Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Os
cila
torn
o k
reta
nje
Teh
nič
ka f
izik
a 1
23/1
1/2
018
Tehnolo
škifa
kultet
Oscila
torn
o k
reta
nje
•P
eriodič
no k
reta
nje
i h
arm
onijs
ke o
scila
cije
•O
scilo
vanje
tije
la o
bje
šenog o
ela
stičnu o
pru
gu
•M
ate
matičko k
latn
o,
fizič
ko k
latn
o i t
orz
iono
kla
tno
•P
rigušene h
arm
onijs
ke o
scila
cije
•prinudne o
scila
cije
i r
ezonancija
Oscila
torn
o k
reta
nje
Periodič
no k
reta
nje
. O
scila
cije.
•K
reta
nje
koje
se p
onavlja
u
određenim
vre
menskim
inte
rvalim
a n
aziv
a s
e
periodič
no k
reta
nje
.
•Periodič
no k
reta
nje
koje
se p
onavlja
na isti n
ačin
naziv
a s
e o
scila
torn
o k
reta
nje
, a p
roces o
scilo
vanje
.
•O
scila
cija
je jedan c
iklu
s o
scila
torn
og k
reta
nja
poslij
e
čega s
e k
reta
nje
ponavlja
.
Oscila
torn
o k
reta
nje
Periodič
no k
reta
nje
. O
scila
cije.
•O
blic
i oscila
torn
og k
reta
nja
:
•m
ehanič
ka
•ele
ktr
om
agnets
ka;
•ele
ktr
om
ehanič
ka.
•T
ijelo
ili
sis
tem
koji
vrš
i oscila
torn
o k
reta
nje
naziv
a s
e
oscila
tor.
•U
zavis
nosti o
d p
risustv
a s
polja
šnjih
sila
oscila
cije
mogu b
iti:
•slo
bo
dn
e ili
so
pstv
en
e –
izvo
di ih
oscila
torn
i sis
tem
ako
se
izve
de
iz r
avn
ote
žn
og
po
loža
ja i p
rep
usti s
am
se
bi;
•p
rig
uše
ne
i•
pri
nu
dn
e p
od
de
jstv
om
sp
olja
šn
je p
eri
od
ičn
e s
ile.
Oscila
torn
o k
reta
nje
Velič
ine k
od p
eriodič
nog k
reta
nja.
•P
eriod o
scilo
vanja
pre
dsta
vlja
vrije
me k
oje
je p
otr
ebno
da s
iste
m izvrš
i je
dnu p
unu o
scila
ciju
.
•F
rekvencija
oscilo
vanja
pre
dsta
vlja
bro
j iz
vrš
enih
oscila
cija
u jedin
ici vre
mena.
•E
longacija
(pom
jera
j) p
redsta
vlja
rasto
janje
mate
rija
lne
tačke ili
tije
la o
d r
avnote
žnog p
olo
žaja
•A
mplit
uda p
redsta
vlja
maksim
aln
i pom
jera
j
kod p
rosto
periodič
nog
kre
tanja
.
Harm
onijs
ke o
scila
cije.
•K
reta
nje
mate
rija
lne t
ačke p
o k
rugu p
olu
prečnik
a r
je
prim
jer
harm
onijs
kih
oscila
cija
, odnosno o
scila
torn
og
kre
tanja
čija
se e
longacija
mije
nja
po p
rosto
periodič
nom
zakonu.
•Harm
onijs
ko k
reta
nje
može d
a b
ude s
a p
očetn
om
fazom
.
ty
yω
sin
0=
()
00si
nϕ
ω+
=t
yy
Tije
lo o
bje
šeno o
ela
stičnu o
pru
gu.
•V
ert
ika
lni h
arm
on
ijski o
scila
tor
–tije
lo m
ase
m o
bje
še
no
o o
pru
gu
izvo
di slo
bo
dn
e o
scila
cije
na
ko
n izvođ
en
ja iz r
avn
ote
žn
og
po
loža
ja
•K
ada s
e t
ijelo
pom
jeri iz r
avnote
žnog p
olo
žaja
za x
(t):
•o
pru
ga
se
ra
ste
že
ta
kođ
e z
a x
(t),
•n
a k
raje
vim
a o
pru
ge
de
jstv
uju
je
dn
ake
sile
su
pro
tno
g s
mije
ra –
ela
stičn
a s
ila k
oja
je
pre
ma
Hu
ko
vo
m z
ako
nu
:
•k je
ko
nsta
nta
pro
po
rcio
na
lno
sti, kru
tost o
pru
ge
•P
rem
a III N
jutn
ovo
m z
a s
va
ku
silu
po
sto
ji sila
re
akcije
ko
ja d
jelu
jeu
su
pro
tno
m s
mije
ruT
ijelo
se
kreće
po
dd
ejs
tvo
m e
lastičn
esile
op
rug
e.
