Oscilacije 2008

  • View
    42

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Oscilacije primeri

Text of Oscilacije 2008

  • 11

    Mehanika II

    Oscilacije11. dio

    2

    Gibanje materijalne tokea) Krivocrtno gibanje

    b) Pravocrtno gibanje

    c) Oscilacijsko gibanje

    3

    Harmonijsko gibanje:Kulisni mehanizamKinematika:

    Poluga OA vezana je zaosovinu u toci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom .

    Toka B mehanizmakulise kree se gore -izmeu toaka D-O-C

    4

    Harmonijsko gibanje:( )tsinrx +=

    = 0

    5

    OscilacijeOsciliranje ili titranje je esta pojava u prirodi.

    areometar 6

    Oscilacijska gibanja materijalne toke okopoloaja stabilne ravnotee spadaju upravocrtna i periodina gibanja.

    Razlikujemo:1. Slobodne oscilacije2. Priguene oscilacije3. Prisilne oscilacije sa i bez otpora

  • 27

    Diferencijalna jednadba oscilacija:

    ( )

    tFx k xb

    xm

    ( )tFxkxbxm

    =++

    sila inercije

    sila priguenjaelastina sila opruge (restitucijska sila; elast. pero)sila prisile poremeajna sila 8

    Harmonijske oscilacije Tijelo mase m vezano je pomou opruge

    (elastinog pera) konstantne krutosti k, pomaknuto iz poloaja statike ravnotee i zatim osloboeno, giba se oscilatorno.

    Harmonijske oscilacije prouzrokuje restitucijska sila elastinog pera (opruge) Frkoja vraa tijelo u ravnoteni poloaj.

    9

    Slobodne harmonijske oscilacije

    Restitucijska sila elastinog pera (opruge) FrFr = k . x

    k krutost opruge (N/m)Krutost opruge jednaka je sili koja uzrokuje jedinini pomak.

    za jedinini pomak x = 1 k = Fr

    10

    11

    Fx = 0

    G Fr = 0

    m.g k.xst = 0

    m.g = k.xst

    Fr = k . xst

    = m . g

    kgm

    xst

    =

    x st

    x

    0

    k k

    G

    Ravnotea - statika

    12

    D Alembertov princip

    x st

    x

    0

    k k k

    G

    G

    FR Restitucijska sila:Fr = k .(xst + x)

    dtxd

    mamF2

    in ==

    a

    Sila inercije:

    Fr

    x

  • 313

    ( )xxkgmdt

    xdm

    FGF0FFG

    0F

    st2

    2rin

    inr

    x

    +=

    =

    =

    =

    140xx

    0xm

    kdt

    xd

    xkgmxkdt

    xdm

    2

    2

    2

    st2

    2

    =

    =

    =

    kgm

    xst

    =

    m

    k2=

    15

    Diferencijalna jednadba slobodnih oscilacija:

    0xx 2 =

    m

    k2=

    Rjeenje diferencijalne jednadbe:

    t cos Bt sinAx +=

    Kruna frekvencija slobodnih oscilacija:

    16

    Diferencijalna jednadba slobodnih oscilacija:

    0xx 2 =

    Rjeenje diferencijalne jednadbe:

    cosRA = sinRB =

    t cos Bt sinAx +=

    st

    st

    x

    gm

    x

    gm

    m

    k=

    ==

    17

    Diferencijalna jednadba slobodnih oscilacija:

    0xx 2 =

    Rjeenje diferencijalne jednadbe:

    ( )+= t sinRx

    stx

    gm

    k==

    18

    Slobodne oscilacije

    ( )+= t sinRx

  • 419

    Za poetne uvjete t =0 - poetni pomak x0 i - poetnu brzinu v0

    Amplituda slobodnih oscilacija:

    Poetna faza slobodnih oscilacija:

    2

    202

    0

    vxR +=

    0

    0

    v

    xtg =

    20

    Period slobodnih oscilacija:

    Broj slobodnih oscilacija u jednoj sekundi - frekvencija:

    [ ]

    [ ]s g

    x2T

    s

    2T

    stpi=

    pi=

    [ ]Hzs1 2

    T1f =

    pi

    ==

    21

    Karakteristike slobodnih harmonijskih oscilacija

    a) amplituda R i poetna faza oscilacija zavise od poetnih uvjeta gibanja

    b) frekvencija oscilacija f i period oscilacija Tne zavise od poetnih uvjeta gibanja.

    22

    Najznaajnija karakteristika oscilacijskog gibanja je kruna frekvencija vlastita frekvencija.

    Ako se sustav sa sposobnou osciliranja oscilatoruje frekvencijom koja odgovara vlastitoj frekvenciji oscilatora , javljaju se velike amplitude koje dovode do razaranja oscilatora (prisilne oscilacije, pojava rezonance Tacoma bridge).

    23

    Paralelni spoj Serijski spoj

    Ekvivalentna veza:

    24

    Mehaniki oscilator

    moe imati jedan ili vie stupnjeva slobode.

    Broj stupnjeva slobode oznaava broj meusobno neovisnih koordinata mase mikoje su potrebne za opisivanje gibanja.

  • 525

    Mehaniki oscilatori- s jednim - s dva

    stupnjem slobode: stupnja slobode:

    26

    Vibrograf Ureaj za mjerenje vertikalnih oscilacija

    27

    Geigerov vibrograf Instrument za mjerenje vertikalnih i

    horizontalnih oscilacija

    28

    Razlikujemo slijedee mehanike oscilatore:

    a) translacijske(masa i spiralna opruga)

    b) fleksijske (masa i lisnata opruga)

    c) torzijske (masa i torzijska opruga).

