16 Integrales Dobles Presentacion

Tema 16: integrales dobles

Tema 16: integrales doblesMatematica II

20122013

Tema 16: integrales dobles

Indice

1 Integrales dobles e iteradas sobre ractangulosIntegrales dobles y volumenesComputo de integrales dobles

2 Integrales dobles sobre regiones no rectangularesComputo de integrales dobles (continuacion)Propiedades de las integrales dobles

Tema 16: integrales dobles

Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Indice

1 Integrales dobles e iteradas sobre ractangulosIntegrales dobles y volumenesComputo de integrales dobles

2 Integrales dobles sobre regiones no rectangularesComputo de integrales dobles (continuacion)Propiedades de las integrales dobles

Tema 16: integrales dobles

Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Consideramos una funcionf (x , y) definida en unaregion rectangular R

R : a x b c y d

Si subdividimos R en npequenos rectangulostendremos una particionde R.Cada pequeno rectangulode ancho x y altura ytiene area A = xy .

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Consideramos una funcionf (x , y) definida en unaregion rectangular R

R : a x b c y d

Si subdividimos R en npequenos rectangulostendremos una particionde R.Cada pequeno rectangulode ancho x y altura ytiene area A = xy .

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Consideramos una funcionf (x , y) definida en unaregion rectangular R

R : a x b c y d

Si subdividimos R en npequenos rectangulostendremos una particionde R.Cada pequeno rectangulode ancho x y altura ytiene area A = xy .

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Si numeramos los nrectangulos, cada unotendra un areaA1,A2, . . . ,An, dondeAk es el area delk -esimo rectangulo.Luego hacemos una sumade Riemann, eligiendo unpunto (xk , yk ) en cadarectangulo

Sn =n

k=1

f (xk , yk )Ak

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Si numeramos los nrectangulos, cada unotendra un areaA1,A2, . . . ,An, dondeAk es el area delk -esimo rectangulo.Luego hacemos una sumade Riemann, eligiendo unpunto (xk , yk ) en cadarectangulo

Sn =n

k=1

f (xk , yk )Ak

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Una diferente eleccion delos (xk , yk ) resultara endiferentes valores paraSn. . .Si hacemos que lacantidad de rectangulos naumente infinitamente, lasumas convergeran a unvalor unico

I = lmn

nk=1

f (xk , yk )Ak

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Una diferente eleccion delos (xk , yk ) resultara endiferentes valores paraSn. . .Si hacemos que lacantidad de rectangulos naumente infinitamente, lasumas convergeran a unvalor unico

I = lmn

nk=1

f (xk , yk )Ak

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Particion de una region R del dominio de f (x , y)

Si este lmite existe se lollama integral doble def (x , y) sobre la region R, yse anota

I =

Rf (x , y)dA

x

y

a b

c

d

xk

yk

xkyk

Ak

R

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Integrales dobles como volumenes

Si f (x , y) es una funcion positiva sobre la region R, puedeinterpretarse la integral doble como un volumen.

Cada caja tendra unpequeno volumen

Vk = f (xk , yk )Ak

Cuando n, lasuma para todas lascajas sera

Volumen =

Rf (x , y) dA

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Integrales dobles como volumenes

Si f (x , y) es una funcion positiva sobre la region R, puedeinterpretarse la integral doble como un volumen.

Cada caja tendra unpequeno volumen

Vk = f (xk , yk )Ak

Cuando n, lasuma para todas lascajas sera

Volumen =

Rf (x , y) dA

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Integrales dobles como volumenes

Si f (x , y) es una funcion positiva sobre la region R, puedeinterpretarse la integral doble como un volumen.

Cada caja tendra unpequeno volumen

Vk = f (xk , yk )Ak

Cuando n, lasuma para todas lascajas sera

Volumen =

Rf (x , y) dA

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Integrales dobles y volumenes

Tema 16: integrales dobles

Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

Indice

1 Integrales dobles e iteradas sobre ractangulosIntegrales dobles y volumenesComputo de integrales dobles

2 Integrales dobles sobre regiones no rectangularesComputo de integrales dobles (continuacion)Propiedades de las integrales dobles

Tema 16: integrales dobles

Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

Un ejemplo de calculo con integrales iteradas

1 Buscamos el volumen bajo elplano z = 4 x y sobre laregion R : 0 x 2, 0 y 1.

2 El area A(x) de una rodaja delvolumen buscado, para un xconstante, es la integral simple

A(x) = y=1

y=0(4 x y) dy

3 Entonces, el volumen sera

Volumen = x=2

x=0A(x) dx

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

Un ejemplo de calculo con integrales iteradas

1 Buscamos el volumen bajo elplano z = 4 x y sobre laregion R : 0 x 2, 0 y 1.

2 El area A(x) de una rodaja delvolumen buscado, para un xconstante, es la integral simple

A(x) = y=1

y=0(4 x y) dy

3 Entonces, el volumen sera

Volumen = x=2

x=0A(x) dx

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

Un ejemplo de calculo con integrales iteradas

1 Buscamos el volumen bajo elplano z = 4 x y sobre laregion R : 0 x 2, 0 y 1.

2 El area A(x) de una rodaja delvolumen buscado, para un xconstante, es la integral simple

A(x) = y=1

y=0(4 x y) dy

3 Entonces, el volumen sera

Volumen = x=2

x=0A(x) dx

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

4 Si combinamos ambas integrales nos queda

Volumen = x=2

x=0A(x) dx

=

x=2x=0

( y=1y=0

(4 x y) dy)

dx

=

x=2x=0

[4y xy y

2

2

]y=1y=0

dx

=

x=2x=0

(72 x

)dx

=

[72

x x2

2

]x=2x=0

= 5

Tema 16: integrales dobles

Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

5 Pero que sucede si tomamosrodajas con y constante?

6 El area A(y) de una rodaja delvolumen buscado, para un yconstante, es la integral simple

A(y) = x=2

x=0(4 x y) dx

7 Entonces, el volumen sera

Volumen = y=1

y=0A(y) dy

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

5 Pero que sucede si tomamosrodajas con y constante?

6 El area A(y) de una rodaja delvolumen buscado, para un yconstante, es la integral simple

A(y) = x=2

x=0(4 x y) dx

7 Entonces, el volumen sera

Volumen = y=1

y=0A(y) dy

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

5 Pero que sucede si tomamosrodajas con y constante?

6 El area A(y) de una rodaja delvolumen buscado, para un yconstante, es la integral simple

A(y) = x=2

x=0(4 x y) dx

7 Entonces, el volumen sera

Volumen = y=1

y=0A(y) dy

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Integrales dobles e iteradas sobre ractangulos

Computo de integrales dobles

8 Si combinamos ambas integrales nos queda

Volumen = y=1

y=0A(y) dy

=

y=1y=0

( x=2x=0

(4 x y) dx)