() tkx
F=
Tije
lo o
bje
šeno o
ela
stičnu o
pru
gu.
•P
rem
a II N
jutn
ovo
m z
ako
nu
sila
ko
ja d
ejs
tvu
je n
a tije
lo:
•Iz
jed
nača
va
nje
m g
orn
jeg
izra
za
za
silu
sa
izra
zo
m z
a e
lastičn
u
silu
do
bija
se
dife
ren
cija
lna
je
dn
ačin
a k
reta
nja
:
•zn
ak „
-“ u
ka
zu
je n
a č
inje
nic
u d
a je
ela
stičn
a s
ila u
vije
k s
up
rotn
og
sm
ijera
od
sm
ijera
kre
tan
ja.
•S
ređ
iva
nje
go
rnje
je
dn
ačin
e d
ob
ija s
e izra
z:
0)
(
0)
(
0)
(
2
0=
+
=+
=+
xt
x
xmk
tx
kxt
xm
ωɺɺɺɺ
ɺɺ
() tx
mF
ɺɺ= ()
kxt
xm
−=
ɺɺ
mk=
0ω
Sopstv
ena k
ružna f
rekvencija
Tije
lo o
bje
šeno o
ela
stičnu o
pru
gu.
•R
ješa
va
nje
m d
ife
ren
cija
lne
je
dn
ačin
e:
•D
ob
ija s
e je
dn
ačin
a k
reta
nja
:
•T
ijelo
izvo
di h
arm
on
ijske
oscila
cije
sa
pe
rio
do
m o
scilo
va
nja
:
•što
je
ma
sa
tije
la v
eća
pe
rio
d o
scilo
va
nja
je
veći.
0)
(2
0=
+x
tx
ωɺɺ
kmT
πωπ
22
0
==
()
ϕω
+=
tA
tx
0si
n)
(
Tije
lo o
bje
šeno o
ela
stičnu o
pru
gu.
•K
ine
tička
en
erg
ija tije
la je
dn
aka
je
:
•P
ote
ncija
lna
en
erg
ija u
od
no
su
na
ra
vn
ote
žn
i p
olo
ža
j:
•Z
a m
aksim
aln
i p
om
jera
j u
od
no
su
na
ra
vn
ote
žn
i po
loža
j:
•U
ku
pn
a e
ne
rgija
:
2
2m
vE
k=
2
2kx
kxdx
Fdx
AE
p
=
==
=
2
2kA
Ep
=
22
22
22 0
22
2A
mkA
kxm
vE
ω=
=+
=
Mate
matičko k
latn
o.
•M
ate
rija
lna t
ačka o
bje
šena o
neis
teglji
vu n
it b
ez t
ežin
e.
•Iz
vođenje
m m
ate
matičkog k
latn
a iz r
avnote
žni polo
žaj:
•n
a k
latn
o d
ejs
tvu
je te
žin
a, čija
je
ta
ng
en
cija
lna
ko
mp
on
en
taa
ktivn
a;
•o
va
sila
je
uvije
k u
sm
jere
na
ka
ra
vn
ote
žn
om
po
loža
ju;
•kla
tno
oscilu
je o
ko
ra
vn
ote
žn
og
po
loža
ja,
na
izm
jen
ičn
o p
retv
ara
jući kin
etičku
up
ote
ncija
lnu
en
erg
iju.
Mate
matičko k
latn
o.
•P
ri r
ota
cio
nom
kre
tanju
na k
latn
o d
jelu
je m
om
ent sile
:
•Mom
ent in
erc
ije:
•u
ga
on
o u
brz
an
je:
•S
dru
ge
str
an
e, sila
F=
mg
sinθ
ima
kra
klu
od
no
su
na
osu
ro
tacije
, ta
ko
da
je
mo
me
nt sile
:
α⋅=
IM
2m
lI
=
2
2
dt
dθ
α=
θsi
nm
gl
M−
=
Mate
matičko k
latn
o.
