Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 5)

  • View
    229

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 5)

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 5)

    1/41

    U prethodnim poglavljima razmatrano je kretanje slobodne i neslobodnematerijalne take, kao to je pokazano, razmatrani problemi rjeavani su integracijomdiferencijalnih jednaina kretanja. Vidjeli smo da je integracija u pojedinim sluajevima,ak i kada su problemi posmatrani pojednostavljeno, bila dosta sloena i dobijeni rezultatisu imali ne tako jednostavan matematiki oblik. Da bi se izuavanje kretanja materijalne

    take pojednostavilo, u mnogim problemima daleko je pogodnije da se umjesto metodeintegracije diferencijalnih jednaina kretanja, primjeni jedan od op#ih zakona dinamiketake koji su, ustvari, posljedica osnovnog zakona dinamike.

    U op#e zakone dinamike materijalne take spadaju: zakon o promjeni koliinekretanja, zakon o promjeni momenta koliine kretanja i zakon o promjeni kinetike

    energije.Op#e zakone dinamike materijalne take treba posmatrati kao teoreme izvedene izosnovnih Newtonovih zakona. Op#i zakoni povezuju izvjesne dinamike veliine kojekarakteriu kretanje, kao to su kinetika energija, moment koliine kretanja, itd., saveliinama koje karakteriu djejstvo sila, rad sile, moment sile, itd.

    5.1. IMPULS SILE

    Impuls silejeste jedna od karakteristika djejstva sile na neku taku ili tijelo u tokuvremenskog intervala. Pretpostavimo da na tijelo ili taku djeluje sila F konstantnogintenziteta i pravca u toku nekog intervala vremena .0ttt =

    Impuls sile za taj interval vremena odre%en je slijede#im izrazom:

    ( ) tFttFI == 0 (5.1.)

    Opi zakoni dinamikematerijalne ta#ke

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 5)

    2/41

    Slika 5.1. Impuls sile

    Kao to je na slici 5.1. pokazano pravac impulsa sile poklapa se sa pravcem i smjerom sile,a intenzitet mu je jednak proizvodu sile i vremena.

    tFI = . (5.2.)

    Uvedimo u analizu pojam elementarnog impulsa sile F. To je vektorska veliina koju

    #emo oznaiti sa ld , a koja tako%er ima pravac djejstva sile F.

    dtFId = (5.3.)gdje je dt elementarni vremenski interval.Projekcije elementarnog impulsa na ose koordinatnog sistema Oxyz su:

    dtFdI xx =

    dtFdI yy = dtFdIz z= . (5.4.)

    Impuls sile moe se definisati u odre%enom vremenskom intervalu, naprimjer, t0- t:

    ==t

    t

    t

    ot

    dtFIdI

    0

    rr

    (5.5.)

    Projekcije impulsa sile (5.5.) na nepokretne ose Descartesovog koordinatnog sistema (slika5.2.) su:

    =t

    ot

    xx dtFI

    =t

    ot

    yy dtFI

    =t

    ot

    zz dtFI . (5.6.)

    U izrazima (5.5.) i (5.6) pretpostavlja se da je sila poznata funkcija vremena. Intenzitetimpulsa sile odre%en je jednainom

    222zyx IIII ++= (5.7.)

    t0M0

    0F

    0Id

    Id

    F

    M t

    0

    xF

    t

    xId

    xI

    t0 tdt

    0

    I

    Ix

    Iy

    Iz

    y

    x

    z

    Slika 5.2. Projekcije impulsa sile

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 5)

    3/41

    a kosinusi smjerova

    ( ) ( ) ( ) .,cos,,cos,,cosI

    IkII

    IjII

    IiI zyx === rrrrrr (5.8.)

    Da bismo na osnovu navedenih relacija mogli izraunati impuls sile a da pri tome nijepoznat zakon kretanja take pod dejstvom sile, slijedi da treba izdvojiti one koje sukonstantnog intenziteta, odnosno koje su poznate funkcije vremena. Odre%ivanje impulsasila koje su funkcije poloaja take ili brzine take mogu#e je jedino ako je poznat jo izakon kretanja take.Ukoliko na materijalnu taku M djeluje sistem sila ija je rezultanta

    =

    =+++=n

    i

    inr FFFFF1

    21 ... rrrrr

    moemo re#i:Impuls rezultante sistema sila u posmatranom vremenskom intervalu, jednak je

    vektorskom zbiru impulsa komponentnih sila u istom vremenskom intervalu:

    =

    =+++++=n

    i

    t

    t

    i

    t

    t

    t

    t

    t

    t

    t

    t

    ni

    t

    t

    r dtFdtFdtFdtFdtFdtF1 00 0 0 0

    21

    0

    ......rrrrr

    =

    =+++++=n

    i

    ini IIIIII1

    21 ...... rrrrrr

    (5.9.)

    5.2. ZAKON O PROMJENI KOLI%INE KRETANJA

    Da bismo iskazali zakon o promjeni koliine kretanja, prvo #emo definisati neke veliine.

    Koliina kretanja materijalne take K je vektorska veliina koja predstavlja proizvodmase mmaterijalne take i vektora njene brzine v , to jest

    vmK r

    = . (5.10.)Koliina kretanja ima vanu primjenukada se mehaniko kretanje od jednogtijela prenosi na drugo, opet u oblikumehanikog kretanja (npr. bilijarske

    kugle). Vektor koliine kretanja Kkolinearan je sa vektorom brzine v iistog smjera. Jednainu (5.10.) moemoza kretanje materijalne take u prostoruprikazati u skalarnom obliku. Tako se

    dobijaju veliine komponenata(projekcije) vektora K (Kx, Ky, Kz) kojesu:

    Slika 5.3. Vektor koliine kretanja

    ymmvK

    xmmvK

    yy

    xx

    &====

    .zmmvK zz == (5.11.)

    zK

    xK

    yK K

    v M(m)

    x

    0

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 5)

    4/41

    Dimenzija koliine kretanja je jednaka dimenziji proizvoda mase i brzine [K]= [MLT-1]=

    [FT], gdje su [M], [L]i [T]dimenzije sile, duine i vremena. Jedinica za koliinu kretanja jeNs.

    Da bismo formulisali zakon o promjeni koliine kretanja, pretpostavimo da na

    materijalnu taku M mase m djeluje sila F, tada je prema Newtonovom zakonu:

    Fdt

    vdm

    r= (5.12.)

    Poto je masa mmaterijalne take konstantna veliina, moe se pisati

    ( )F

    dt

    vmm

    r= (5.13.)

    ili

    .Fdt

    Kd r= (5.14.)

    Ukoliko na materijalnu taku djeluje sistem sila, onda se moe dobiti jednaina

    =

    =n

    i

    iFdt

    Kd

    1

    .r

    (5.15.)

    Jednaina (5.14.), odnosno (5.15.) izraava zakon o promjeni koliine kretanja udiferencijalnom oblikui moemo re#i:

    Izvod vektora koliine kretanja materijalne take po vremenu jednak jevektorskom zbiru (ili rezultanti) sila koje djeluju na taku.Naje#e se pri rjeavanju zadataka trai koliina kretanja na kraju nekog vremenskogintervala. Vezu izme%u koliine kretanja na kraju i na poetku posmatranog intervala i silakoje u tom intervalu djeluju, daje zakon o promjeni koliine kretanja u integralnom obliku.

    Po%imo od jednaine (5.15.), s tim to #emo je napisati u obliku

    == IddtFKd i (5.16.)Ukoliko posmatramo kretanja materijalne take u vremenskom intervalu t1 - t0, tadaintegracijom prethodne jednaine

    ==1

    0

    1

    0

    1

    0

    ,)(t

    t

    i

    t

    t

    t

    t

    dtFvmdKdrrr

    (5.17.)

    dobije se

    = iIvmvm

    rr01

    odnosno, poto je === iIIKvmKvm rr i, 0011 , slijedi da je:

    =

    ==n

    i

    iIIKK1

    01

    rrrr (5.18.)

    kao to je prikazano na slici 5.4.

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 5)

    5/41

    Slika 5.4. Prirataj koliine kretanja

    Jednaina (5.18.) predstavlja zakon o promjeni koliine kretanja u integralnomoblikui slijedi:

    Prirataj vektora koliine kretanja materijalne take za neki konani vremenskiinterval jednak je vektorskom zbiru impulsa svih sila, koje djeluju na materijalnu taku utom vremenskom intervalu. Zakon promjene koliine kretanja u integralnom obliku nazivasezakon impulsa sile, a moe se izraziti u skalarnom obliku

    = ==

    ===n

    i

    n

    i

    izzziy

    n

    i

    yyixxx IKKIKKIKK1 1

    011

    0101 ,,,

    odnosno

    =

    =n

    i

    ixIxmxm

    1

    01 &&

    =

    =n

    i

    iyIymym1

    01 &&

    =

    =n

    i

    izIzmzm1

    01 .&& (5.19.)

    gdje je =1

    0

    t

    t

    xiix dtFI projekcija impulsa i-te sile na osux, itd.

    5.3. ZAKON O ODRANJU KOLI%INE KRETANJA MATERIJALNE TA%KE

    Ovaj zakon predstavlja poseban sluaj prethodno formulisanog zakona o promjenikoliine kretanja. Ako na materijalnu taku ne djeluje sila ili djeluje takav sistem sila iji jevektorski zbir jednak nuli

    = ,0iF (5.20.)onda je

    ( ) .0 constvmvmdt

    d

    dt

    Kd===

    rr (5.21.)

    u tom trenutku. Odavde slijedi da brzina ima u tom trenutku ekstremnu vrijednost.

    M(m)

    z

    x0

    t1 t0

    F

    0vm

    1vm

    0vm 1vm

    1

    0

    t

    t

    dtFr

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 5)

    6/41

    Zakon o odranju koliine kretanja se odnosi na integralni oblik zakona o promjeni koliine

    kretanja. Moemo ga izraziti u slijede#em obliku:Ako je u nekom vremenskom intervalu vektorski zbir impulsa svih sila jednaknuli, onda je koliina kretanja materijalne take na kraju jednaka koliini kretanja na

    poetku tog intervala. Iz (5.18.) slijedi ako je = 0iI , onda je,01 KK =

    odnosno.01 constvmvm == (5.22.)

    S obzirom da je masa m materijalne take konstantna veliina, to na osnovujednaine (5.22.), slijedi da je .constv= , drugim rijeima, taka u ovom sluaju kre#e seravnomjerno pravolinijski, a takvo kretanje take naziva se kretanje po inerciji.

    vektorskoj jednaini odgovaraju skalarne jednaine:

    0101 , xxxmxm ==

    0101 , yyymym ==

    0101 , zzzmzm == (5.23.)

    Zakon o promjeni koliine kretanja pogodan je za primjenu u sluajevima kada seimpulsi sile mogu izraunati, a to je kada su sile funkcije vremena ili su konstantne.

    5.4. MOMENT KOLI%INE KRETANJA ILI KINETI%KI MOMENT

    Pretpostavimo da se materijalna taka M mase m kre#e pod dejstvom sila

    nFFF ,...,, 21 u odnosu na nepokretni koordinatni sistem 0xyz. Materijalna taka ima

    koliinu kretanja vmK r= . Potraimo moment koliine kretanja u odnosu na proizv