Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 8)

  • View
    127

  • Download
    6

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Dinamika i OscilacijeIsak KarabegovicPoglavlje 8

Text of Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 8)

  • U praksi se vrlo esto susreemo sa pravolinijskim oscilatornim kretanjima materijalne take i zbog toga je znaajno da budu prouena.

    Ovdje e biti proueno, ukratko, oscilatorno kretanje materijalne take, a oscilatorna kretanja materijalnog sistema i elastinih tijela se prouavaju u posebnom predmetu.

    Ovdje emo razmatrati: slobodne nepriguene oscilacije, slobodne priguene oscilacije i prinudne oscilacije. 8.1. SLOBODNE NEPRIGUENE OSCILACIJE Da bismo objasnili slobodne nepriguene oscilacije posmatrajmo kretanje take M mase m koja je vezana oprugom za nepominu taku A (slika 8.1.). Taka M se kree po horizontalnoj idealno glatkoj ravni. Pretpostavimo da je duina nenapregnute opruge OA, gdje je O poloaj statike ravnotee take M i neka su poetni uslovi t = 0, 0vx =& , x = x0.

    Slika 8.1. Uz objanjenje slobodnih nepriguenih oscilacija

    Pretpostavimo da je deformacija x opruge mala, tako da je sila opruge proporcionalna deformacija, tj. F0 = c x (8.1.)

    Oscilacije materijalne take

    A

    c

    y

    0

    x

    x

    M(m)

    0Fr

    nFr

    gmr

  • gdje je: c - krutost opruge x - deformacija opruge Primijetimo da je sila opruge (sila uspostavljanja) 0F

    r u svakom trenutku vremena

    usmjerena ka taki O. Njena projekcija na osu 0x ima suprotan znak od kordinate x. Diferencijalnu jednainu pravolinijskog kretanja take M formirat emo saglasno II Newtonovom zakonu xcFxm -=-= 0&& (8.2.) odnosno

    0=+ xmcx (8.3.)

    Ako uvedemo pojam materijalne konstante 2w=mc koja se naziva kruna frekvencija

    slobodnih nepriguenih oscilacija materijalne take M mase m, to jednainu (8.3.) moemo napisati u obliku

    .02 =+ xx w&& (8.4.)

    Jednaina (8.4.) naziva se diferencijalna jednaina slobodnih nepriguenih oscilacija materijalne take M. Vidimo da se radi o linearnoj homogenoj diferencijalnoj jednaini drugoga reda sa konstantnim koeficijentima. Integriranjem jednaine (8.4.), dobijamo zakon kretanja kojeg moemo napisati u obliku

    . sin cos 21 tCtCx ww += (8.5.)

    Diferenciranjem po vremenu ove jednaine, dobija se

    tCtCx cos sin 21 wwww +-=& , (8.6.)

    a zamjenom navedenih poetnih uslova dobijaju se integracione konstante C1, C2,

    . , 0201 wv

    CxC == (8.7.)

    Zakon kretanja materijalne take M koji zadovoljava poetne uslove je

    . sin cos 00 tv

    txx ww

    w += (8.8.)

    Vidimo da je kretanje take u ovom sluaju mogue samo ako postoje poetni uslovi kretanja razliiti od nule, to odgovara injenici da ako nema deformacije opruge, nema ni kretanja. Ako uvedemo nove konstante A i a koje su odreene slijedeim izrazima

    ,cos ,sin 21 aa ACAC == (8.9.)

    te nihovom zamjenom u jednainu (8.5.), dobijamo

    ). sin( aw += tAx (8.10.)

    Kao to se vidi iz ove jednaine, rastojanje take od poloaja ravnotee O mijenja se po harmonijskom zakonu, pa se ove oscilacije i nazivaju slobodne harmonijske oscilacije take. Grafik ovih oscilacija prikazan je na slici 8.2.

