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Integrales Dobles - Hermes- · PDF fileIntegrales Dobles Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingenier´ıa Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos

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  • Integrales Dobles

    Integrales Dobles

    Hermes Pantoja Carhuavilca

    Facultad de Ingeniera IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

    Matematica II

    Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 76

  • Integrales Dobles

    CONTENIDO

    Integrales DoblesIntroduccionLa integral DobleInterpretacion GraficaCalculo de Integrales DoblesPropiedadesIntegrales dobles sobre regiones generalesIntegrales sobre una region no rectangularValor medio para una funcion de dos variablesVolumenes con integrales doblesIntegrales Dobles en coordenadas polares

    Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 76

  • Integrales Dobles

    INTRODUCCION

    En el curso de calculo integral se planteo el problema de hallarel area comprendida entre la grafica de una funcion positivay = f (x), el eje OX y las rectas x = a, x = b. Dicha area se

    reprentaba como b

    af (x)dx

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 76

  • Integrales Dobles

    Dada una funcion z = f (x, y) en D R2 tal que z > 0,(x, y) D; queremos encontrar el volumen del solido limitadopor f arriba de D, donde D es una region rectangular definida:

    D = {(x, y) R2 / a x b, c y d}

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 76

  • Integrales Dobles

    LA INTEGRAL DOBLESea f , continua en una region R del plano XY. Usando lneasparalelas a los ejes para aproximar R por medio de nrectangulos de area A. Sea (xj, yj) un punto del j-esimorectangulo, entonces la integral doble de f sobre R es:

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 76

  • Integrales Dobles

    EjemploEstime el volumen del solido que se encuentra arriba del cuadradoR = [0, 2] [0, 2] y abajo del paraboloide elptico z = 16 x2 2y2.Divida R en cuatro cuadrados iguales y escoja el punto de muestracomo la esquina superior derecha de cada cuadrado Rij. Trace el solidoy las cajas rectangulares de aproximacion.

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 76

  • Integrales Dobles

    El volumen exacto del volumen es 48

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 76

  • Integrales Dobles

    INTERPRETACION GRAFICA

    La integral doble de una funcion no negativa en dos variablesse interpreta como el volumen bajo la superficie z = f (x, y) ysobre la region R del plano XY.

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 76

  • Integrales Dobles

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 76

  • Integrales Dobles

    OBJETIVOS

    1. Evaluar la integral doble usando el teorema de Fubini2. Aplicar las integrales dobles en el calculo del area de una

    region plana y volumen de un solido.

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 76

  • Integrales Dobles

    CALCULO DE INTEGRALES DOBLES

    Teorema (Teorema de Fubini)Si f es integrable en el rectanguloR = {(x, y) / a x b, c y d}

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 76

  • Integrales Dobles

    EJEMPLO

    Ejemplo

    Si R = {(x, y) R2 / 0 x 2, 1 y 4}Calcular:

    R(6x2 + 4xy3)dA

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 76

  • Integrales Dobles

    INTEGRAL DOBLE

    Definicion (Definicion de Integral Doble)Si f esta definida en una region cerrada y acotada R del plano XY, laintegral doble de f sobre R se define como

    R

    f (x, y)dA = lm||||0

    ni=1

    f (xi, yi)xiyi

    Supuesto que exista el lmite, en cuyo caso se dice que f es integrablesobre R.

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 76

  • Integrales Dobles

    PROPIEDADES

    a.

    RKf (x, y)dA = K

    R

    f (x, y)dA

    b.

    R(f (x, y) g(x, y)) dA =

    R

    f (x, y)dA

    Rg(x, y)dA

    c. Si f (x, y) > 0, (x, y) R,

    Rf (x, y)dA > 0

    d. Si R = R1 R2, donde R1 R2 = R

    f (x, y)dA =

    R1f (x, y)dA +

    R2

    f (x, y)dA

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 76

  • Integrales Dobles

    INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES

    F(x, y) ={

    f (x, y) si (x, y) esta en D0 si (x, y) esta en R pero no en D

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 76

  • Integrales Dobles

    D

    f (x, y)dA =

    RF(x, y)dA

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 76

  • Integrales Dobles

    L IMITES DE INTEGRACIONSecciones transversales verticales (Barrido Vertical)La region R esta limitada por las graficas de g1(x) y g2(x) en elintervalo [a, b]. Si R es descrita por

