf(x,Ky)dAK.f(x,a)

LIMITES DE INTEGRACION

Secciones transversales verticales: La regin R est limitada por las grficas de g1 y g2 en el

intervalo [a, b]. Si R es descrita por

R: a x b , g1(x) y g2(x)

Secciones transversales horizontales: La regin R est limitada por las grficas de h1 y h2 en el

intervalo [c, d]. Si R es descrita por

R: c y d , h1(y) x h2(y)

1 2R RR

y)dAf(x,y)dAf(x,y)dAf(x,

sobreponenseno2R y 1Rdonde,2R1RRSid)

R RR

y)dAg(x,y)dAf(x,y)dAg(x,y)f(x,b)

R

0y)dAf(x,Ry)(x,0,y)f(x,Sic) ,

EJEMPLO

CALCULO DE INTEGRALES DOBLES POR MEDIO DE INTEGRALES ITERADAS

INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES

INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARES

JACOBIANO DE UNA FUNCION DE N VARIABLES

CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES DOBLES

En las integrales ordinarias el mtodo de sustitucin nos permita calcular integrales complicadas,

transformndola en otras ms sencillas, es decir:

En forma similar existe un mtodo para las integrales dobles, es decir, que se transforma una

Integral doble de la forma:

Integral doble extendida a una regin S del plano uv.

El mtodo de sustitucin en las integrales dobles es ms laborioso que en las integrales simples,

puesto que en lugar de una funcin ahora se tiene dos funciones X e Y que relacionan a x,y con u,v

en la forma siguiente X = x(u,v), Y = Y (u,v).

Geomtricamente, puede considerarse que las dos ecuaciones definen una "aplicacin" quehace

corresponder a un punto (u,v) del plano uv, el punto imagen (x,y) del plano XY y que laaplicacin

puede expresarse mediante una funcin vectorial.

En el plano trazamos el radio vector r que une el origen (0,0) con el punto (x,y) de la reginD, el

vector r depende de u y v, y se puede considerar como una funcin vectorial de dosvariables

definida por la ecuacin:

Esta ecuacin se llama ecuacin vectorial de la aplicacin. Como (u,v) recorre puntos de S, el

vector r(u, v) describe puntos de D.

La frmula para la transformacin de integrales dobles puede escribirse as:

donde el factor J(u,v) es el Jacobiano de la aplicacin.

INTEGRALES TRIPLES

Formas

Integrales Iteradas

Cambios de variables

Coordenadas Cilndricas

Coordenadas Esfricas

Jacobiano para coordenadas Esfricas

MASA DE UN SLIDO

MASA DE UN SLIDO EN EL ESPACIO

Considere una regin tridimensional B , no homognea, esto es que su

densidad vara en cada punto ( x, y , z B ) , donde la funcin densidad

est expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la

masa se obtiene como la integral triple de la funcin densidad sobre la regin

B, tal como se define a continuacin:

EJERCICIO

MOMENTOS DE INERCIA DE UN SOLIDO

CENTRO DE GRAVEDAD DE UN ALAMBRE

El centro de gravedad de un alambre, cuya grfica es la de una curva suave a

trozos, se define como el punto (x,y,z) cuyas coordenadas estn

determinadas por las ecuaciones

CENTROIDE DE UN ALAMBRE

Se considera la densidad del alambre constante e igual a 1, en este caso, las

coordenadas del centroide se determinan de las ecuaciones

MOMENTO DE INERCIA

Sea (x,y,z) la distancia desde un punto cualquiera (x,y,z) de C a un eje L. El

momento de inercia I de un alambre delgado con respecto al eje L, est

definido por IL= ( ) ( ) donde f(x,y,z) es la densidad en un

punto (x,y,z). Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados se

representan por Ix, Iy, Iz

Aplicaciones de Integrales Triples

Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus

definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a

continuacin se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una

de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a continuacin son:

1. Volumen de un Slido en el Espacio

Ejemplo:

Determine el volumen del slido B acotado por las superficies: x=0, y=x, y=2-x, z=1

, z=5-x^2-y^2

Solucin: Para calcular el volumen del slido, se emplea la integral triple

En la siguiente grfica se ilustra el slido B acotado por las superficies mencionadas y

adicionalmente se sealan los valores que toma la variable z a la entrada y la salida del

recinto B.

Donde D es la proyeccin del slido B

sobre el plano xy. Dicha proyeccin se muestra

en la siguiente figura.

2. Centro de Masa

A continuacin se define el centro de masa para un slido tridimensional como un

punto P(x,y,z), donde las coordenadas de este punto se obtienen de las

ecuaciones:

Ejemplo:

Calcular la masa del slido comprendido entre los paraboloides z=4x^2+4y^2 y

z=8-4x^2-4y^2, cuya densidad viene dada por p(x,y,z)=x+y+z+1

CAMPOS VECTORIALES

Definicion

Sea M, N y P funciones de tres variables (x , y, z) definidas en un a regin Q del espacio. Se llama

campo vectorial en Q a cualquier funcin F definida por:

F(x,y,z) = M(x,y,z)i+N(x,y,z)i+P(x,y,z)k

Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano

Si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.

Aqu un campo vectorial F asigna un vector F (x) a cada punto x de su dominio.

Supongamos que f(x,y,z) determina un campo escalar y que f es diferenciable. Entonces el

gradiente de f, que se denota f, es el campo vectorial dado por:

GRADIENTE DE UN CAMPO

Campos Vectoriales Conservativos

Entonces, un campo vectorial F que es el gradiente de un campo escalar f se llama un CAMPO

VECTORIAL CONSERVATIVO. Y f es una funcin potencial.

Criterio para campos conservativos en el Plano y en el Espacio:

El campo vectorial F (x, y, z) = (M, N, P), donde M, N, P son funciones escalares en R3 es

conservativo si y slo si:

Espacio Plano

rot F (x , y, z) = (0, 0, 0) rot F (x , y) = (0, 0)

Campos Conservativos

Tales campos y sus funciones potenciales son importantes en fsica.En particular, los campos que

obedecen la ley del cuadrado inverso.

Ejemplo: (campos elctricos y los gravitacionales

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

Trminos a usarse:

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

Sea F = Mi+Nj+Pkun campo vectorial para el que las primeras derivadas parciales de M, N, y P

existen. Entonces:

Recuerde que es el operador

Cuando opera sobre una funcin f, produce el gradiente f, que tambin lo escribimos como

gradf .Entonces podemos escribir lo siguiente:

div => (Divergencia)

rot => (Rotacional)

=> (Operador Gradiente)

Ondas gravitacionales:

INTEGRALES DE LINEA

Trayectoria de una partcula a lo largo de

una curva dentro de un campo vectorial.

En la parte inferior estn los vectores del

campo vistos por la partcula a medida

que viaja por la curva. La suma de los

productos escalares de esos vectores con

el vector tangente de la curva en cada

punto de la trayectoria da como resultado

la integral de lnea.

Si f: [a, b] R, es una funcin continua en

[a,b] entonces:

= F(b) - F(a) donde F'(x) = f(x) x[a,b] ; es

decir, que la integral se realiza sobre el intervalo cerrado [ a, b ].

Ahora generalizaremos sta integral, en donde la funcin f sea continua sobre la curva C: y a

estas integrales le llamaremos integrales curvilneas de lnea ydenotaremos por:

Consideremos una curva regular : [a, b] tal que:

([a, b]) = C imagen de . Sea f : C R ,una funcin definida sobre la curva C

Cuya representacin grfica haremos de la siguiente manera:

b

adxxf )(

)(tr

c fds

)(tr

3R

3R )(tr

3R 3R

EJEMPLO

Aplicaciones de la Integral de Lnea

1. Trabajo como Integral de Lnea

Una partcula se mueve a lo largo de una curva bajo la accin de un campo de fuerzas F. Si

la curva es la grfica de un camino suave a trozos, el trabajo realizado por F se define

por:

cF.d

2. Trabajo realizado por una Fuerza constante

Sean: F(x)=c=(c1,c2,cn) una fuerza constante

(t)=(x1,x2,xn) una curva que une a los puntos =(a) y b=(b), continuamente derivable

en [a,b], entonces:

T=cF.d = F((t)). `(t)dt

T= (c1,c2,cn).(x1`,x2`,xn`)dt = ci xi`dt

=> T= ci (xi(b)-xi(a)) = c.((b) - (a)) = c.(b-a)

3. Principio del Trabajo y la Energa

Una partcula de masa m se mueve a lo largo de una curva bajo la accin de un

campo de fuerzas F. Si la velocidad de la partcula en el instante t es v(t), su

energa cintica est definida por mv2(t).

Demostrar que la variacin de la energa cintica en cualquier intervalo de tiempo

es igual al trabajo realizado por F durante dicho intervalo de tiempo.

Sea (t) la posicin de la partcula en el instante t, para t [a,b]

F((t)) = m(t) = mv`(t) Por la segunda ley de Newton, para el movimiento

=> F((t)).`(t) = F((t).v(t)) = mv`(t).v(t)

Ejemplo:

Sea c(t) = (sen t , cos t, t) con 0 t 2. Sea el campo vectorial F definido por:

F(x, y, z) = (x , y, z)

Calcular:

Solucin:

Observacin: Si el campo de fuerzas es constante, el trabajo depende solamente de los puntos extremos a y b y no de la curva que los une. No todos los campos de fuerza tienen esta propiedad. Los campos de fuerza que tienen esta propiedad se llaman campos conservativos

AquF(x(t) , y(t) , z(t)) = (sen t, cos t, t) y c(t) = (cos t, -sen t, 1). Porconsiguiente:

F(c(t).c(t) )= sen (t) cos (t) cos (t) sen(t) + t = t

Porlotanto:

4. Masa del Alambre

Las integrales de lnea con respecto a la longitud de arco se presentan en

problemas relativos a la distribucin de la masa a lo largo de una curva.

