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Integrales multiples - garenasd/CalculoIII/CIII-IDPS2011.pdf · PDF file Integrales multiples Integrales dobles sobre rectÆngulos Integrales dobles sobre regiones mÆs generales

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  • Integrales multiples

    Integrales dobles sobre rectángulos Integrales dobles sobre regiones más generales Integrales dobles en coordenadas polares Aplicaciones de las integrales dobles

    Gilberto Arenas Díaz

    Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander

    Segundo semestre de 2011

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 / 3 3

  • Integrales dobles sobre rectángulos

    De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de una variables, se va a considerar una función de dos variables denida sobre un rectángulo cerrado

    R = [a; b]� [c; d] = � (x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

    y se supone inicialmente que f (x; y) � 0.

    La gráca de f es una supercie con ecuación z = f (x; y). Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

    S = � (x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

    :

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

  • Integrales dobles sobre rectángulos

    De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de una variables, se va a considerar una función de dos variables denida sobre un rectángulo cerrado

    R = [a; b]� [c; d] = � (x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

    y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La gráca de f es una supercie con ecuación z = f (x; y).

    Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

    S = � (x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

    :

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

  • Integrales dobles sobre rectángulos

    De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de una variables, se va a considerar una función de dos variables denida sobre un rectángulo cerrado

    R = [a; b]� [c; d] = � (x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

    y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La gráca de f es una supercie con ecuación z = f (x; y). Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

    S = � (x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

    :

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

  • Integrales dobles sobre rectángulos

    De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de una variables, se va a considerar una función de dos variables denida sobre un rectángulo cerrado

    R = [a; b]� [c; d] = � (x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

    y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La gráca de f es una supercie con ecuación z = f (x; y). Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

    S = � (x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

    :

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

  • El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.

    [a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m: [c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n: Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área �A = �x ��y.

    Si se elige un punto muestral � x�ij ; y

    � ij

    � en cada Rij , entonces el volumen del

    prisma o columna de base Rij y altura f � x�ij ; y

    � ij

    � es f

    � x�ij ; y

    � ij

    � �A.

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

  • El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo. [a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:

    [c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n: Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área �A = �x ��y.

    Si se elige un punto muestral � x�ij ; y

    � ij

    � en cada Rij , entonces el volumen del

    prisma o columna de base Rij y altura f � x�ij ; y

    � ij

    � es f

    � x�ij ; y

    � ij

    � �A.

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

  • El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo. [a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m: [c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:

    Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área �A = �x ��y.

    Si se elige un punto muestral � x�ij ; y

    � ij

    � en cada Rij , entonces el volumen del

    prisma o columna de base Rij y altura f � x�ij ; y

    � ij

    � es f

    � x�ij ; y

    � ij

    � �A.

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

  • El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo. [a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m: [c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n: Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área �A = �x ��y.

    Si se elige un punto muestral � x�ij ; y

    � ij

    � en cada Rij , entonces el volumen del

    prisma o columna de base Rij y altura f � x�ij ; y

    � ij

    � es f

    � x�ij ; y

    � ij

    � �A.

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

  • El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo. [a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m: [c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n: Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área �A = �x ��y.

    Si se elige un punto muestral � x�ij ; y

    � ij

    � en cada Rij , entonces el volumen del

    prisma o columna de base Rij y altura f � x�ij ; y

    � ij

    � es f

    � x�ij ; y

    � ij

    � �A.

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

  • El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo. [a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m: [c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n: Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área �A = �x ��y.

    Si se elige un punto muestral � x�ij ; y

    � ij

    � en cada Rij , entonces el volumen del

    prisma o columna de base Rij y altura f � x�ij ; y

    � ij

    es f � x�ij ; y

    � ij

    � �A.

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

  • El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo. [a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m: [c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n: Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área �A = �x ��y.

    Si se elige un punto muestral � x�ij ; y

    � ij

    � en cada Rij , entonces el volumen del

    prisma o columna de base Rij y altura f � x�ij ; y

    � ij

    � es f

    � x�ij ; y

    � ij

    � �A.

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

  • Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

    V � mX i=1

    nX j=1

    f � x�ij ; y

    � ij

    � �A:

    La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la suma de los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo la gráca de z = f (x; y).

    La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximación es mejor, luego se espera que

    V = l��m m;n!1

    mX i=1

    nX j=1

    f � x�ij ; y

    � ij

    � �A:

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 3 3

  • Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

    V � mX i=1

    nX j=1

    f � x�ij ; y

    � ij

    � �A:

    La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la suma de los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo la gráca de z = f (x; y).

    La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximación es mejor, luego se espera que

    V = l��m m;n!1

    mX i=1

    nX j=1

    f � x�ij ; y

    � ij

    � �A:

    G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 3 3

  • Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

    V � mX i=1

    nX j=1

    f � x�ij ; y

    � ij

    � �A:

    La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la suma de los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo la grá