8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

1/15

1

ELEKTROTEHNIKI FAKULTETSARAJEVO

INENJERSKA FIZIKA I

6. TITRANJE (OSCILACIJE)

6.0. Openito o titranju

Titranje (osciliranje) predstavlja vrstu gibanja ili promjenu fizikog procesa koji se odlikujeodreenim stupnjem ponavljanja.

U zavisnosti od prirode fizi

kog procesa koji se ponavlja, titranja dijelimo na: mehanika (klatno,treperenje ice kod muzikog instrumenta itd.), elektromagnetska (naizmjenina struja,

elektromagnetski valovi i dr.) i elektromehanika (osciliranje atoma vrstog tijela oko ravnotenogpoloaja u kristalnoj reetki i dr.).

U zavisnosti od karaktera djelovanja, koje se vri na oscilatorni sistem, razlikujemo: slobodnotitranje, prigueno titranje i prisilno titranje.

Slobodno titranje nastaje u sistemu koji je, nakon poetnog vanjskog djelovanja, preputen samomsebi (npr. elastina opruga ili klatno izvedeno iz ravnotenog poloaja). Pri ovome svaki oscilator ima

svoju vlastitu frekvenciju.

Titranja kod kojih se veliina koja oscilira mijenja po zakonu sinusa ili kosinusa u funkcijivremena nazivaju se harmonina titranja (oscilacije).

Titranja u prirodi su veoma bliska harmoninim titranjima, ili mogu biti predstavljena superpozicijomharmoninih titranja.

6.1. Harmonino titranje ( harmonijske oscilacije )

Promatrajmo sistem koji se sastoji od kuglice mase m koja je objeena na elastinu oprugu. U stanju

ravnotee sila, silu teine mguravnoteuje elastina sila kl0 (Hookeov zakon):

0lkmg = (6.1)

gdje je kpozitivna konstanta, a 0l izduenje.

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

2/15

2

Pomjerimo kuglicu iz poloaja ravnotee na rastojanjex, tada e produenje opruge biti jednako l0 +

x, pa rezultirajua sila projicirana na osux ima vrijednost:

)( 0 xlkmgF += (6.2)

Uzimajui u obzir uvjet ravnotee (6.1) dobit emo da je:

kxF = (6.3)

Predznak (-) u formuli (6.3) izraava injenicu da pomjeranje i sila imaju suprotne smjerove.

Sila Fima osobine:

proporcionalna je pomjeranju kuglice iz poloaja ravnotee i uvijek je usmjerena prema poloaju ravnotee.U ovom sluaju sila je po prirodi elastina, meutim za sile koje se ponaaju po istoj zakonitosti

kaemo da su kvazielastine. Da bismo pomjerili kuglicu za vrijednost x moramo izvriti rad protivkvazielastine sile:

2)(

2

00

kxkxdxdxFW

xx

===

Ovaj rad se manifestira u vidu potencijalne energije sistema. Prema tome, sistem u kojem djeluje

kvazielastina sila, pri pomjeranju iz ravnotenog poloaja na rastojanje x dobiva potencijalnuenergiju:

2

2kxEp = (6.4)

Izvrimo pomjeranje kuglice za x = A i pustimo sistem da oscilira. Pod djelovanjem sile F = -kx,kuglica e se kretati prema poloaju ravnotee brzinom:

dt

dxv = (6.5)

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

3/15

3

Pri ovome e se smanjivati potencijalna energija sistema a javljat e se kinetika energija (masu

opruge zanemarujemo).

Doavi u poloaj ravnotee kuglica nastavlja kretanje po inerciji. Ovo kretanje e biti usporeno i

prestat e onda kad se kinetika energija u potpunosti pretvori u potencijalnu, tj. kad pomjeranje bude

jednako A. Ako u sistemu nema trenja, energija sistema mora biti ouvana, i kuglica e se kretatineogranieno dugo u granicama odA doA.

Jednadba gibanja za kuglicu, prema II Newtonovom aksiomu ima oblik:

kxdt

xdm =

2

2

(6.6)

Napiimo ovu jednadbu u drugom obliku:

02

2

=+ xm

k

dt

xd(6.7)

Koeficijent uzx je pozitivan broj pa ga moemo napisati u obliku:

m

k=2 (6.8)

gdje je realan broj ije emo fizikalno znaenje vidjeti kasnije. Jednadba (6.7) moe se napisati uobliku:

022

2

=+ xdt

xd (6.9)

Znai, gibanje kuglice pod djelovanjem sile oblika kx izraava se linearnom homogenom-diferencijalnom jednadbom drugog reda.Moe se vidjeti da rjeenje jednadbe (6.9) ima oblik:

( ) += tAx cos (6.10)ili

( )2

;sin

+=+= tAx

gdje suA i proizvoljne konstante.

Vidimo da gibanje sistema, koji se nalazi pod djelovanjem sile oblika F = - kx, predstavljaharmonino gibanje.

Veliina najveeg otklona od ravnotenog poloaja naziva se amplituda titranja, crte 6.2

Veliina (t+) naziva se faza titranja (osciliranja). Konstanta predstavlja vrijednost faze utrenutku t = 0 i zove se poetna faza oscilovanja

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

4/15

4

Crt.6.2.

Poto je kosinus periodina funkcija s periodom 2, razliita stanja sistema koji vri harmoninotitranje, ponavljaju se za interval vremena T, za koji faza dobije prirast jednak 2. Ovaj intervalnaziva se period titranja i moe se odrediti iz uvjeta:

( )[ ] [ ] 2++=++ tTt

odakle je,

2=T (6.11)

Broj titranja u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja f. Veza izmeu frekvencije iperioda titranja je:

Tf

1= (6.12)

Osnovna jedinica za frekvenciju je 1 Hz, tj. jedan titraj u sekundi. Iz (6.11) slijedi da je:

T

2=

Prema tome predstavlja broj oscilacija za 2 sekundi, i naziva se kruna frekvencija. Vezaizmeu frekvencije i krune frekvencije je:

f 2= (6.13)

Diferencirajmo po vremenu jednadbu (6.10) dobit emo izraz za brzinu:

( )

++=+==

2cossin

tAtA

dt

dxv (6.14)

Vidimo da se i brzina mijenja po harmoninom zakonu, pri emu je amplituda brzine jednaka A .Izraz za ubrzanje dobit emo ako jo jedanput izvrimo deriviranje po vremenu:

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

5/15

5

( ) +== tAdt

xda cos2

2

2

(6.15)

Znai da se ubrzanje i pomjeranje nalaze u protiv fazi. Svako oscilatorno kretanje moe se

karakterizirati odreenim vrijednostima amplitude A i poetne faze . Ove vrijednosti mogu seodrediti iz poetnih uvjeta. U momentu t = 0 jednadbe (6.10) i (6.14) glase:

sin

;cos

0

0

Av

Ax

==

Iz ovih relacija moemo izraunati amplituduA i poetnu fazu :

0

0

2

2

02

0

x

vtg

vxA

=

+=(6.16)

6.2. Energija harmonijskog oscilovanja

Kvazielastina sila je konzervativna1, pa je ukupna energija harmoninog titranja konstantna. U

procesu titranja dolazi do pretvorbe kinetike energije u potencijalnu i obratno. Maksimalna

potencijalna energija se dobije kada se sistem nalazi na najveem otklonu od ravnotenog poloaja:

( )2

2

max

kAEE p == (6.17)

U momentu prolaska kroz ravnoteni poloaj sistem ima maksimalnu brzinu, tj. maksimalnu kinetiku

energiju,

( )22

222

max

max

mAmvEE k === (6.18)

Moe se pokazati da su izrazi (6.17) i (6.18) jednaki jedan drugom, prema (6.8) km =2

.Promatrajmo kako se mijenjaju kinetika i potencijalna energija s vremenom:

( )

( )

+==

+==

tkAkx

E

tmAmv

E

p

k

222

2222

cos22

sin22 (6.19)

Zbrajanjem ova dva izraza, dobivamo da je ukupna energija harmoninog titranja konstantna:

1

Ako rad sile, pri pomjeranju materijalne take, ne ovisi od veliine i oblika puta nego samo od poetnog ikrajnjeg poloaja, takve sile nazivamo konzervativnim. Ako su sile koje djeluju na tijelo konzervativne, tada jeukupna mehanika energija konstantna.

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

6/15

6

22

222 mAkAEEE kp ==+= (6.20)

Koristei poznate trigonometrijske formule moemo izraze zaEkiEp napisati na slijedei nain:

( ) ( )

[ ] ( )

+=+=

++=+=

tEtEE

tEtEE

k

p

2cos2

1

2

1sin

2cos2

1

2

1cos

2

2

(6.21)

Vidimo da se Ek i Ep mijenjaju s frekvencijom 2. Srednja vrijednost kvadrata sinusa i kosinusajednaka je jednoj polovici. Prema tome, srednja vrijednostEkpodudara se sa srednjom vrijednouEp i

jednaka je2

1E.

Crt.6.3.

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

7/15

7

6.3. Harmonini oscilator

Sistem opisan jednadbom:

022

2

=+ xdt

xd (6.22)

gdje je 2 konstantna pozitivna veliina, naziva se harmonini oscilator. Kao to je poznato, rjeenjejednadbe (6.22) ima oblik:

( ) += tAx cos (6.23)

Prema tome, harmonini oscilator predstavlja sistem koji vri harmonina titranja oko poloaja

ravnotee.Obino u teorijskoj fizici koliinu kretanja nazivamo impuls i oznait emo ga sa p. Izraunajmoimpuls harmoninog oscilatora:

( ) +== tAvmp sin (6.24)

U svakom sluaju oscilator pored otklona x, ima jo jednu karakteristinu vrijednost, p. Napiimogornje jednadbe (6.23) i (6.24) na drugi nain:

( )

( )

+=

+=

tmA

p

tA

x

sin

cos

(6.25)

Kvadriranjem i zbrajanjem dobivamo:

1222

2

2

2

=+Am

p

A

x(6.26)

Grafiki predstavljen impuls harmoninog oscilatora u funkciji otklonax, daje elipsu.Koordinatna ravan (p,x) naziva se fazna ravan a odgovarajua kriva fazna putanja, crte 6.4.

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

8/15

8

Crt.6.4

Povrina elipse2

jednaka je:

2

2 22

mAAmAS ==

odnosno,

Ef

S1

= (6.27)

Znai, ukupna energija harmoninog oscilatora je proporcionalna povrini elipse, pri emu jekoeficijent proporcionalnosti vlastita frekvencija oscilatora:

SfE = (6.28)

Povrina elipse moe biti izraunata i kao integral pdx pa se formula (6.28) moe napisati i uobliku:

pdxfE = (6.29)

Ova posljednja relacija, odigrala je veliku ulogu u izgradnji osnova kvantne mehanike.

6.4. Slaganje harmoninih titranja

Pri istovremenom djelovanju vie razliitih elastinih sila na oscilator on e vriti sloeno gibanje,

koje e biti jednako geometrijskom zbiru pojedinih oscilacija. Rjeavanje ovih problema, posebno

slaganje oscilacija istog smjera, znatno se olakava ako se oscilacije predstave pomou, tzv. vektora

amplitude.

Uzmimo jednu osu koju emo oznaiti sa x, crte 6.5. Iz take O, koja je uzeta na osi, povucimo

vektor duine A, koji sa osom obrazuje kut . Ako taj vektor rotiramo sa kutnom brzinom projekcija vektora e se pomjerati po osi x u granicama od A do +A, pri emu e se koordinata teprojekcije mijenjati s vremenom po zakonu:

( ) += tAx cos (6.30)

2 abS = , gdje su a i bpoluose elipse.

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

9/15

9

Crt.6.5.

Prema tome, projekcija kraja vektora na osu x vrit e harmonino titranje s amplitudom koja je jednaka duini vektora, krunom frekvencijom koja je jednaka kutnoj brzini rotiranja vektora i

poetnom fazom koja je jednaka kutu koji obrazuje vektor s osom u poetnom momentu vremena.

Promatrajmo slaganje dva harmonina titranja istog smjera i iste frekvencije.

( ) ( )222111 coscos +=+= tAxitAx (6.31)

Rezultirajue pomjeranje tijela vrit e se po istoj pravoj tako da je jednako algebarskom zbiru oba

pomjeranja:

( ) ( )221121 coscos +++=+= tAtAxxx (6.32)

Predstavimo oba osciliranja pomou vektora amplitude 1Ar

i 2Ar

, crte 6.6.

Moe se uoiti da je projekcija rezultirajueg vektora Ar

, na osu x jednaka sumi projekcija vektorakoji se slau:

21 xxx += (6.33)

Prema tome, vektor Ar

predstavlja rezultirajue titranje. Taj vektor rotira s istom kutnom brzinom

kao i vektori 1Ar

i 2Ar

, tako da e rezultirajue gibanje biti harmonino titranje sa frekvencijom ,

amplitudomA i poetnom fazom .

( ) += tAx cos (6.34)

Na crteu 6.8. vidimo, za trenutakt = 0, na osnovu kosinusne teoreme imamo:

( )[ ]12212

2

2

1

2 cos2 += AAAAA (6.35)ili

( )12212

2

2

1

2 cos2 ++= AAAAA

odnosno,

2211

2211

coscos

sinsin

AA

AA

OC

BCtg

++

== (6.36)

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

10/15

10

Crt.6.6.

Jednadbe (6.35) i (6.36) mogu se dobiti i zbrajanjem jednadbi (6.31) koristei odgovarajue

trigonometrijske transformacije.

Analizirajmo izraz za amplitudu (6.35). Ako je razlika faza izmeu dva titranja konstantna, tj.:

.22 const= (6.37)

takva titranja nazivaju se koherentna. Ako je pak razlika u fazi jednaka nuli ili cijelo parnom broju, imamo da je:

,...3,2,1,0,212 == njegdjen

tada je,

( ) 1cos 12 =

i21 AAA += (6.38)

Ako je razlika faza oba titranja jednaka neparnom broju , imamo da je:

,...3,2,1,0,)12(12 =+= njegdjen

tada je,

( ) 1cos 12 =i

21 AAA =(6.39)

6.5. Matematiko klatno (njihalo)

Matematiko klatno sastoji se od tokaste mase m objeene na nerastegljivu vrlo laganu nit duljine l,

crt 6.7. Kada klatno miruje u poloaju ravnotee, napetost niti Nr

uravnoteuje sila Gr

(sila tee).

Izvan poloaja ravnotee, tangencijalna sila (komponenta sile tee) vraa tijelo u poloaj ravnotee,

dok je radijalna komponenta sile tee uravnoteena napetou niti Nr .

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

11/15

11

Crt.6.7

Zbroj svih sila na materijalnu toku jednak je tangencijalnoj komponenti sile teeFt =-mg sin, gdje

predznak minus kae da sila djeluje u smjeru porasta pomaka . Sila nije proporcionalna kutnom

pomaku , nego sin, prema tome gibanje nije harmonino. Meutim, za male amplitude sin, tesila F = -mg harmonina.Matematiko klatno osciluje harmonijski samo za male amplitude, dok je, za vee amplitude,

period klatnafunkcija amplitude.

Jednadba gibanja matematikog klatna glasi:

sinmgmaF t ==

odnosno prema (3.40)

2

2

dt

dllat

==

dobivamo,

sin2

2

mgdt

dml = (6.40)

U sluaju malih pomjeranja sin, te jednadba gibanja matematikog klatna poprima oblik:

02

2

=+

l

g

dt

d(6.50)

Ovo je jednadba harmoninog titranja pa analogno prema (6.7) ima rjeenje:

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

12/15

12

( )

+=+= t

l

gt sinsin 00 (6.51)

odavde period

2=T , odnosno period matematikog klatna za male amplitude3 je:

g

lT 2= (6.52)

Period klatna ne ovisi ni o masi ni o amplitudi ve samo od duljine li gravitacionog ubrzanjag.

6.6. Prigueno titranje

Do sada smo promatrali idealiziran sluaj titranja materijala toke u kojemu je mehanika energija

ouvana. Iz iskustva znamo da su uvijek gubici energije prisutni i da e elastina opruga poslije

odreenog vremena prestati titrati. Za takva titranja kaemo da su priguena.Prigueno titranje moemo lako vidjeti ako elastinu oprugu uronimo u viskoznu tekuinu. Sila trenja

koja se protivi gibanju elastine opruge proporcionalna je brzini gibanja:

dt

xdbvbFtr

rrr

== (6.53)

gdje je b konstanta priguenja, a predznak minus pokazuje da su sila trenja i brzina, suprotnog smjeraizabranog osix.

Jednadbu gibanja za prigueno titranje, na osnovu drugog Newtonovog aksioma i (6.3) moemo

pisati:

trel FFamrrr

+= (6.54)

ili

02

2

=++ xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd(6.55)

Zamjenom,2

0=m

ki 2=

m

b, jednadba (6.56) poprima oblik:

02 202

2

=++ xdtdx

dt

xd (6.56)

gdje jem

k=0 vlastita frekvencija nepriguenog oscilatora, a faktor priguenja.

Rjeenje ove homogene linearne diferencijalne jednadbe je:

3 Kada su amplitude vee, tj. kada je sin period njihala ovisi o amplitudi 0 , tada je periodmatematikog njihala

+++= ...

2sin

64

9

2sin

4

1112 0402 g

T

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

13/15

13

( ) += tAetx t sin)( (6.57)

uz uvjet,

22

0 =(6.58)

Ovo moemo dokazati uvrtavanjem, prvog i drugog izvoda. Prvi izvod od x(t) je u stvari brzinapriguenih oscilacija:

( ) ( ) +++= teAteAdt

dx tt cossin

Drugi izvod je ubrzanje:

( ) ( ) ( )

+++=

teAteAteAdt

xd ttt

sincos2sin

22

2

2

Uvrtavanjem u jednadbu (6.56), dobivamo:

( ) 0sin)2( 20222 =++ teAAAA t

Jednadba (6.59) mora biti ispunjena za svaki t, to daje uvjet (6.58):

220

2 =

Priguenje smanjuje frekvenciju titranja to vie to je trenje vee. Amplituda tAe opadaeksponencijalno s vremenom; to je faktor priguenja vei, to i amplituda bre trne..Ako jetrenje veliko, uope nema titranja; uvjet za takvo aperiodino gibanje dobivamo iz (6.58):

2

0

2 > (6.60)

Tada je naime u izrazu (6.58) imaginarna i rjeenje jednadbe gibanja je elongacija koja

eksponencijalno opada. Osciliranje nekih mehanikih sistema esto je nepoeljno i nastoji se,uvoenjem odreenog priguenja, smanjiti ili ukloniti (npr., kazaljke mjernih instrumenata, amortizeri

na vozilima i dr.).

6.7. Prisilno titranje. Rezonancija

Kada vanjska periodina sila djeluje na sistem kojimoe titrati, nastaje prisilno titranje.Na crteu 6.8 prikazan je jedan takav prisilni oscilator. Pomou vanjskog oscilatora, kojem se

frekvencija moe mijenjati, pobuujemo sustav opruga + masa, na titranje. Kad je frekvencija

vanjskog oscilatora manja od vlastite frekvencije sistema mk=0 , sistem oscilira, ali s malimamplitudama. Kako raste, amplitude postaju sve vee i vee.

Kada se priblii vlastitoj frekvenciji sistema 0, dolazi do rezonancije, tj. titranja s vrlovelikim amplitudama. Daljnjim poveanjem frekvencije titranje ponovo postaje sve slabije.

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

14/15

14

Napiimo jednadbu gibanja za ovakav prisilni harmonini oscilator. Neka je vanjska sila

sinusoidalnog oblika:

tFFv sin0= (6.61)

Crt.6.8.

gdje je kruna frekvencija vanjskog oscilatora. Drugi Newtonov aksiom, primijenjen na ovakvogibanje, daje:

tFdt

dxbkx

dt

xdm sin02

2

+=

ili

tAtm

Fxxx sinsin2 0

02

0 ==++ &&& (6.62)

gdje je faktor priguenja, koji smo definirali u prethodnom odjeljku, a A0 amplituda vanjskogoscilatora. Rjeenje ove jednadbe je titranje s prisilnom frekvencijom :

( ) = tAtx sin)()( (6.63)

gdje je kanjenje u fazi titranja vanjskog oscilatora. Uvrstimo li (6.63) u (6.62) dobivamo:

8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

15/15

15

( ) ( ) ( )( )

tA

Att

sincos2sin 0220 =+ (6.64)

Ako jednadbu (6.64) predstavimo pomou vektora, proizilazi

:

( )( )

22

0

2222

00 2;4

=+= tg

A

A

Amplituda prisilnog osciliranja je:

( )( ) 222220

0

4

+=

AA (6.64)

Amplituda osciliranja (6.64) ovisna je o omjeru0

i o priguenju i maksimalna je pri rezonantnoj

frekvenciji:

22

0 2 =r(6.65)

to se dobije izraunavanjem maksimuma funkcije (6.64).

Rezonantna frekvencija r, u sluaju priguenog oscilatora neto je manja od vlastitefrekvencije;rezonantna frekvencija nepriguenog oscilatora jednaka je vlastitoj frekvenciji r =0.U idealnom sluaju, kad ne bi bilo gubitaka, amplituda pri rezonanciji ( = 0) bila bi

beskonanovelika. Kad su prisutni gubici, rezonantna amplituda je konana a rezonantna frekvencijaje neto manja od 0, tim vie to je priguenje vee.

Rezonancija moe biti ponekad opasna i dovesti do ruenja (mostova, zgrada i sl.). Tako je sruen

most u Takomi (1940.); vjetar u rezonanciji s vlastitom frekvencijom mosta uzrokovao je snane

oscilacije i ruenje mosta. Rezonancija se susree mnogim mehanikim, elektrinim i drugim

ureajima.