Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 10)

  • View
    38

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Dinamika i OscilacijeIsak KarabegovicPoglavlje 10

Text of Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 10)

  • 10.1. ZAKON O KRETANJU SREDITA MASA MATERIJALNOG SISTEMA Pretpostavimo da imamo materijalni sistem koji se sastoji od n materijalnih taaka M1, M2,...., Mn ije su mase m1, m2,....mn, a iji je poloaj odreen radijus vektorima poloaja nrrr

    rrr,..., 21 u odnosu na referentni koordinatni sistem Oxyz, kao to je prikazano na

    slici 10.1. Oznaimo sa

    sn

    ss FFFrrr

    ,..., 21 rezultatnte spoljanjih sila (tu se ubrajaju aktivne sile - koje izazivaju kretanja i reakcije spoljanjih veza), a sa un

    uu FFFrrr

    ,..., 21 rezultante unutranjih sila koje djeluju na materijalne take. Poto materijalnu taku Mi moemo smatrati slobodnom, jer smo veze zamijenili reakcijama veza, postavimo za nju diferencijalnu jednainu kretanja koja e glasiti:

    Slika 10.1. Materijalni sistem

    Opi zakoni kretanja materijalnog sistema

    x

    y

    z

    yi yC xC

    xi zi

    zC

    Mi(mi)

    M1(m1)

    M2(m2)

    uF1r

    sF1r

    uF2r

    sF2r

    s

    iFr

    uiF

    r1a

    r

    2ar

    iar ir

    r Crr

    Car

    0

    C

  • uis

    ii

    iii FFdtrd

    mamrrrr

    +== 22

    (10.1.)

    Ako s naaarrr

    ,..., 21 obiljeimo ubrzanja taaka, onda diferencijalnih jednaina oblika (10.1.) moemo postaviti onoliko koliko je taaka

    +=S+S=

    +=S+S=

    +=S+S=

    un

    sn

    uin

    sinnn

    usui

    si

    usui

    si

    FFFFam

    FFFFam

    FFFFam

    rrrrrM

    rrrrr

    rrrrr

    222221

    111111

    (10.2.)

    Sabiranjem jednaina (10.2.) dobija se vektorska jednaina:

    unuus

    nss

    nn FFFFFFamamamrrrrrrrrr

    +++++++=+++ ......... 21212211 odnosno, ui

    siii FFam

    rrrS+S=S (10.3.)

    Vektorski zbor uiFr

    S je, na osnovu osobine unutranjih sila, jednaina (9.1.)

    0=S=S uRu

    i FFrr

    pa se jednaina (10.3.) svvodi na sR

    siii FFam

    rrr=S=S (10.4.)

    gdje je faktor -sRFr

    glavni vektor spoljanjih sila. Ovdje je bitno napomenuti da smo glavni vektor spoljanjih sila sRF

    r dobili

    vektorskim sabiranjem rezultanti siFr

    koje djeluju na materijalne take sistema, odnosno tijela. Meutim, tako dobijeni vektor je jednak geometrijskom zbiru svih stvarnih spoljanjih sila koje na sistem djeluju, a kojih moe biti k, pri emu je nk , zato moemo pisati

    spk

    p

    si

    n

    i

    sR FFF

    rrr11 ==

    S=S= (10.5.)

    gdje su spFr

    - strane spoljanje sile sistema. Lijeva strana jednaine (10.4.) moe se, koristei se jednainom (9.20.) za vektor poloaja sredita masa iiCC rmrmr

    rrrS= sistema , napisati u obliku

    ii

    n

    iC

    ii

    n

    iC

    ii

    n

    i

    C

    amam

    rmrm

    dtrd

    mdt

    rdm

    rr

    &r&&r

    rr

    1

    1

    2

    2

    12

    2

    =

    =

    =

    S=

    S=

    S=

    (10.6.)