  • Slika 8.2. Grafik slobodnih nepriguenih oscilacija take Veliina A u jednaini (8.10.) predstavlja amplitudu slobodnih nepriguenih oscilacija take, a odreena je izrazom

    .2

    020

    22

    21

    +=+=

    wv

    xCCA (8.11.)

    Ugao j = w t + a naziva se fazom oscilovanja take, dok ugao a predstavlja poetnu fazu oscilovanja, koju odreujemo iz jednaine

    .

    0

    0

    2

    1

    vx

    CCtg

    wa == (8.12.)

    Period Tw slobodnih nepriguenih oscilacija take odreen je izrazom

    .22cmT p

    wp

    w == (8.13.)

    Vidimo da period slobodnih nepriguenih oscilacija i kruna frekvencija w ne zavise od poetnih uslova kretanja. Ovo svojstvo naziva se izohronou. Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencom. Frekvenca je odreena izrazom

    ,2

    12

    1

    cmT

    fp

    pw

    w

    === (8.14.)

    pa je .2 fpw =

    Prema tome, kruna frekvencija w i period oscilovanja T slobodnih nepriguenih oscilacija take su fizike konstante. 8.2. SLOBODNE PRIGUENE OSCILACIJE

    Ako na materijalnu taku u toku oscilovanja, pored sile koja izaziva kretanje (sila opruge i sl.), djeluje i sila otpora, koja je uvijek usmjerena u smjeru suprotnom kretanju take, onda su oscilacije priguene ili amortizovane. Ovdje e biti prouen sluaj oscilatornog kretanja kada je sila otpora srazmjerna prvom stepenu brzine (drugi sluajevi, kao npr. kada je sila otpora konstantna - sila trenja, bie analizirani u udbeniku Teorija oscilacija).

    x

    t

    T

    A

    0

    x0

  • Posmatrajmo kretanje take M mase m na idealno glatkoj horizontalnoj ravni koja je vezana oprugom krutosti c (sl. 8.3.). Na taku M osim sile uspostavljanja 0F

    r djeluje i sila otpora,

    koja je srazmjerna prvom stepenu brzine vr a suprotnog smjera je od brzine ,xbvbFw &== (8.15.)

    gdje su: b - koeficijent proporcionalnosti koji karakterie otpor sredine,

    vr - brzina take.

    Slika 8.3. Slika uz objanjenje slobodnih priguenih oscilacija Iz mehanikog modela prikazanog na slici 8.3. vidimo da je osim opruge za taku M vezan amortizer - cilindar sa klipom. Diferencijalna jednaina kretanja u vektorskom obliku glasi

    .0 nw FgmFFamrrrrr

    +++= (8.16.)

    Projektovanjem vektorske diferencijalne jednaine (8.16.) na pravac kretanja osom 0x dobijamo diferencijalnu jednainu pravolinijskog kretanja take M du ose 0x xcxbFFxm w --=--= &&& 0 ili

    .0=++ xmcx

    mbx &&& (8.17.)

    Uvedimo oznake

    , 2 2mc

    mb

    == d (8.18.)

    gdje je: d - koeficijent priguenja, w - kruna frekvencija slobodnih oscilacija take. Konstante d i w imaju dimenziju ugaone brzine [T-1], a jedinicu [s-1]. Sada jednaina (8.17.) glasi

    ,0 2 2 =++ xxx wd &&& (8.19.) Jednaina (8.19.) predstavlja diferencijalnu jednainu slobodnih priguenih oscilacija materijalne take, za sluaj da je sila otpora proporcionalna prvom stepenu brzine.

