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16 Integrales Dobles Presentacion

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Text of 16 Integrales Dobles Presentacion

  • Tema 16: integrales dobles

    Tema 16: integrales doblesMatematica II

    20122013

  • Tema 16: integrales dobles

    Indice

    1 Integrales dobles e iteradas sobre ractangulosIntegrales dobles y volumenesComputo de integrales dobles

    2 Integrales dobles sobre regiones no rectangularesComputo de integrales dobles (continuacion)Propiedades de las integrales dobles

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Indice

    1 Integrales dobles e iteradas sobre ractangulosIntegrales dobles y volumenesComputo de integrales dobles

    2 Integrales dobles sobre regiones no rectangularesComputo de integrales dobles (continuacion)Propiedades de las integrales dobles

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Particion de una region R del dominio de f (x , y)

    Consideramos una funcionf (x , y) definida en unaregion rectangular R

    R : a x b c y d

    Si subdividimos R en npequenos rectangulostendremos una particionde R.Cada pequeno rectangulode ancho x y altura ytiene area A = xy .

    x

    y

    a b

    c

    d

    xk

    yk

    xkyk

    Ak

    R

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Particion de una region R del dominio de f (x , y)

    Consideramos una funcionf (x , y) definida en unaregion rectangular R

    R : a x b c y d

    Si subdividimos R en npequenos rectangulostendremos una particionde R.Cada pequeno rectangulode ancho x y altura ytiene area A = xy .

    x

    y

    a b

    c

    d

    xk

    yk

    xkyk

    Ak

    R

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Particion de una region R del dominio de f (x , y)

    Consideramos una funcionf (x , y) definida en unaregion rectangular R

    R : a x b c y d

    Si subdividimos R en npequenos rectangulostendremos una particionde R.Cada pequeno rectangulode ancho x y altura ytiene area A = xy .

    x

    y

    a b

    c

    d

    xk

    yk

    xkyk

    Ak

    R

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Particion de una region R del dominio de f (x , y)

    Si numeramos los nrectangulos, cada unotendra un areaA1,A2, . . . ,An, dondeAk es el area delk -esimo rectangulo.Luego hacemos una sumade Riemann, eligiendo unpunto (xk , yk ) en cadarectangulo

    Sn =n

    k=1

    f (xk , yk )Ak

    x

    y

    a b

    c

    d

    xk

    yk

    xkyk

    Ak

    R

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Particion de una region R del dominio de f (x , y)

    Si numeramos los nrectangulos, cada unotendra un areaA1,A2, . . . ,An, dondeAk es el area delk -esimo rectangulo.Luego hacemos una sumade Riemann, eligiendo unpunto (xk , yk ) en cadarectangulo

    Sn =n

    k=1

    f (xk , yk )Ak

    x

    y

    a b

    c

    d

    xk

    yk

    xkyk

    Ak

    R

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Particion de una region R del dominio de f (x , y)

    Una diferente eleccion delos (xk , yk ) resultara endiferentes valores paraSn. . .Si hacemos que lacantidad de rectangulos naumente infinitamente, lasumas convergeran a unvalor unico

    I = lmn

    nk=1

    f (xk , yk )Ak

    x

    y

    a b

    c

    d

    xk

    yk

    xkyk

    Ak

    R

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    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Particion de una region R del dominio de f (x , y)

    Una diferente eleccion delos (xk , yk ) resultara endiferentes valores paraSn. . .Si hacemos que lacantidad de rectangulos naumente infinitamente, lasumas convergeran a unvalor unico

    I = lmn

    nk=1

    f (xk , yk )Ak

    x

    y

    a b

    c

    d

    xk

    yk

    xkyk

    Ak

    R

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    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Particion de una region R del dominio de f (x , y)

    Si este lmite existe se lollama integral doble def (x , y) sobre la region R, yse anota

    I =

    Rf (x , y)dA

    x

    y

    a b

    c

    d

    xk

    yk

    xkyk

    Ak

    R

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Integrales dobles como volumenes

    Si f (x , y) es una funcion positiva sobre la region R, puedeinterpretarse la integral doble como un volumen.

