† Male oscilacije mehanikih sistema - ttl. 2011 DINAMIKA - MALE...  Male oscilacije mehanikih

  • View
    220

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of † Male oscilacije mehanikih sistema - ttl. 2011 DINAMIKA - MALE...  Male oscilacije...

  • 8.0 STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA DR MIOMIR JOVANOVI MAINSKI FAKULTET NI

    Predavanje - 8

    DINAMIKA NOSEIH STRUKTURA

    Generacija 2010/2011

    Male oscilacije mehanikih sistema

    Materijalni mainski sistemi, izloeni promenljivim spoljanjim uticajima, osciluju. Oscilatorni procesi su jedan od oblika

    dinamikog ponaanja mehanikog sistema. Dinamiko ponaanje opisuje radna stanja mehanikih sistema pogonskih mehanizama ili

    nosee konstrukcije. Izuavanje oscilatornih dinamikih procesa je osnov projektovanja najveeg broja mainskih sistema. Osnovna

    teorijska podloga za dinamiku analizu je u klasinoj mehanici. Materijalni sistemi se postupcima mehanike svode (diskretizuju) na

    mehanike sisteme sa konanim brojem stepeni slobode oscilovanja. Takvi mehaniki sistemi se dalje tretiraju Teorijom malih oscilacija

    sa konanim brojem stepeni slobode, koja predstavlja osnov najveeg broja univerzalnih softvera za dinamiku analizu. Zavisno od

    namene komercijalnih programa za raunare, dinamika analiza se moe izvriti i sa znatno veom irinom.

    Teorija malih oscilacija sa konanim brojem stepeni slobode kretanja pogodna je za analizu oscilacija noseih struktura

    razliitih tipova maina. Ova teorija opisuje dinamiko ponaanje konstrukcije, talasnim parcijalnim diferencijalnim jednainama sa

    odgovarajuim graninim i poetnim uslovima. Polazei od pretpostavke o solidifikaciji pojedinih elemenata, zanemarivanjem elastinih

    deformacija i inercionih svojstava nekih elemenata, zadravajui se samo na elastinim osobinama konstrukcije, prelazimo na

    ekvivalentni model. Na bazi energije ekvivalentnog modela, primenom nekog od principa mehanike (Lagrange-II), formiraju se obine

    diferencijalne jednaine kretanja.

    Matematiki modeli, koji uzimaju i elastine deformacije u obzir, vode nelinearnim diferencijalnim jednainama koje se ne

    mogu tano analitiki reiti, pa se reavaju aproksimativno. Ponekad je mogue izvriti linearizaciju jednaina, ime se ubrzava postupak

    traenja reenja. Oigledno da su ovako dobijena reenja malih oscilacija priblina, ali su osnovna dinamika karakteristika, dobijena

    primenom nelinearne analize.

    Posmatrajmo mehaniku strukturu, diskretno predstavljenu sa n materijalnih taaka, pojedinanih koncentrisanih masa mi. Kretanje - oscilovanje sistema se opisuje generalisanim koordinatama kretanja qi. Da bi diferencijalne jednaine sistema bile linearne, pojedine energije struktura (kinetika, potencijalna i disipativna) moraju imati homogenu, kvadratnu formu generalisanih koordinata,

    koja u indeksnoj i matrinoj notaciji izgleda:

    qaq21qqa

    21E Tj

    n

    1i

    n

    1j

    iijK

    qcq21qq c

    21E Tji

    n

    1i

    n

    1j

    ijP

    (3.3.4)

    qbq21qqb

    21 T

    j

    n

    1i

    n

    1j

    iij

    gde je [a] - inerciona matrica sa aij - inercionim koeficijentima materijalnog sistema (mase ili aksijalni momenti inercije masa), [c] -

    kvazielastina matrica sa cij - koeficijentima krutosti i [b] - matrica koeficijenata otpornih sila bij. Inerciona matrica [a],

    kvazielastina matrica [c] i matrica otpornih sila [b] su oblika (3.3.5):

    nn2n1n

    n22221

    n11211

    nn2n1n

    n22221

    n11211

    nn2n1n

    n22221

    n11211

    ccc

    ccc

    ccc

    c ,

    bbb

    bbb

    bbb

    b ,

    aaa

    aaa

    aaa

    a

    (3.3.5)

