Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

  • View
    340

  • Download
    17

Embed Size (px)

Text of Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    1/23

    Univerzitet u Istonom SarajevuSAOBRAAJNI FAKULTET

    DOBOJ

    PROSTO HARMONIJSKE OSCILACIJE

    ENERGIJA KOD PROSTO HARMONIJSKIH OSCILACIJA

    MATEMATIKO I FIZIKO KLATNOAMORTIZOVANE OSCILACIJE

    PRINUDNE OSCILACIJE, REZONANCIJA

    POJAM PRITISKA I SILA POTISKA

    Seminarski rad iz:

    FIZIKE

    Studenti: Mentori:

    Stojan Petrui 8/11 Prof. Dr Dragoljub MirjaniMira Simi 9 /11 Mr Zoran urguz - asistent

    Doboj, Novembar 2011. god.

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    2/23

    Oscilatorna kretanja Stojan Petrui, Mira Simi

    1

    SADRAJ

    UVOD .................................................................................................................................................. 2

    1. PROSTO HARMONIJSKE OSCILACIJE ............................................................................ 3

    1.1. Brzina i ubrzanje kod harmonijsih oscilacija ................................................. 5

    2. Energija kod prosto harmonijskih oscilacija ............................................................. 7

    3. Matematiko i fiziko klatno ......................................................................................... 10

    3.1. Matematiko klatno............................................................................................... 10

    3.2. Fiziko klatno ........................................................................................................... 11

    4. AMORTIZOVANE (PRIGUENE )OSCILACIJE.......................................................... 12

    5. PRINUDNE OSCILACIJE. REZONANCIJA ................................................................... 14

    5.1. Prinudne oscilacije ....................................................................................................... 14

    5.2. Pojam rezonancije ........................................................................................................ 15

    6. POJAM PRITISKA I SILA POTISKA ............................................................................... 17

    6.1. Pritisak .............................................................................................................................. 17

    6.2. Potisak ............................................................................................................................... 19

    ZAKLJUAK................................................................................................................................... 21

    LITERATURA................................................................................................................................ 22

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    3/23

    Oscilatorna kretanja Stojan Petrui, Mira Simi

    2

    UVOD

    Oscilatorno kretanje je vrsta periodinog kretanja u kome se vrinaizmjenino pretvaranje potencijalne energije u kinetiku i obrnuto.

    Kod svih oscilacija javlja se se sila koja je uvijek orijentisana ka

    ravnotenom poloaju i ta sila je promjenjiva i po veliini i smjeru i naziva serestituciona sila.

    Udaljnost tijela od ravnotenog poloaja u jednom terenutku zove seelongacija, a najvea udaljenost tijela od ravnotenog poloaja naziva seamplituda. Vrijeme potrebno da tijelo izvri punu oscilaciju zove se periodoscilovanja i oznaava se sa T. Frekvencija oscilovanja predstavlja broj

    oscilacija u sekundi.Oscilacije kod kojih se veliine koje ih karakteriu (elongacija, brzina,

    ubrzanje) mjenjaju po zakonu sinusa ili kosinusa u funkciji vremena zovu se

    harmonijske oscilacije.

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    4/23

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    5/23

    Oscilatorna kretanja Stojan Petrui, Mira Simi

    4

    Neka se taka M kree po krunici radijusa r konstantnom ugaonombrzinom (sl. 2).

    Slika 2

    Projekcija M take M na pravac x kretati e se u pravcu odsjeka KL, odjednog kraja do drugog i obrnuto i vrie harmonijsko oscilatorno kretanje.

    Jednaina take M data je oblikom:

    =0+t

    gdje je ugao kretanja pokretnog radijusa OM u odnosu na nepokretniOK, a 0 je poetna vrijednost ugla u momentu vremena t=0.

    Jednaina kretanja take M gdje je OM=x ima oblik:

    x=r cos =r cos(t+0)

    Ako oznaimo amplitudu sa x0 onda je r= x0 i dobivamo da je elongacija:

    x= x0 cos(t+0)

    Veliina , koja karakterie ugaonu brzinu rotacije take M, naziva sekrunom frekvencijom(ugaona)harmonijskog oscilovanja take M. Ona jepoveyana periodom Ti frekvencijom relacijom:

    =

    , odnosno =2

    r

    y

    KL O

    M M

    M

    x

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    6/23

    Oscilatorna kretanja Stojan Petrui, Mira Simi

    5

    1.1. Brzina i ubrzanje kod harmonijsih oscilacija

    Po definiciji brzina je prvi izvod puta po vremenu. Prema tome brzina kod

    harmonijskog oscilovanja bi bila prvi izvod elongacije po vremenu:

    v=x= = (x0cost)= -x0sintili

    v=x0cos(t+)

    Po definiciji ubrzanje je prvi izvod brzine po vremenu:

    a==

    (-x0sint)= -2x0cost= -2x

    Vidimo da se brzina i elongacija nalaze u protiv fazi to je izraenoznakomminus u jednaini.

