Integrales Dobles. Cálculo Vectorial

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Integrales Dobles. Cálculo Vectorial

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  • CLCULO VECTORIAL

    TUTOR:

    Ing. Edison Guamn

    Campus Sangolqui

    INTEGRALES DOBLES

    Sea f, continua en una regin R del plano xy . Usando lneas paralelas a los ejes para aproximar R

    por medio de n rectngulos de rea A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectngulo, entonces la

    integral doble de f sobre R es:

  • INTEPRETACION GRAFICA

    La integral doble de una funcin no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo

    la superficie z = f(x,y) y sobre la regin R del plano xy.

    CALCULO DE INTEGRALES DOBLES

    La integral doble de f sobre la regin R, est dada por el valor comn de las dos integrales iteradas

    Donde a, b, c y d son los lmites de integracin de la regin R.

    Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra

    variable.

    PROPIEDADES

    b

    a

    d

    c

    d

    c

    b

    aR

    y)dydxf(x,y)dxdyf(x,y)dAf(x,

    RR

    y)dAf(x,Ky)dAK.f(x,a)

  • LIMITES DE INTEGRACION

    Secciones transversales verticales: La regin R est limitada por las grficas de g1 y g2 en el

    intervalo [a, b]. Si R es descrita por

    R: a x b , g1(x) y g2(x)

    Secciones transversales horizontales: La regin R est limitada por las grficas de h1 y h2 en el

    intervalo [c, d]. Si R es descrita por

    R: c y d , h1(y) x h2(y)

    1 2R RR

    y)dAf(x,y)dAf(x,y)dAf(x,

    sobreponenseno2R y 1Rdonde,2R1RRSid)

    R RR

    y)dAg(x,y)dAf(x,y)dAg(x,y)f(x,b)

    R

    0y)dAf(x,Ry)(x,0,y)f(x,Sic) ,

  • EJEMPLO

  • CALCULO DE INTEGRALES DOBLES POR MEDIO DE INTEGRALES ITERADAS

    INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES

  • INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARES

  • JACOBIANO DE UNA FUNCION DE N VARIABLES

  • CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES DOBLES

    En las integrales ordinarias el mtodo de sustitucin nos permita calcular integrales complicadas,

    transformndola en otras ms sencillas, es decir:

    En forma similar existe un mtodo para las integrales dobles, es decir, que se transforma una

    Integral doble de la forma:

    Integral doble extendida a una regin S del plano uv.

    El mtodo de sustitucin en las integrales dobles es ms laborioso que en las integrales simples,

    puesto que en lugar de una funcin ahora se tiene dos funciones X e Y que relacionan a x,y con u,v

    en la forma siguiente X = x(u,v), Y = Y (u,v).

    Geomtricamente, puede considerarse que las dos ecuaciones definen una "aplicacin" quehace

    corresponder a un punto (u,v) del plano uv, el punto imagen (x,y) del plano XY y que laaplicacin

    puede expresarse mediante una funcin vectorial.

    En el plano trazamos el radio vector r que une el origen (0,0) con el punto (x,y) de la reginD, el

    vector r depende de u y v, y se puede considerar como una funcin vectorial de dosvariables

    definida por la ecuacin:

  • Esta ecuacin se llama ecuacin vectorial de la aplicacin. Como (u,v) recorre puntos de S, el

    vector r(u, v) describe puntos de D.

    La frmula para la transformacin de integrales dobles puede escribirse as:

    donde el factor J(u,v) es el Jacobiano de la aplicacin.

  • INTEGRALES TRIPLES

    Formas

  • Integrales Iteradas

    Cambios de variables

  • Coordenadas Cilndricas

    Coordenadas Esfricas

  • Jacobiano para coordenadas Esfricas

  • MASA DE UN SLIDO

    MASA DE UN SLIDO EN EL ESPACIO

    Considere una regin tridimensional B , no homognea, esto es que su

    densidad vara en cada punto ( x, y , z B ) , donde la funcin densidad

    est expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la

    masa se obtiene como la integral triple de la funcin densidad sobre la regin

    B, tal como se define a continuacin:

    EJERCICIO

  • MOMENTOS DE INERCIA DE UN SOLIDO

  • CENTRO DE GRAVEDAD DE UN ALAMBRE

    El centro de gravedad de un alambre, cuya grfica es la de una curva suave a

    trozos, se define como el punto (x,y,z) cuyas coordenadas estn

    determinadas por las ecuaciones

    CENTROIDE DE UN ALAMBRE

    Se considera la densidad del alambre constante e igual a 1, en este caso, las

    coordenadas del centroide se determinan de las ecuaciones

    MOMENTO DE INERCIA

    Sea (x,y,z) la distancia desde un punto cualquiera (x,y,z) de C a un eje L. El

    momento de inercia I de un alambre delgado con respecto al eje L, est

    definido por IL= ( ) ( ) donde f(x,y,z) es la densidad en un

    punto (x,y,z). Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados se

    representan por Ix, Iy, Iz

  • Aplicaciones de Integrales Triples

    Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus

    definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a

    continuacin se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una

    de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a continuacin son:

    1. Volumen de un Slido en el Espacio

  • Ejemplo:

    Determine el volumen del slido B acotado por las superficies: x=0, y=x, y=2-x, z=1

    , z=5-x^2-y^2

    Solucin: Para calcular el volumen del slido, se emplea la integral triple

    En la siguiente grfica se ilustra el slido B acotado por las superficies mencionadas y

    adicionalmente se sealan los valores que toma la variable z a la entrada y la salida del

    recinto B.

    Donde D es la proyeccin del slido B

    sobre el plano xy. Dicha proyeccin se muestra

    en la siguiente figura.

  • 2. Centro de Masa

    A continuacin se define el centro de masa para un slido tridimensional como un

    punto P(x,y,z), donde las coordenadas de este punto se obtienen de las

    ecuaciones:

  • Ejemplo:

    Calcular la masa del slido comprendido entre los paraboloides z=4x^2+4y^2 y

    z=8-4x^2-4y^2, cuya densidad viene dada por p(x,y,z)=x+y+z+1

    CAMPOS VECTORIALES

    Definicion

    Sea M, N y P funciones de tres variables (x , y, z) definidas en un a regin Q del espacio. Se llama

    campo vectorial en Q a cualquier funcin F definida por:

    F(x,y,z) = M(x,y,z)i+N(x,y,z)i+P(x,y,z)k

    Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano

    Si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.

  • Aqu un campo vectorial F asigna un vector F (x) a cada punto x de su dominio.

    Supongamos que f(x,y,z) determina un campo escalar y que f es diferenciable. Entonces el

    gradiente de f, que se denota f, es el campo vectorial dado por:

    GRADIENTE DE UN CAMPO

    Campos Vectoriales Conservativos

    Entonces, un campo vectorial F que es el gradiente de un campo escalar f se llama un CAMPO

    VECTORIAL CONSERVATIVO. Y f es una funcin potencial.

    Criterio para campos conservativos en el Plano y en el Espacio:

    El campo vectorial F (x, y, z) = (M, N, P), donde M, N, P son funciones escalares en R3 es

    conservativo si y slo si:

    Espacio Plano

    rot F (x , y, z) = (0, 0, 0) rot F (x , y) = (0, 0)

  • Campos Conservativos

    Tales campos y sus funciones potenciales son importantes en fsica.En particular, los campos que

    obedecen la ley del cuadrado inverso.

    Ejemplo: (campos elctricos y los gravitacionales

  • DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

    Trminos a usarse:

    DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

    Sea F = Mi+Nj+Pkun campo vectorial para el que las primeras derivadas parciales de M, N, y P

    existen. Entonces:

    Recuerde que es el operador

    Cuando opera sobre una funcin f, produce el gradiente f, que tambin lo escribimos como

    gradf .Entonces podemos escribir lo siguiente:

    div => (Divergencia)

    rot => (Rotacional)

    => (Operador Gradiente)

  • Ondas gravitacionales:

  • INTEGRALES DE LINEA

    Trayectoria de una partcula a lo largo de

    una curva dentro de un campo vectorial.

    En la parte inferior estn los vectores del

    campo vistos por la partcula a medida

    que viaja por la curva. La suma de los

    productos escalares de esos vectores con

    el vector tangente de la curva en cada

    punto de la trayectoria da como resultado

    la integral de lnea.

    Si f: [a, b] R, es una funcin continua en

    [a,b] entonces:

    = F(b) - F(a) donde F'(x) = f(x) x[a,b] ; es

    decir, que la integral se realiza sobre el intervalo cerrado [ a, b ].

    Ahora generalizaremos sta integral, en donde la funcin f sea continua sobre la curva C: y a

    estas integrales le llamaremos integrales curvilneas de lnea ydenotaremos por:

    Consideremos una curva regular : [a, b] tal que:

    ([a, b]) = C imagen de . Sea f : C R ,una funcin definida sobre la curva C

    Cuya representacin grfica haremos de la siguiente manera:

    b

    adxxf )(

    )(tr

    c fds

    )(tr

    3R

    3R )(tr

    3R 3R

  • EJEMPLO

  • Aplicaciones de la Integral de Lnea

    1. Trabajo como Integral de Lnea

    Una partcula se mueve a lo largo de una curva bajo la accin de un campo de fuerzas F. Si

    la curva es la grfica de un camino suave a trozos, el trabajo realizado por F se define

    por:

    cF.d