    Uvrtavanjem u navedenu jednainu, dobijamo sR

    siC FFam

    rrr=S= (10.7.)

    gdje je m - masa cijelog sistema. Jednaina (10.7.) izraava zakon o kretanju sredita masa sistema koji glasi: Proizvod mase sistema i ubrzanja sredita masa jednak je vektorskom zbiru (glavnom vektoru) spoljanjih sila sistema.

  • Vidimo da se sredite masa C (centar inercije) materijalnog sistema kree kao materijalna taka sa masom svih taaka sistema na koju djeluje glavni vektor svih spoljanjih sila. Ubrzanja sredita masa je vektor kolinearan sa glavnim vektorom spoljanjih sila

    sRF

    r, kao to je na slici (10.1.) prikazano. Znajui spoljanje sile (ne ulazei u analizu

    kretanja svake take), moemo da utvrdimo zakone kretanja sredita masa C (centra inercije). Projektovanjem vektorske jednaine (10.7.) na ose nepokretnog Descartesovog sistema referencije, dobijamo

    s

    Rzs

    ziC

    sRy

    syiC

    sRx

    sxiC

    FFzm

    FFym

    FFxm

    =S=

    =S=

    =S=

    &&

    &&&&

    (10.8.)

    Jednaine (10.8.) su diferencijalne jednaine kretanja sredita masa materijalnog sistema u odnosu na Descartesov koordinatni sistem. Vidimo da u jednaine (10.7.) i (10.8.) ne ulaze unutranje sile sistema, pa slijedi da unutranje sile materijalnog sistema ne utiu na kretanje sredita masa materijalnog sistema. Diferencijalnim jednainama (10.8) mogue je odrediti translatorno kretanje krutoga tijela jer se kretanje slobodnog krutog tijela pri njegovom proizvoljnom kretanju moe rastaviti na translatorno kretanje zajedno sa sreditem masa, i na obrtno kretanje oko trenutne ose koja prolazi kroz teite tijela. Obrtno kretanje emo odrediti pomou drugih teorema dinamike. 10.2. ZAKON O ODRANJU SREDITA MASA MATERIJALNOG SISTEMA Pretpostavimo da na materijalni sistem djeluje takav sistem spoljanjih sila da je za sve vrijeme kretanja vektorski zbir svih spoljanjih sila jednak nuli, odnosno glavni vektor spoljanjih sila jednak nuli. 0==S sR

    si FF

    rr (10.9.)

    tada na osnovu jednaine (10.7.) slijedi

    0

    0=

    =S=

    C

    siC

    aFam

    r

    rr

    odnosno .0 constvv CC ==

    rr (10.10.)

    Jednainom (10.10.) definisan je zakon o odranju kretanja sredita masa materijalnog sistema koji glasi: Ukoliko je glavni vektor svih spoljanjih sila koje djeluju na materijalni sistem za sve vrijeme kretanja jednak nuli, onda je brzina sredita masa konstantna, sredite masa se kree pravolinijski konstantnom brzinom 0Cv

    r, ili miruje ukoliko je 0Cv

    r= 0 (kretanje

    sredita masa se mijenja ''odrava se''). Poseban sluaj zakona o odranju kretanja sredita masa je kada je glavni vektor spoljanjih sila razliit od nule 0sRF

    r, ali je zbir projekcija spoljanjih sila, recimo samo

    na osu y, jednak nuli. Tada, na osnovu diferencijalnih jednaina (10.8.), slijedi da je projekcija brzine sredita., masa na osu y konstantna, tj.

  • 0

    0

    =

    ==

    C

    sRyC

    yFym

    &&&&

    pa je .0 constvvy yCCyC ===& (10.11.) Ukoliko je u poetnom trenutku 00 =yCv , onda yC = const, tj. koordinata yC sredita masa za vrijeme kretanja ostaje konstantna. 10.3. ZAKON O PROMJENI KOLIINE KRETANJA MATERIJALNE TAKE Pri definisanju zakona dinamike materijalne take koliina kretanja jedne materijalne take definisana je jednainom (5.10.) u poglavlju 5.2. Slino ovom izrazu moemo rei: Koliina kretanja sistema materijalnih taaka je vektor koji je jednak vektorskom zbiru koliina kretanja pojedinih materijalnih taaka sistema (slika 10.2.).

    iin

    ii

    n

    ivmKKrr

    11 ==S=S= (10.12.)

    Jednainu (10.12.) moemo napisati u neto drugaijem obliku

    iin

    i

    ii

    n

    irm

    dtd

    dtrd

    mKrrr

    11 ==S=S= (10.13.)

    S obzirom na jednainu (9.20.) moemo rei da je Ciin

    irmrmrr

    =S=1

    gdje je m - masa

    sistema, a Crr

    - vektor poloaja sredita masa. Moemo napisati

    CC

    Cii

    n

    i

    vmdtrd

    mK

    rmdtdrm

    dtdK

    rrr

    rrr

    ==

    =S==

    )(1

    (10.14.)

    Na osnovu (10.14.) moemo rei: Vektor koliine kretanja materijalnog sistema jednak je proizvodu mase sistema i vektora brzine sredita masa materijalnog sistema, a ima pravac i smjer vektora brzine sredita masa sistema. Diferenciranjem vektorske jednaine (10.14.) po vremenu dobijamo:

    Slika 10.2. Koliina kretanja materijalnog sistema

    C

    CC

    amdtKd

    dtvd

    mvmdtd

    dtKd

    rr

    rrr

    =

    == )( (10.15.)

    x

    y

    z M1

    Crr

    Cvr

    0

    C

    CvmKr

    =

    1vr 1K

    rM2

    2vr

    2Kr

    Mn

    nvr

    nKr

    Mi iv

    r iK

    r

  • Vodei rauna o jednaini (10.7.) kretanja sredita masa sR

    siC FFam

    rrr=S=

    moemo napisati

    sRs

    i FFdtKd rrr

    =S= (10.16.)

    Jednainom (10.16.) izraen je zakon o promjeni koliine kretanja materijalnog sistema koji glasi: Izvod po vremenu vektora koliine kretanja materijalnog sistema, jednak je glavnom vektoru spoljanjih sila koje djeluju na sistem. Vektorskoj jednaini (10.16.) odgovaraju tri skalarne jednaine koje dobijamo njenim projektovanjem na ose Descartesovog koordinatnog sistema

    sRziz

    z

    sRyiy

    y

    sRxix

    x

    FFdt

    dK

    FFdt

    dK

    FFdt

    dK

    =S=

    =S=

    =S=

    (10.17.)

    gdje su sa sRxF , s

    RyF i s

    RzF oznaene projekcije glavnog vektora spoljanjih sila na ose x, y, z. U sluaju da je glavni vektor spoljanjih sila jednak nuli, tj.

    0==S sRs

    i FFrr

    (10.18.) iz jednaine (10.16.) dobijamo zakon o odranju kioliine kretanja koji glasi: Ako je u nekom vremenskom intervalu glavni vektor spoljanjih sila sistema jednak nuli, onda je koliina kretanja sistema, u tom intervalu, konstantna

    .constK =r

    (10.19) Analogno slijedi iz jednaine (10.17.), recimo, u odnosu na osu y, sRyF = 0

    0== sRyy F

    dtdK

    Ky = const. odnosno .constvy CyC ==& (10.20.) Projekcija brzine na pravac ose je konstantna, tj. koordinata sredita masa se ne mijenja u odnosu na osu y. 10.4. DINAMIKA MATERIJALNE TAKE PROMJENJIVE MASE U dosadanjim razmatranjima masa tijela bila je uvijek konstantna. Meutim, postoje mnogi primjeri kretanja tijela, odnosno materijalne take kod kojih se masa mijenja tokom vremena. promjena mas