Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 11)

  • View
    268

  • Download
    7

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Dinamika i OsiclacijeIsak KarabegovicPoglavlje 11

Text of Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 11)

  • Na osnovu optih zakona kretanja materijalnog sistema, izvedenih u prethodnoj glavi, ovdje emo posebno prouiti osnovna kretanja krutog tijela i formirati odgovarajue diferencijalne jednaine kretanja krutog tijela.

    Pod homogenim krutim tijelom u dinamikom smislu podrazumjeva se specijalan sluaj materijalnog sistema sa kontinualnim rasporedom mase kod koga se rastojanje izmeu estica (taaka) tijela pod djelovanjem spoljnjih i unutranjih sila ne mijenja. Kako slobodno kruto tijelo ima est stepeni slobode kretanja, kretanje krutog tijela podjeliemo na: translatorno, obrtanje oko nepokretne ose, ravno kretanje, obrtanje oko nepokretne take i opte kretanje.

    Kod prouavanja kretanja krutog tijela razmatrat emo dvije grupe problema. U prvu grupu spadaju oni problemi u kojima je zadano kretanje krutog tijela, a potrebno je odrediti sile koje uzrokuju to kretanje. U drugu grupu spadaju problemi u kojima su zadate sile koje uzrokuju kretanje i poetni uslovi uslovi kretanja, a potrebno je odrediti zakone kretanja slobodnog krutog tijela, i reakcije veza ako se radi o kretanju vezanog krutog tijela. Ovdje treba napomenuti da je vektor unutranjih sila jednak nuli jer je kruto tijelo neizmjenjivi materijalni sistem. Pri analizi kretanja tijela u obzir se uzimaju samo spoljne sile, a to su aktivne i reakcije veza.

    Najefikasniji metod za prouavanje kretanja krutog tijela pod djelovanjem datih sila jeste primjena optih zakona materijalnog sistema, to e ovdje biti i uinjeno. 11.1. TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TIJELA Kruto tijelo vri translatorno kretanje, kao to smo rekli u Tehnikoj mehanici - 2 Kinematici (strana 98, glava 7.), ako za cijelo vrijeme kretanja tijela neizmjenjiva du tijela ostaje paralelna svom prvobitnom poloaju. Putanje svih taaka tijela su istog oblika, odakle proizilazi da su brzine i ubrzanja svih taaka krutog tijela jednake.

    Dinamika krutog tijela

  • U toku vremena brzine i ubrzanja se mogu mijenjati, ali imaju iste vrijednosti u posmatranom trenutku vremena, kao to je prikazano na slici 11.1.

    Tijelo koje vri translatorno kretanje ima oko tri stepena slobode kretanja. Primjenom zakona o kretanju sredita masa (teita krutog tijela) dobit emo diferencijalnu jednainu translatornog kretanja slobodnog krutog tijela

    =

    =n

    iiC Frm

    1

    r&&r

    (11.1.)

    gdje je: m - masa tijela

    Cr&&r

    - ubrzanje sredita (teita krutog tijela)

    Slika 11.1. Translatorno kretanje krutog tijela

    =

    n

    iiF

    1

    r- spoljanje sile koje djeluju na kruto tijelo (aktivne i reakcije veze)

    Projektovanjem vektorske jednaine (11.1.) na ose Descartesovog koordinatnog sistema dolazimo do skalarnih diferencijalnih jednaina translatornog kretanja krutog tijela

    =

    =n

    ixiC Fxm

    1&&

    =

    =n

    iyiC Fym

    1&& (11.2.)