Sea C la grafica de una curva en R3 como un alambre delgado de densidad

variable,esta densidad se expresa mediante un campo escalar f,siendo f(x,y,z) la

masa por unidad de longitud en el punto (x,y,z) de C. La masa total M del alambre

se define como :

5. Centro de gravedad de un alambre

El centro de gravedad de un alambre, cuya grfica es la de una curva suave a trozos, se

define como el punto (x,y,z) cuyas coordenadas estn determinadas por las ecuaciones

6. Centroide de un alambre

Se considera la densidad del alambre constante e igual a 1, en este caso, las coordenadas

del centroide se determinan de las ecuaciones

Integrales de Lnea independientes de la

Trayectoria

Como vimos en el captulo anterior se dijo que el valor de una integral de lnea est determinado por el integrando y una curva C entre dos puntos a,b.

En ciertas condiciones el valor de una integral de lnea slo depende del integrando y de los puntos a,b y no de la trayectoria; esto ocurre cuando la forma diferencial que se puede integrar P(x,y)dx + Q(x,y)dy es exacta, es decir que existe una funcin .

Teorema a usar en el plano

Ejemplo Ilustrativo

Suponga que un campo de fuerza:

Ejemplo en el plano

Teorema para el espacio

Ejemplo Ilustrativo

Teorema

Consideremos el campo vectorial:

FORMAS ALETERNATIVAS

INTEGRAL DE SUPERFICIE

PARAMETRIZACION DE UNA SUPERFICIE EN R3

EJEMPLO

PARAMETRIZACION DE ALGUNAS FUNCIONES

INTEGRAL DE SUPERFICIE EN UN CAMPO ESCALAR

Se define la integral de superficie de una funcin escalar (real) en el espacio

tridimensional R3 respecto a una superficie S representada por la funcin vectorial:

Si la superficie S es la imagen de la regin T en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

INTEGRAL DE SUPERFICIE EN UN CAMPO VECTORIAL

Definimos la integral de superficie de un campo o funcin vectorial se define de la

siguiente forma:

AREA DE UNA SUPERFICIE

I N T E G R A L E S O R I E N T A D A S

TEOREMA DE STOCK..

Teorema de la Divergencia o Teorema de Gauss

El teorema de Stokes expresa una relacin entre una integral extendida a una

superficie y una integral de lnea tomada sobre la curva o curvas que constituyen la

frontera de tal superficie.

El Teorema de Gauss expresa una relacin entre una integral triple extendida a un

slido y a una integral de superficie tomada sobre la frontera de ese slido.

Teorema

Si V es un slido en R3limitado por una superficie orientable S, si n es la normal

unitaria exterior a S y si F es un campo vectorial definido en V, entonces se tiene

Para calcular la masa de fluido que atraviesa una superficie cerrada (orientable), se

puede utilizar la frmula:

El teorema de la divergencia es vlido para todos los slidos proyectables sobre los

tres planos coordenados; en particular para todo slido convexo.

1. Aplicaciones del Teorema de Gauss

Cuando se realiza un cambio en la posicin de los ejes coordenados significara un

cambio en los componentes de F, y por lo tanto un cambio en las funciones div F y de

rot F. Con la ayuda del teorema de Stokes y del de la divergencia se tienen las frmulas

para la divergencia y el rotacional en las que no intervienen los componentes de F.

Estas frmulas muestran que el rotacional y la divergencia representan propiedades

intrnsecas del campo vectorial F y no dependen de la eleccin que se haga de los ejes

coordenados.

Teorema

Sea V(t) una esfera en R3de radio t con centro en el punto a, sea S(t) la frontera de

V(t). Sea F un campo vectorial derivable con continuidad en V(t). Si |V(t)| representa

el volumen de |V(t)|, y n es la normal unitaria exterior a S, entonces se tiene:

Este teorema an es vlido si, en lugar de esferas, se utiliza cualquier conjunto de

slidos V(t) para los que el teorema de la divergencia es vlido, con tal que esos

slidos contengan al punto a y tiendan hacia a cuando t->0. Por ejemplo, cada V(t)

podra ser un cubo inscrito en una esfera de radio t con centro en a. El integrando en

la parte (b) es un vector, luego la integral se define en funcin de cada componente.

Donde S(t) es un disco circular de radio t y centro en a, y |S(t)| representa su rea. El

vector n es la normal unitaria a S(t), y a es la trayectoria recorrida en sentido

antihorario vista desde el extremo de n.

Notaciones

1. El concepto de flujo se extiende de la mecnica de fluidos a la electricidad (flujo

elctrico o magntico, donde se considera el tiempo). Si F es la velocidad, F.n

(componente normal de la velocidad) es propiamente la intensidad de flujo (o

volumen que fluye por unidad de tiempo y por unidad de rea).

2. Si F es un campo de velocidad, la integral de lnea sobre C(t) se llama circulacin de

F a lo largo de C(t), y n.rotF(a) representa la circulacin por unidad de rea en el

punto a, es decir es la densidad de circulacin de F en el punto a, con respecto a un

plano perpendicular a n en a.

3. El teorema de la divergencia nos permite determinar el flujo de un campo vectorial

a travs de una superficie cerrada S que es la frontera de un slido V.

Ejemplo

Ejemplo 2: