OSCILACIJE Dinamika

  • View
    176

  • Download
    7

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Oscilacije

Text of OSCILACIJE Dinamika

  • Dr. Dusan Vukojevic Mr. Elma Ekinovic

    TEORIJA OSCILACIJA

    Zenica, 2004.

  • TEORiJA OSCILACI.JA Dr. Dusan Vukojevic, redovni profesor Masinskog fakulteta u Zenici Mr. Elma Ekinovic, visi asistent Masinskog fakulteta u Zenici

    Rccenzcnti: Prof.dr. RudolfKristic Prof.dr,Bozidar Stjepovic

    Izdavac Masinski fakultet u Zenici, Univerzitet u Sarajevu

    Za izdavaca Prof.dr. Safet Brdarevi6

    Naslovna strana Mr. Elma Ekinovic

    Tehnicka obrada: Mr. Elma Ekinovi6 Marina Matanovic

    Stampa GRAFORAD, Zenica

    Tiraz 300 primjeraka

    elP ~ Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosue i Hercegovine, Sarajevo UDK 534.01(075.8) VUKOJEVIC, Dusan Teorija oscilacija I Dusan Vukojevic. -l.izd. -Zenica : Masinski fakultet, 1997. -205 str.: graf.prikazi; 24 em

    Bibliografija: 5tr.204-205. Na sjednici br. 3/97 Nastavno~naucnog vijeca Ma~inskog fakulteta u Zenici ova knjiga je I .. prihvacena kao udzbenik.

    Na sjednici br. 1104 Nastavno-naucnog vijeca Masinskog fakulteta u Zenici prihvaceno je II izdanje ovog udzbenika.

    -

    1 1.1. 1.2. 1.3.

    2 2.1. 2.1.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.S. 2.9. 2,10.

    3 3.1. 3.1.1. 3.2. 3.2.1 .

    3.2.2. 3.2.3.

    Uloga i zadatak teorije oscilacija Osnovni pojruovi 0 oscilatornom kretanju Vrste oscilacija

    SADRZAJ

    3

    ___ ~_i

    Stabilnost ~avnoteze sistema u konzervativnom polju 5 T~ore~a ~J.apunova 0 stabilnosti kretanja i mirovanja 5 LmeanzaclJa diferencijalnih jednacina kretanja Potencijalna energija 7 Lagranz-Dirihleova teorema 8 Kriterijum Silvestera 11 P~'a i.~ruga teo~ema Ljapunova 0 nestabilnosti ravnoteZe 12 Kmetlcka energiJa sistema 14 Relejeva funkcija rasipanja 15 Neka svojstva kvadratne forme 20 Primjeri 24

    SJobodne neprigusene oscilacije Slobodne oscilacije pri djeJovanju konstantne sile Slobodne prigusene oscilacije Slobodne prigusene oscilacije sa otporom proporcionalnim prvom stepenu brzine Prividno periodicno kretanje Aperiodicno krctanje

    25

    31 38 40 41

    42 49

  • mORlJA OSCILAClJA

    3.2.4. Granicni sJucaj aperiodicnog kretanja 3.3. 00 Slobodne prigusene oscilacije tacke pri postojanju Kulonovog trenja 3.4. Prinudne neprigusene oscilacije 3.4.1. Dinamicki faktor pojacavanja 3.4.2. Rezonancija 3.4.3. Podrhtavanje 3.5. Prinudne prigusene oscilacije tacke pri djelovanju sile otpora

    proporcionaine prvom stepeou brzine tacke 3.6. .. Primjeri

    4 4.1. Slobodne neprigusene oscilacije 4.2. Osnovne karakteristike slobodnih oscilacija 4.3. Slobodne prigusene oscilacije pod djelovanjem sila otpora

    proporcionalnih prvom stepenu brzine 4.4. Prinudne oscilacije sistema sa jednim stepenom slobode 4.4.1. Slucaj proizvoljnih poremecajnih sila 4.4.2. Slucaj periodicno promjenljivih poremecajnih sila 4.4.2.1. Rczonancija 4.5. Primjcri

    ~

    :::l

    5.1. Slobodne neprigusene oscilacije 5.1.1. Difercncijalne jednacine kretanja 5.1.2. Opsti intcgrali diferencijalnih jednacina kretanja 5.1.3. Primjeri 5.1.3.1. Dvojno matematicko klatno 5.1.3.2. Lancani i torzioni sistemi sa dva stepena slobode 5.1.3.3. Oscilacije vozila 5.2. Glavne koordinate 5.2.1. Slucaj kada.ie jedna od frckvencija glavnih osciIacija

    sistema jcdnaka nuli 5.2.2. Slucaj kada su frekvencije glavnih oscilacija sistema jednake 5.2.3 .. Svojstva glavllih oscilacija sistema 5.2.4. Pojava podrhtavanja (bijenja) 5.3. Poprecne oscilacije sistema sa dva stepena slobode .4. Siobodne prigusene oscilacije sistema sa dva stepena slobode kretanja 4.1. Slucaj malog prigusenja.

    Raut-Hurvicov kriterijum stabilnosti kretanja 5.4.2. Slucaj velikog prigusenja 5.4.3. Primjeri

    ii

    50 5.5. 51 5.5.1. 56 5.5.2. 60 62 5.5.3. 64 5.6. 65 5.6.1.

    75 6

    6.1. 6.1.1.

    85 6.1.2. 87 6.1.3. 90 h

    ' . 7 94 95 98 J 7.1.

    102 7.2. 105 7.3.

    7.4.

    8 115 115 8.1. 118 8.2. 126 8.2.1. 126 8.2.2. 132 8.2.3. 137 139 9 144

    145 145 147 150 154

    158 162 163

    Prinudne neprigusene oscilacije sistema sa dva stepena slob ode Pojava rezonancije Slucaj karla je jedna od generalisanih sita jednaka nuli. Dinamicki apsorber bez prigusenja Rezonantni dijagrami Prinudne prigusene oscilacije sa dVa stepena slobode Dinamicki apsorber sa prigusenjem

    Siobodne nepriguscne oscilacije Glavne koordinate Torzione oscilacije reduktora Primjeri

    Vertikalno vratilo sa jednim diskom Horizontalno vratilo sa viSe diskova. Obrazac Morleja Relejev obrazac Denkerlejev obrazac

    Uvod Teorijske osnove program a I-DEAS Siobodne neprigusene oscilacije sistema Prinudne oscilacije sa prigusenjem Primjeri dinamickog proracuna upotrebom program a I-DE AS

    SADRZAJ

    170 173

    175 178 181 184

    187 196 199 203

    213 216 218 220

    223 223 224 225 225

    III

  • TEORIiA OSCILACIlA

    IV

    PREDGOVOR

    Ovaj udzbenik iz oblasti teorije oscilacija prilagoden je nastavnom planu i programu maSinskih fakulteta u Bosni i Hcrcegovini, a izlozena materija se predaje u drugom dijclu predmeta Dinamika j teorija oscilacija.

    Nacin izlaganja i rcdoslijed podeseni su taka da se bez vccih napora, uz odredeno predznanje jz dinamike, moze shvatiti sllstina ave oblasti mehanike.

    Trece pogJavlje je posveceno malim pravolinijskim oscilacijama materijalne tacke, sto u izvjesnom smislu remeti kontinuitet izlaganja, ali 6e korisno posluziti anima koji se prvi put susre6u sa ovom materijom.

    U drugom izdanju ispravljene su uocene greske, znatna je poboljsana tehnicka priprema, a osmo poglavlje udibenika izmijenjeno je u skladu sa savremenim dostignucima u oblasti numerickog rjesavanja dinamickih i oscilatornih problema.

    Zenica, januar 2004.godine

    Autori

  • TEORIJA OSCILACIJA

    VI

    1.UVOD

    1.1. Uloga i zadatak teorije oscilacija

    Jedan od najrasprostranjenijih oblika kretanja u prirodi je oscilatorno kretanje. U najvecem broju svih vrsta kretanja prirnijenjene tehnike, oscilatomi procesi zauzimaju dominantnu ulogu.

    U 5irem smislu oscilacije su prisutne kod svih cvrstih tijela koja se defOlmisu u podrucju elasticnosti, a zatim prepustc djelovanju elasticnih sila. U tom slucaju elementarni dijelovi tijcIa osciluju aka svojih prvobitnih ravnoteznih polozaja koja su imala u nedeformisanom stanju. Isto taka, pod odredenirn uslovima, CVfsta i kruta tijela pod djelovanjem vanjskih sila osciluju kao cjelinc aka svojih ravnoteznih poloi.aja kad raznih masioa i mehanizama.

    Zbog svog vrlo SifOkog prisustva u tchoiei, izucavanje oseilaeijaje vrlo vazno radi razjasnjenja niza fizickih i mehanickih pojava. Nairne, ukoliko se karakteristike oscilacija povecaju iznad dozvoljenih granica, moze doci do lomova, velikih steta pa i katastrofa. Uloga teorije oscilacija U ovom slucaju je da na egzaktan naein ukaze na ovakve pojave, kao ina mogucnosti njihovog otklanjanja. S druge strane, ima slucajeva kada oscilatorna kretanja mogu korisno posluziti, kao naprimjer kod oscilatomih masina, drobilica, separatora, itd.

    1.2. Osnovni pojmovi 0 oscilatornom kretanju

    Kretanje se javlja kao oscilatomo ako se tacka krece u jednu j njoj suprotnu stranu. Oscilacije su periodicne ako se tacka iii posmatrano tijelo, nakon izvjesnog vremenskog intervala, vraca i zauzima isti polazni polozaj. Dakle, oscilacije iii vibracije predstavljaju periodiCno kretanje koje se ponavlja poslije izvjesnog vremenskog intervala. Ovaj vremenski interval se naziva periodom oscilovanja i obitno se obiljezava sa T .

    Najjednostavniji oblik oscilatomog kretanja tacke je, kako je vee ucfmisano u kinematici, hannonijsko oscilatomo kretanje. Ono se matematski moze iskazati formulom

  • TEORIJA OSCILAClJA

    x=Rsin(OJt+rpo) . (I.l) gdje je OJ Sl.I.l.

    kruwa frckvencija ocilacija, CPo pocetna [aza, a velicina R amplituda osciiovanja,

    Po~to je definisano trigonometrijskom funkcijom (1.1), kretanje je periodicno, Sto znaCi da eSe se nakon svakog vremenskog intervala duzine T kretanje ponavljati.

    Ovakvo navedeno stanje uocava se, izmedu ostaiog, u vremenskim trcnucima (\ i t2 , Sl. 1.1, pacebiti x(tJ=X(t2)' itd.

    Ovakvi odnosi ce vaziti ukoliko trenuci fl' (2' .,. ,fn zadovoljavajlljednakosti

    Najrnanji vrernenski interval je za n ::::;: 1 , odnosno period oscilovanja ce biti

    i mjeri se u sekundarna (s).

    T x

    R

    o

    -R

    SI. 1.1. Hafltwnijsko periodicno kretanje

    2

    I. DVOD

    Broj oscilacija u sekundi naziva se frekvencija oscilovanja f =1/T , a mjeri se us'! Hi u Hz. Velicina OJ=2tr/T=21l f naziva se lauma frekvencija i predstavlja broj oscilacija u vremenu od 27Csekundi.

    1.3. Vrste oscilacija

    Oscilacije se mogu podijcliti oa razliCite nacine ito prema:

    fizickoj prirodi oscilatornih kretanja, karakteru diferencijalnih jednacina, uzrocima oscilatomih kretanja, velicini amplituda ovih kretanja, broju stepeni slobode, itd.

    Prema svojoj fizickoj prirodi oscilacije mogll biti: rnehanicke, terrnodinarnicke, elektricne, akusticne, itd. Tako naprirnjer, u rnehanicke oscilacije spadaju: oscilacije nosaca, korita broda, krila aviona, alatnih rnasina, lopatica parnih turbina, itd,

    U ovom izlaganju obradit ce se iskljucivo mehanicke oscilacije. Kako sve vrste oscilacija imaju odredena zajednicka svojstva i zakonitosti, to proucavanje mehanickih oscilacija moze korisno posluziti za izucavanje drugih tipova oscilatornih kretanja. Najznacajnija podjela oscilacija je podjela na linearne i nelineame oscilacije. Ovakvu podjelu je moguce napraviti i prema karakteru diferencijalnih jednacina kojima se opisuje posmatrani oscilatorni proces, Najpotpunija oblast teorije oscilacija proucava se u Iinearnoj teoriji oscilacija, gdje se koriste linearne diferencijalne jednacine sa konstantnim koefi