INTEGRALES MULTIPLES´ - 5-Integrales+... · PDF fileIntegrales dobles sobre rect´angulos Integrales iteradas Integrales dobles sobre regiones generales Integrales dobles en coordenadas

Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

INTEGRALES MULTIPLES

Sergio Stive Solano Sabie 1

Diciembre de 2012

1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III

INTEGRALES MULTIPLES

Sergio Stive Solano Sabie 1

Diciembre de 2012

1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III

Volumenes e integrales doblesConsideramos la integral doble de una funcion f de dos varia-bles que esta definida sobre un rectangulo cerrado

R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R2 | a x b, c y d}y primero suponemos que f(x, y) 0. La grafica de f es unasuperficie con ecuacion z = f(x, y). Sea S el solido que esta en-cima de R y debajo de la grafica de f , es decir

S = {(x, y, z) R3 | 0 z f(x, y), (x, y) R}Nuestro objetivo es encontrar el volumen de S.

Sergio Solano Sabie CALCULO III

Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.

Rij = [xi1, xi] [yj1, yj ]Cada uno con area igual a A = xy, donde x = (ba)/my y = (d c)/n.Si elegimos un punto muestra (xij , y

ij), en cada Rij , entonces

podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(xij , y

ij). El volumen de esta caja es f(x

ij , y

ij)A.

Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:

V mi=1

nj=1

f(xij , yij)A

ij , y

ij)A.

V mi=1

nj=1

f(xij , yij)A

ij , y

ij)A.

V mi=1

nj=1

f(xij , yij)A

ij , y

ij)A.

V mi=1

nj=1

f(xij , yij)A

Volumenes e integrales dobles

Definicion 1.1La integral doble de f sobre el rectangulo R es

R

f(x, y)dA = lmm,n

mi=1

nj=1

f(xij , yij)A

Volumenes e integrales dobles

Definicion 1.1La integral doble de f sobre el rectangulo R es

R

f(x, y)dA = lmm,n

mi=1

nj=1

f(xij , yij)A

Propiedades de las integrales dobles

1 R

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

R

f(x, y)dA+

R

g(x, y)dA.

2 R

cf(x, y)dA = c

R

f(x, y)dA donde c es una constante.

3 Si f(x, y) g(x, y) para toda (x, y), en R, entoncesR

f(x, y)dA R

g(x, y)dA.

1 R

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

R

f(x, y)dA+

R

g(x, y)dA.

2 R

cf(x, y)dA = c

R

f(x, y)dA R

g(x, y)dA.

1 R

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

R

f(x, y)dA+

R

g(x, y)dA.

2 R

cf(x, y)dA = c

R

f(x, y)dA R

g(x, y)dA.

Integrales iteradas

Utilizamos la notacion dc f(x, y)dy para dar a entender que x se

mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada b

a

dcf(x, y)dydx =

ba

[ dcf(x, y)dy

]dx

significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues con respecto a x, desde a hasta b.De manera analoga, la integral iterada d

c

baf(x, y)dxdy =

dc

[ baf(x, y)dx

]dy.

significa que primero integramos con respecto a x desde a hastab, y despues con respecto a y, desde c hasta d.

Integrales iteradas

Utilizamos la notacion dc f(x, y)dy para dar a entender que x se

mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada b

a

dcf(x, y)dydx =

ba

[ dcf(x, y)dy

]dx

significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues co