Oscilacije mehanikih sustava

  • View
    232

  • Download
    9

Embed Size (px)

Text of Oscilacije mehanikih sustava

  • V.Raduka, Mehanika II-DINAMIKA, radna verzija 2003

    1

    Oscilacije mehanikih sustava

    Osnovni pojmovi

    Iz statike znamo da je neki mehaniki sustav (u tekstu skraeno mehanizam) u

    poloaju stabilne statike ravnotee, ako u tom poloaju ima minimalnu potencijalnu energiju.

    Tom poloaju odgovara i minimalna ukupna energija (zbroj kinetike i potencijalne energije).

    Poetna statika ravnotea promatranog mehanizma, moe se naruiti nekim vanjskim

    uzrokom koji e poveati ukupnu energiju mehanizma. Nakon uklanjanja tog uzroka doi e

    do uestalog gibanja mehanikog sustava oko poloaja stabilne ravnotee. Gibanje e nastati

    zbog djelovanja elastinih sila i sila gravitacije koje tee povratku mehanikog sustava u

    ravnoteni poloaj. Takvo gibanje nazivamo slobodnim oscilacijama. Ukupna mehanika

    energija sustava za vrijeme slobodnih oscilacija ostaje sauvana (konstantna).

    Jednostavan primjer slobodnih oscilacija prikazan je gibanjem kuglice koje nastaje po

    zakrivljenoj glatkoj podlozi, nakon poetnog pomaka iz ravnotenog poloaja (slika 1).

    Slika 1. Oscilacije kuglice

    Ako u mehanikom sustavu nakon uklanjanja poetnog uzroka oscilacija, osim

    elastinih i gravitacijskih sila djeluju i neke druge vanjske aktivne sile, ili ako je njihovo

    djelovanje jedini uzrok oscilacija, tada nastaju prisilne oscilacije.

    Za vrijeme oscilacija mogu biti prisutni razliiti neelastini otpori gibanju: (sile trenja,

    viskozni otpor sredine u kojoj se sustav giba, unutarnji otpori samog sustava i drugi). U tom

    sluaju kaemo da je mehaniki sustav disipativan, a njegove oscilacije su priguene.

    Ovisno o uzroku oscilacija i postojanju otpora za vrijeme gibanja razlikujemo:

    -Slobodne nepriguene oscilacije

    -Slobodne priguene oscilacije

    -Prisilne nepriguene oscilacije

    -Prisilne priguene oscilacije

    Prolaz mehanikog sustava kroz ravnoteni poloaj za vrijeme oscilacija moe se

    ponavljati u jednakim intervalima vremena. U tom sluaju kaemo da su oscilacije

    periodine, a trajanje jednog vremenskog intervala u sekundama, naziva se period i oznaava

    slovom T.

    Oscilacije o kojima se govori u okviru ovog kolegija ograniene su pretpostavkom, da

    u svakom trenutku udaljenost od ravnotenog poloaja moemo prikazati s dovoljno malom

    veliinom, tako da ih linearni pristup dovoljno tono opisuje.

    g

  • V.Raduka, Mehanika II-DINAMIKA, radna verzija 2003

    2

    Stvarni mehaniki sustavi sastavljeni su od vie razliitih elastinih tijela. Stvarno

    tijelo deformira se pod djelovanjem vanjskih sila. Tijelo kojem deformacije u potpunosti

    nestaju nakon uklanjanja optereenja, nazivamo idealno elastino tijelo (rije idealno se

    esto izostavlja).

    Apsolutno kruta tijela u mehanikom sustavu mogu biti spojena s elastinim tijelom.

    Sila u takvom spoju naziva se elastina sila. Elastina sila, u idealno elastinom tijelu

    posljedica je njegove deformacije, i linearno je proporcionalna s deformacijom (Hookeov

    zakon).

    Idealno elastino tijelo moemo prikazati s elastinom oprugom bez mase. Opruga

    duljine L0, optereena nekom silom F, deformira se za neku veliinu x. Elastina sila Fel,

    kojom opruga prua otpor deformaciji, proporcionalna je toj deformaciji.

    Fel=kx

    Konstanta k je specifini otpor deformaciji, naziva se krutost opruge i definira se kao

    sila koja oprugu moe deformirati (produiti ili skratiti) za jedininu duljinu. U skladu s tim

    jedinica za krutost je N/m, N/cm, kN/m,...

    Slika 2. Idealno elastino tijelo

    U nekom spoju moe biti vie elastinih tijela. Ona meusobno mogu biti povezana u

    paralelnom ili serijskom spoju. U oba sluaja mogu se zamjeniti jednom oprugom

    ekvivalentne krutosti ke. Ekvivalentna krutost odreuje se doslovnom primjenom definicije

    krutosti. Na sl. 3 prikazan je paralalan, a na sl. 4 serijski spoj dviju elastinih opruga razliitih

    krutosti k1 i k2, i jednakih duljina L0.

    Fel=ke x

    Fel,1=k1 x1 Fel,2=k2 x2

    Fel=Fel,1+ Fel,2

    ke x=k1 x+ k2 x

    ke =k1+ k2

    Slika 3. Paralelni spoj

    L0+x

    F1 Fel,1

    L0+x

    F2 Fel,2

    Fel

    L0+x

    F k1

    k2

    x

    k

    1

    Fel

    L0+x

    F Fel

  • V.Raduka, Mehanika II-DINAMIKA, radna verzija 2003

    3

    F=Fel=ke x

    F=Fel,1=Fel,2

    Fel,1=k1 x1 Fel,2=k2 x2

    x=x1+x2

    21e k

    F

    k

    F

    k

    F

    Slika 4. Serijski spoj

    21

    e

    k

    1

    k

    1

    1k

    Spoj prikazan elastinim tijelom bez mase, moe se na isti nain zamijeniti oprugom

    ekvivalentne krutosti.

