Oscilacije 2008

1

1

Mehanika II

Oscilacije11. dio

2

Gibanje materijalne toke

a) Krivocrtno gibanje

b) Pravocrtno gibanje

c) Oscilacijsko gibanje

3

Harmonijsko gibanje:

Kulisni mehanizamKinematika:

Poluga OA vezana je zaosovinu u toci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom ω.

Toka B mehanizmakulise kree se gore -izmeu toaka D-O-C

4

Harmonijsko gibanje:

( )tsinrx +⋅⋅=α = 0

5

OscilacijeOsciliranje ili titranje je esta pojava u prirodi.

areometar 6

Oscilacijska gibanja materijalne toke okopoložaja stabilne ravnoteže spadaju upravocrtna i periodina gibanja.

Razlikujemo:1. Slobodne oscilacije2. Prigušene oscilacije3. Prisilne oscilacije sa i bez otpora

2

7

Diferencijalna jednadžba oscilacija:

( )−−⋅−⋅

−⋅

Ω

•

••

tFx k xb

xm

( )tFxkxbxm Ω

•••=⋅+⋅+⋅

sila inercije

sila prigušenja

elastina sila opruge (restitucijska sila; elast. pero)

sila prisile – poremeajna sila 8

Harmonijske oscilacije

• Tijelo mase m vezano je pomou opruge (elastinog pera) konstantne krutosti k, pomaknuto iz položaja statike ravnoteže i zatim osloboeno, giba se oscilatorno.

• Harmonijske oscilacije prouzrokuje restitucijska sila elastinog pera (opruge) Frkoja vraa tijelo u ravnotežni položaj.

9

Slobodne harmonijske oscilacije

• Restitucijska sila elastinog pera (opruge) Fr

Fr = k . x

k – krutost opruge (N/m)

Krutost opruge jednaka je sili koja uzrokuje jedinini pomak.

za jedinini pomak x = 1 k = Fr

10

11

Σ Fx = 0

G – Fr = 0

m.g – k.xst = 0

m.g = k.xst

Fr = k . xst

= m . g

kgm

xst⋅=

x st

x

0

k k

G

Ravnoteža - statika

12

D ´Alembertov princip

x st

x

0

k k k

G

G

FR Restitucijska sila:

Fr = k .(xst + x)

dtxd

mamF2

in ⋅=⋅=

a

Sila inercije:

Fr

x

3

13

( )xxkgmdt

xdm

FGF

0FFG

0F

st2

2

rin

inr

x

+−⋅=⋅

−==−−

=

14

0xx

0xmk

dtxd

xkgmxkdt

xdm

2

2

2

st2

2

=⋅ω−

=⋅−

⋅−⋅=⋅−⋅

••

kgm

xst⋅=

mk2 =ω

15

Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:

0xx 2 =⋅ω−⋅⋅

mk2 =ω

• Rješenje diferencijalne jednadžbe:

t cos Bt sinAx ω⋅+ω⋅=

Kružna frekvencija slobodnih oscilacija:

16


0xx 2 =⋅ω−⋅⋅


cosRA ⋅= sinRB ⋅=

t cos Bt sinAx ω⋅+ω⋅=

st

st

xg

mx

gm

mk =

⋅

==ω

17


0xx 2 =⋅ω−⋅⋅


( )α+ω⋅= t sinRx

stxg

mk ==ω

18

Slobodne oscilacije

( )α+ω⋅= t sinRx

4

19

Za poetne uvjete t =0 - poetni pomak x0 i - poetnu brzinu v0

• Amplituda slobodnih oscilacija:

• Poetna faza slobodnih oscilacija:

2

202

0

vxR +=

0

0

vx

tg⋅=

20

• Period slobodnih oscilacija:

• Broj slobodnih oscilacija u jednoj sekundi - frekvencija:

[ ]

[ ]s g

x2T

s

2T

st⋅π⋅=

π⋅=

[ ]Hzs1 2

T1

f =π

ω==

21

Karakteristike slobodnih harmonijskih oscilacija

a) amplituda R i poetna faza oscilacija ααααzavise od poetnih uvjeta gibanja

b) frekvencija oscilacija f i period oscilacija Tne zavise od poetnih uvjeta gibanja.