    Posmatrajmo osnovni zadatak analize materijalnog sistema koji slobodno osciluje (bez spoljanje pobude Qi*) i bez prigunih

    sila. Ovaj idealiziran zadatak daje osnovne podatke o karakteristikama oscilatornog sistema i primenjuje se za traenje sopstvenih

    frekvencija (rezonantnih brzina), amplituda dinamikih procesa a time i naponskih svojstava konstrukcije. Primenom Lagrange-ovih

    jednaina druge vrste (3.3.6), moe se formirati sistem diferencijalnih jednaina koji opisuje dinamiko ponaanje sistema (3.3.7):

    i

    i

    P

    i

    K

    i

    K Qq

    E

    q

    E

    q

    E

    dt

    d

    (3.3.6)

  • 0qcqcqcqaqaqa

    0qcqcqcqaqaqa

    0qcqcqcqaqaqa

    nnn22n11nnnn22n11n

    nn2222121nn2222121

    nn1212111nn1212111

    (3.3.7a)

    Ovaj sistem jednaina u matrinoj formi ima oblik:

    0qcqa (3.3.7b)

    Reenje se prema tipu diferencijalnih jednaina i oscilatornom karakteru problema, moe potraiti u trigonometrijskom obliku, forme:

    )tsin(Aq ii (3.3.8)

    gde su iii i ,A (i=1n), karakteristike oscilovanja sistema (amplituda, kruna frekvencija oscilovanja i fazna pomeranja).

    Ova forma reenja u diferencijalnim jednainama daje oblik:

    0A)ac(A)ac(A)ac(

    0A)ac(A)ac(A)ac(

    0A)ac(A)ac(A)ac(

    n2

    nnnn22

    2n2n12

    1n1n

    n2

    n2n222

    222212

    2121

    n2

    n1n122

    121212

    1111

    (3.3.9a)

    Ili matrino: 0AH (3.3.9b)

    Uvedena matrica [H] je karakteristina matrica sistema. Pomou nje se formira frekventna jednaina (3.3.10) njenim

    izjednaavanjem sa nulom. Reenja frekventne jednaine daju sopstvene frekvencije posmatranog sistema. Zato je ova jednaina poznata

    pod imenom frekventna ili karakteristina jednaina sistema.

    0ac

    acacac

    acacac

    acacac

    HHdet 2

    2nnnn

    22n2n

    21n1n

    2n2n2

    22222

    22121

    2n1n1

    21111

    21111

    (3.3.10)

    Reenja frekventne jednaine se mogu poredjati po veliini (3.3.11) i predstavljaju kvadrate sopstvenih krunih frekvencija sistema:

    0 , (1)2 )n(2

    )3(2

    )2(2

    )1(

    (3.3.11)

    Reenja polinoma frekventne jednaine se trae nekom od numerikih metoda (postupak Bairstowa). Najnia kruna frekvencija ovog

    polinoma (1), naziva se osnovnom frekvencijom. Ona je jedan od osnovnih dinamikih svojstava konstrukcije i na osnovu nje se moe birati prinudna frekvencija maine tako da je izvan oblasti sopstvenih frekvencija.

    Amplitude oscilovanja se ne mogu analitiki direktno odrediti u zatvorenom obliku, ve samo njihovi odnosi. Ovi odnosi se

    trae za svaku sopstvenu frekvenciju konstrukcije (r). Da bi sistem homogenih algebarskih jednaina imao n-1 nezavisno reenje, obino se izostavlja jedna jednaina (prva). Deljenjem sa A1 i prebacivanjem slobodnog lana na desnu stranu sledi:

    )ac(A

    A)ac(

    A

    A)ac(

    )ac(A

    A)ac(

    A

    A)ac(

    )ac(A

    A)ac(

    A

    A)ac(

    21n1n

    1

    n2nnnn

    1

    222n2n

    22121

    1

    n2n2n2

    1

    222222

    21111

    1

    n2n1n1

    1

    221111

    (3.3.12)

    Nepoznati kolinici amplituda mogu se oznaiti sa ik

    i odredjuju se pomou kofaktora k(r)ik determinante matrice H, za svaku r-tu

    sopstvenu frekvenciju:

    )r(

    11

    )r(n1

    )r(1

    )r(n)r(

    1n)r(11

    )r(13

    )r(1

    )r(3)r(

    31)r(11

    )r(12

    )r(1

    )r(2)r(

    21k

    k

    A

    A ......,

    k

    k

    A

    A ,

    k

    k

    A

    A

    (3.3.13)

  • 8.0 STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA DR MIOMIR JOVANOVI MAINSKI FAKULTET NI

    Kofaktori k(r)11, k(r)

    12, k(r)

    1n se odredjuju iz determinante matrice H izostavljanjem odgovarajue vrste i odgovarajue kolone. Tako, recimo, imamo kofaktore:

    ,

    acacac

    acacac

    acacac

    )1(k

    2)r(nnnn

    2)r(3n3n

    2)r(2n2n

    2)r(n3n3

    2)r(3333

    2)r(3232

    2)r(n2n2

    2)r(2323

    2)r(2222

    11)r(11

    (3.3.14a)

    ,

    acacac

    acacac

    acacac

    )1(k

    2)r(nnnn

    2)r(3n3n

    2)r(1n1n

    2)r(n3n3

    2)r(3333

    2)r(3131

    2)r(n2n2

    2)r(2323

    2)r(2121

    21)r(12

    (3.3.14b)

    2)r(nnnn

    2)r(2n2n

    2)r(1n1n

    2)r(n3n3

    2)r(3232

    2)r(3131

    2)r(n2n2

    2)r(2222

    2)r(2121

    31)r(13

    acacac

    acacac

    acacac

    )1(k

    (3.3.14c)

    Na ovaj nain se mogu nai koeficijenti (r)ik za svaku r-tu sopstvenu frekvenciju i oni se nazivaju koeficijentima oblika oscilovanja. Kako fiziki ovi koeficijenti pokazuju naine, oblike, kako diskretne mase zauzimaju medjusobno poloaje, ovi oblici se nazivaju i

    modovi oscilovanja ili harmonici. Jasno je da modova ima onoliko koliko i sopstvenih frekvencija. Preostalo je jo da se definiu zakoni,

    generalisane koordinate kretanja. Podjimo od partikularnih integrala reenja:

    )tsin(Aq )r()r()r()r( (3.3.15)

    Opta reenja problema (opti integrali diferencijalnih jednaina) se, prema teoriji diferencijalnih jednaina, trae kao zbir partikularnih

    reenja, (3.3.16a), (3.3.16b), (3.3.16c):

    n

    1r

    )n(n

    )2(n

    )1(n

    )r(nn

    n

    1r

    )n(2

    )2(2

    )1(2

    )r(22

    n

    1r

    )n(1

    )2(1

    )1(1

    )r(11

    qqqqq

    qqqqq

    qqqqq

    (3.3.16a)

    )n()2()1( qqqq (3.3.16b)

    )tsin(Aq )r()r()r(1n

    1r

    )r(1

    (3.3.16c)

    Konstante A1(1), A1

    (2), A1(3), ... , A1

    (n), 1, 2, .... , n, se dobijaju iz poetnih uslova:

    .q =q... ,q =q ,q =q ,q =q ,...q =q ,q =q 0,=t n0n202101n0n202101

    Rad se moe znatno uprostiti uvodjenjem glavnih koordinata. To su generalisane koordinate tako izabrane, da izrazi za Ek i Ep sadre samo kvadratne lanove (pa je ajk=cjk=0, za sluaj jk). To se izvodi homogenom linearnom transformacijom.

    PRIMER: Posmatrajmo transportnu mainu odlaga mase oko 168 t, oslonjen na