Integrales dobles

• 1. 75Geraldine Cisneros Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MLTIPLESEn este captulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto fsicas comogeomtricas de las integrales mltiples, especficamente para las integrales dobles ypara las integrales triples.3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLESEntre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen lasaplicaciones geomtricas y las fsicas. En el primer grupo seencuentran: el clculo del rea de una figura plana y el clculo devolmenes de slidos en el espacio; entre las aplicaciones fsicasestn el clculo de: masa, momentos estticos de figuras planas,centros de masa y momentos de inercia para una reginbidimensional.3.1.1. REA DE UNA FIGURA PLANAEn el captulo 1 de este trabajo, se explic el significado intrnsecode la integral doble de una funcin f positiva en una reginbidimensional D, f ( x, y ) dA ,D como el volumen del slido Sdefinido sobre la regin D y bajo la grfica de la funcin f . Ahora,si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior quedacomo: f ( x, y ) dA = D DdA (III.1)Recuerde que la integraldoblef ( x, y ) dA ,Por lo tanto, empleando la definicin de la integral doble, se tieneDtambin puede escribirsecomoque:n mLim f ( xi* , y j* )AijnmdA = Lim AijP 0 i =1 j =1 (III.2)D P 0 i =1 j =1UC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica.

2. 76Geraldine CisnerosIntegrales Mltiples y Sus Aplicacionesdonde Aij es el rea del rectngulo genrico denotado Dij , elcual puede observarse en la figura 3.1 y xi(xi*,yj*) d = ym yj Dijyjyj-1Dc = y0 a = x0xi-1xi xn= bxFigura 3.1 Regin D dividida en subrectngulos DijEn otras palabras, la integralDdA representa el volumen de unslido de seccin transversal constante, cuya base es la regin Dy cuya altura es igual a la unidad. Para un slido con estascaractersticas, el volumen se obtiene como el producto del reade la base y la altura del mismo.A partir de todo lo anterior, se define el clculo del rea de unaregin plana. REA DE UNA FIGURA PLANASea D una regin bidimensional D , tal que D 2. Sea A elrea de la regin D , entonces:A = dxdy(III.3) DUC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 3. 77Geraldine Cisneros Integrales Mltiples y Sus AplicacionesRecuerde que una regin Observe que si la regin D es de tipo 1, la ecuacin anteriorD es de tipo 1 si secumple: queda como:( x, y ) a x b g( x)g ( x)[ y ] f ( x ) dxb bD= A= dydx = (III.3)f ( x ) y g ( x ) a f ( x)abA = g ( x ) f ( x ) dx(III.4) a Donde la ltima integral, representa el rea comprendida entre lasgrficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a,b ] . Estaintegral se estudia en la asignatura Anlisis Matemtico II, dentrode las aplicaciones de la integral definida.EJEMPLO 3.1 Dibuje la regin D y calcule su rea, empleando las integralesdobles: Ddxdy y D dydx , D ={ ( x, y ) x y2 2y x 4 y2 }Solucin:La regin D se encuentra acotada por las grficas de lasparbolas horizontales x = y 2 2 y y x = 4 y 2 , tal como se puedeobservar en la siguiente figura. Recuerde que la grfica x = y2 2 y de la ecuacin:D x = ay 2 + by + cEs una parbola horizontal x = 4 y2Figura 3.2 Regin D del ejemplo 3.2UC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 4. 