22

• Najznaajnija karakteristika oscilacijskog gibanja je kružna frekvencija ωωωω – vlastita frekvencija.

• Ako se sustav sa sposobnošu osciliranja – oscilatoruje frekvencijom ΩΩΩΩ koja odgovara vlastitoj frekvenciji oscilatora ωωωω, javljaju se velike amplitude koje dovode do razaranja oscilatora (prisilne oscilacije, pojava rezonance – Tacoma bridge).

23

Paralelni spoj Serijski spoj

Ekvivalentna veza:

24

Mehaniki oscilator

može imati jedan ili više stupnjeva slobode.

• Broj stupnjeva slobode oznaava broj meusobno neovisnih koordinata mase mikoje su potrebne za opisivanje gibanja.

5

25

Mehaniki oscilatori- s jednim - s dva

stupnjem slobode: stupnja slobode:

26

Vibrograf

• Ureaj za mjerenje vertikalnih oscilacija

27

Geigerov vibrograf• Instrument za mjerenje vertikalnih i

horizontalnih oscilacija

28

Razlikujemo slijedee mehanike oscilatore:

a) translacijske(masa i spiralna opruga)

b) fleksijske (masa i lisnata opruga)

c) torzijske (masa i torzijska opruga).

29

Fleksijski oscilatori s jednim stupnjem slobode:

30mk

0xx

0xmk

x

xkmgG

0xkxkxmmg

f2

f

stf

fstf

=ω→=ω+

=+

===−−−

••

••

••

Prosta greda: kf – fleksijska krutost

6

31 l

J E 48

xG

k

xkG

J E 48lG

xw

:Otpornosti iz ogibPr

3y

f

f

y

3

==

⋅=

⋅==

3y

y

3

3yf

l m

J E 48

21

T1

f

J E 48l m

22

T

l m

J E 48

mk

=π

==

π=ωπ=

==ω

32

Konzola: kf – fleksijska krutost

=

=

==ω

=ω+

=+

===−−−

••

••

••

f

T

l m

J E 3

mk

0xx

0xmk

x

xkmgG

0xkxkxmmg

3yf

2

f

stf

fstf

l

J E 3

xG

k

J E 3lG

xw

:m. .O iz ogibPr

3y

f

y

3

==

⋅==

33

ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ

⋅ϕ−=ϕ

=

⋅ϕ−=⋅−=

ϕ=ϕ⋅=

ϕ=ω⋅==

×=×=

••

→→

→→→→→→

sin kut mali za 0sinlg

mgsin l dtd

l m

dinamike)zakon (4. MdtLd

mgsin l mgd Mdtd

l mdtd

lmlL

dtd

lr v;lr

Fr M vmrL

2

22

OO

O

2O

OO

Matematiko njihalo

34

Matematiko njihalo

lg

21

T1

f

gl

22

T

0

lg

0lg

2

π==

π=ωπ=

=ϕ⋅ω+ϕ

=ω→=ϕ⋅+ϕ

••

••

35

Torzijski oscilatorJz – moment tromosti mase m

kružne ploekt – torzijska krutost opruge

(Nm/rad)

z

t

z

t

2

Jk

0Jk

0

=ω→=ϕ⋅+ϕ

=ϕ⋅ω+ϕ

••

••

36

Prigušene oscilacije

Slobodne oscilacije

7

37


38


• Sila otpora:

• Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija

xbvbFw

⋅−=⋅−=

0xx2x 2 =⋅+⋅⋅+

mb

2 =⋅

39


( )1t

t~sineRx +⋅⋅⋅= ⋅−

<

>

slabo prigušenja

jako prigušenja

mb

2 =⋅

Rješenje:

40


22

~ −=

( )1t

t~sineRx +⋅⋅⋅= ⋅−

Rješenje:

Period:22

2~

2T~

−π⋅=π⋅=

Kružna frekvencija:

Prigušenje poveava period oscilacija TT~ >

41

Prigušene oscilacije[ ]mx

[ ]st 0

R

R-

T~

t-eRx ⋅⋅=

t-eRx ⋅⋅−=

01 =( ) t~sineRx 1

t- +⋅⋅⋅= ⋅

22

~ −=

42

Vrlo jako prigušenje: δ >> ω

- Gibanje nema karakter oscilacija

8

43

Prigušene oscilacije• Viskozni prigušiva - amortizer

44

Prisilne oscilacije

- bez otpora- s otporom

• Sila prisile:

t sinFF 0⋅=

45

Prisilne oscilacije bez otpora

• Sila prisile

• Diferencijalna jednadžba (nehomogena):

t sinFF 0⋅=

tsinhxx 2 ⋅=⋅+

mF

h 0=46


• Rješenje:

( ) tsin

htsinRx

xxx

22

.parthom.