•Iz
jednačavanje
m m
om
enata
dobija
se d
ifere
ncija
lna
jednačin
a:
•S
ređiv
anje
m izra
za:
•Z
a m
ale
ug
love
sinθ
=θ
:
2
2
2si
ndt
dm
lm
gl
θθ
=−
0si
n
0si
n
2
2
2
2
2
=+
=+
θθ
θθ
lg
dt
d
gl
dt
dl
02 0
2
2
=+
θω
θdt
d
Mate
matičko k
latn
o
•O
pšte
rje
šenje
difere
ncija
lne jednačin
e d
aje
jednačin
u
kre
tanja
:
•O
scila
cije
mate
matičkog k
latn
a s
u h
arm
onijs
ke s
a
periodom
oscilo
vanja
:
•p
eri
od
oscilo
va
nja
ne
za
vis
i o
d m
ase
kla
tna
;•
za
vis
i o
d d
užin
e k
latn
a i g
ravita
cio
no
g u
brz
an
ja.
•Po
što
sva
ko
kla
tno
im
a p
eri
od
oscilo
va
nja
ko
risti s
e z
a izra
du
ča
so
vn
ika
.
()
ϕω
θθ
+=
tt
00si
n)
(
glT
πωπ
22
0
==
Fiz
ičko k
latn
o
•T
ijelo
u r
avnote
žni polo
žaj vraća s
ila:
•N
a k
latn
o d
jelu
je m
om
ent:
�=
−�
��
sin
•Z
a m
ale
ug
love
je
:
�=
−�
��
•N
a o
sn
ovu
dru
go
g N
jutn
ovo
gza
ko
na
:
�=
�
�
��
�
��
+�
��
=
0
��
=�
��
�
�=
2�
��
=2
��
��
�
�=
��
���
s
CM
Fiz
ičko k
latn
o
•O
pšte
rje
šenje
difere
ncija
lne jednačin
e d
aje
jednačin
u
kre
tanja
:
•O
scila
cije
fiz
ičkog k
latn
a s
u h
arm
onijs
ke s
a p
eriodom
oscilo
vanja
:
•p
eri
od
oscilo
va
nja
za
vis
i o
d m
om
en
ta in
erc
ije I;
ma
se
m i r
asto
jan
ja s
.
()
ϕω
θθ
+=
tt
00si
n)
( �=
2�
��
=2
��
��
�
ϕ
M
rF1
F2
Torz
iono
kla
tno
•A
ko n
eko t
ijelo
čvrs
to v
ežem
o z
a d
onji
kra
j ela
stične
žic
e,
onda ć
e u
vrt
anje
m ž
ice z
a u
gao φ
na t
ijelo
dje
lovati
mom
ent ela
stične s
ile:
�=
−�
∙�
•K
onsta
nta
pro
porc
ionaln
osti c
naziv
a s
e t
orz
iona
konsta
nta
. O
na p
redsta
vlja
mom
ent
sile
potr
eban d
a s
e
žic
a u
vrn
e z
a u
gao o
d 1
rad.
�=
2�
� �
Prigušene h
arm
onijs
ke o
scila
cije.
•N
a o
scila
torn
i sis
tem
veom
a č
esto
, pore
d e
lastične i
gra
vitacio
ne s
ile,
dejs
tvuju
i d
ruge s
ile (
sile
tre
nja
).
•R
ealn
i sis
tem
i im
aju
određeno p
rigušenje
koje
dovodi
do s
manje
nja
am
pitude o
scilo
vanja
i p
oste
penog
pre
sta
nka k
reta
nja
sis
tem
a.
•M
eh
an
izm
i p
rig
uše
nja
(vis
ko
zn
o tre
nje
, su
vo
tre
nje
) u
zro
ku
ju d
a s
e
en
erg
ija n
ep
ovra
tno
gu
bi n
pr.
pre
tva
ran
jem
u to
plo
tnu
en
erg
iju p
ri
tre
nju
.
•O
scila
cije
ko
je n
asta
ju u
ta
kvim
sis
tem
ima
na
ziv
aju
se
pri
gu
še
ne
h
arm
on
ijske
oscila
cije
.
•K
od
sis
tem
a u
pri
su
stv
u tre
nja
am
plit
ud
a o
scilo
va
nja
će
po
ste
pe
no
o
pa
da
ti k
a n
uli
uslje
d tro
še
nja
en
erg
ije o
scila
torn
og
sis
tem
a n
a r
ad
sa
vla
da
va
nja
sile
tre
nja
.
Prigušene h
arm
onijs
ke o
scila
cije.