    R : a x b, g1(x) y g2(x)

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 76

  • Integrales Dobles

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 76

  • Integrales Dobles

    Secciones transversales horizontales (Barrido Horizontal)La region R esta limitada por las graficas de h1 y h2 en elintervalo [c, d]. Si R es descrita por

    R : c y d, h1(y) x h2(y)

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 76

  • Integrales Dobles

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 76

  • Integrales Dobles

    EJEMPLO

    EjemploCalcular 1

    0

    xx2

    160xy3dydx

    EjemploCalcular

    RxdA

    donde R es la region limitada por y = 2x, y = x2 por los dos metodos(Barrido vertical y horizontal)

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 22 de 76

  • Integrales Dobles

    EJERCICIO 1

    EjercicioEvaluar 2

    0

    4x20

    xe2y

    4 ydydx

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 23 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION

    R :{

    0 x 20 y 4 x2

    20

    4x20

    xe2y

    4 ydydx

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 24 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION

    Intercambiando Diferenciales

    R :{

    0 x

    4 y0 y 4

    40

    4y0

    xe2y

    4 ydxdy

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 25 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION:

    40

    4y0

    xe2y

    4 ydxdy =

    40

    x2

    2e2y

    4 y

    4y0= 4

    0

    (4 y

    2e2y

    4 y

    )dy =

    40

    e2y

    2dy

    = 14

    (e8 1

    )

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 26 de 76

  • Integrales Dobles

    EJERCICIO 2

    Ejercicio 0

    x

    sin yy

    dydx

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 27 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION

    R :{

    0 x x y

    0

    x

    sin yy

    dydx

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 28 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION

    Intercambiando Diferenciales

    R :{

    0 x y0 y

    0

    y0

    sin yy

    dxdy

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 29 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION:

    0

    x

    sin yy

    dydx =

    0

    y0

    sin yy

    dxdy =

    0

    sin yy

    xy0

    =

    0

    sin yy

    ydy =

    0sin ydy = 2

    Por lo tanto: 0

    x

    sin yy

    dydx = 2

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 30 de 76

  • Integrales Dobles

    EJERCICIO

    Ejercicio

    Calcular

    R(2x + 1)dA donde R es el triangulo que tiene por

    vertices los puntos (1, 0),(0, 1) y (1, 0).

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 31 de 76

  • Integrales Dobles

    NotaSi f (x, y) = 1, la integral doble representa el area de la region R

    A =

    RdA

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 32 de 76

  • Integrales Dobles

    EjemploHallar el area de la region R limitada por las siguientes curvas

    R :

    y = x

    y = 1x

    x = 2y = 0

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 33 de 76

  • Integrales Dobles

    UN AREA REPRESENTADA POR DOS INTEGRALESITERADAS

    EjemploHallar el area de la region R que se encuentra bajo la parabolay = 4x x2, sobre el eje X, y sobre la recta y = 3x + 6

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 34 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION

    Secciones Verticales

    R1 :{

    1 x 23x + 6 y 4x x2

    R2 :{

    2 x 40 y 4x x2

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 35 de 76

  • Integrales Dobles

    SOLUCION

    R = R1 R2

    Area(R) = 2

    1

    4xx23x+6

    dydx + 4

    2

    4xx20

    dydx

    Area(R) = 152

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 36 de 76

  • Integrales Dobles

    CALCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOSLIMITES DE INTEGRACION

    Algunas integrales iteradas pueden ser calculadas de las dosformas, pero tenga mucho cuidado cuando invierte el orden delas integrales.

    Ejemplo e1

    ln x0

    xydydx

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 37 de 76

  • Integrales Dobles

    EJERCICIO

    EjercicioInvierta el orden de integracion para

    20

    4x20

    f (x, y)dydx

    EjercicioInvierta el orden de integracion para 4

    2

    16/xx

    f (x, y)dydx

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 38 de 76

  • Integrales Dobles

    VALOR MEDIO PARA UNA FUNCION DE DOSVARIABLES

    DefinicionSea f una funcion continua en las variables x e y. El Valor Medio de fen una region R esta dado por:

    Valor Medio =

    R

    f (x, y)dAR

    dA

    Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 39 de 76

  • Integrales Dobles

    Ejemplo

    Encuentre el valor medio de la funcion f (x, y) = x

    1 + y3 sobre la

    re