⋅−

++⋅⋅=

+=

slobodne oscilacije prisilne oscilacije

47

Amplituda prisilnih oscilacija

• Rezonanca:

1

x

hC

2

2st

22−

=−

=

ω≅Ω48


[ ]m s

[ ]st 0

x [m]

t [s]

9

49

Prisilne oscilacijes otporom - opi sluaj• Vlastite oscilacije se vrlo brzo

prigušuju pa e nakon nekog vremena preostati samo prisilne oscilacije u užem smislu.

t [s]

x [m]

50

Primjer 1: Slobodne oscilacijeOpruga oscilira jer je optereena trenutno silom od 0,12 kN. Odredite zakon slobodnih oscilacija ako krutost opruge iznosi 2000 N/m.

Zadano:G = 0,12 kNk = 2000 N/m.

0x v0t

6 x x0t

0

st0

===

−===•

( )

t sinBt cosAvt cosBt sinAx

t sinRx

ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅=ω⋅+ω⋅=

α+ω⋅=

51

x st

0

k

G

x

( ) ( )

Hz 08,249,01

T1

f

s 49,08,12

22T

[cm] t 8,12 cos6 x ili [m] t 8,12 cos60,0 x

(1/s) 8,12120

9,812000G

gkmk

0A 0B1A0 0x v0t

0,06 B 1B0A 60,0 0,06 x x0t

cm 06,0Ncm

N

2000120

kG

x

tsinBtcosAxv

tcosBtsinAx

0

st0

st

===

=π=ωπ=

⋅⋅−=⋅⋅−=

=⋅=⋅==ω

=→⋅ω⋅−⋅ω⋅====

−=→⋅+⋅=−−===

=

==

ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅==

ω⋅+ω⋅=

•

•

52

• Primjer 2:Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 2 sekunde i t = 4 sekunde, ako amplituda oscilacija iznosi 50 cm a period osciliranja je 8 sekundi.Zadano: a = 0

R = 50 cm = 0,5 mT = 8 s

• za t = 4 s x = ?; v = ?; a = ?

53

( )

222

2

m/s 4

5,0 24

sin4

5,0 x

m/s 0 24

cos4

5,0x

m 0,5 24

sin5,0x s 2t

t4

sin4

5,0 x

t4

cos4

5,0x

t4

sin5,0x

48

2T2

2

T tsinRx

π⋅−=

⋅π⋅

π⋅−=

=

⋅π⋅π⋅=

=

⋅π⋅==

⋅π⋅

π⋅−=

⋅π⋅π⋅=

⋅π⋅=

π=π=π=ω→ωπ=α+⋅ω⋅=

••

•

••

•

54

( )

004

5,0 44

sin4

5,0 x

m/s 8

14

5,044

cos4

5,0x

005,044

sin5,0x s 4 t

22

=⋅

π⋅−=

⋅π⋅

π⋅−=

π−=−π⋅=

⋅π⋅π⋅=

=⋅=

⋅π⋅==

••

•

10

55t

2sin

2xa

t2

cosxv

2 π⋅π−==

π⋅π==

••

•

• Primjer 3:Amplituda slobodnih harmonijskih oscilacija iznosi 2 metra, a period 4 sekunde bez poetne faze. Izraunajte za vrijeme t = 2 sekunde trenutne vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja.( )

t2

sin2x

24

2T

0 4T 2Rt sinRx

π⋅=

π=ω→=ωπ=

=α==α+ω⋅=

0a-πv0x2t

56

Primjer 4: Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 1 sekunda, ako amplituda oscilacija iznosi 30 cm a period osciliranja 6 sekundi.

Documents

Oscilacije 2008