Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

  • View
    237

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

  • 8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

    1/15

    1

    ELEKTROTEHNIKI FAKULTETSARAJEVO

    INENJERSKA FIZIKA I

    6. TITRANJE (OSCILACIJE)

    6.0. Openito o titranju

    Titranje (osciliranje) predstavlja vrstu gibanja ili promjenu fizikog procesa koji se odlikujeodreenim stupnjem ponavljanja.

    U zavisnosti od prirode fizi

    kog procesa koji se ponavlja, titranja dijelimo na: mehanika (klatno,treperenje ice kod muzikog instrumenta itd.), elektromagnetska (naizmjenina struja,

    elektromagnetski valovi i dr.) i elektromehanika (osciliranje atoma vrstog tijela oko ravnotenogpoloaja u kristalnoj reetki i dr.).

    U zavisnosti od karaktera djelovanja, koje se vri na oscilatorni sistem, razlikujemo: slobodnotitranje, prigueno titranje i prisilno titranje.

    Slobodno titranje nastaje u sistemu koji je, nakon poetnog vanjskog djelovanja, preputen samomsebi (npr. elastina opruga ili klatno izvedeno iz ravnotenog poloaja). Pri ovome svaki oscilator ima

    svoju vlastitu frekvenciju.

    Titranja kod kojih se veliina koja oscilira mijenja po zakonu sinusa ili kosinusa u funkcijivremena nazivaju se harmonina titranja (oscilacije).

    Titranja u prirodi su veoma bliska harmoninim titranjima, ili mogu biti predstavljena superpozicijomharmoninih titranja.

    6.1. Harmonino titranje ( harmonijske oscilacije )

    Promatrajmo sistem koji se sastoji od kuglice mase m koja je objeena na elastinu oprugu. U stanju

    ravnotee sila, silu teine mguravnoteuje elastina sila kl0 (Hookeov zakon):

    0lkmg = (6.1)

    gdje je kpozitivna konstanta, a 0l izduenje.

  • 8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

    2/15

    2

    Pomjerimo kuglicu iz poloaja ravnotee na rastojanjex, tada e produenje opruge biti jednako l0 +

    x, pa rezultirajua sila projicirana na osux ima vrijednost:

    )( 0 xlkmgF += (6.2)

    Uzimajui u obzir uvjet ravnotee (6.1) dobit emo da je:

    kxF = (6.3)

    Predznak (-) u formuli (6.3) izraava injenicu da pomjeranje i sila imaju suprotne smjerove.

    Sila Fima osobine:

    proporcionalna je pomjeranju kuglice iz poloaja ravnotee i uvijek je usmjerena prema poloaju ravnotee.U ovom sluaju sila je po prirodi elastina, meutim za sile koje se ponaaju po istoj zakonitosti

    kaemo da su kvazielastine. Da bismo pomjerili kuglicu za vrijednost x moramo izvriti rad protivkvazielastine sile:

    2)(

    2

    00

    kxkxdxdxFW

    xx

    ===

    Ovaj rad se manifestira u vidu potencijalne energije sistema. Prema tome, sistem u kojem djeluje

    kvazielastina sila, pri pomjeranju iz ravnotenog poloaja na rastojanje x dobiva potencijalnuenergiju:

    2

    2kxEp = (6.4)

    Izvrimo pomjeranje kuglice za x = A i pustimo sistem da oscilira. Pod djelovanjem sile F = -kx,kuglica e se kretati prema poloaju ravnotee brzinom:

    dt

    dxv = (6.5)

  • 8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

    3/15

    3

    Pri ovome e se smanjivati potencijalna energija sistema a javljat e se kinetika energija (masu

    opruge zanemarujemo).

    Doavi u poloaj ravnotee kuglica nastavlja kretanje po inerciji. Ovo kretanje e biti usporeno i

    prestat e onda kad se kinetika energija u potpunosti pretvori u potencijalnu, tj. kad pomjeranje bude

    jednako A. Ako u sistemu nema trenja, energija sistema mora biti ouvana, i kuglica e se kretatineogranieno dugo u granicama odA doA.

    Jednadba gibanja za kuglicu, prema II Newtonovom aksiomu ima oblik:

    kxdt

    xdm =

    2

    2

    (6.6)

    Napiimo ovu jednadbu u drugom obliku:

    02

    2

    =+ xm

    k

    dt

    xd(6.7)

    Koeficijent uzx je pozitivan broj pa ga moemo napisati u obliku:

    m

    k=2 (6.8)

    gdje je realan broj ije emo fizikalno znaenje vidjeti kasnije. Jednadba (6.7) moe se napisati uobliku:

    022

    2

    =+ xdt

    xd (6.9)

    Znai, gibanje kuglice pod djelovanjem sile oblika kx izraava se linearnom homogenom-diferencijalnom jednadbom drugog reda.Moe se vidjeti da rjeenje jednadbe (6.9) ima oblik:

    ( ) += tAx cos (6.10)ili

    ( )2

    ;sin

    +=+= tAx

    gdje suA i proizvoljne konstante.

    Vidimo da gibanje sistema, koji se nalazi pod djelovanjem sile oblika F = - kx, predstavljaharmonino gibanje.

    Veliina najveeg otklona od ravnotenog poloaja naziva se amplituda titranja, crte 6.2

    Veliina (t+) naziva se faza titranja (osciliranja). Konstanta predstavlja vrijednost faze utrenutku t = 0 i zove se poetna faza oscilovanja

  • 8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

    4/15

    4

    Crt.6.2.

    Poto je kosinus periodina funkcija s periodom 2, razliita stanja sistema koji vri harmoninotitranje, ponavljaju se za interval vremena T, za koji faza dobije prirast jednak 2. Ovaj intervalnaziva se period titranja i moe se odrediti iz uvjeta:

    ( )[ ] [ ] 2++=++ tTt

    odakle je,

    2=T (6.11)

    Broj titranja u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja f. Veza izmeu frekvencije iperioda titranja je:

    Tf

    1= (6.12)

    Osnovna jedinica za frekvenciju je 1 Hz, tj. jedan titraj u sekundi. Iz (6.11) slijedi da je:

    T

    2=

    Prema tome predstavlja broj oscilacija za 2 sekundi, i naziva se kruna frekvencija. Vezaizmeu frekvencije i krune frekvencije je:

    f 2= (6.13)

    Diferencirajmo po vremenu jednadbu (6.10) dobit emo izraz za brzinu:

    ( )

    ++=+==

    2cossin

    tAtA

    dt

    dxv (6.14)

    Vidimo da se i brzina mijenja po harmoninom zakonu, pri emu je amplituda brzine jednaka A .Izraz za ubrzanje dobit emo ako jo jedanput izvrimo deriviranje po vremenu:

  • 8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

    5/15

    5

    ( ) +== tAdt

    xda cos2

    2

    2

    (6.15)

    Znai da se ubrzanje i pomjeranje nalaze u protiv fazi. Svako oscilatorno kretanje moe se

    karakterizirati odreenim vrijednostima amplitude A i poetne faze . Ove vrijednosti mogu seodrediti iz poetnih uvjeta. U momentu t = 0 jednadbe (6.10) i (6.14) glase:

    sin

    ;cos

    0

    0

    Av

    Ax

    ==

    Iz ovih relacija moemo izraunati amplituduA i poetnu fazu :

    0

    0

    2

    2

    02

    0

    x

    vtg

    vxA

    =

    +=(6.16)

    6.2. Energija harmonijskog oscilovanja

    Kvazielastina sila je konzervativna1, pa je ukupna energija harmoninog titranja konstantna. U

    procesu titranja dolazi do pretvorbe kinetike energije u potencijalnu i obratno. Maksimalna

    potencijalna energija se dobije kada se sistem nalazi na najveem otklonu od ravnotenog poloaja:

    ( )2

    2

    max

    kAEE p == (6.17)

    U momentu prolaska kroz ravnoteni poloaj sistem ima maksimalnu brzinu, tj. maksimalnu kinetiku

    energiju,

    ( )22

    222

    max

    max

    mAmvEE k === (6.18)

    Moe se pokazati da su izrazi (6.17) i (6.18) jednaki jedan drugom, prema (6.8) km =2

    .Promatrajmo kako se mijenjaju kinetika i potencijalna energija s vremenom:

    ( )

    ( )

    +==

    +==

    tkAkx

    E

    tmAmv

    E

    p

    k

    222

    2222

    cos22

    sin22 (6.19)

    Zbrajanjem ova dva izraza, dobivamo da je ukupna energija harmoninog titranja konstantna:

    1

    Ako rad sile, pri pomjeranju materijalne take, ne ovisi od veliine i oblika puta nego samo od poetnog ikrajnjeg poloaja, takve sile nazivamo konzervativnim. Ako su sile koje djeluju na tijelo konzervativne, tada jeukupna mehanika energija konstantna.

  • 8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

    6/15

    6

    22

    222 mAkAEEE kp ==+= (6.20)

    Koristei poznate trigonometrijske formule moemo izraze zaEkiEp napisati na slijedei nain:

    ( ) ( )

    [ ] ( )

    +=+=

    ++=+=

    tEtEE

    tEtEE

    k

    p

    2cos2

    1

    2

    1sin

    2cos2

    1

    2

    1cos

    2

    2

    (6.21)

    Vidimo da se Ek i Ep mijenjaju s frekvencijom 2. Srednja vrijednost kvadrata sinusa i kosinusajednaka je jednoj polovici. Prema tome, srednja vrijednostEkpodudara se sa srednjom vrijednouEp i

    jednaka je2

    1E.

    Crt.6.3.

  • 8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

    7/15

    7

    6.3. Harmonini oscilator

    Sistem opisan jednadbom:

    022

    2

    =+ xdt

    xd (6.22)

    gdje je 2 konstantna pozitivna veliina, naziva se harmonini oscilator. Kao to je poznato, rjeenjejednadbe (6.22) ima oblik:

    ( ) += tAx cos (6.23)

    Prema tome, harmonini oscilator predstavlja sistem koji vri harmonina titranja oko poloaja

    ravnotee.Obino u teorijskoj fizici koliinu kretanja nazivamo impuls i oznait emo ga sa p. Izraunajmoimpuls harmoninog oscilatora:

    ( ) +== tAvmp sin (6.24)

    U svakom sluaju oscilator pored otklona x, ima jo jednu karakteristinu vrijednost, p. Napiimogornje jednadbe (6.23) i (6.24) na drugi nain:

    ( )

    ( )

    +=

    +=

    tmA

    p

    tA

    x

    sin

    cos

    (6.25)

    Kvadriranjem i zbrajanjem dobivamo:

    1222

    2

    2

    2

    =+Am

    p

    A

    x(6.26)

    Grafiki predstavljen impuls harmoninog oscilatora u funkciji otklonax, daje elipsu.Koordinatna ravan (p,x) naziva se fazna ravan a odgovarajua kriva fazna putanja, crte 6.4.

  • 8/3/2019 Oscilacije Harmonijske Oscilacije Matematicko Klatno, Rezonancija

    8/15

    8

    Crt.6.4

    Povrina elipse2

    jednaka je:

    2

    2 22

    mAAmAS ==

    odnosno,

    Ef

    S1

    = (6.27)

    Znai, ukupna energija harmoninog oscilatora je pro