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INTEGRALES MULTIPLES´ - 5-Integrales+... · PDF fileIntegrales dobles sobre rect´angulos Integrales iteradas Integrales dobles sobre regiones generales Integrales dobles en coordenadas

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  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    INTEGRALES MULTIPLES

    Sergio Stive Solano Sabie 1

    Diciembre de 2012

    1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    INTEGRALES MULTIPLES

    Sergio Stive Solano Sabie 1

    Diciembre de 2012

    1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales doblesConsideramos la integral doble de una funcion f de dos varia-bles que esta definida sobre un rectangulo cerrado

    R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R2 | a x b, c y d}y primero suponemos que f(x, y) 0. La grafica de f es unasuperficie con ecuacion z = f(x, y). Sea S el solido que esta en-cima de R y debajo de la grafica de f , es decir

    S = {(x, y, z) R3 | 0 z f(x, y), (x, y) R}Nuestro objetivo es encontrar el volumen de S.

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

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    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales doblesConsideramos la integral doble de una funcion f de dos varia-bles que esta definida sobre un rectangulo cerrado

    R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R2 | a x b, c y d}y primero suponemos que f(x, y) 0. La grafica de f es unasuperficie con ecuacion z = f(x, y). Sea S el solido que esta en-cima de R y debajo de la grafica de f , es decir

    S = {(x, y, z) R3 | 0 z f(x, y), (x, y) R}Nuestro objetivo es encontrar el volumen de S.

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales doblesConsideramos la integral doble de una funcion f de dos varia-bles que esta definida sobre un rectangulo cerrado

    R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R2 | a x b, c y d}y primero suponemos que f(x, y) 0. La grafica de f es unasuperficie con ecuacion z = f(x, y). Sea S el solido que esta en-cima de R y debajo de la grafica de f , es decir

    S = {(x, y, z) R3 | 0 z f(x, y), (x, y) R}Nuestro objetivo es encontrar el volumen de S.

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.

    Rij = [xi1, xi] [yj1, yj ]Cada uno con area igual a A = xy, donde x = (ba)/my y = (d c)/n.Si elegimos un punto muestra (xij , y

    ij), en cada Rij , entonces

    podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(xij , y

    ij). El volumen de esta caja es f(x

    ij , y

    ij)A.

    Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:

    V mi=1

    nj=1

    f(xij , yij)A

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.

    Rij = [xi1, xi] [yj1, yj ]Cada uno con area igual a A = xy, donde x = (ba)/my y = (d c)/n.Si elegimos un punto muestra (xij , y

    ij), en cada Rij , entonces

    podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(xij , y

    ij). El volumen de esta caja es f(x

    ij , y

    ij)A.

    Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:

    V mi=1

    nj=1

    f(xij , yij)A

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.

    Rij = [xi1, xi] [yj1, yj ]Cada uno con area igual a A = xy, donde x = (ba)/my y = (d c)/n.Si elegimos un punto muestra (xij , y

    ij), en cada Rij , entonces

    podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(xij , y

    ij). El volumen de esta caja es f(x

    ij , y

    ij)A.

    Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:

    V mi=1

    nj=1

    f(xij , yij)A

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    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.

    Rij = [xi1, xi] [yj1, yj ]Cada uno con area igual a A = xy, donde x = (ba)/my y = (d c)/n.Si elegimos un punto muestra (xij , y

    ij), en cada Rij , entonces

    podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(xij , y

    ij). El volumen de esta caja es f(x

    ij , y

    ij)A.

    Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:

    V mi=1

    nj=1

    f(xij , yij)A

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  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales dobles

    Definicion 1.1La integral doble de f sobre el rectangulo R es

    R

    f(x, y)dA = lmm,n

    mi=1

    nj=1

    f(xij , yij)A

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Volumenes e integrales dobles

    Definicion 1.1La integral doble de f sobre el rectangulo R es

    R

    f(x, y)dA = lmm,n

    mi=1

    nj=1

    f(xij , yij)A

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  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Propiedades de las integrales dobles

    1 R

    [f(x, y) + g(x, y)]dA =

    R

    f(x, y)dA+

    R

    g(x, y)dA.

    2 R

    cf(x, y)dA = c

    R

    f(x, y)dA donde c es una constante.

    3 Si f(x, y) g(x, y) para toda (x, y), en R, entoncesR

    f(x, y)dA R

    g(x, y)dA.

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Propiedades de las integrales dobles

    1 R

    [f(x, y) + g(x, y)]dA =

    R

    f(x, y)dA+

    R

    g(x, y)dA.

    2 R

    cf(x, y)dA = c

    R

    f(x, y)dA donde c es una constante.

    3 Si f(x, y) g(x, y) para toda (x, y), en R, entoncesR

    f(x, y)dA R

    g(x, y)dA.

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Propiedades de las integrales dobles

    1 R

    [f(x, y) + g(x, y)]dA =

    R

    f(x, y)dA+

    R

    g(x, y)dA.

    2 R

    cf(x, y)dA = c

    R

    f(x, y)dA donde c es una constante.

    3 Si f(x, y) g(x, y) para toda (x, y), en R, entoncesR

    f(x, y)dA R

    g(x, y)dA.

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Integrales iteradas

    Utilizamos la notacion dc f(x, y)dy para dar a entender que x se

    mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada b

    a

    dcf(x, y)dydx =

    ba

    [ dcf(x, y)dy

    ]dx

    significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues con respecto a x, desde a hasta b.De manera analoga, la integral iterada d

    c

    baf(x, y)dxdy =

    dc

    [ baf(x, y)dx

    ]dy.

    significa que primero integramos con respecto a x desde a hastab, y despues con respecto a y, desde c hasta d.

    Sergio Solano Sabie CALCULO III

  • Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas

    Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares

    Integrales iteradas

    Utilizamos la notacion dc f(x, y)dy para dar a entender que x se

    mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada b

    a

    dcf(x, y)dydx =

    ba

    [ dcf(x, y)dy

    ]dx

    significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues co

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