78Geraldine CisnerosIntegrales Mltiples y Sus Aplicaciones a) Para calcular el rea de la regin por medio de la integral doble D dxdy , es necesario definir los lmites de integracin, que se ilustran en la figura 3.3DObserve que la regin Des una regin tipo 2, porlo cual el rea se obtieneValor de x a Valor de x aempleando una solala entrada de D la salida de Dintegral doblede lax = y2 2 y x = 4 y2forma D dxdy. Figura 3.3 Regin D del ejemplo 3.1 como una regin tipo 2 Por tanto el rea se obtiene como:24 y 2 2A= 2dxdy = 4 2 y 2 + 2 y dy = 9 1 y 2 y 1A = dxdy = 9D b) Cuando se desea calcular el rea D con el orden de integracinPara la primera curva:x = y2 2 y inverso, esto es A = dydx , entonces, se necesita conocer lasSe tiene que: Dy = 1 1+ xecuaciones de las curvas en funcin de la variable x y adems identificar los lmites de integracin, que a continuacin sePara la segunda curva:x = 4 y2 muestran en la figura 3.4entonces:y = 4 xUC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 5. 79Geraldine Cisneros Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones Valor de y aValor de y ala salida de D1x=0la salida de D2y = 1+ 1+ x y = 4 x x=3Valor de y aEn este caso, la regin Dla salida de D 3queda dividida en tresy = 4 xregionestipo1,identificadas como: D1,D2 y D3..D1 D2 Valor de y aD3 la entrada de D1y = 1 1+ x Valor de y a la entrada de D2Valor de y a la entrada de D3y = 1 1+ xy = 4 x Figura 3.4Regin D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1 Entonces D = D1 D2 D3 , donde:{( x, y ) 1 x 0 1 1 + x y 1 + 1 + x } D1 =D = {( x, y ) 0 x 3 1 1 + x y 4 x }2D = {( x, y ) 3 x 4 4 x y 4 x }3 As: A = dydx + dydx + dydx D1D2D3 0 1+ 1+ x3 4 x 44 xA= dydx + dydx + dydx 1 1 1+ x 0 1 1+ x3 4 x ( )03 4Al comparar los dosA = 2 1 + xdx + 4 x 1 + 1 + x dx + 2 4 xdxclculos de rea de la10 3regin D del ejemplo 3.1,resulta muchomssencillo emplear la4 19 4integraldxdy que A= + + =9D3 3 3con el orden inverso. A = dydx = 9DUC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 6. 80Geraldine CisnerosIntegrales Mltiples y Sus AplicacionesEJEMPLO 3.2 Dada la regin D , determine las ecuaciones de las curvas que lalimitan y calcule su rea empleando las integrales dobles:Ddxdyy D dydx .C2C1 C3D Figura 3.5Regin D del ejemplo 3.2Solucin:Las ecuaciones de las curvas que limitan a la regin D son:Las ecuaciones de lascurvas en funcin de laC1 : y = 16 x + 20variable y son: y 20C1 : x = 16C2 : y = 2 x + 20 y 20 yC2 : x =2 y C3 : y = 4 x 2C1 : x = 2a) Para el clculo del rea de la regin D por medio de la integraldoble Ddxdy , se necesita saber que valor toma la variable x a laentrada y salida de la regin. En la figura 3.6 se pueden observarestos valores.UC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 7. 81Geraldine CisnerosIntegrales Mltiples y Sus Aplicaciones Valor de x aValor de x a la entrada de D3 la salida de D3La regin D no es unay 20regin tipo 2, sinx=20 y 16D3x=embargo se puede dividir2en tres regiones: D1, D2y D3., que s lo son. Poresta razn, para resolvery = 16la integral dobleValor de x aValor de x aDdxdysedebela entrada de D2D2la salida de D2emplear la propiedady 20y x= x=aditiva respecto a la 16y=42regin de integracin.Valor de x aValor de x ala entrada de D1 D1la salida de D1 y y x= x=2 2 Figura 3.6Regin D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2Como D = D1 D2 D3 , entonces: A = dxdy + dxdy + dxdy D1D2D3donde: yy D1 = ( x, y )x 0 y 4 22 y 20y D2 = ( x, y )x 4 y 16 16 2 y 20 20 y D3 = ( x, y ) x 16 y 20 16 2y y 20 y 416 20 A= 2 y dxdy + 2 y 20 dxdy + 2y 20 dxdy04 162 16 16 4 16 y y 20 20 45 9y A=ydy + dy + 16 dy 4 216 0 4 16 16 157 9A= + + = 36 3 62UC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 8. 