•K
ada s
e t
ijelo
pom
jeri iz r
avnote
žnog p
olo
žaja
za x
(t):
op
rug
a s
e r
aste
že
ta
kođ
e z
a x
(t),
na
kra
jevim
a o
pru
ge
de
jstv
uju
je
dn
ake
sile
su
pro
tno
g s
mije
ra–
ela
stičn
a s
ila k
oja
je
pre
ma
Hu
ko
vo
m z
ako
nu
:
•k je
ko
nsta
nta
pro
po
rcio
na
lno
sti, kru
tost o
pru
ge
•Ja
vlja
se
sila
pri
gu
še
nja
(vis
ko
zn
o tre
nje
) ko
ja je
za
ma
le b
rzin
e
sra
zm
jern
a b
rzin
i, a
su
pro
tno
g s
mije
rao
d b
rzin
e:
Sila
pri
gu
še
nja
dje
luje
na
kra
jevim
ap
rig
ušiv
ača
.
() tkx
F= () txr
Ftr
ɺ=
Prigušene h
arm
onijs
ke o
scila
cije.
•Pre
ma I
I N
jutn
ovom
zakonu r
ezultanta
sila
koja
dje
luje
na t
ijelo
, tije
lu s
aopšta
va u
brz
anje
:
•Iz
jed
nača
va
nje
m g
orn
jeg
izra
za
za
silu
sa
re
zu
lta
nto
m s
ila d
ob
ija
se
dife
ren
cija
lna
je
dn
ačin
a:
Zn
ak „
-“ u
ka
zu
je n
a č
inje
nic
u d
a s
u e
lastičn
asila
i s
ila v
isko
zn
og
tre
nja
uvije
k s
up
rotn
og
sm
ijera
od
sm
ijera
kre
tan
ja.
() tx
mF
ɺɺ=
()xr
kxt
xm
ɺɺɺ
−−
=
Prigušene h
arm
onijs
ke o
scila
cije.
•Jednačin
a k
reta
nja
može s
e n
apis
ati u
oblik
u:
Rje
še
nje
dife
ren
cija
lne
je
dn
ačin
e z
avis
io
d p
rig
uše
nja
.
()()
()0
=+
+t
xmk
tx
mrt
xɺ
ɺɺ ()()
()0
22
=+
+t
xt
xt
xn
nω
ξωɺ
ɺɺ
kmr
2=
ξ
Prigušene h
arm
onijs
ke o
scila
cije.
•K
ada je p
rigušenje
malo
javlja
ju s
e p
rigušene
periodič
ne o
scila
cije
:
•K
ad
a je
pri
gu
še
nje
ve
liko
ja
vlja
ju s
e p
rig
uše
ne
ap
eri
od
ičn
e
(ne
pe
rio
dič
ne)
oscila
cije
, n
e ja
vlja
ju s
e o
scila
cije
već s
iste
m o
dm
ah
id
e u
ra
vn
ote
žn
i p
olo
ža
j.
km2
r ,1
<<
ξ
km2
r ,1
≥≥
ξ
Prinudne o
scila
cije
.Rezon
ansa.
•A
ko s
e k
od s
iste
ma s
a p
rigušenje
m ž
eli
održ
avati
oscilo
vanje
, neophodno je p
rim
jeniti spolja
šnju
silu
koja
će d
a n
adoknadi gubitak u
slje
d p
rigušenja
.
•U
slje
d d
ejs
tva n
eke s
polja
šnje
sile
nasta
ju p
rinudne
oscila
cije
.
•Fre
kvencija
oscilo
vanja
sis
tem
a z
avis
i od f
rekvencije
prinudne s
ile.
Prinudne o
scila
cije
.Rezon
ansa.
•A
ko s
e f
rekvencija
prinudne s
ile m
ijenja
:
•Z
a f
rekvencije
koje
su m
anje
od s
opstv
ene f
rekvencije
,
am
plit
uda v
ibra
cio
nog s
iste
ma ć
e s
e p
ovećavati s
a
pora
sto
m f
rekvencije
prinudne s
ile;
•M
aksim
um
se p
ostiže n
a s
opstv
enoj fr
ekvenciji
;
•U
kolik
o u
sis
tem
u n
e p
osto
ji prigušenje
, am
plit
uda
dostiže b
eskonačnu v
rije
dnost.
•K
ada je f
rekvencija
prinudne s
ile m
nogo v
eća o
d
sopstv
ene,
prinudne o
scila
cije
ne p
osto
je.
•P
oja
va m
aksim
aln
og p
ojačanja
am
plit
ude p
rinudnih
oscila
cija
pod d
ejs
tvom
prinudne p
eriodič
ne s
ile n
aziv
a
se r
ezonansa.
•P
ri r
ezonansi m
ože d
oći i do r
azara
nja
sis
tem
a.
•The first T
acom
a N
arr
ow
s B
ridge, w
hic
h
colla
psed in 1
940.