    29

    Fleksijski oscilatori s jednim stupnjem slobode:

    30m

    k 0xx

    0xm

    kx

    xkmgG 0xkxkxmmg

    f2

    f

    stf

    fstf

    ==+

    =+

    ==

    =

    Prosta greda: kf fleksijska krutost

  • 631 lJ E 48

    x

    Gk

    xkG

    J E 48lG

    xw

    :Otpornosti iz ogibPr

    3y

    f

    f

    y

    3

    ==

    =

    ==

    3y

    y

    3

    3yf

    l mJ E 48

    21

    T1f

    J E 48l m22T

    l mJ E 48

    m

    k

    =

    pi==

    pi=

    pi=

    ==

    32

    Konzola: kf fleksijska krutost

    =

    =

    ==

    =+

    =+

    ==

    =

    f

    T

    l mJ E 3

    m

    k

    0xx

    0xm

    kx

    xkmgG 0xkxkxmmg

    3yf

    2

    f

    stf

    fstf

    lJ E 3

    x

    Gk

    J E 3lG

    xw

    :m. .O iz ogibPr

    3y

    f

    y

    3

    ==

    ==

    33

    =+

    =

    =

    ==

    =

    =

    ===

    ==

    sin kut mali za 0sinlg

    mgsin l dtdl m

    dinamike)zakon (4. MdtLd

    mgsin l mgd Mdtdl m

    dtdlmlL

    dtdlr v;lr

    Fr M vmrL

    2

    22

    OO

    O

    2O

    OO

    Matematiko njihalo

    34

    Matematiko njihalo

    lg

    21

    T1f

    gl22T

    0

    lg

    0lg

    2

    pi==

    pi=

    pi=

    =+

    ==+

    35

    Torzijski oscilatorJz moment tromosti mase m

    krune ploekt torzijska krutost opruge

    (Nm/rad)

    z

    t

    z

    t

    2

    Jk

    0Jk

    0

    ==+

    =+

    36

    Priguene oscilacije

    Slobodne oscilacije

  • 737

    Priguene oscilacije

    38

    Priguene oscilacije Sila otpora:

    Diferencijalna jednadba priguenih oscilacija

    xbvbFw

    ==

    0xx2x 2 =++

    m

    b2 =

    39

    Priguene oscilacije

    ( )1t t~sineRx +=

    <

    >

    slabo priguenja

    jako priguenja

    m

    b2 =

    Rjeenje:

    40

    Priguene oscilacije

    22

    ~

    =

    ( )1t t~sineRx += Rjeenje:

    Period:22

    2~

    2T~

    pi=

    pi=

    Kruna frekvencija:

    Priguenje poveava period oscilacija TT~ >

    41

    Priguene oscilacije[ ]mx

    [ ]st 0

    R

    R-

    T~

    t-eRx =

    t-eRx =

    01 =( )

    t~sineRx 1t- += 22

    ~

    =

    42

    Vrlo jako priguenje: >> - Gibanje nema karakter oscilacija

  • 843

    Priguene oscilacije Viskozni priguiva - amortizer

    44

    Prisilne oscilacije- bez otpora- s otporom

    Sila prisile:

    t sinFF 0 =

    45

    Prisilne oscilacije bez otpora

    Sila prisile

    Diferencijalna jednadba (nehomogena):

    t sinFF 0 =

    tsinhxx 2 =+

    m

    Fh 0=46

    Prisilne oscilacije bez otpora Rjeenje:

    ( ) tsin

    htsinRx

    xxx

    22

    .parthom.

    ++=

    +=

    slobodne oscilacije prisilne oscilacije

    47

    Amplituda prisilnih oscilacija

    Rezonanca:

    1

    x

    hC

    2

    2st

    22

    =

    =

    48

    Prisilne oscilacije bez otpora[ ]m s

    [ ]st 0

    x [m]

    t [s]

  • 949

    Prisilne oscilacijes otporom - opi sluaj Vlastite oscilacije se vrlo brzo

    priguuju pa e nakon nekog vremena preostati samo prisilne oscilacije u uem smislu.

    t [s]

    x [m]

    50

    Primjer 1: Slobodne oscilacijeOpruga oscilira jer je optereena trenutno silom od 0,12 kN. Odredite zakon slobodnih oscilacija ako krutost opruge iznosi 2000 N/m.Zadano:

    G = 0,12 kNk = 2000 N/m.

    0x v0t

    6 x x0t

    0

    st0

    ===

    ===

    ( )

    t sinBt cosAvt cosBt sinAx

    t sinRx

    =

    +=

    +=

    51

    x st

    0

    k

    G

    x

    ( ) ( )

    Hz 08,249,01

    T1f

    s 49,08,12

    22T

    [cm] t 8,12 cos6 x ili [m] t 8,12 cos60,0 x

    (1/s) 8,12120

    9,812000G

    gkm

    k

    0A 0B1A0 0x v0t

    0,06 B 1B0A 60,0 0,06 x x0t

    cm 06,0Ncm

    N

    2000120

    kG

    x

    tsinBtcosAxv

    tcosBtsinAx

    0

    st0

    st

    ===

    =

    pi=

    pi=

    ==

    =

    =

    ==

    =====

    =+====

    =

    ==

    ==

    +=

    52

    Primjer 2:Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 2 sekunde i t = 4 sekunde, ako amplituda oscilacija iznosi 50 cm a period osciliranja je 8 sekundi.Zadano: a = 0

    R = 50 cm = 0,5 mT = 8 s

    za t = 4 s x = ?; v = ?; a = ?

    53

    ( )

    222

    2

    m/s 4

    5,0 24

    sin4

    5,0 x

    m/s 0 24

    cos4

    5,0x

    m 0,5 24

    sin5,0x s 2t

    t4

    sin4

    5,0 x

    t4