    Iz prethodne dvije jednaine vidimo da brzina i ubrzanje materijalne takekoja izvodi oscilovanje mjenja s vremenom po sinusnom zakonu pa prema

    tome je amplituda brzine:

    v0= x0

    a amplituda ubrzanja:

    a0= 2x0

    Iz jednaine za elongaciju x, brzinevi ubrzanja avidimo da je pri najveojelongaciji brzina najmanja, a akceleracija najvea i obrnuto (tabela 1).

    T =t x v A0 0 x0 0 -2x0

    T/4 /2 0 -x0 0T/2 -x0 0 2x0

    3T/4 3/2 0 x0 0T 2 x0 0 -2x0

    Tabela 1

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    7/23

    Oscilatorna kretanja Stojan Petrui, Mira Simi

    6

    Grafiki prikaz elongacije x, brzine v i ubrzanja a, kod harmonjskogoscilovanja su konisuoide, odnosno sinusoide, ali se razlikuju u amplitudama i

    fazama (sl. 3):

    Slika 3

    Ubrzanje oscilirajue take M iznosi:= -2Ovakvo ubrzanje imae i tijelo mase m koje oscilje na isti nain kao i taka

    M pa prema tome silu koja djeluje na taku M dobijamo po II Njutnovomzakonu:=m= -m 2kako je m2konstantna veliina, moemo pisati da je:m2=kpa dobijamo da

    je sila: =- .Ova injenica nam pokazuje da taka M vri prosto harmonijsko oscilovanje.Harmonijsko oscilovanje moe se vriti i pod dejstvom sile elastine opruge

    ako se sila ponaa prema zakonu =- , ova sila se naziva kvazielastinasila. Iz relacije k = m2moemo izvesti obrazac za period oscilovanja

    elastine opruge. Kako je = 2/T,moemo pisati:k=m

    odakle je period oscilovanja:T=2

    Frekvencija oscilovanjae biti:==

    x0

    x0

    2

    x0

    x,v,a

    (3)

    (1)

    (2)

    (1): x=x0 cost

    (2): v=-x0 sint

    (3): a=-x02 cost

    2

    0

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    8/23

    Oscilatorna kretanja Stojan Petrui, Mira Simi

    7

    2.

    ENERGIJA KOD PROSTO HARMONIJSKIH OSCILACIJA

    Fiziki sistem koji osciluje stalno mijenja poloaj i brzinu kretanja, zbogega raspolae odreenom mehanikom energijom potencijalnom i

    kinetikom.Pri harmonijskom oscilovanju vri se naizmjenian prijelaz potencijalne

    energije u kinetiku i obrnuto. to znai da se mijenja i kinetika i potencijalnaenergija.

    Potencijalnu energiju moemo odrediti pomou poznavanja poloaja xmaterijalne take. Da bi sistem izveli iz ravnotenog poloaja potrebno jeizvriti rad protiv elastine sile: F=-kx. Taj rad jednak je:

    A= = = Ovaj rad odlazi na stvaranje potencijalne energije sistema i u njemu djeluje

    kvazielastina sila pa pri pomjeranju iz ravnotenog poloaja za x tijelo dobijapotencijalnu energiju:

    Ep=

    Ovdje predpostavljamo da je potencijalna energija u ravnotenom poloajujednaka nuli. Ako nakon pomjeranja tijela iz ravnotenog poloaja za x=x0sistem prepustimo samom sebi pod uticajem sile =- tijelo e se kretati karavnotenom poloaju brzinom V=dx/dt na raun potencijalne energije Ep.

    Prema II Njutnovom zakonu to e kretanje biti okarakterisano jednainom:

    m= -k

    proirivanjem izraza: = =

    =

    dobivamo:

    mv+ k= 0

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    9/23

    Oscilatorna kretanja Stojan Petrui, Mira Simi

    8

    Ako ovu jednainu pomnoimo sadx dobijamo jednainu:

    m odakle je: to daje jednainu:

    = COva jednaina predstavlja da je ukupna energija sistema konstanta, to

    znai da integraciona konstanta C predstavlja ukupnu energiju E sistema:

    Ek+Ep=E

    Energija harmonijskog oscilovanja se moe prikazati grafiki (sl. 4):

    Slika 4

    Nacrtana parabola predstavlja potencijalnu energiju:

    Ep=

    a prava koja je paralelna apcisi brojno je jednaka ukupnoj energiji sistema E,

    pa se sa slike vidi da je potencijalna energija ograniena intervalom [ ].Maksimalna potencijalna energija se dobija kada se sistem nalazi na

    najveem otklonu od ravnotenog poloaja:

    E = (Ep)max=

    -x0 +x00

    E

    E

    Ek

    Ep

    x

  • 8/10/2019 Seminarski Rad - Harmonijske Oscilacije

    10/23

    Oscilatorna kretanja Stojan Petrui, Mira Simi

    9

    U momentu prolaenja kroz ravnoteni poloaj imamo maksimalnu brzinu,tj. maksimalnu kinetiku energiju:

    E= (Ek)max=

    =

    Na osnovu izraza 2=k/m dolazi se do zakljuka da je maksimalnapotencijalna energija jednaka maksimalnoj kinetikoj energiji.

    Posmatrajmo sada kako se mijenjaju kinetika i potencijalna energija svremenom:

    Ek=

    =

    sin2t

    Ep=

    = cos2tPrethodne dv