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Integrales Dobles(e)

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Ejercicios resueltos de integrales

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INTEGRALES DOBLES

INTEGRALES DOBLES

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Calcular la integral, sobre los rectngulos indicados:a) , Q=-1,1x0,Ln(2)

b) Q=0,x0,SOLUCIONa) I===I=====b) I==I=I= Pero Sen(6x-4)= Sen(6x) I====2. Dibujar la regin de integracin, estudiar la existencia de la integral y calcular su valor.a) siendo D el triangulo de vrtices (0,0), (,0) (,).b) , siendo D el trapezoide de vrtices (0,0); (1,0); (1,2); (0,1).c) , siendo D=(x,y)2/yx2, y4d) e)

SOLUCIONa) (0,0), (,0) (,). En el esquema:

Integramos en x:

b) , (0,0); (1,0); (1,2); (0,1). Graficamos:

y-1=x-1 y=x+1

Integramos por partes:u=x du=dx

c) Siendo D=(x,y)2/yx2, y4

I====I=2x2-=8-4-8+4=0d) I===I==I=e) I==

3. Describir grafica y analticamente la regin de integracin R en la siguiente integral e invertir el orden de integracin .SOLUCION Puesto que la funcin Tg(x2) necesita la diferencial en x y no esta, cambiamos limites. Los limites:0y1 yx1 La grafica:

Hacemos u=x2 du=2xdx

4. Sea la integral doble: I=a) Representar mediante un dibujo, la regin de integracin en el plano xy.b) Invierte el orden de integracin de la integral doble dada y calcular I.SOLUCION

Escribimos la integral ordenada: a) Los limites: y2x4 0y2

b) Los nuevos limites: 0x4 0y I==I== Integramos por partes: u=x du=dx v==-Cos(x)I=-xCos(x)+=-4Cos(4)+0+Sen(x) I=-4Cos(4)+Sen(4) 5. Evaluar las siguientes integrales en los recintos que se indican.a) donde D=(x,y)2/y=4-x2, y=4-xb) Donde R es la regin limitada por las curvas y2=6x, x=3, y=0.c) donde R es el triangulo acotado por y=x, y=2x, x=2.d) siendo R la regin acotada por y=x, x=1, x=2, y=0.e) siendo D=(x,y)2/xy1, y0, (x-y)(x-2y)0f) siendo R=(x,y)2/x+x1g) en el recinto limitado por la curva y=Ln(x) y las rectas y=0, x=2.h) con D la regin entre el eje y y la parbola x=-4y2+3SOLUCION

a) y=4-x2 y=4-x Limites: 4-x2=4-x x2-x=0 x=0 x=1 La grafica:

Integramos respecto a x:

I==I=-=-I=I= Integramos por partes: u=Ln(x) du= v= v=3x3-4x2-I=UV-=Ln(x)-

I=Ln(1)-Ln(x) -

I=0- x3+2x2+

I=- 1+2+= +

I= += +=0+=

b) y2=6x, x=3, y=0. La grafica:

I=====x3=27c) y=x y=2x x=2 La grafica:

Integramos respecto a x:

I===I==I====d) y=x x=1 x=2 y=0 La grafica:

Integramos respecto a x:

e) xy1, y9 (x-y)(x-2y)0 La grafica:

La grafica:

Definimos: y=x =1 2y=x =2 u= 1u2 xy=0 xy=1 v=xy 0v1 Ahora determinamos x e y en funcin a u, v:y= u= x= y== El jacobiano:J(u,v)===+= Integramos:I====Ln(u)I=Ln(2)-Ln(1)=Ln(2)f) , siendo R=(x,y)2/+1SOLUCION Desarrollamos el valor absoluto:+1 El grafico:

Definimos: u=x+y v=x-y u+v=2x x= y= El jacobiano:J(u,v)===--= Los limites: -1u1 -1v1 La integral: I====I=(1+1)=e-e-1g) , en el recinto limitado por la curva y=Ln(x) y las rectas y=0, x=2.SOLUCION Graficamos:

Los limites integrando en y: 0yLn(2) 2xey I==I=I=I=I=+ En la primera integral hacemos u=ey du=eydy y=0 u=1 y=Ln(2) u=eLn(2)=2 En la segunda integral hacemos t=1+e2y du=2e2ydy y=0 u=1 y=1+1=2 u=1+e2Ln(2)=5

h) x=3-4y2 La grafica: Integramos en el eje y:

Hacemos: u=4-3y2 du=-6ydx

6. Hallar las siguientes integrales dobles utilizando un cambio de variable adecuado.a) , donde R regin del primer cuadrante limitado por las curvas y=x, x=2y, x2=y, x2=2y.SOLUCION Definimos: y=x =1 y=2x =2 u= 1u2 x2=y =1 x2=2y =2 v= 1v2 =x y== El jacobiano:J(u,v)===-+= Los limites: 1u2 1v2 I====I=(e2-e)Arctg(u)=(e2-e)Arctg(2)-Arctg(1)=(e2-e)b) , siendo R el paralelogramo delimitado por las rectas: x+y=1, x+y=4, x-y=1, x-y=-1.

SOLUCION Hacemos u=x+y v=x-y 1u4 -1v1u+v=2x x= y= El jacobiano:J(uv)===--=-

I===

1u4 2v5 El jacobiano:J(u,v)===-+= Los limites: 1u2 2v5 I==

c) , siendo D la regin acotada por el paralelogramo de vrtices: (,0); (2,), (,2) y (0,).SOLUCION Graficamos:

Las rectas:y=x+y=3-xy=x-y=-x

Hacemos u=x+y v=x-y Los limites: u3 -u Despejamos x e y en trminos de u y v:u=x+y v=x-y u+v=2x x= v= El jacobiano:J(u,v)===--=- I=I==I==

d)

, siendo la regin acotado por las circunferencias , use coordenadas polares.

a) x2+4y2=1 x2+4y2=4

SOLUCION Coordenadas elpticas: x=raCos() y=rbSen() dA=rabdrd x2+4y2=r2 de donde: a=2 b=11r2 02

a)

siendo la regin anular situada entre las dos circunferencias y

b) x2+y2a2 0ra 0/2 (primer cuadrante)

h) siendo R la regin contenida en el primer cuadrante y limitado por: x2+y2=1, x2+y2=4, x2-y2=1, x2-y2=2 Hacemos U= x2+y2 V= x2-y2

i) En la grafica:

Limites en coordenadas polares:x0 y0 x2+y2=1 0/2 0r1

SOLUCIONa) Las derivadas parciales:Xu=1 Xv=1 Yu=1 Yv=-2u El jacobiano:J===-2u-1

SOLUCION e) La grafica:

El rea:

SOLUCIONa) En el esquema:z

xy

a=4 b=3 0r1 02 dA=rabdrd=12rdrd0z16-r2V==12 V=12=12=12(2) V=186 u3a) z=3x2+y2 z=3-y2Limites: 3x2+y2=3-y2 3x2+2y2=3 Polares en coordenadas elpticas: =1a= b=1 0r1 02 dA=rabdrd=rdrd3x2+y2z3-y2

SOLUCION La regin de integracin:

1. Hallar el centroide de la regin acotada por las curvas y=6x-x2; x+y=6.SOLUCION

Limites: 6x-x2=6-x (6-x)(1-x)=0 x=6 x=1661

Momento respecto al eje Y:

MY===

MY==

MY=--6x2=--216-++6

MY=504-324-216-++6=- Momento respecto al eje X:

MX===

MX=

MX=

MX=-3x4+-36x+6x2

MX=2520-3888+216+-216+216-+3-+36-6= Masa de la lamina:

M= ==

M==--6x

M=-72-36-++6=

M=504-324-216-++6= Centro de masa de la lamina:

===

=

SOLUCION En el grafico:

Masa: Integramos en x

Momento en x:

Momento en y:

SOLUCION

Masa: Integramos en xm===m==6x--3Ln(x)m=6(3+-3+)-+-3Ln()+3Ln()m=12-6-3Ln=6-3Ln Momento en x:Mx==Mx==Mx=Mx=Mx=18(3+-3+)-3+3+++-=16 Momento en y:My==My==My==3x2--3xMy=3-3-+-3(3+-3+)My=8 El centroide:== =12. Suponga que una lmina tiene la forma de un semicrculo y que la medida de la densidad es proporcional a la medida de la distancia del punto (x,y) a partir del dimetro. Si la masa se mide en kilogramos y la distancia en metros, calcule el radio de giro de la lmina con respecto al eje x.SOLUCION En el esquema:

La masa:M==M===M=-

Ing. Orlando Paredes Acua (949229274) 19