    =

    =n

    iziC Fzm

    1&&

    Vidimo da je translatorno kretanje opisano istim dinamikim jednainama kao i kretanje materijalne take ija je masa jednaka masi tijela, to je u saglasnostni sa injenicom da je translatorno kretanje tijela odreeno kretanjem jedne njegove take. Ako se poe od izraza za moment koliine kretanja tijela za nepominu taku sa kojom se sredite C u datom trenutku poklapa, tada je

    0== KCC MLrrr

    (11.3.)

    pa se iz zakona o promjeni momenta koliine kretanja za taku C dobija

    =

    ==n

    i

    FC

    C MdtLd

    1

    10rrr

    (11.4.)

    to znai da je glavni moment sila koje djeluju na tijelo, za sredite, jednak nuli

    x

    y

    z

    0

    C RF

    r

    nFr

    1Fr

    2F

    r

    inRF

    r vr

    Cvr

    ar

    ar

    vmKrr

    =

    Crr

  • 01

    == =

    n

    i

    FCC

    iMMrrr

    (11.5.)

    Moemo zakljuiti: Ukoliko tijelo vri translatorno kretanje, onda se djelovanje sila svodi na rezultantu RF

    r, tj.

    glavni vektor RFr

    je ustvari rezultanta sistema sila koja prolazi kroz sredite tijela.

    Rezultanta inercijalnih sila inRFr

    je vektor kolinearan sa rezultantom RFr

    . 11.2. DIFERENCIJALNA JEDNAINA OBRTANJA

    KRUTOG TIJELA OKO NEPOMINE OSE Pretpostavimo da imamo kruto tijelo koje se pod djelovanjem spoljnih aktivnih sila nFFF

    rrr,...,, 21

    obre oko nepokretne ose AB. Ako ga oslobodimo od veza, onda na tijelo osim aktivnih sila djeluju i reakcije u leitima A i B, kao to je na slici 11.2. prikazano. Diferencijalnu jednainu obrtanja krutog tijela oko nepokretne ose izvest emo iz zakona o promjeni momenta koliine kretanja u odnosu na nepokretnu osu. Slika 11.2. Obrtanje krutog tijela oko nepokretne ose Elementarni moment koliine kretanja mase dm za osu AB odnosno z je

    dmrdmrrvdmrrdKdLzsww 2==== (11.6.)

    Integracijom po masi m dobijamo

    w

    ww

    =

    ===

    zz

    m mzzz

    JL

    JdmrdLL 2 (11.7.)

    gdje je: Jz - aksijalni moment inercije tijela u odnosu na osu Az, a w - projekcija vektora

    ugaone brzine na osu Az.

    x

    y

    x

    z

    y

    rr

    x&

    y&

    vr

    x y x

    y A

    z

    dm

    z B

    BxFr

    ByF

    r

    1Fr

    2Fr

    3Fr

    iFr

    nFr

    AzFr

    AxFr AyF

    r

    r vr

    Kdr

  • Zakon o promjeni momenta koliine kretanja krutog tijela u odnosu na nepokretnu osu Az glasi

    =

    +++++=n

    i

    Fz

    Fz

    Fz

    Fz

    Fz

    Fz

    z ByBxAzAyAxi MMMMMMdt

    dL1

    rrrrrr (11.8.)

    Poto reakcije ByBxAzAyAx FFFFFrrrrr

    i ,,, sijeku osu Az, pa je

    0===== ByBxAzAyAx FzFz

    Fz

    Fz

    Fz MMMMM

    rrrrr, jednaina se svodi na slijedei oblik

    =

    =n

    i

    Fz

    z Mdt

    dL1

    1r

    (11.8.)

    odnosno uzimajui u obzir jednainu (11.7.) dobiemo

    =

    =n

    i

    Fzz

    iMdtdJ

    1

    rw (11.9.)

    zn

    i

    Fzz MMJ i ==

    =1

    r&&j (11.10.)

    gdje je:

    jwj &&==dtd

    dtd

    2

    2

    - ugaono ubrzanje tijela koje se obre oko nepokretne ose

    Jednaina (11.10.) predstavlja diferencijalnu jednainu obrtanja krutog tijela oko nepokretne ose. Moment koliine kretanja mase dm za osu y je

    dmzydL

    dmzrdmzvzdmxdL

    y

    y

    sinsin

    w

    awa

    -=

    -=-=-=+ &

    gdje smo iskoristili relacije .sinavx =& Integracijom po masi m dobijamo

    -===m m

    yzyy JyzdmdLL ww

    Analogno dobijamo

    ww

    yzy

    xzx

    JLJL

    -=-=

    (11.11.)

    gdje su:

    Jxz, Jyz - centrifugalni momenti inercije tijela za nepomine ose x, y i z.