    Na slici 5 prikazana je materijalna toka mase M, spojena elastinim tapom

    zanemarive mase, upetim u podlogu.

    Promatraju se oscilacije materijalne toke okomito na smjer osi tapa. Elastinu

    konzolu treba zamjeniti oprugom ekvivalentne krutosti. U skladu s definicijom krutosti,

    traimo silu kojom treba opteretiti konzolu na vrhu, da bi progib imao jedininu veliinu

    (uzimamo samo utjecaj savijanja na pomak ).

    IE3

    LF 3

    3e L

    IE3k

    Slika 5. Spoj elastinim tijelom bez mase

    Broj koordinata (skalarnih veliina) xi(t), i=1,...n, potrebnih za potpuno opisivanje

    gibanja mehanikog sustava u svakom trenutku, naziva se broj stupnjeva sloboda gibanja.

    Sva tijela u stvarnim mehanikim sustavima, deformabilna su i imaju neku

    raspodijeljenu masu. Za opisivanje gibanja takvog sustava potreban je veliki broj koordinata

    (teorijski beskonaan), to zbog nedovoljne tonosti ostalih utjecaja u praktinoj primjeni

    nema smisla. Tijekom gibanja javljaju se otpori iju veliinu, zakonitost promjene, i uzrok,

    nije uvjek mogue tono opisati. esto se i uzrok oscilacija ne moe tono opisati.

    Zbog toga se oscilacije stvarnih sustava, za praktine potrebe analiziraju na

    pojednostavljenim mehanikim (uglavnom matematikim) modelima. Najee se masa

    pridruuje apsolutno krutim tijelima, a spojevi su idealno elastina tijela bez mase.

    Ako je mehaniki sustav sastavljen od vie apsolutno krutih i idealno elastinih tijela

    povezanih u kinematiki lanac, i njegov je poloaj u bilo kojem trenutku odreen samo s

    jednom koordinatom (n=1), kaemo da je to sustav s jednim stupnjem slobode, ili

    jednostupanjski sustav.

    Fel,1 Fel,2 Fel,1

    L0+x1

    F

    L0+x2

    Fel

    2L0+x

    F k1 k2

    M

    ke

    L

    E,I F

    M

  • V.Raduka, Mehanika II-DINAMIKA, radna verzija 2003

    4

    Svaki mehanizam s jednim stupnjem slobode, u kojem su zanemareni otpori gibanju i

    nelinearni utjecaji, moemo prikazati modelom koji se naziva linearni harmonijski oscilator.

    Linearni harmonijski oscilator

    Linearni harmonijski oscilator prikazuje se s jednom elastinom oprugom krutosti k

    ija se masa zanemaruje, i materijalnom tokom mase m. To je osnovni mehaniki model

    konzervativnog sustava s jednim stupnjem slobode x(t). Zakon gibanja x(t), rjeenje je

    diferencijalne jednadbe kojom je opisano gibanje mase m.

    a) b)

    Slika 6. Model linearnog oscilatora

    Diferencijalna jednadba slobodnih nepriguenih oscilacija

    Diferencijalna jednadba gibanja ovog sustava moe se odrediti na vie naina:

    1. Primjenom jednadbi dinamike ravnotee,

    2. Primjenom zakona o ouvanju energije,

    3. Primjenom metode virtualnog rada.

    1.Primjena dinamike ravnotee (prema principu DAlamberta)

    Za vrijeme gibanja u horizontalnoj ravnini, na materijalnu toku djeluje promjenjiva

    elastina sila i inercijalna sila. Masa opruge se zanemaruje.

    Da bi uvjet dinamike ravnotee primjenili na model prikazan na slici 6. a), potrebno

    je odrediti sve sile koje djeluju na materijalnu toku u trenutku t 0.

    Slika 7. Sile za vrijeme gibanja modela a)

    Reakcija podloge i vlastita teina su konstantne i meusobno su u ravnotei.

    Deformacija opruge odreena je otklonom iz ravnotenog poloaja, tako da je elastina sila

    )( txkFel .

    Inercijalna sila proporcionalna je masi i ubrzanju

    k

    m )(),(),( txtxtx

    g

    g

    k

    m

    glatka podloga

    )(),(),( txtxtx

    mg

    N

    Fel

    )(),(),( txtxtx Fi

  • V.Raduka, Mehanika II-DINAMIKA, radna verzija 2003

    5

    )( txmFi .

    Uvjet dinamike ravnotee je

    Fi+ Fel =0.

    Nakon supstitucije dobije se diferencijalna jednadba gibanja mehanikog modela prikazanog

    na slici 6 a):

    0xkxm . Ako uvjet dinamike ravnotee primjenimo na model prikazan na slici 6 b), potrebno

    je prvo odrediti deformaciju opruge u statikom ravnotenom poloaju, oko kojeg materijalna

    toka oscilira (slika 8).

    t=0 t0

    Slika 8. Sile za vrijeme gibanja modela b)

    U nekom trenutku t, elastina sila je proporcionalna krutosti i deformaciji opruge u

    tom trenutku:

    ))(( txxkF stel .

    Inercijalna sila je kao i u modelu a), proporcionalna masi i ubrzanju u tom trenutku

    )( txmFi .

    Uvjet dinamike ravnotee je

    Fi+ Fel mg = 0.

    U ovu jednadbu uvrstimo vrijednost inercijalne i elastine sile i dobijemo

    0mgtxkxktxm st )()( .

    Konstantni dio elastine sile u ravnotei je s teinom materijalne toke, tako da je

    diferencijalna jednadba slobodnih oscilacija modela b) identina jednadbi slobodnih