82Geraldine Cisneros Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones A = dxdy = 36 Db) En la figura 3.7 se muestran los lmites de integracin para laintegral interna de A = dydx . D Valor de y ala salida de D2 y = 2 x + 20Valor de y aLa regin D puedela salida de D1 D2dividirse en dos regionesy = 16 x + 20tipo 1, identificadascomo: D1 y D2 ; es decir: D = D1 D2Valor de y ala entrada de D2D1 y = 4x2 Valor de y a la entrada de D1y = 4x2x=0Figura 3.7 Regin D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1Luego: A = dydx + dydx , donde:D1D2D1 ={( x, y ) 1 x 0 4 x 2 y 16 x + 20 }D2 = {( x, y ) 0 x 2 4 x2 y 2 x + 20}016 x + 202 2 x + 20 A= 2 dydx + dydx1 4x04 x2A = (16 x + 20 4 x 2 ) dx + ( 2 x + 20 4 x ) dx = 32 + 76 = 3602 2 10 33 A = dydx = 36 DUC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 9. 83Geraldine CisnerosIntegrales Mltiples y Sus AplicacionesEJEMPLO 3.3 Calcule, empleando integrales dobles, el rea comprendida entredos crculos concntricos de radios 2 y 4.Solucin:Considere una corona circular con centro en el origen del sistemade coordenadas tal como se observa a continuacin.La regin D planteada enel ejemplo 3.3 recibe elnombrede coronax2 + y2 = 4circular, y su rea es:( A = R2 r 2)dondeR: Radio externor: radio internoD x 2 + y 2 = 16 Figura 3.8Regin D del ejemplo 3.3Como A = dydx y la regin D es simtrica respecto al origen, Dentonces para simplificar el clculo de rea, slo se evaluarA1 = dydx , donde A1 es el rea de la regin D que se encuentraD1en el primer cuadrante, denotada como D1 , de manera que:A = 4 A1La regin denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.UC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 10. 84Geraldine CisnerosIntegrales Mltiples y Sus AplicacionesValor de y ala salida de D1.A y = 16 x 2x=2Valor de y aPara calcular el rea de la D1.Ala salida de D1.Bregin D1, se puededividirla en dos regionesy = 16 x 2tipo 1:D1 = D1.A D1.B D1.BValor de y a la entrada de D1.Ay = 4 x2 Valor de y ala entrada de D1.BFigura 3.9 y=0Regin D1 del ejemplo 3.3Luego: A1 = dydx + dydx , donde:D1. AD1. B {( x, y ) 0 x 2 D1.A = 4 x 2 y 16 x 2}D = {( x, y ) 2 x 4 1.B 0 y 16 x 2}216 x 2 4 16 x 2 A1 = dydx + dydx0 4 x220 A1 = 02( 16 x 2 4 x 2 dx + )2416 x 2 dx 8 A1 = 2 3 + + 2 3 + = 3 3 3 A = dydx = 12DUC. Facultad de Ingeniera. Departamento de Matemtica. 11. 85Geraldine CisnerosIntegrales Mltiples y Sus Aplicaciones3.1.2. VOLUMEN DE UN SLIDO EN EL ESPACIOEn el captulo 1 de este trabajo, se determin que la integral f ( x, y ) dAD representa el volumen del slido S definido sobre laregin D y bajo la grfica de la funcin f ; sin embargo, la integraldoble tambin puede emplearse para determinar el volumen de unslido ms general.VOLUMEN DE UN SLIDO EN EL ESPACIOSean f :2 y g:2 dos funciones reales, continuasen una regin bidimensional D , tales que f ( x, y ) g ( x, y ) ( x, y ) D . Sea V el volumendel slido acotadosuperiormente por la grfica de la funcin g y acotadoinferiormente por la grfica de la funcin f