    Na osnovu diferencijalne jednaine obrtanja krutog tijela oko nepokretne ose (11.10.) mogu se rijeiti oba zadatka dinamike krutog tijela. Prvi zadatak: ako je poznat moment inercije krutog tijela (Jz) i moment sile koje djeluju na tijelo za osu z (Mz) da se odredi zakon obrtnog kretanja krutog tijela j=j(t) i drugi zadatak: ako je poznat moment inercije tijela (Jz) i zakon obrtanja krutog tijela j=j(t) mogue je odrediti moment sila (Mz) koje uzrokuju to obrtanje.

  • 11.3. DINAMIKE REAKCIJE Odredimo reakcije veze krutog tijela koje se obre oko nepokretne ose, a koje je u takama A i B vezano aksijalnim i potpornim leitem. Kada tijelo oslobodimo od veze na njega osim aktivnih sila nFFF

    rrr,...,, 21 djeluju i reakcije

    veze ByBxAzAyAx FFFFFrrrrr

    i ,,, , kao to je na slici 11.3. prikazano. Da bismo primijenili D'Alamberov princip definiimo prvo glavni vektor sila inercije krutog tijela i glavni moment sila inercije. Glavni vektor sila inercije ne zavisi od izbora pola te odreen je izrazom (10.91.)

    Cin

    R amFrr

    -=

    gdje je:

    m - masa krutog tijela, Ca

    r- ubrzanje teita tijela. Slika 11.3. Slika uz odreivanje dinamikih reakcija

    Vodei rauna o Tehnikoj mehanici 2 Kinematika ubrzanje teita tijela za ovaj sluaj kretanja tijela moemo izraziti CCC vra

    rrrrr+= we (11.12.)

    gdje je: CCC rv

    rrr= w - brzina teita tijela,

    odnosno

    CCCCCC

    C

    zyx

    kji

    zyx

    kjia

    &&&

    rrrrrrr

    we 0000 += (11.13.)

    Projekcije vektora brzine Cvr

    teita C na ose koordinatnog sistema Axyz su

    0 ==-= CCCCC zxyyx &&& ww

    Izraz za ubrzanje poprima slijedei oblik

    jyixjxiya CCCCCrrrrr 22 wwee --+-=

    jyxixya CCCCCrrr

    )()( 22 wewe -++-= (11.14.)

    Vodei rauna o ubrzanju teita Car

    , jednaina (11.4.), glavni vektor inRFr

    inercijalnih sila poprima oblik

    x y x

    y A

    z

    Mi

    z B

    wr

    BxFr

    ByF

    r

    1Fr

    2Fr

    3Fr

    iFr

    nF

    r

    AzFr

    AxFr

    AyF

    r

    rr

    er

    Crr

    C

    innFd

    r in

    tFdr

    irr

  • jyxmixyamF CCCCCin

    R

    rrrr)()( 22 wewe --+=-= (11.15.)

    Poto glavni moment inercijalnih sila krutog tijela zavisi od izbora pola, pretpostavimo da je pol nepokretna taka A. Tada je

    == =

    -===n

    iii

    n

    i

    n

    i

    inii

    FA

    FA amFrMM

    ini

    inR

    11 1

    rrrr rr (11.16.)

    gdje su: -ir

    r radijus vektor poloaja take Mi (elementarne estice)

    mi - masa take Mi (elementarne estice) -ia

    rvektor ubrzanja take Mi

    Vektor ubrzanja moemo izraziti u obliku

    jyxvxyvra iiiiiiivrrrrrr

    )()( 22 w