    Cada caja tendra unpequeno volumen

    Vk = f (xk , yk )Ak

    Cuando n, lasuma para todas lascajas sera

    Volumen =

    Rf (x , y) dA

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Integrales dobles como volumenes

    Si f (x , y) es una funcion positiva sobre la region R, puedeinterpretarse la integral doble como un volumen.

    Cada caja tendra unpequeno volumen

    Vk = f (xk , yk )Ak

    Cuando n, lasuma para todas lascajas sera

    Volumen =

    Rf (x , y) dA

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

    Integrales dobles como volumenes

    Si f (x , y) es una funcion positiva sobre la region R, puedeinterpretarse la integral doble como un volumen.

    Cada caja tendra unpequeno volumen

    Vk = f (xk , yk )Ak

    Cuando n, lasuma para todas lascajas sera

    Volumen =

    Rf (x , y) dA

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Integrales dobles y volumenes

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    Indice

    1 Integrales dobles e iteradas sobre ractangulosIntegrales dobles y volumenesComputo de integrales dobles

    2 Integrales dobles sobre regiones no rectangularesComputo de integrales dobles (continuacion)Propiedades de las integrales dobles

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    Un ejemplo de calculo con integrales iteradas

    1 Buscamos el volumen bajo elplano z = 4 x y sobre laregion R : 0 x 2, 0 y 1.

    2 El area A(x) de una rodaja delvolumen buscado, para un xconstante, es la integral simple

    A(x) = y=1

    y=0(4 x y) dy

    3 Entonces, el volumen sera

    Volumen = x=2

    x=0A(x) dx

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    Un ejemplo de calculo con integrales iteradas

    1 Buscamos el volumen bajo elplano z = 4 x y sobre laregion R : 0 x 2, 0 y 1.

    2 El area A(x) de una rodaja delvolumen buscado, para un xconstante, es la integral simple

    A(x) = y=1

    y=0(4 x y) dy

    3 Entonces, el volumen sera

    Volumen = x=2

    x=0A(x) dx

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    Un ejemplo de calculo con integrales iteradas

    1 Buscamos el volumen bajo elplano z = 4 x y sobre laregion R : 0 x 2, 0 y 1.

    2 El area A(x) de una rodaja delvolumen buscado, para un xconstante, es la integral simple

    A(x) = y=1

    y=0(4 x y) dy

    3 Entonces, el volumen sera

    Volumen = x=2

    x=0A(x) dx

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    4 Si combinamos ambas integrales nos queda

    Volumen = x=2

    x=0A(x) dx

    =

    x=2x=0

    ( y=1y=0

    (4 x y) dy)

    dx

    =

    x=2x=0

    [4y xy y

    2

    2

    ]y=1y=0

    dx

    =

    x=2x=0

    (72 x

    )dx

    =

    [72

    x x2

    2

    ]x=2x=0

    = 5

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    5 Pero que sucede si tomamosrodajas con y constante?

    6 El area A(y) de una rodaja delvolumen buscado, para un yconstante, es la integral simple

    A(y) = x=2

    x=0(4 x y) dx

    7 Entonces, el volumen sera

    Volumen = y=1

    y=0A(y) dy

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    5 Pero que sucede si tomamosrodajas con y constante?

    6 El area A(y) de una rodaja delvolumen buscado, para un yconstante, es la integral simple

    A(y) = x=2

    x=0(4 x y) dx

    7 Entonces, el volumen sera

    Volumen = y=1

    y=0A(y) dy

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    5 Pero que sucede si tomamosrodajas con y constante?

    6 El area A(y) de una rodaja delvolumen buscado, para un yconstante, es la integral simple

    A(y) = x=2

    x=0(4 x y) dx

    7 Entonces, el volumen sera

    Volumen = y=1

    y=0A(y) dy

  • Tema 16: integrales dobles

    Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

    Computo de integrales dobles

    8 Si combinamos ambas integrales nos queda

    Volumen = y=1

    y=0A(y) dy

    =

    y=1y=0

    ( x=2x=0

    (4 x y) dx)