    A

    c

    y

    0

    x

    x

    M(m) 0F

    r

    nFr

    gmr

    x&wFr

    b

    x oFr

    wFr

    M 0

  • Zavisno od intenziteta priguenja, odnosno zavisno od veliine koeficijenta b, imamo i tri oblika rjeenja jednaine (8.19.), a to sutinski predstavlja i tri razliita oblika kretanja. 8.2.1. SLUAJ MALOG PRIGUENJA d < w - PRIVIDNO PERIODINA KRETANJA Opi integral diferencijalne jednaine (8.19.) odreen je izrazom

    ,

    )sincos(222

    21

    dw

    d

    -=

    += -

    pptCptCex t

    (8.20.)

    gdje su C1 i C2 proizvoljne integracione konstante koje se odreuju iz poetnih uslova kretanja. Da bismo ih odredili pretpostavimo da je t = 0, x = x0 i 0vx =& . Kada diferenciramo po vremenu jednaine (8.20.) imat emo

    ),cossin()sincos( 21

    21 ptCptCpeptCptCex tt +-++-= -- ddd& (8.21.)

    te zamjenom poetnih uslova dobijamo

    . 00201 pvx

    CxC+

    ==d

    (8.21.)

    Partikularni integral jednaine (8.19.) je

    .sincos 000

    ++= - pt

    pvx

    ptxex tdd (8.22.)

    Vidimo da je zakon kretanja take odreen superponiranjem dva harmonijska kretanja, istih krunih frekvencija p, razliitih amplituda i razliitih faza. Amplitude u ovom sluaju nisu konstante, ve zavise od vremena tako da se tokom vremena, smanjuju. Zakon kretanja take mogue je napisati u jednostavnijem obliku, tako to emo uvesti nove konstante A i a

    C1 = A sin a C2 = A cos a. (8.23.)

    Smjenom ovih konstanti u jednainu (8.20.), dobijamo zakon kretanja take ),sin( ad += - pteAx t (8.24.) gdje je

    2

    0020

    22

    21

    ++=+=

    rd vx

    xCCA

    a fazni ugao a odreen je izrazom

    .00

    0

    2

    1

    vxpx

    CCtg

    +==

    da

    Na osnovu opeg integrala (8.24.), slijedi da za sluaj kada vrijeme tei beskonanosti 0 jejer 0, - text d , pa se kretanje take naziva priguenim. Iz slike

    vidimo da kretanje nije periodino. Ono je oscilatornog karaktera jer je interval vremena izmeu bilo koja dva uzastopna prolaska take M kroz maksimalne otklone konstantan i

  • jednak pp2 , pa se ovo kretanje naziva prigueno oscilatorno, sa uslovno nazvanim

    periodom koji je odreen relacijom

    .2222 dw

    pp

    -==

    pTp (8.25.)

    Slika 8.4. Dijagram razmatranog kretanja Napiimo period oscilovanja priguenih oscilacija take u obliku

    ,1

    1

    2

    22 y

    wd

    wp

    w

    -=

    -

    =T

    Tp (8.26.)

    gdje je:

    wd

    y = - bezdimenzionalni koeficijent otpora,

    Tw - period oscilovanja slobodnih oscilacija pri istoj krutosti opruge c i za istu masu m. Vidimo da je Tp > Tw. Dakle, otpor poveava period oscilovanja. U trenutku kada taka M doszie maksimalno udaljenje od take O, brzina take je jednaka nuli, pa se iz uslova 0=x& mogu odrediti ti trenuci. Na osnovu jednaine (8.24.) dobijamo da je

    x

    t

    Tp

    A

    0

    A sin

    A

    t1 t2

    tAe d-

    - tAe d-

  • [ ][ ]

    .)1( 1

    ,...2,1 , )1(

    0cos()sin(

    pnptgarc

    pt

    npnpttg

    ptppteAx

    n

    n

    nnt

    pa

    d

    dpa

    aadd

    =-+

    -

    =

    ==--+

    =+++-= -&

    (8.27.)

    Pri izraunavanju tn koritena je trigonometrijska relacija tg(a - kp) = tga, k = 1,2,..., a koeficijent (n - 1), uz p/p uzet je da bi n-toj amplitudi An od poetka kretanja odgovarao trenutak tn. Izraunajmo odnos izmeu uzastopnih amplituda An i